Trang 1 Trang 2 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Tên đề tài: “Một số tính chất của nhóm siêu giải được” Giáo viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hoàng Xinh Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Anh – MSSV: 1040047 Đề tài nghiên cứu về một số tính chất của nhóm siêu giải được và ứng dụng của nó. Đây là đề tài cần có sự tổng hợp rất nhiều kiến thức về cấu trúc nhóm. Tác giả đề tài đã trình bày rất rõ và chứng minh chi tiết các tính chất của nhóm siêu giải được. Bên cạnh đó, đề tài còn nêu lên một số ứng dụng của nhóm siêu giải được cũng như những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn. Ngoài ra, tác giả còn đưa ra rất nhiều ví dụ, phản ví dụ và giải quyết gần 20 bài tập để có thể làm rõ các tính chất của nhóm siêu giải được. Có thể nói tác giả đề tài đã làm tròn công việc được giao. Luận văn gồm 75 trang được chia làm 5 chương, trong đó trọng tâm là chương 2, 3 và 4. Luận văn trình bày rõ ràng, đẹp. Tác giả đã làm việc nghiêm túc để hoàn thành công việc được giao. Luận văn có thể được sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm Toán và Toán tin. Với kết quả đạt được, tôi cho rằng luận văn của sinh viên Phạm Ngọc Anh xứng đáng là lu ận văn tốt nghiệp đại học. Giáo viên hướng dẫn ThS. Nguyễn Hoàng Xinh Trang 3 LỜI NÓI ĐẦU Sau thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Và nay, luận văn đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình và hướng dẫn trực tiếp của thầy Nguyễn Hoàng Xinh cùng với sự động viên, chia sẻ về mặt tinh thần và vật chất của gia đình và các bạn lớp Sư phạm Toán K30. Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn vẫn còn nhiếu thiếu sót, kính mong sự thông cảm của quý thầy cô và bạn đọc. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa. Sinh viên thực hiện Trang 4 MỤC LỤC Trang BẢNG KÝ HIỆU 1 PHẦN MỞ ĐẦU 2 PHẦN NỘI DUNG 4 Chương I. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm 4 1.2.Nhóm đơn 12 1.3.p-nhóm và nhóm strictly p-closed 12 1.4.Các định nghĩa 13 1.5.Nhóm giải được 17 1.6.Nhóm poly-P 18 1.7.Nhóm lũy linh 19 1.8.Nhóm con Frattini 25 1.9.Nhóm con Fitting 26 Chương II. Nhóm siêu giải được 30 Chương III. Một số ứng dụng của nhóm siêu giải được 46 Chương IV. Những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn 52 Chương V. Bài tập 63 PHẦN KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 Trang 5 BẢNG KÝ HIỆU C tập các số phức Z tập các số nguyên 1 phần tử đơn vị của nhóm nhân hoặc nhóm đơn vị GH ≤ H là nhóm con của nhóm G H < G H là nhóm con thực sự của nhóm G GH < H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G G/H nhóm thương của nhóm G trên H N G (H) chuẩn hóa tử của H trong G C G (H) tâm giao hoán của H trong G Z(G) tâm giao hoán của nhóm G [G:H] chỉ số của nhóm con H trong G G cấp của nhóm G b a a là ước của b H G lõi của H trong G H × K tích trực tiếp của nhóm H và nhóm K H char G H là nhóm con đặc trưng của nhóm G K H ≅ nhóm H đẳng cấu với nhóm K S nhóm sinh bởi tập S G' nhóm con các hoán tử của nhóm G )(G Φ nhóm con Frattini của nhóm G G)(F nhóm con Fitting của nhóm G AutG nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G S(X) nhóm các song ánh từ X tới X Syl p (G) tập tất cả các p-nhóm con Sylow của nhóm G L(G) tập tất cả các nhóm con của nhóm G L(H,G) tập tất cả các nhóm con của nhóm G chứa H S n nhóm đối xứng bậc n Trang 6 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đại số trước thế kỷ XIX được xem như một sự mở rộng của số học (dùng chữ để biểu thị các con số). Đến đầu thế kỷ XIX, các nhà Toán học bắt đầu chú ý đến sự tồn tại cấu trúc trong đại số học, chẳng hạn như luật giao hoán và luật kết hợp của các phép toán. Từ đó dẫn đến sự ra đời của lý thuyết nhóm. Tuy nhiên lý thuyết nhóm thật sự phát triển bởi Galois (1811-1832) là người đã chứng minh được rằng đa thức chỉ được hiểu một cách tốt nhất dưới sự kiểm tra của nhóm hoán vị các nghiệm của chúng. Kể từ đó, nhóm đã xuất hiện trong mọi lĩnh vực của Toán học và nó có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết số, hình học, tôpô, logic,… Lý thuyết nhóm ra đời đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của đại số. Một loạt các cấu trúc nhóm được xây dựng trên nền tảng của những tiên đề khác nhau nhưng nó vẫn đảm bảo tính nhất quán của hệ thống như nhóm thương, nhóm giao hoán, nhóm xyclic, nhóm polyxyclic, nhóm giải được, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh,…Đặc biệt có một nhóm được hình thành bằng cách nhúng nó vào nhóm xyclic bởi một dãy các nhóm con chuẩn tắc. Đó là nhóm siêu giải được. Lớp nhóm siêu giải được đặt giữa nhóm lũy linh hữu hạn sinh và nhóm polyxyclic hữu hạn sinh. Em nhận thấy nhóm siêu giải được là một nhóm còn khá mới đối với bản thân nói riêng và với sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Cần Thơ nói chung. Ngoài ra, được sự hướng dẫn và động viên của các thầy cô trong Bộ môn Toán – Khoa Sư phạm và đặc biệt là của thầy Nguyễn Hoàng Xinh nên em đã mạnh dạn chọn đề tài "Một số tính chất của nhóm siêu giải được" để làm luận văn tốt nghiệp toàn khóa. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thực hiện đề tài "Một số tính chất của nhóm siêu giải được", em hướng đến mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới đối với bản thân. Từ đó hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Với nền tảng những kiến thức đã có, em tổng hợp và xây dựng sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các loại nhóm khác. Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà Trang 7 đặc biệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung. III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Với khả năng và điều kiện có hạn, ở đề tài này em trình bày một cách tổng quan về tính chất của một số nhóm cơ bản trong lý thuyết nhóm như nhóm giải được, nhóm poly-P, nhóm lũy linh, điều kiện tối đại, tối tiểu, nhóm Frattini, nhóm Fitting và một số định lý quan trọng trong lý thuyết nhóm (được trình bày trong chương I). Chương II là nội dung chính của đề tài – nhóm siêu giải được và một số tính chất của nhóm siêu giải được, qua đó thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các nhóm: xyclic, giao hoán, giao hoán hữu hạn sinh, lũy linh, lũy linh hữu hạn sinh, polyxyclic và giải được. Chương III là một số ứng dụng của nhóm siêu giải được. Ngoài các tính chất của nhóm siêu giải được đã được trình bày ở chương II và chương III, một nhóm siêu giải được hữu hạn còn có thêm những tính chất khác giúp cho việc chứng minh một nhóm hữu hạn là nhóm siêu giải được đơn giản hơn. Trên cơ sở các tính chất của nhóm siêu giải được và những đặc trưng của nhóm hữu hạn, chương IV mô tả những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn. Trong chương V, em chứng minh một số tính chất và giải một số bài tập có liên quan đến nhóm siêu giải được để bổ sung và củng cố lý thuyết trình bày ở chương II chương III và chương IV. IV. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN Do đặc thù của một đề tài đại số lý thuyết nên trong quá trình thực hiện em đã sử dụng các phương pháp sau: - Tìm hiểu và tham khảo các tài liệu liên quan. - So sánh với các loại nhóm khác. - Phân tích, tổng hợp tìm ra những tính chất tương tự, cũng như những tính chất riêng. - Trình bày các khái niệm, định lý theo một hệ thống chặt chẽ, có logic. Trang 8 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm 1.1.1.Nhóm 1.1.1.1.Định nghĩa Nhóm là một tập hợp G khác rỗng cùng với phép toán hai ngôi ( * ) trên G thỏa các điều kiện sau: i) Với x, y, z ∈ G thì (x * y ) * z = x * (y * z) ii) Với mọi Gx ∈ , tồn tại phần tử e ∈ G sao cho x * e = e * x = x iii) Với mỗi x ∈ G, tồn tại phần tử x' ∈ G sao cho x * x' = x' * x = e Chú ý: Với (G, * ) là nhóm thì e được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G. Nếu ( * ) là phép cộng thì phần tử đơn vị được kí hiệu là 0, nếu ( * ) là phép nhân thì phần tử đơn vị được kí hiệu là 1 và x.y được viết là xy. 1.1.1.2.Định nghĩa Nhóm (G,.) được gọi là nhóm giao hoán nếu nó có tính chất giao hoán, tức là với mọi Gy x, ∈ ta có yx xy = . 1.1.2.Nhóm con 1.1.2.1.Định nghĩa Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. H được gọi là một nhóm con của G nếu H cùng với phép toán cảm sinh từ phép toán trong G tạo thành một nhóm. Kí hiệu là H ≤ G. Dễ thấy tập hợp chỉ gồm phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm con của G và được gọi là nhóm đơn vị. Kí hiệu là 1. Nếu H ≤ G, GH1,H ≠ ≠ thì H được gọi là nhóm con thực sự của G và được kí hiệu là H < G. 1.1.2.2.Định lý (về điều kiện tương đương với nhóm con) Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó các điều kiện sau tương đương: Trang 9 i) H ≤ G ii) Với mọi x, y ∈ H ta có    ∈ ∈ Hx Hxy 1- iii) Với mọi x, y ∈ H ta có xy -1 ∈ H 1.1.2.4.Định nghĩa Cho G là nhóm, H < G. i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N ≤ G sao cho H<N<G. ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠ 1 và không tồn tại K ≤ G sao cho 1<K<H. 1.1.3.Nhóm hữu hạn sinh 1.1.3.1.Định nghĩa Cho G là nhóm, S ⊂ G. i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi S và được kí hiệu là S . ii) Với H ≤ G, SH = . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của H. Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G. iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic. iv) Nếu S = {x 1 , x 2 ,…x n } thì n21 x, x,xS …= . Như vậy G là nhóm xyclic khi và chỉ khi tồn tại Ga ∈ sao cho aG = . 1.1.4.Lớp ghép – Cấp của phần tử 1.1.4.1.Định nghĩa Cho G là nhóm. Khi đó i) Cấp của G chính là lực lượng của G và ta kí hiệu là G . Nếu G là hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại, G được gọi là nhóm vô hạn. ii) Cấp của phần tử Ga ∈ là cấp của nhóm a và ta kí hiệu là a . Nếu a là hữu hạn thì a được gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử có cấp vô hạn. Trang 10 1.1.4.2.Định nghĩa Cho G là nhóm, H ≤ G, Ga ∈ . i) Tập { } Hh haHa ∈= được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H. ii) Tập { } Hh ah aH ∈= được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H. 1.1.4.3.Nhận xét Cho G là nhóm, H ≤ G. Khi đó, với mọi Ga ∈ ta có HHaaH == . (Ở đây ta hiểu aH là lực lượng của tập aH). 1.1.4.4.Định nghĩa Cho G là nhóm, H ≤ G. Chỉ số của H trong G là lực lượng của các lớp ghép và kí hiệu [G:H]. 1.1.4.5.Định lý Lagrăng Cho G là nhóm, K ≤ H ≤ G. Khi đó [ ] [ ] [ ] K:H K:G H:G = 1.1.4.6.Các hệ quả Cho G là nhóm. Khi đó i) Nếu G hữu hạn, H ≤ G thì [ ] H:G.HG = ii) Nếu H, K ≤ G và H, K hữu hạn thì KH K.H HK ∩ = iii) G = p là một số nguyên tố khi và chỉ khi 1G ≠ và G không có nhóm con thực sự. 1.1.4.7.Định lý Cho G là nhóm hữu hạn, H ≤ G. Nếu [G: H] là một số nguyên tố thì H là nhóm con tối đại của G. 1.1.5.Nhóm con chuẩn tắc 1.1.5.1.Định nghĩa Cho G là nhóm, H ≤ G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu với mọi Gx ∈ ta có xH Hx = . Kí hiệu là GH < . Ta gọi H là nhóm con chuẩn tắc thực sự của nhóm G nếu GH < và GH1,H ≠ ≠ . [...]... K/R là nhóm hữu hạn 1.5 .Nhóm giải được 1.5.1.Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Abel 1.5.2 .Tính chất i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được Trang 21 iii) Cho nhóm G, H < G Khi đó, G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G/H là các nhóm giải được iv) Tích trực tiếp của hữu hạn nhóm giải được là nhóm giải được v)... < G 1 < < G n -1 < G n = G với tất cả các nhân tử là nhóm xyclic được gọi là dãy siêu giải được của G G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được 2.2.Ví dụ i) Cho G là nhóm xyclic Khi đó G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là 1 < G ii) S3 là nhóm siêu giải được Thât vậy, ta chứng minh S3 có một dãy siêu giải được Đặt t1 = (1 2); t2 = (1 3); t3 = (2 3) s1 = (1 2 3);... hai nhóm con chuẩn tắc giải được của nhóm G thì HK là nhóm giải được 1.5.3.Định lý Mọi p -nhóm đều là nhóm giải được 1.5.4.Định lý Cho G là nhóm giải được hữu hạn Khi đó G có một dãy hợp thành với các nhân tử là nhóm có cấp nguyên tố 1.6 .Nhóm poly-P 1.6.1.Định nghĩa Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có tính chất P Nhóm. .. mọi nhóm con xyclic của A4 đều không chuẩn tắc trong A4 Do đó, A4 không có nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm xyclic Vậy A4 không là nhóm siêu giải được 2.3.Định lý Cho G là nhóm siêu giải được, H ≤ G, N < G Khi đó, H và G/N là nhóm siêu giải được Chứng minh G là nhóm siêu giải được ⇒ G có một dãy siêu giải được 1 = G 0 < G 1 < < G n -1 < G n = G ●Chứng minh H là nhóm siêu giải được: Ta xét dãy các nhóm. .. iii) Ảnh của một nhóm giao hoán là nhóm giao hoán iv) Ảnh của một nhóm xyclic là nhóm xyclic v) Ảnh của một nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh 1.1.6.4.Định lý Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xyclic là một nhóm giao hoán hữu hạn Đặc biệt, nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xyclic cấp p (với p là một số nguyên tố) là một nhóm giao hoán cấp p-1 1.1.6.5.Định lý Cho f : G → L là một đồng cấu nhóm Khi... đó, tính chất của nhóm poly-P và nhóm P-by-Q được bảo toàn qua phép đẳng cấu 1.6.5.Định lý Mọi nhóm polyxyclic là nhóm giải được Chứng minh Giả sử G là nhóm polyxyclic Khi đó G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là nhóm xyclic Trang 22 Suy ra G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là nhóm giao hoán Do đó G là nhóm giải được Vậy mọi nhóm polyxyclic là nhóm giải được 1.6.6.Nhận xét Một nhóm giải được. .. tính chất P Nhóm G được gọi là nhóm poly-P nếu nó có một dãy poly-P 1.6.2.Mệnh đề i) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian ii) G là nhóm polyxyclic nếu nó có một dãy polyxyclic 1.6.3.Định nghĩa Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm Nhóm G được gọi là nhóm P-byQ nếu có N < G sao cho N có tính chất P và G/N có tính chất Q 1.6.4.Nhận xét Tính chất P và Q của nhóm G được bảo toàn qua phép... là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G khi và chỉ khi G/H là nhóm đơn 1.3.p -nhóm và nhóm strictly p-closed 1.3.1.Định nghĩa Nếu G là nhóm cấp pn với n là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thì G được gọi là p -nhóm 1.3.2.Định nghĩa i) Nếu H là nhóm con của nhóm G và H là p -nhóm thì H được gọi là p -nhóm con của G ii) Nếu G là nhóm cấp mpn với (m,p) = 1 và H là nhóm con cấp pn của G thì H được gọi là p -nhóm. .. Các nhóm thương G i +1 G i ∀i = 0, n - 1 được gọi là các nhân tử của dãy 1.4.12.Định nghĩa i) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G nếu các số hạng của dãy đều là các nhóm con chuẩn tắc của G ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm giao hoán iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xyclic nếu tất cả các nhân tử của. .. Sylow của G iii) Với G là nhóm, ta gọi tập Sylp(G) là tập tất cả các p -nhóm con Sylow của G Trang 16 1.3.3.Định lý Sylow Cho G là nhóm hữu hạn, p G (p là một số nguyên tố) Khi đó i) Luôn tồn tại một p -nhóm con Sylow của G ii) Mọi p -nhóm con của G đều nằm trong một p -nhóm con Sylow nào đó iii) Nếu n là số các p -nhóm con Sylow của G thì n ≡ 1 (mod p) 1.3.4.Hệ quả Cho G là nhóm có cấp là mpn với p là một số . polyxyclic và giải được. Chương III là một số ứng dụng của nhóm siêu giải được. Ngoài các tính chất của nhóm siêu giải được đã được trình bày ở chương II và chương III, một nhóm siêu giải được hữu. Chương II là nội dung chính của đề tài – nhóm siêu giải được và một số tính chất của nhóm siêu giải được, qua đó thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các nhóm: xyclic, giao hoán, giao. chứng minh chi tiết các tính chất của nhóm siêu giải được. Bên cạnh đó, đề tài còn nêu lên một số ứng dụng của nhóm siêu giải được cũng như những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn. Ngoài