Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng(P): x –3y + 2z –5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuônggóc với mặt phẳng (P).· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = éënP, ABùû = (0;8;12) ¹ 0r r uuur rÞ (Q) : 2y + 3z 11 = 0 .Câu hỏi tương tự:a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P) : x + 2y + 3z + 3 = 0 . ĐS: (Q) : x 2y + z 2 = 0Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểmA(2;1;3),B(1;2;1) và song song với đường thẳngx td y tz t1: 23 2ìï = += íïî = .· Ta có BA = (1;3;2)uur, d có VTCP ur = (1;2;2) .Gọi nr là VTPT của (P) Þ n BAn uì í îr uurr r Þ chọn n = éëBA,uùû = (10;4;1)
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 1 TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): xyz –32–50 += . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). · (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT P nnAB ,(0;8;12)0 éù == ¹ ëû uuurr rr Þ Qyz ():23110 +-= . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2330 Pxyz (): +++= . ĐS: Qxyz ():220 -+-= Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB (2;1;3),(1;2;1) - và song song với đường thẳng xt dyt zt 1 :2 32 ì =-+ ï = í ï = î . · Ta có BA (1;3;2) = uur , d có VTCP u (1;2;2) =- r . Gọi n r là VTPT của (P) Þ nBA nu ì ^ í ^ î uur r rr Þ chọn nBAu ,(10;4;1) éù == ëû uur rr Þ Phương trình của (P): xyz 104190 -+-= . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d 1 () và d 2 () có phương trình: xyz d 1 112 (); 231 -+- ==, xyz d 2 413 (): 693 ==. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và d 2 () . · Chứng tỏ (d 1 ) // (d 2 ). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: xyzxyz 222 26420 ++-+ = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v (1;6;2) = r , vuông góc với mặt phẳng xyz ():4110 a ++-= và tiếp xúc với (S). · (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của () a là n (1;4;1) = r . Þ VTPT của (P) là: [ ] P nnv ,(2;1;2) ==- rrr Þ PT của (P) có dạng: xyzm 220 -++= . Vì (P) tiếp xúc với (S) nên dIP (,())4 = m m 21 3 é =- Û ê = ë . Vậy: (P): xyz 2230 -++= hoặc (P): xyz 22210 -+-= . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng xyz d 1 1 (): 123 + == và xyz d 2 14 (): 125 ==. Chứng minh rằng điểm Mdd 12 ,, cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. · d 1 qua M 1 (0;1;0) - và có u 1 (1;2;3) = r , d 2 qua M 2 (0;1;4) và có u 2 (1;2;5) = r . uu 12 ;(4;8;4)0 éù = ¹ ëû r rr , MM 12 (0;2;4) = uuuuuur Þ uuMM 1212 ;.0 éù = ëû uuuuuur rr Þ dd 12 , đồng phẳng. Gọi (P) là mặt phẳng chứa dd 12 , Þ (P) có VTPT n (1;2;1) =- r và đi qua M 1 nên có phương trình xyz 220 +-+= . Kiểm tra thấy điểm MP (1;–1;1)() Î . PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: xyz 33 221 == và mặt cầu (S): xyzxyz 222 22420 ++ += . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1) = r . (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT [ ] nui ,(0;1;2) ==- r rr Þ PT của (P) có dạng: yzD 20 -+= . (P) tiếp xúc với (S) Û dIPR (,()) = Û D 22 14 2 12 -+ = + Û D 325 -= Û D D 325 325 é =+ ê =- ë Þ (P): yz 23250 -++= hoặc (P): yz 23250 -+-= . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxy 222 2440 +++ = và mặt phẳng (P): xz 30 +-= . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (3;1;1) - vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT P n (1;0;1) = r . PT (Q) đi qua M có dạng: AxByCzABC 222 (3)(1)(1)0,0 -+-++=++¹ (Q) tiếp xúc với (S) Û dIQRABCABC 222 (,())43=Û-++=++ (*) QP QPnnACCA ()().00 ^Û=Û+=Û=- rr (**) Từ (*), (**) Þ BAABBAAB 2222 53287100 -=+Û-+= Û ABAB 274 =Ú=- · Với AB 2 = . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): xyz 2290 + = · Với AB 74 =- . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): xyz 47490 = Câu hỏi tương tự: a) Với Sxyzxyz 222 ():24450 ++-+-+= , PxyzM ():2650,(1;1;2) +-+= . ĐS: Qxyz ():2260 ++-= hoặc Qxyz ():1110250 -+-= . Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz 222 –242–30 ++++= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 3 = . · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0. Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz 222 222–10 +++-+= và đường thẳng xy d xz 20 : 260 ì = í = î . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 1 = . · (S) có tâm I (1;1;1) , bán kính R = 2. PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc 222 0(0) +++=++¹ . Chọn MNd (2;0;2),(3;1;0) -Î . Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 3 Ta có: MP NP dIPRr 22 () () (,()) ì Î ï Î í ï =- î Û abcabdab abcabdab ,2(),3(1) 177,2(),3(2) é ==-+= ê =-=-+= ë + Với (1) Þ (P): xyz 40 + = + Với (2) Þ (P): xyz 717540 -+-= Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng xyz 1 1 : 211 D - == - , xyz 2 1 : 111 D - == và mặt cầu (S): xyzxyz 222 –224–30 ++++= . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D 1 và D 1 . · (P): yz 3320 +++= hoặc (P): yz 3320 ++-= Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình xyzxyz 222 246110 ++-+ = và mặt phẳng ( a ) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( b ) song song với ( a ) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p 6 p = . · Do ( b ) // ( a ) nên ( b ) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6 p nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới ( b ) là h = Rr 2222 534 -=-= Do đó D D D D (loaïi) 222 2.12(2)3 7 4512 17 22(1) + + é =- =Û-+=Û ê = ë ++- Vậy ( b ) có phương trình xyz 22––70 += . Câu hỏi tương tự: a) yzxyzSx 22 246110 2 (): ++++ = , xyz ():22190 +-+= a , p 8 p = . ĐS: xyz ():2210 +-+= b PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 4 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): xyz 0 ++= và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: AxByCz 0 ++= (với ABC 222 0 ++¹ ). · Vì (P) ^ (Q) nên: ABC 1.1.1.0 ++= Û CAB = (1) · dMP (,())2 = Û ABC ABC 222 2 2 +- = ++ Û ABCABC 2222 (2)2() +-=++ (2) Từ (1) và (2) ta được: ABB 2 850 += Û B AB 0(3) 850(4) é = ê += ë · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): xz 0 -= · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): xyz 5830 -+= . Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : xyz 13 114 == và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4. · Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: axbyczb 20 +++= ( abc 222 0 ++¹ ) D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4) = r Ta có: abc P ab dAPd abc 222 40 () 5 4 (;()) ì ++= ï ì D + Û íí = = î ï ++ î P Û ac ac 4 2 ì = í =- î . · Với ac 4 = . Chọn acb 4,18 ==Þ=- Þ Phương trình (P): xyz 48160 -+-= . · Với ac 2 =- . Chọn acb 2,12 ==-Þ= Þ Phương trình (P): xyz 2240 +-+= . Câu hỏi tương tự: a) Với xyz Md 1 :;(0;3;2),3 114 D - ==-= . ĐS: Pxyz ():2280 + = hoặc Pxyz ():48260 -++= . Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng xt dyt z ():12 1 ì = ï =-+ í ï = î và điểm A (1;2;3) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. · (d) đi qua điểm M (0;1;1) - và có VTCT u (1;2;0) = r . Gọi nabc (;;) = r với abc 222 0 ++¹ là VTPT của (P) . PT mặt phẳng (P): axbyczaxbyczbc (0)(1)(1)00 -+++-=Û+++-= (1). Do (P) chứa (d) nên: unabab .0202 =Û+=Û=- rr (2) ( ) abcbc dAPbcbc abcbc 22 22222 3252 ,()3335235 5 -+++ =Û=Û=Û+=+ +++ ( ) bbccbccb 2 22 440202 Û-+=Û-=Û= (3) Từ (2) và (3), chọn b 1 =- Þ ac 2,2 ==- Þ PT mặt phẳng (P): xyz 2210 += . Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 5 Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm MNI (1;1;0),(0;0;2),(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . · PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc 222 0(0) +++=++¹ . Ta có: MP NP dIP () () (,())3 ì Î ï Î í ï = î Û abcabdab abcabdab ,2,(1) 57,2,(2) é =-=-=- ê ==-=- ë . + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): xyz 20 -++= + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): xyz 7520 +++= . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1;1;2) - , B (1;3;0) , C (3;4;1) - , D (1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). · PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc 222 0(0) +++=++¹ . Ta có: AP BP dCPdDP () () (,())(,()) ì Î ï Î í ï = î Û abcd abd bcdabcd abcabc 222222 20 30 3a42 ì -++= ï ++= ï í -++++++ = ï ï ++++ î Û bacada cabada 2,4,7 2,,4 é ===- ê ===- ë + Với bacada 2,4,7 ===- Þ (P): xyz 2470 ++-= . + Với cabada 2,,4 ===- Þ (P): xyz 240 ++-= . Câu hỏi tương tự: a) Với ABCD (1;2;1),(2;1;3),(2;1;1),(0;3;1) . ĐS: Pxyz ():427150 ++-= hoặc Pxz ():2350 +-= . Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A (1;2;3) , B (0;1;2) - , C (1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P () đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến P () bằng khoảng cách từ C đến P () . · Vì O Î (P) nên Paxbycz ():0 ++= , với abc 222 0 ++¹ . Do A Î (P) Þ abc 230 ++= (1) và dBPdCPbcabc (,())(,())2 =Û-+=++ (2) Từ (1) và (2) Þ b 0 = hoặc c 0 = . · Với b 0 = thì ac 3 =- Þ Pxz ():30 -= · Với c 0 = thì ab 2 =- Þ Pxy ():20 -= Câu hỏi tương tự: a) Với ABC (1;2;0),(0;4;0),(0;0;3) . ĐS: xyz 6340 -++= hoặc xyz 6340 -+= . Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) - , B (1;1;2) , C (1;2;2) và mặt phẳng (P): xyz 2210 -++= . Viết phương trình mặt phẳng () a đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IBIC 2 = . · PT () a có dạng: axbyczd 0 +++= , với abc 222 0 ++¹ Do A (1;1;1)() a -Î nên: abcd 0 +-+= (1); P ()() a ^ nên abc 220 -+= (2) IBIC 2 = Þ dBdC (,())2(;()) aa = Þ abcdabcd abcabc 222222 222 2 +++-+-+ = ++++ PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 6 abcd abcd 3360 (3) 5230 é -+-= Û ê -+-+= ë Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : TH1 : abcd abcbacada abcd 0 13 220;; 22 3360 ì +-+= ï -+=Û==-= í ï -+-= î . Chọn abcd 21;2;3 =Þ=-=-=- Þ () a : xyz 2230 = TH2 : abcd abcbacada abcd 0 33 220;; 22 5230 ì +-+= - ï -+=Û=== í ï -+-+= î . Chọn abcd 23;2;3 =Þ===- Þ () a : xyz 23230 ++-= Vậy: () a : xyz 2230 = hoặc () a : xyz 23230 ++-= Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng dd 12 , lần lượt có phương trình xyz d 1 223 : 213 ==, xyz d 2 121 : 214 == - . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng dd 12 , . · Ta có d 1 đi qua A(2;2;3) , có d u 1 (2;1;3) = r , d 2 đi qua B (1;2;1) và có d u 2 (2;1;4) =- r . Do (P) cách đều dd 12 , nên (P) song song với dd 12 , Þ Pdd nuu 12 ,(7;2;4) éù == ëû rrr Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: xyzd 7240 += Do (P) cách đều dd 12 , suy ra dAPdBP (,())(,()) = Û dd 7.22.24.37.12.24.1 6969 + + = ddd 3 21 2 Û-=-Û= Þ Phương trình mặt phẳng (P): xyz 144830 += Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng dd 12 , lần lượt có phương trình xt dyt z 1 1 :2 1 ì =+ ï =- í ï = î , xyz d 2 211 : 122 + == - . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d 1 và d 2 , sao cho khoảng cách từ d 1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d 2 đến (P). · Ta có : d 1 đi qua A (1;2;1) và có VTCP u 1 (1;1;0) =- r d 2 đi qua B (2;1;1) - và có VTCP là u 2 (1;2;2) =- r Gọi n r là VTPT của (P), vì (P) song song với d 1 và d 2 nên nuu 12 ,(2;2;1) éù == ëû rrr Þ Phương trìnht (P): xyzm 220 +++= . m ddPdAP 1 7 (,())(;()) 3 + == ; m ddPdBP 2 5 (,()) (,()) 3 + == ddPddP 12 (,())2(,()) = mm 72.5 Û+=+ mm mm 72(5) 72(5) é +=+ Û ê +=-+ ë mm 17 3; 3 Û=-=- + Với m 3 =- Þ Pxyz ():22–30 ++= + Với m 17 3 =- Þ Pxyz 17 ():22 0 3 ++-= Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Trang 7 Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A (0;1;2) - , B (1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): xyz 222 (1)(2)(1)2 -+-++= . · (S) có tâm I (1;2;1) - , bán kính R 2 = . PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc 222 0(0) +++=++¹ Ta có: AP BP dIPR () () (,()) ì Î ï Î í ï = î Û abcabdab abcabdab ,,23(1) 38,,23(2) é =-= =+ ê =-= =+ ë + Với (1) Þ Phương trình của (P): xy 10 = + Với (2) Þ Phương trình của (P): xyz 83570 += Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2;1;1) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. · Ta có dOPOA (,()) £ . Do đó dOPOA max (,()) = xảy ra OAP () Û^ nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2;1;1) =- uuur Vậy phương trình mặt phẳng (P): xyz 260 -+-= Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: xyz 11 213 == . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. · Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AHHI ³ Þ HI lớn nhất khi AI º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH uuur làm VTPT Þ (P): xyz 75770 + = . Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số { xtytzt 2;2;22 =-+=-=+ . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất. · Gọi (P) là mặt phẳng chứa D , thì Pd ()() P hoặc Pd ()() É . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IHIA £ và IHAH ^ . Mặt khác ddPdIPIH HP (,())(,()) () ì == í Î î Trong (P), IHIA £ ; do đó maxIH = IAHA Ûº . Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) ^ IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là ( ) nIA 6;0;3 ==- ruur , cùng phương với ( ) v 2;0;1 =- r . Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: xzxz 2(4)1.(1)290 += = . Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng xyz d 12 : 212 == và điểm A (2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc 222 0(0) +++=++¹ . (P) có VTPT nabc (;;) = r , d đi qua điểm M (1;0;2) và có VTCP u (2;1;2) = r . PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 8 Vì (P) É d nên MP nu () .0 ì Î í = î rr Þ acd abc 20 220 ì ++= í ++= î Þ cab dab 2(2) ì =-+ í =+ î . Xét 2 trường hợp: TH1: Nếu b = 0 thì (P): xz 10 -+= . Khi đó: dAP (,())0 = . TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b 1 = ta được (P): axyaza 22(21)220 +-+++= . Khi đó: dAP aa a 22 99 (,())32 845 13 22 22 ==£ ++ æö ++ ç÷ èø Vậy dAP max(,())32 = Û aa 11 20 24 +=Û=- . Khi đó: (P): xyz 430 -+-= . Câu hỏi tương tự: a) xyz dA 112 :,(5;1;6) 215 -+- == . ĐS: Pxyz ():210 +-+= b) xyz dA 12 :,(1;4;2) 112 -+ == - . ĐS: Pxyz ():5134210 +-+= Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M (0;1;2) - và N (1;1;3) - . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K (0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. · PT (P) có dạng: AxByCzAxByCzBC (1)(2)020 +++-=Û+++-= ABC 222 (0) ++¹ NPABCBCABC (1;1;3)()3202 -ÎÛ-+++-=Û=+ PBCxByCzBC ():(2)20 Þ++++-= ; dKP BCBC B (,()) 22 424 = ++ · Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) · Nếu B 0 ¹ thì B dKP BCBC C B 222 11 (,()) 2 424 212 ==£ ++ æö ++ ç÷ èø Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): xyz –30 ++= . Trn S Tựng PP to trong khụng gian Trang 9 Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng (): xyz 1 112 - == v to vi mt phng (P) : xyz 2210 += mt gúc 60 0 . Tỡm ta giao im M ca mt phng (a) vi trc Oz. ã () qua im A (1;0;0) v cú VTCP u (1;1;2) = r . (P) cú VTPT n (2;2;1) Â = r . Giao im Mm (0;0;) cho AMm (1;0;) =- uuuur . ( a ) cú VTPT nAMumm ,(;2;1) ộự ==- ởỷ uuurur r ( a ) v (P): xyz 2210 += to thnh gúc 60 0 nờn : ( ) nnmm mm 2 2 111 cos,2410 22 245 Â ==-+= -+ rr m 22 =- hay m 22 =+ Kt lun : M (0;0;22) - hay M (0;0;22) + Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao tuyn d ca hai mt phng xy ():210 = a , xz ():20 b = v to vi mt phng Qxyz ():2210 += mt gúc j m 22 cos 9 j = ã Ly ABd (0;1;0), (1;3;2) ẻ . (P) qua A ị PT (P) cú dng: AxByCzB 0 ++= . (P) qua B nờn: ABCB 320 ++= ị ABC (22) =-+ ị PBCxByCzB ():(22)0 -+++= BCBC BCBC 222 2222 22 cos 9 3(22) j + == +++ BBCC 22 13850 += . Chn CBB 5 11; 13 =ị==. + Vi BC 1 == ị Pxyz ():410 -++= + Vi BC 5 , 1 13 == ị Pxyz ():2351350 -++= . Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im AB (1;2;3),(2;1;6) v mt phng Pxyz ():230 ++-= . Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt phng (P) mt gúc a tho món 3 cos 6 a = . ã PT mt phng (Q) cú dng: axbyczdabc 222 0(0) +++=++ạ . Ta cú: AQ BQ () () 3 cos 6 a ỡ ẻ ù ẻ ù ớ ù = ù ợ abcd bcd abc abc 222 230 2a60 23 6 141 ỡ -+-+= ù += ù ớ ++ ù = ù ++++ ợ abcbdb abcdb 4,3,15 ,0, ộ =-=-=- ờ =-==- ở ị Phng trỡnh mp(Q): xyz 43150 -++= hoc (Q): xy 30 = . Cõu hi tng t: a) AB (0;0;1),(1;1;0) , POxy 1 ()(),cos 6 a =. S: (Q): xyz 210 -+-= hoc (Q): xyz 210 += . PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 10 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng xyz d xyz 30 : 240 ì ++-= í ++-= î . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 0 60 a = . · ĐS: Pxyz ():2220 ++ = hoặc Pxyz ():2220 += Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng Pxyz ():52510 -+-= và Qxyz ():48120 += . Lập phương trình mặt phẳng R () đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 0 45 = a . · Giả sử PT mặt phẳng (R): axbyczdabc 222 0(0) +++=++¹ . Ta có: RPabc ()()5250 ^Û-+= (1); · abc RQ abc 0 222 482 cos((),())cos45 2 9 =Û= ++ (2) Từ (1) và (2) Þ ac aacc ca 22 760 7 é =- +-=Û ê = ë · Với ac =- : chọn abc 1,0,1 ===- Þ PT mặt phẳng Rxz ():0 -= · Với ca 7 = : chọn abc 1,20,7 === Þ PT mặt phẳng Rxyz ():2070 ++= Câu hỏi tương tự: a) Với PxyzQOyzM 0 ():20,()(),(2;3;1),45 =º-= a . ĐS: Rxy ():10 ++= hoặc Rxyz ():534230 -+-= Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: xyz 1 111 : 113 D -+- == - và xyz 2 : 121 D == - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 D và tạo với 2 D một góc 0 30 = a . · Đáp số: (P): xyz 511240 +++= hoặc (P): xyz 220 = . Câu hỏi tương tự: a) Với xyz 1 2 : 111 D - == - , xyz 2 235 : 211 D + == - , 0 30 = a . ĐS: (P): xyz 2220 += hoặc (P): xyz 240 ++-= b) xyz 1 11 : 211 D -+ == - , xyz 2 21 : 111 D -+ == - , 0 30 = a . ĐS: (P): xyz (18114)21(152114)(3114)0 ++++ = hoặc (P): xyz (18114)21(152114)(3114)0 -++ += Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 00 45,30 . · Gọi nabc (;;) = r là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là ij (1;0;0),(0;1;0) == rr . Ta có: OxP OyP 2 sin(,()) 2 1 sin(,()) 2 ì = ï ï í ï = ï î Û ab cb 2 ì = í = î [...]... Cõu 38 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : Trang 12 Trn S Tựng PP to trong khụng gian Cõu 39 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): 2 x - y + z + 2 = 0 v im A(1;1; -1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A, vuụng gúc vi mt phng (Q) v to vi trc Oy mt gúc ln nht ã S: (P ) : y + z = 0 hoc ( P ) : 2 x + 5y + z - 6 = 0 Dng 5: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n tam giỏc Cõu 40 Trong. .. = 6 d = -2 ở ỷ 2 ị (Q) : x + y + z - 2 = 0 Cõu 43 Trong khụng gian to Oxyz, cho cỏc im A(3; 0;0), B(1;2;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A, B v ct trc Oz ti M sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng ã S: ( P ) : x + 2 y - 2z - 3 = 0 Trang 13 9 2 PP to trong khụng gian Trn S Tựng Dng 6: Cỏc dng khỏc v vit phng trỡnh mt phng Cõu 44 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua... - 2; -t ), AB = (2; -3; -4) Cõu 10 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng D : Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d Khi ú d ( B, d ) = BH Ê BA Vy d ( B, d ) ln nht bng BA uuur uuu r H A AM ^ AB AM AB = 0 2(-2 + 2t ) - 3(3t - 2) + 