Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...
INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán Chúng ta sẽ rèn luyện chuyên đề tìm GTLN, GTNN thông qua hai bước chính 1. Ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức (tập trung vào AM - GM và CBS). 2. Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức AM - GM và CBS kết hợp với công cụ khảo sát hàm số để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN. 1 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán 2 Phần I LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA 3 Chương 1 Kiến thức căn bản 1.1. Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Bunyakovky - Schwarz Đây là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong việc chứng minh. Sau đây chúng ta nhắc lại hai kết quả quan trọng đó. 1.1.1 Định lí (Bất đẳng thức AM - GM). Cho 3 số không âm a, b, c. Khi đó (i) a + b ≥ 2 √ ab (ii) a + b + c ≥ 3 3 √ abc Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 1.1.2 Định lí (Bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovky - Schwarz). Cho hai bộ số a, b, c và x, y, z. Khi đó (i) (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by) 2 (ii) (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz) 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số này tỉ lệ a : b : c = x : y : z. Từ hai kết quả quan trọng này, chúng ta dễ dàng chứng minh được một số kết quả quan trọng sau 1.1.3 Mệnh đề. Chứng minh các bất đẳng thức sau (nếu điều kiện không có gì đặc biệt thì các số đều dương) (i) (a + b) 1 a + 1 b ≥ 4, (a + b + c) 1 a + 1 b + 1 b ≥ 9 (ii) a 3 + b 3 ≥ ab(a + b), a 3 + b 3 ≥ (a + b) 3 4 . (iii) 1 a + b ≤ 1 4 1 a + 1 b , 1 a + b + c ≤ 1 9 1 a + 1 b + 1 c 5 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán (iv) Cauchy - Schwarz dạng angel. a 2 x + b 2 y + c 2 z ≥ (a + b + c) 2 x + y + z , a, b, c ∈ R (v) √ a 2 + x 2 + b 2 + y 2 + √ c 2 + z 2 ≥ (a + b + c) 2 + (x + y + z) 2 , ∀a, b, c, x, y, z ∈ R. (vi) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + √ ab) 2 , (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 √ abc) 3 . (vii) 1 (1 + a) 2 + 1 (1 + b) 2 ≥ 1 1 + ab . (viii) 1 1 + a 2 + 1 1 + b 2 ≤ 2 1 + ab với ab ≤ 1. 1.2. Chọn điểm rơi Vấn đề quan trọng nhất của việc sử dụng hai bất đẳng thức nói trên nằm ở việc chọn điểm rơi. Ta xét ví dụ quan trọng sau 1.2.1 Ví dụ. Cho các số dương x, y, z thoản mãn xyz = 1. Chứng minh rằng 1 + x 3 + y 3 xy + 1 + y 3 + z 3 yz + √ 1 + z 3 + x 3 zx ≥ 3 √ 3. Dấu “=” xảy ra khi nào? Giải. Trước khi giải bài toán ta cần phân tích một chút: bài toán cho những biểu thức chứa mũ bậc 3 và các số đều dương. Vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM được không? Nếu áp dụng thì cho mấy số và đó là những số nào? Trở lại yêu cầu của bài toán, dấu “=” xảy ra khi nào? Ta nhận thấy bài toán có tính đối xứng với x, y, z, thế thì có khả năng dấu bằng xảy ra khi x = y = z. Kết hợp với giả thiết xyz = 1 dẫn đến x = y = z = 1. Với việc dự đoán điểm rơi này, ta sẽ khống chế toàn bộ các dấu “=” trong quá trình chứng minh của mình. Theo quá trình phân tích, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số 1, x 3 , y 3 như sau 1 + x 3 + y 3 ≥ 3 3 1.x 3 .y 3 = 3xy suy ra 1 + x 3 + y 3 xy ≥ √ 3xy xy = √ 3 √ xy = √ 3z. Tương tự ta có 1 + y 3 + z 3 yz ≥ √ 3x √ 1 + z 3 + x 3 zx ≥ 3y 6 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán