Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 1 TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN-CƠ HAY VÀ KHÓ CHUYÊN NGÀNH ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bài 1: a, Chứng minh cấu trúc điều khiển PI không đảm bảo sai lệch tiến tới 0 khi tín hiệu đặt w(t) = sin(ωt) trong hệ sau. b, Đưa ra cấu trúc hệ thống mới đảm bảo sai lệch tĩnh tiến về 0 khi mà tín hiệu đặt vẫn giữ nguyên. Bài làm: −Đốitượngđiềukhiển:  (  ) =  (+ 1) . −CấutrúcbộđiềukhiểnPI:  (  ) =   1+ 1   . . Dựa vào mô hình của hệ ta có được: −Hàmtruyềnđạthệhở:   (  ) =   (  ) .  (  ) =   ( + 1 ) .  .1+ 1     ⇒ (  ) =  (  ) − (  ) =  (  ) −  (  ) . (  ) ⇒ (  ) =  (  ) 1 +   (  ) =  (  ) 1 +   ( + 1 ) .  .  1 + 1      Vớitínhiệuđặt: (  ) = sin (  ) ⇒ (  ) =  { sin (  )} =    +   ⇒ (  ) =  (  +   )1 +   ( + 1 ) .  .  1 + 1      = .  .  ( + 1 ) (   +   ) .  .  (   + 1 ) +    ( + 1 )  Đa thức mẫu số có cặp nghiệm =±, tương ứng với thành phần dao động điều hòa không tắt dần trong biểu thức () nên không tồn tại lim →∞ e ( t ) . Điều đó chứng minh rằng bộ điều khiển PI không làm sai lệch tĩnh tiến đến 0 khi tín hiệu đặt = sin(). b, Việc sử dụng BĐK trong trường hợp này là không hợp lí vì BĐK PI chỉ phù hợp với tín hiệu đặt là hằng số và việc thiết kế khi đó dựa trên phương pháp tối ưu đối xứng. Và đó là bài toán điều khiển vị trí, đưa vật từ vị trí này tới vị trí khác theo quỹ dạo bất kỳ. Nhưng trong bài toán tín hiệu đặt là một dao động hình sin: () = sin(). Do đó, việc sử dụng BĐK PI là không thể dùng được, bài toán ở đây là bài toán thiết kế bộ điều khiển sao cho tín hiện ra bám được Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 2 theo tín hiệu đặt. Để giải quyết vấn đề sai lệch không tiến tới 0. Ta sử dụng phương pháp: “Điều khiển bám bằng phản hồi trạng thái” để giải quyết vấn đề này. * Phương pháp này được trình bày như sau: Từ phương trình hàm truyền đạt của đối tượng, ta có: Hình: Mô hình thiết kế: Điều khiển bám bằng phản hồi trạng thái Phương trình trạng thái của đối tượng ở dạng chuẩn điều khiển là:  dx dt = Ax + b  u y = c  x  ( 1 ) Trongđó :A=  0 0  1 − 1 T  ;b  =  0 1  ;c  =  K T 0;x =  x  x   Khi sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái R = a  với u = w+ a  x, trongđó a  = ( a  a  ) = (0 1 T ) Khi đó hệ kín lúc này sẽ là:  dx dt = Ax+b  ( w + a  x ) = ( A + b  .a  ) x + b  w y = c  x ⇒  dx dt =  0 0  1 0  x +  0 1  w y =  K T 0x  ( 2 ) đó  =  0 0  1 0  Từ phương trình trạng thái trên ta có: w = dx  dt = d  x  dt  ⇒X  ( s ) = s  W ( s ) vày = K T x  ⇒Y ( s ) = K T .X  (s) Nênởđầuvàotachỉcầnđặtw  ( t ) với: W  ( s ) = Ts  K Y  ( s ) = Ts  K Y  ( s ) =  (  ) .  ()ớ  (  ) =  (  ) =    +   Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 3 * Từ phương trình trạng thái (2), ta thấy hệ có điểm cực s=0 bội 2 nên hệ kín là không ổn định. Để cho hệ kín ổn định , ta phải can thiệp vào hệ một bộ điều khiển R e sao cho với nó, sai lệch e = x −x  tiến được về 0. Điều này tương đương với việc xác định R e để ma trận: A +b  (a  −R  )cótấtcảcácgiátrịriêngs  ,s  nằmbêntráitrụcảo. Ta sử dụng phương pháp Ackerman để tìm . Gọi R  = (r  ,r  ) thì khi đó ta có: A +b   ( a  −R  ) =  0 −r   1 −r   Chọn s  = −1;s  = −2là các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo, khi đó ta có: ( s −s  )( s −s  ) = r  + r  s + s  ⇒ ( s −1 )( s −2 ) = r  + r  +s  ⇒r  = 2;r  = −3 ⇒R  = [2−3] CÂU 2: LỰC CORIOLIT Lực Coriolis là lực xuất hiện trong hệ quy chiếu quay so với các hệ quy chiếu quán tính,được đặt theo tên của Gaspard-Gustave de Coriolis-nhà toán học, vật lý học người Pháp đã mô tả nó năm 1835 thông qua lý thuyết thủy triều của Pierre-Simon Laplace. Nó được thể hiện qua hiện tượng lệch quĩ đạo của những vật chuyển động trong hệ qui chiếu này. Sự lệch quĩ đạo do một loại lực quán tínhgây ra, gọi là lực Coriolis. Dưới đây ta sẽ đưa ra các lý thuyết để tính lực này. a. Các chuyển động tương dối, chuyển động theo, chuyển động tuyệt đối - Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu chuyển động là chuyển động tương đối. Vận tốc và gia tốc của điểm M trong chuyển động tương đối gọi là vận tốc tương đối và gia tốc tương đối, kí hiệu là , r r v w . - Chuyển động của hệ quy chiếu động đối với hệ quy chiếu cố dịnh gọi là chuyển động theo. Vận tốc và gia tốc của điểm M’ thuộc hệ quy chiếu động, mà tại thời điểm đã cho trung với điểm M, gọi là vận tốc theo và gia tốc theo, kí hiệu là , e e v w - Chuyển động của M đối với hệ quy chiếu cố định gọi là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc và gia tốc của điểm M trong chuyển động gọi là vận tốc tuyết đối và gia tốc tuyệt đối, kí hiệu là , a a v w . b. Đạo hàm tuyệt đối và đạo hàm tương đối của véc tơ Xét hệ tọa độ O 1 x 1 y 1 z 1 được quy ước là hệ tọa độ cố định và hệ tọa đô động Oxyyz, chuyển động đối với hệ tọa độ cố định O 1 x 1 y 1 z 1 . Giả sử có hàm vecto ( ) a a t  phụ thuộc và thời gian, với các hình chiếu lên trục hệ động là , , x y z a a a . Vecto a được biểu thị qua các vecto đơn vị trên trục hệ động: x y z a a i a j a k    Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 4 Các vecto đơn vị cũng là hàm phụ thuộc thời gian. Lấy đạo hàm vecto a theo thời gian trong hệ tọa độ cố định – đạo hàm tuyệt đối, ta được: ( ) ( ) x y z x y z a a i a j a k a i a j a k              (1) Nếu giả sử hệ tọa độ động Oxyz dừng lại, lúc đó các vecto đơn vị , , i j k const  , do đó: 0 i j k       , thì biểu thức (1) biểu thị đạo hàm tương đối theo thời gian trong hệ tọa độ động, gọi là đạo hàm tương đối của vecto a , kí hiệu là a   , x y z a a i a j a k         (2) Gọi  là vecto vận tốc gọc quay tức thời của hệ tọa độ động Oxyz quanh hệ tọa độ cố định. Ta có: ; ; i i j j k k             (3) Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z a i a j a k a i a j a k a i a j a k a                       (4) Thay (2) (4) vào (1) ta được: ( ) a a a        (5) c. Định lý cộng vận tốc Xét chuyển động của điểm M đối với hệ động Oxyz, và hệ tọa đô động Oxyyz, chuyển động đối với hệ tọa độ cố định O 1 x 1 y 1 z 1 . Gọi r bán kính vecto xác định vị trí M trong hệ cố định, 0 r là bán kính vecto xác đinh gốc O của hệ động, 1 r là bán kính vecto xác định M trong hệ động. Ta có: 0 1 r r r   (6) Gọi x,y,z là tọa độ của M trong hệ động ta có: 1 yj+zk r xi  Với , , i j k là các cecto đơn vị của hệ động. Đạo hàm biểu thức (6) ta được vận tốc tuyệt đối của điểm M: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 5 0 1 a v r r r       (7) Áp dụng xông thức (5) ta được: 1 1 1 ( ), r r r        (8) Với  là vecto vận tốc gọc quay tức thời của hệ tọa độ động Oxyz quanh hệ tọa độ cố định, đạo hàm tương đối của vecto 1 r bằng: 1 r xi yj zk         Là vận tốc tương đối của M trong hệ động: 1 r v r    (9) Vận tốc của gốc O của hệ động: 0 o v r   (10) Thay (8),(9),(10) vào (7) ta có: 1 ( ) a o r v v r v      (11) Để tìm vận tốc theo, ta giả sử điểm M dừng lại so với hệ động, lúc đó 0 r v  , biểu thực (11) biểu thị vận tóc theo của M: 1 ( ) e o v v r     (12) Vậy : a r e v v v   d. Định lý cộng gia tốc Từ (11) ta có: 1 ( ) a o r v v r v      Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta có: 1 1 ( ) (( ) a a o r w v v r r v               (13) Áp dụng công thức (5) ta được: ( ) r r r v v v        (14) Trong đó, r v   là đạo hàm tương đối của vecto r v theo thời gian, chính là gia tốc tương đối r w của M: r w v xi yj zk          (15) Thay (8)(9)(14)(15) vào (13) ta có Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 6 1 1 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 2( ) a o r r r o r r w w r v r w v w r r w v                            (16) Trong đó: o o o w v r     là gia tốc của gốc O của hệ tọa độ động;     là gia tốc góc của hệ tọa độ động đối với hệ tọa độ cố định. Để tìm gia tốc theo, ta giả sử điểm M gắn chặt với hệ tọa độ động, khi đó 0; 0; r r v w   biểu thức (16) trở thành: 1 1 ( ) ( ) e o w w r r          (17) Vậy 2( ) a r e r w w w v      Thành phần gia tốc 2( ) r v   được gọi là gia tốc Coriolis, khi xét trọng hệ quy chiếu chuyển động, thành phần gia tốc này gây ra lực quán tính, lực này được gọi là lực Coriolis 2 ( ) c r F m v     CÂU 3: MÔ HÌNH HÓA MÔ HÌNH ROBOT VỚI CƠ CẤU CHẤP HÀNH 1. Xác định phương trình động lực học của ĐCMC nam châm vĩnh cửu. Hình 1: Mô hình động cơ một chiều Các phương trình động học trong động cơ điện:   =   .  (1) =   .  +      +   (2)   =   ̇  (3)   = (4) Trong đó: -   : Điện cảm phần ứng (H) -   ∶ Hệ số momen.[/] -   ∶ Điện trở phần ứng.[] -   ∶ Hệ số sức điện động. [/] Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 7 -   ∶Momenxoắncủatrụcđộngcơ[] -   : Vị trí góc của trục của động cơ (rad) -   : Sức điên động (V) - ∶ Vị trí góc của trục tải. [] - ∶ Hệ số truyền bánh răng. (thôngthường≫1) - ∶ Điện áp phần ứng. [V] - Các phương trình chuyển động của hệ thống này là:   ̈  =   −  ( ̇  ) −   (5) Trong đó,  momen của động cơ khi lắp thêm tải hộp bánh răng vào trục tải,   là Momen quán tính của Roto [  ],   (̇  ) ∶ Hệ số ma sát của roto đối với vòng bi của nó. []. Nói chung, là một hàm phi tuyến của đối số của nó Mô hình động lực có liên quan tới điện áp v, momen xoắn τ thu được theo cách sau. Đầu tiên, thế   từ (1) và   từ (3) vào (2) để có được =       +   .    +   .̇  (6) Mă ̣ tkhác,từ ( 1 ) tacó    = ̇    thayvàophươngtrình ( 6 ) ,tađược: =       +     ̇  +   ̇  (7) Từ (5) ta rút ra được   =   ̈  +   ( ̇  ) +   Và có đạo hàm theo thời gian là: ̇  =   ̈   +   ( ̇  ) ̇    + ̇  Thế vào phương trình điện áp ta được: =        ̈  +   ( ̇  ) +    +       ̈   +   ( ̇  ) ̇  ̈  + ̇  +   ̇  Cuối cùng, sử dụng mối liên hệ   =ta viết lại công thức trên dưới dạng:     =       . ̈  +   +       ( ̇ )  ( ̇ ) ̈+ 1    ( ̇ ) +       ̇+    +       ̇ Trong nhiều ứng dụng thực tế   ≈0 nên phương trình trên được viết lại thành:   ̈+ 1    ( ̇ ) +       ̇+    =     (8) Mặc dù hiện tượng ma sát là một hiện tượng phức tạp, nhưng trong thực tế người ta thường sử dụng mô hình tuyến tính để biểu diễn, tức là:   ( ̇  ) =   .̇  =   . Với   là một hằng số dương. Khi đó (8) được viết lại là:   ̈+   .̇+       ̇+    =     (9) 2. Phương trình động lực học của Robot với cơ cấu chấp hành là ĐCMC. Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 8 Hình 2: Sơ đồ khối Robot với cơ cấu chấp hành. Từ mục 1 ta có được phương trình động lực học của động cơ:   .̈+   .̇+   .    .̇+    =      Viết gọn lại thành: ̈+̇+ = (10) Với =     =    +           =  1     =        . 1    Rút  từ phương trình (10) thế vào phương trình động lực học robot ta được: = −̈−̇   (  ) ̈+  ( ,̇ ) ̇+  (  ) +  ( ̇ ) = −̈−̇  (  (  ) +  ) ̈+  ( ,̇ ) ̇+  (  ) +  ( ̇ ) + ̇=  CÂU 4: MÔ HÌNH ROBOT CÓ RÀNG BUỘC 1. Thiết lập mô hình động lực học cho hệ. Hình 1: Mô hình của hệ cơ cấu có ràng buộc. Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 9 Do P luôn chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính r nên ta có phương trình ràng buộc: 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 cos 0 cos 2 l l l l q r r l l q const l l            (1) Khi đó ma trận Jacobien của hệ: 1 1 2 2 2 0 ( ) 2 sin T T q A q l l q q                           - Vì q 2 là hằng số nên hệ sẽ quay xung quanh O với cùng vận tốc góc là 1 q  . Hệ chuyển động trong mặt phẳng ngang nên thế năng hệ không đổi. Nên ta chỉ tính động năng cho hệ: + Động năng thanh 1: 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 12 6 K m v J q l l m q m q m l q                + Động năng thanh 2:   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 12 G K m v J q l m L q m q        2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 cos 2 4 24 1 cos 2 3 l m l l l q q m l q l m l l l q q                       Trong đó G 2 là trọng tâm của thanh 2. - Động năng của tải P: 2 2 2 3 1 1 1 2 2 K mv mr q    - Động năng của hệ 2 1 2 3 1 1 2 K K K K Jq      Với 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 cos 3 3 J m l m l m l m l l q mr      (*) - Chọn gốc thế năng tại mặt phẳng chuyển động, ta có: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 10 2 1 1 2 L K Jq    - Ta có phương trình Lagrange: 1 1 1 d L L M dt q q Jq                Với J được tính theo (*) Gọi =      , ta có phương trình động lực học của hệ: 1 2 2 2 2 sin T Mq A Mq l l q             CÂU 5: XÁC ĐỊNH MA TRẬN NHỚT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRISTOFFE 1. Thiet lập dạng thứ c Lagrange loại II. Xuat phát từ phương trı̀nh Lagrange loại 2:     ̇  −    = −    +   ∗ , = 1,2,…,. Ta suy ra phương trı̀nh Lagrange loại 2 dạng ma trận:     ̇   −     = −      +  ∗ .(∗) đ́:= [   ,  ,…,  ]  ; ∗ = [   ∗ ,  ∗ ,…,   ∗ ]  Trong kı̃ thuật robot ngườ i ta thườ ng kı́ hiệu momen độ ng cơ bang   =  ∗ Từ bieu thứ c độ ng nnawngta có : = 1 2 ̇   (  ) ̇= 1 2   (  ) ̇  ̇       ̇  =   (  ) ̇        ̇  =   (  ) ̈  +    (  )  ̇      =   (  ) ̈    +    (  )   ̇  ̇      (1)    = 1 2    (  )   ̇  ̇      (2) Từ bieu thứ c the năng trọ ng lự c ta có :    = −           =   (  ) (3) The (1), (2) và (3) vào phương trı̀nh (*) ta đượ c : . đạo hàm tương đối của véc tơ Xét hệ tọa độ O 1 x 1 y 1 z 1 được quy ước là hệ tọa độ cố định và hệ tọa đô động Oxyyz, chuyển động đối với hệ tọa độ cố định O 1 x 1 y 1 z 1 . Giả sử có hàm.   ∶ Hệ số momen.[/] -   ∶ Điện trở phần ứng.[] -   ∶ Hệ số sức điện động. [/] Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 7 -   ∶Momenxoắncủatrụcđộng cơ []. với cơ cấu chấp hành là ĐCMC. Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 8 Hình 2: Sơ đồ khối Robot với cơ cấu chấp hành. Từ mục 1 ta có được phương trình động lực học của động cơ: