ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC HÌNH v MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC 3 1.1 Phép biến đổi Fourier 3 1.1.1 Định lý về đạo hàm 4 1.1.2 Định lý về chuyển dịch ngang 4 1.1.3 Định lý Parseval 4 1.1.4 Sự đối xứng, đối ngẫu và thay đổi thang đo 4 1.2 Tích chập và tương quan 5 1.2.1 Tích chập 5 1.2.2 Tích phân tương quan 5 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 5 1.3.1 Mở đầu 5 1.3.2 Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên 6 1.3.2.1 Hàm mật độ xác suất 6 1.3.2.2 Hàm đặc trưng 8 1.3.2.3 Các hàm Moment 9 1.3.2.4 Hàm cumulant 9 1.3.2.5 Phiếm hàm đặc trưng 10 iii 1.4 Đạo hàm và tích phân ngẫu nhiên 11 1.4.1 Đạo hàm 11 1.4.1.1 Hội tụ 11 1.4.1.2 Liên tục 12 1.4.1.3 Đạo hàm 12 1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên 14 1.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng 15 1.5.1 Tính chất của hàm tự tương quan 16 1.5.1.1 Đối xứng 17 1.5.1.2 Bất đẳng thức 17 1.5.2 Trung bình theo thời gian 18 1.5.3 Tính chất (giả thiết) Ergodic 18 1.5.4 Biến đổi Fourier 20 1.5.5 Mật độ phổ năng lượng 21 1.5.6 Biểu diễn Fourier – Stieltjes đối với quá trình dừng 23 CHƯƠNG II MÔ PHỎNG SỐ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN 25 2.1 Mở đầu 25 2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên 26 2.2.1 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm tương quan 28 2.2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm phổ 30 2.2.3 Mô phỏng quá trình ồn trắng Gauss 32 iv 2.3 Mô phỏng số trường ngẫu nhiên 34 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CHO CÁC BÀI TOÁN KỸ THUẬT 38 3.1 Hệ một tham số (hay hệ một bậc tự do) 38 3.2 Hệ nhiều tham số (hay hệ nhiều bậc tự do) 50 3.2.1 Dao động ngẫu nhiên của các công trình biển 54 3.2.1.1 Sóng biển và tác động của sóng biển 54 3.2.1.2 Tính toán dao động của dàn khoan cố định dưới dạng mô hình đơn giản 56 3.2.1.3 Dao động ngẫu nhiên của công trình biển dạng nhiều bậc tự do 61 3.2.2 Tác động của động đất lên kết cấu công trình 68 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 v DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 3. 1: Thể hiện thứ 490 và 491 trong trường hợp dao động tuyến tính 40 Hình 3. 2: Phương sai của các thể hiện trong trường hợp dao động tuyến tính 40 Hình 3. 3: Kỳ vọng của các thể hiện trong trường hợp dao động tuyến tính 41 Hình 3. 4: Thể hiện thứ 490 và 491 trong trường hợp dao động phi tuyến 42 Hình 3. 5: Kỳ vọng của các thể hiện trong trường hợp dao động phi tuyến 42 Hình 3. 6: Phương sai của các thể hiện trong trường hợp dao động phi tuyến 42 Hình 3. 7: Các thể nghiệm của nghiệm chính xác X(t) và nghiệm Euler Y(t) với Delta=0.25 45 Hình 3. 8: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi máy tạo dao động Duffing Van der Pol 46 Hình 3. 9: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi máy tạo dao động Duffing Van der Pol (Taylor mạnh) 47 Hình 3. 10: Luồng ngẫu nhiên phát sinh bởi lược đồ Milstein 48 Hình 3. 11: Nội suy tuyến tính (log 2 ε, log 2 ∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 49 Hình 3. 12: Nội suy tuyến tính (log 2 ε, log 2 ∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 49 Hình 3. 13: Nội suy tuyến tính (log 2 ε, log 2 (time)) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 50 Hình 3. 14: Nội suy tuyến tính (log 2 (time), log 2 ∆) – Đồ thị tại t=0.1 (Taylor mạnh) 50 Hình 3. 15: Dàn Khoan Bạch Hổ 65 Hình 3. 16: Một thể hiện của mặt sóng ngẫu nhiên 66 vi Hình 3. 17: Một thể hiện của chuyển động (khuyếch đại chuyển vị 1000 lần) 66 Hình 3. 18: Chiều cao sóng – Thể hiện 1 67 Hình 3. 19: Chiều cao sóng – Thể hiện 45 67 Hình 3. 20: Chiều cao sóng – Thể hiện 63 67 Hình 3. 