Cộng theo vế ta được 1 + x 3 + y 3 xy + 1 + y 3 + z 3 yz + √ 1 + z 3 + x 3 zx ≥ √ 3 √ x + √ y + √ z ≥ √ 3.3 3 √ x √ y √ z = 3 √ 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 = x 3 = y 3 x = y = z hay x = y = z = 1. Với việc dự đoán điểm rơi x = y = z = 1 đã giúp chúng ta lựa chọn bất đẳng thức và số thích hợp để áp dụng. Tiếp theo là một ví dụ thể hiện rõ điều đó. 1.2.2 Ví dụ. Cho x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy √ z −4 + yz √ x −2 + xz √ y −3 xyz . Giải. Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, từ đây ta chuyển về đánh giá P ≤ C với C là một hằng số nào đó. Để đơn giản hơn, ta biến đổi P về P = √ z −4 z + √ x −2 x + √ y −3 y . Do yêu cầu phải đánh giá P ≤ C, nên ta sẽ lần lượt đánh giá từng số hạng. Cụ thể ta sẽ cố gắng đánh giá √ z −4 z ≤ m Biểu thức √ z −4 làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụ là ta chọn số k sao cho biểu thức sau khi đánh giá có thể đơn giản với z ở mẫu k(z − 4) ≤ k + z − 4 2 Nhận thấy ngay giá trị k nhận chính là 4. Từ phân tích đó ta có lời giải như sau: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 4, z − 4 ta có 4(z −4) ≤ 4 + z − 4 2 = z 2 hay √ z −4 z ≤ 1 4 . Tương tự ta có √ x −2 x ≤ 1 2 √ 2 √ y −3 y ≤ 1 2 √ 3 Cộng theo vế ta có P ≤ 1 2 1 2 + 1 √ 2 + 1 √ 3 hay max P = 1 2 1 2 + 1 √ 2 + 1 √ 3 khi x = 4, y = 6, z = 8. Kế tiếp chúng ta xét một ví dụ để làm rõ kĩ thuật chọn điểm rơi trong việc sử dụng CBS. 7 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán 1.2.3 Ví dụ. Cho 3 số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 47 12 . Chứng minh rằng 3a 2 + 4b 2 + 5c 2 ≥ 235 12 . Giải. Quan sát thấy vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có liên hệ gì với a + b + c ? Nếu ta bỏ đi các hệ số thì a 2 + b 2 + c 2 và a + b + c có liên hệ gì với nhau ? Câu trả lời chính là bất đẳng thức CBS (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz) 2 khi đó ta chỉ việc chọn (x, y, z) = (1, 1, 1) thì sẽ có được điều mong muốn! Thế khi có hệ số vào thì sao? (3a 2 + 4b 2 + 5c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax √ 3 + by √ 4 + cz √ 5) 2 Đến đây ta chỉ cần chọn (x, y, z) sao cho vế phải chỉ còn lại (a + b + c) 2 . Thật đơn giản đó chính là (x, y, z) = 1 √ 3 , 1 2 , 1 √ 5 . Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CBS ta có (3a 2 + 4b 2 + 5c 2 ) 1 3 + 1 4 + 1 5 ≥ a √ 3 1 √ 3 + b √ 4 1 2 + c √ 5 1 √ 5 2 ≥ (a + b + c) 2 ≥ 47 2 12 2 Suy ra 3a 2 + 4b 2 + 5c 2 ≥ 47 2 12 2 . 60 47 = 235 12 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi √ 3a 1 √ 3 = √ 4a 1 √ 4 = √ 5a 1 √ 5 a + b + c = 47 12 hay a = 5 3 b = 5 4 c = 1 Trong các hệ quả của bất đẳng thức AM - GM thì (iii) có nhiều ứng dụng. Bây giờ ta sẽ bàn đến ứng dụng của chúng 1.2.4 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và 1 x + 1 y + 1 z = 4. Chứng minh rằng 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤ 1. 