4t = 0 t = 2 x -1 y - 2 z +1 ị M(3;6; -3) ị PT ng thng d : = = 1 2 -1 Trang 17 PP to trong khụng gian Trn S Tựng Cõu 11 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;... ù H ẻ ( ABC ) ùa + 5b + 2c = 9 ùc = 1 ợ ợ ợ Do ng thng D nm trong (ABC) v vuụng gúc vi (d) nờn: r r ỡuD ^ nABC r r r ị uD = ộ nABC , ud ự = (12;2; -11) r r ớu ^ u ở ỷ d ợ D Vy phng trỡnh ng thng D : x - 2 y -1 z -1 = = 12 2 -11 Trang 16 Trn S Tựng PP to trong khụng gian Dng 2: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n mt ng thng khỏc Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng d cú phng x... r ộ AB, n ự = (1;7;11) Vy D : ù y = -1 + 7t AB ct (a ) ti K(6; -1;9) ; uD = ớ aỷ ở ù z = 9 + 11t ợ Trang 18 Trn S Tựng PP to trong khụng gian Cõu 14 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 mt phng (P), (Q) v ng thng (d) ln x -1 y z -1 = = Lp 2 1 1 phng trỡnh ng thng D nm trong (P) song song vi mt phng (Q) v ct ng thng (d) r r r r ã (P), (Q) ln lt cú VTPT l nP = (1; -2;1), nQ = (1; -3;3) ị ộ nP , nQ... 3ứ ố 3 3 3ứ Cõu hi tng t: 2 Trang 19 PP to trong khụng gian Trn S Tựng ỡx = t ù S: D : ớ y = -1 ùz = 4 + t ợ ỡx = 1 - t ù a) ( P ) : 2 x + y - 2 z + 9 = 0 , d : ớ y = -3 + 2t ùz = 3 + t ợ Cõu 17 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im D: A(3; -1;1) , ng thng x y -2 z = = , mt phng ( P ) : x y + z -5 = 0 Vit phng trỡnh ca ng thng d i 1 2 2 qua im A , nm trong ( P) v hp vi ng thng D mt gúc 450 r r... z-5 ã Vi N(3; 4; 5) ị Phng trỡnh ca D : = = 2 -3 1 ã Vi N(5; 2; 5) ị Phng trỡnh ca D : Cõu 19 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng ( a ): x + y - z - 1 = 0 , hai ng thng (D): x -1 y z x y z +1 = = , (DÂ): = = Vit phng trỡnh ng thng (d) nm -1 -1 1 1 1 3 Trang 20 Trn S Tựng PP to trong khụng gian trong mt phng ( a ) v ct (DÂ); (d) v (D) chộo nhau m khong cỏch gia chỳng bng 6 2 r r ã (a) cú... (D1) : = = 3 4 2 1 1 x - 3 y z +1 ã t = ị M(3;0; - 1) ị (D2 ) : = = 3 4 2 1 Trang 29 1 1 t= 9 3 PP to trong khụng gian Trn S Tựng Cõu 44 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x + y - z + 1 = 0 v ng thng: d: x - 2 y -1 z -1 = = Gi I l giao im ca d v (P) Vit phng trỡnh ca ng 1 -1 -3 thng D nm trong (P), vuụng gúc vi d sao cho khong cỏch t I n D bng h = 3 2 r r ã (P) cú VTPT nP = (1;1; -1) v... 6t - 9 6 (t - 4)2 + (t + 1)2 + (2t - 3)2 Trang 33 = 3 ộ t = -1 ờ 2 ởt = 4 PP to trong khụng gian Trn S Tựng ỡx = 5 + t uuu r ù + Vi t = -1 thỡ AB = (-5; 0; -5) ị d: ớ y = -1 ùz = 5 + t ợ uuu r + Vi t = 4 thỡ AB = (0;5;5) ị d: ỡx = 5 ù ớ y = -1 + t ùz = 5 + t ợ Cõu 54 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh chúp A.OBC, trong ú A(1; 2; 4), B thuc trc Ox v cú honh dng, C thuc Oy v cú tung dng Mt phng... ) = b) max(cos a ) = 2 2 5 9 x +1 y z +1 t = - ị Phng trỡnh ng thng d : = = 5 7 4 5 2 Trang 35 PP to trong khụng gian Trn S Tựng Dng 6: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n tam giỏc Cõu 59 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho D ABC vi ta nh C(3; 2; 3) v phng trỡnh ng cao AH, phng trỡnh ng phõn giỏc trong BD ln lt l: x -2 y -3 z-3 x -1 y - 4 z - 3 d1 : = = , d2 : = = Lp phng trỡnh ng thng cha 1 1 -2