21: Biểu đồ gia tốc và hàm bao thực sự của nó (đường cong liền nét) và hàm bao xấp xỉ (đường cong đứt khúc) 71 Hình 3. 22: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và tần số tự nhiên 10.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định bằng cách nhân hàm mật phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white noise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21. Các đường cong liên tục và đứt khúc ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21. 72 Hình 3. 23: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và tần số tự nhiên 20.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định bằng cách nhân hàm mật độ phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white noise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21. Các đường cong liên tục và gạch ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21. 73 Hình 3. 24: Phản ứng không dừng của hệ một bậc tự do với hệ số cản 0.05 và tần số tự nhiên 40.0 rad/s được kích động bởi gia tốc nền không dừng, xác định bằng cách nhân hàm mật độ phổ dừng băng hẹp, băng rộng và ồn trắng (white naise) với hai hàm bao xác định như trong hình 3.21. Các đường cong liên tục và đứt khúc ứng với các hàm bao liên tục và đứt khúc trong hình 3.21. 74 Hình 3. 25: Hàm mật độ phổ năng lượng của gia tốc được ghi tại Điện Biên Phủ và các thể hiện 11, 51, 91 phát sinh từ hàm mật độ phổ năng lượng của gia tốc tại Hoà Bình 77 Hình 3. 26: Ứng lực theo thời gian 78 vii Hình 3. 27: Sự phân bổ hệ số an toàn 79 1 MỞ ĐẦU Rất nhiều bài toán thực tế mang tính ngẫu nhiên, nói chung do ba nguyên nhân độc lập và khác nhau gây ra: nguyên nhân thứ nhất, thường do sự phân tán khá lớn của các số liệu quan sát ghi nhận từ các yếu tố bên ngoài hay dữ liệu đầu vào; nguyên nhân thứ hai, là do bản chất hiện tượng ngẫu nhiên cố hữu của hiện tượng; nguyên nhân thứ ba, là do sự bất định về các tính chất hay tham số vật lý đặc trưng của đối tượng nghiên cứu (ví dụ chuyển động của sóng biển, gió, động đất, thị trường chứng khoán, tài chính, hệ sinh thái…). Các bài toán này, hầu hết không giải được dưới dạng giải tích mà chỉ có thể dùng các phương pháp số. Trong nước, các nghiên cứu lý thuyết về các hệ động lực ngẫu nhiên chủ yếu tập trung ở Viện Toán học, và các nghiên cứu mô phỏng, ứng dụng ở Viện Cơ học, Viện Cơ học ứng dụng (Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) tập trung vào các tính toán công trình biển (sóng ngẫu nhiên), động đất, tương tác khí động của vật thể bay, và độ tin cậy của công trình (Nguyen D., Nguyen X Hung, Nguyen D Tien : [15],[16],[17],[18],[19]). Ngoài nước, các nghiên cứu về lý thuyết phát triển rất mạnh với rất nhiều trường phái khác nhau: Luwig Arnold ([14]), Christian Soize([3]), Yu.A.Rozanov ([24]), N. Bouleau ([20]) …, nhưng các mô phỏng số cũng chỉ phát triển trong khoảng 20 năm trở lại (đồng hành với sự phát triển của kỹ thuật máy tính): N. Bouleau ([20]), F. Hermann, Claus Lange([15]), M. Shinozuka([21]), Gupta I.D ([7],[8],[9],[10]) … Luận văn chỉ tập trung ở phần mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng giải số các phương trình vi phân ngẫu nhiên ở hầu hết các dạng thường gặp nhất trong các bài toán thực tế. Đó chính là việc xử lý số, làm đầu vào (input) cho các hệ thống có đặc trưng ngẫu nhiên. (Tuy nhiên, luận văn cũng có trình bày các vấn đề toán học và kỹ thuật liên quan nhằm làm sáng tỏ - từ lúc nào các quá trình ngẫu nhiên phải được mô phỏng số). Từ đó ứng dụng trong một số bài toán thực tế: tính toán và phân tích dữ liệu động đất, các tương tác biển-công trình biển. Phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và 2 trường ngẫu nhiên đã được một số tác giả ([15] - [17]) sử dụng khi tính toán độ tin cậy của các cơ cấu máy và hệ cơ học. Ý tưởng chính của phương pháp này là mô phỏng lại các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên khi biết hàm phổ (hoặc hàm tương quan) của nó, mà đặc trưng xác suất của các thể hiện này thoả mãn các đặc trưng của quá trình. Phương pháp này sử dụng khai triển chuỗi Fourier, với hệ số là các số ngẫu nhiên, thuận tiện cho các tính toán số trên máy tính. Tuy số phép tính lớn, song có thể chọn số thể hiện là lũy thừa của 2 để áp dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT), nhằm làm giảm rất lớn số phép tính. Phương pháp tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các vấn đề về mặt tính toán số của một số bài toán dao động ngẫu nhiên của hệ cơ học, tuyến tính và phi tuyến trên máy. Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên thông qua hàm phổ (hoặc hàm tương quan). Tuy nhiên, đây cũng chỉ là một cách mô phỏng. Một số tác giả khác như Yu.A.Rozanov[24], Paul Kreé và Christian Soize [3] … cũng có cách mô phỏng khác, nặng về lý thuyết, không tiện cho việc áp dụng cho các tính toán trên máy tính. 3 CHƯƠNG I CƠ SỞ TOÁN HỌC Chương này nhắc lại các cơ sở toán học cho việc nghiên cứu một quá trình ngẫu nhiên và trường ngẫu nhiên, làm cơ sở cho các tính toán giải tích và các mô phỏng số (có thể xem chi tiết trong Yu.A.Rozanov[24], L. Arnold [14]) 1.1 Phép biến đổi Fourier Biến đổi Fourier của hàm h(t) được định nghĩa: ( ) ( ) j t H h t e dt w w ¥ - -¥ = ò (1.1) nếu như tích phân này tồn tại với mọi w , ( ) H w là một hàm giá trị phức của biến thực w . Một điều kiện đủ để ( ) H w tồn tại là hàm h(t) khả tích tuyệt đối, i.e.: ( )h t dt ¥ -¥ < ¥ ò (1.2) Phép biến đổi ngược, mỗi khi h(t) là hàm liên tục, được cho bởi: 1 ( ) ( ) 2 j t H e d h t w w w p ¥ -¥ = ò (1.3) Tại điểm mất liên tục, tích phân trên tiến tới giá trị trung bình: ( ) ( ) 2 h t h t - + + (1.4) Tuy vậy, điều kiện (1.2) là rất hạn chế đối với nhiều hàm được quan tâm trong thực tế. Sử dụng lý thuyết phân bố (hoặc xét tích phân theo nghĩa giá trị 4 chính) thì có thể mở rộng sự tồn tại của phép biến đổi Fourier trên cho các hàm dạng sin at at chẳng hạn, hoặc các hàm tuần hoàn, hằng, các hàm xung Dirac, … 1.1.1 Định lý về đạo hàm Nếu h(t) và ( ) H w là cặp biến đổi Fourier thì ( ) ( ) ( ) n n n d h t j H dt w w « cũng là cặp biến đổi Fourier (1.5) 1.1.2 Định lý về chuyển dịch ngang Nếu h(t) và ( ) H w là một cặp biến đổi Fourier thì: 0 0 ( ) ( ) j t h t t H e w w - - ¬¾® (1.6) 0 0 ( ) ( ) j t h t e H w w w ¬¾® - cũng là cặp biến đổi Fourier 1.1.3 Định lý Parseval Định lý Parseval phát biểu sự đồng nhất trong phân bố năng lượng giữa miền tần số và miền thời gian: 2 2 1 ( ) ( ) 2 E h t dt H d w w p ¥ ¥ -¥ -¥ = = ò ò (1.7) Hàm 2 ( ) 2 H w p được gọi là phổ năng lượng, nó mô tả mật độ năng lượng trong lân cận của tần số w . 1.1.4 Sự đối xứng, đối ngẫu và thay đổi thang đo Nếu h(t) và ( ) H w là một cặp biến đổi Fourier, thì: ( ) 2 ( ) H t h p w ¬¾® - (1.8) 1 ( ) ( ) h at H a a w ¬¾® cũng là cặp biến đổi Fourier. (1.9) . đối với quá trình dừng 23 CHƯƠNG II MÔ PHỎNG SỐ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN 25 2.1 Mở đầu 25 2.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên 26 2.2.1 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng. Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dừng khi biết hàm phổ 30 2.2.3 Mô phỏng quá trình ồn trắng Gauss 32 iv 2.3 Mô phỏng số trường ngẫu nhiên 34 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG MÔ PHỎNG SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU. phần mô phỏng số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng giải số các phương trình vi phân ngẫu nhiên ở hầu hết các dạng thường gặp nhất trong các bài toán thực tế. Đó chính là việc xử lý số, làm đầu vào