8 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán Giải. Dựa vào việc dự đoán điểm rơi là x = y = z nên ta áp dụng hệ quả (iii) như sau 1 2x + y + z = 1 x + y + x + z ≤ 1 4 1 x + y + 1 x + z Áp dụng lần nữa ta được 1 2x + y + z ≤ 1 4 1 4 1 x + 1 y + 1 x + 1 z ≤ 1 16 2 x + 1 y + 1 z Tương tự ta thu được 1 2x + y + z ≤ 1 16 2 x + 1 y + 1 z 1 x + 2y + z ≤ 1 16 1 x + 2 y + 1 z 1 x + y + 2z ≤ 1 16 1 x + 1 y + 2 z Dẫn đến 1 2x + y + z + 1 x + 2y + z + 1 x + y + 2z ≤ 1 4 4 x + 4 y + 4 z = 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bất đẳng thức khó một phần vì hình dáng cồng kềnh của nó. Bằng phương pháp đổi biến sẽ phần nào giúp cho hình dáng của chúng nhẹ nhàng hơn. 1.2.5 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức sau P = x 2 (y + z) y √ y + 2z √ z + y 2 (z + x) z √ z + 2x √ x + z 2 (x + y) x √ x + 2y √ y . Giải. Nhận thấy P là tổng của những biểu thức khá cồng kềnh. Ta sẽ tiến hành đặt ẩn phụ như sau a = x √ x b = y √ y c = z √ z theo giả thiết thì xyz = 1 nên abc = 1. Lúc này, nếu chúng ta thay vào P một cách máy móc thì vẫn chưa làm P đơn giản hơn. Ta nhận thấy khi áp AM - GM thì x 2 (y + z) ≥ x 2 .2 √ yz = 2x √ x = 2a y 2 (z + x) ≥ y 2 .2 √ zx = 2y √ y = 2b z 2 (x + y) ≥ z 2 .2 √ xy = 2z √ z = 2c Thật vậy, biểu thức P được đánh giá như sau P ≥ 2 a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b 9 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán Dựa vào hình dáng mới, ta thấy có thể ăn khớp với bất đẳng thức CBS dạng angel, nhưng ở tử chưa có dạng bình phương. Do đó P ≥ 2 a 2 ab + 2ac + b 2 bc + 2ab + c 2 ac + 2bc ≥ 2 (a + b + c) 2 3(ab + bc + ca) Sử dụng một kết quả khá quen thuộc (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca) ta thu được P ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1. Để khắc sâu và làm rõ hơn các kĩ thuật cơ bản này, chúng ta có các bài tập sau. 1.2.6 Bài tập. (1) Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x + y + z = 3 4 . Chứng minh rằng 3 x + 3y + 3 y + 3z + 3 √ z + 3x ≤ 3. (2) Cho x, y, z thỏa mãn 1 3 x + 1 3 y + 1 3 z = 1. Chứng minh rằng 9 x 3 x + 3 y+z + 9 y 3 y + 3 z+x + 9 z 3 z + 3 x+y ≥ 3 x + 3 y + 3 z 4 . (3) Cho x, y là các số thực không âm. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau P = (x −y)(1 − xy) (1 + x) 2 (1 + y) 2 . (4) Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức P = x x 2 + 1 yz + y y 2 + 1 zx + z z 2 + 1 xy . (5) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng x 2 1 + y + y 2 1 + z + z 2 1 + x ≥ 3 2 . (6) Cho hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x 2 + 4 4x + 2 + y 3 y 2 . (7) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì (1 + x) 1 + y x 1 + 9 √ y 2 ≥ 256. 10 [...]... 4xy Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của biểu thức M = x2 + y 2 − 7xy (6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y 3 + 3 14 1 1 + 3 x3 y INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán (7) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y − 1 = giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (x + y)2 − √ 2x − 4 + √ 9−x−y+ √ y + 1 Tìm giá trị lớn nhất. .. có giá trị lớn nhất của P là 1 khi (x, y) = hoặc (x, y) = −2 hoặc (x, y) = − 1 ,− 7 3 ,3 7 1 7 và giá trị nhỏ nhất của P là -6 khi (x, y) = 1 , 7 1 7 3 , −3 7 3 7 2 3 7 2.3.2 Bài tập (1) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 + xy + y 2 ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x2 − xy − 3y 2 (2) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị. .. mãn x ≥ y ≥ z và điều kiện x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 2xy + 3yz + 3zx + 6 x+y+z (5) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn 5(x2 + y 2 + z 2 ) = 6(xy + yz + zx) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2(x + y + z) − (y 2 + z 2 ) (6) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a b 3c + +√ 1 + a2 1 +... dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn của biểu thức P = 2 + 3 + ab + bc + ca 3 abc (1 + a)(1 + b)(1 + c) (2) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 3(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca = 12 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a+b+c (3) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x + y + z − 1)2... mãn hệ thức x2 + y 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x2 + 6xy) 1 + 2xy + 2y 2 (3) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x+y x2 − xy + 3y 2 − x − 2y 6(x + y) (4) Cho các số thực x, y thỏa mãn xy ≥ 0 và x + y > 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y − 4y 3 P = 3 x + 8y 3 16 Chương... các số thực x, y thỏa mãn x 2 − y 2 + y 2 − x2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (x + y)2 − 12(x − 1)(y − 1) + √ xy (3) Cho hai số thực khác không x, y thỏa mãn (x + y)xy = x2 + y 2 − xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 1 1 + 3 3 x y (4) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =4 a3 b3 + b3 a3 −9 a2 b2 + b2... các số thực thỏa mãn x + y + z = 0 Tìm GTNN của biểu thức P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y 2 + 6z 2 (5) Cho các số thực a, b, c ∈ [0, 1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = abc + 1 1 1 + + 3 3 1+a 1+b 1 + c3 18 INEQ Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán 3.3 Xử lí biểu thức đối xứng hai biến Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức P chưa ba biến... chỉ kết luận b ∈ [0, +∞) thì ta không tìm được giá trị lớn nhất của P Điều này càng chứng tỏ việc tìm điều kiện chặt cho b quan trọng như thế nào 2.1.3 Bài tập (1) Cho các số thực dương thỏa mãn x + y = S= 4 1 + x 4y 5 Tìm GTNN của biểu thức 4 (2) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= (x − 1)2 + y 2 + (x + 1)2 + y 2 + |y − 2| (3) Cho hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1 Tìm max, min của biểu thức S = (4x2... 2 Tìm giá trị lớn xy nhất của biểu thức P = 2 2 3 + − 1 + x2 1 + y 2 1 + 2xy (9) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2 + b2 + a + b = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 + 1 b2 + 1 P =2 + a2 + a b2 + b + a+b (a + b)2 + 1 2.3 Xử lí biểu thức bất đối xứng Trong dạng này chúng ta thường sẽ đưa về hàm f (t) với t = x y 2.3.1 Ví dụ Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 4x2 + 2xy + y 2 = 3 Tìm giá. .. 3(t − 1)2 − √ 3.3.2 Bài tập (1) Cho x, y, z ∈ [1, 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y z + + 2x + 3z y + x z + x (2) Chứng minh rằng với mọi số tực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz , ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 (3) Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =√ 4 9 − a2 + b2 + c2 + 4 (a + b) (a + 2c)(b + . xy + y 2 ≤ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x 2 − xy − 3y 2 . (2) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu. thỏa mãn x + y = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của biểu thức M = x 2 + y 2 − 7xy. (6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P. 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (x + y) 2 − 9 −x − y + 1 √ x + y . (8) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 4 + y 4 + 1 xy = xy + 2. Tìm giá trị lớn nhất