BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯƠNG MINH TUYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN CÁC ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN-NĂM 2013 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Bường GS TS Jong Kyu Kim Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp Đại học họp tại: vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Trung tâm học liệu Đại học Thái Ngun Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng toán chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci}i∈I khơng gian Hilbert H hay khơng gian Banach E" Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F ix(Ti), với F ix(Ti) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti, i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm Các kết nghiên cứu theo hướng trình bày cụ thể Chương luận án Ta biết rằng, T ánh xạ không giãn khơng gian Banach E, tốn tử A = I − T toán tử j-đơn điệu, với I toán tử đồng E Như vậy, tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti không gian Banach E đưa tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Đối với toán xác định khơng điểm tốn tử j-đơn điệu, phạm vi luận án đề cập đến số phương pháp giải tiếng cho lớp toán như: phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, số cải biên phương pháp điểm gần kề, bao gồm phương pháp điểm gần kề quán tính, phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Đối với tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình tốn tử với tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert, đặc biệt ý phương pháp hiệu chỉnh BrowderTikhonov G.S Nguyễn Bường (Buong N (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Compt Math and Math Phys., 46 (3), pp 372378) ông đặt vấn đề giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn trị đơn điệu, năng, h−liên tục từ không gian Banach E vào khơng gian đối ngẫu E ∗ Ơng quy tốn giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu cực đại việc giải phương trình tốn tử thu hội tụ mạnh thuật toán nghiệm toán tham số hiệu chỉnh chọn thích hợp Tiếp đó, năm 2008 GS Nguyễn Bường (Buong N (2008), "Regularization proximal point algorithm for unconstrained vector convex optimization problems", Ukrainian Mathematical Journal, 60 (9), pp 1483-1491) lần nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh, cho việc giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi, với ∂fi vi phân phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục yếu fi, i = 1, 2, , N không gian Hilbert H Mục đích luận án nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov số cải biên phương pháp điểm gần kề bao gồm phương pháp điểm gần kề Xu H K (Xu H.-K (2006), A regularization method for the proximal point algorithm, J Glob Optim 36 (1) (2006), pp 115-125) phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach, biến thể với tốn liên quan dựa tư tưởng thuật giải tác giả Buong Ng Chúng tiến hành nghiên cứu tính ổn định phương pháp giải thu theo hướng nghiên cứu Alber Y (Alber Y (2007), "On the stability of iterative approximatins to fixed points of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 328, pp 958-971) Cụ thể, luận án tập trung giải vấn đề sau: Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề theo hướng Xu H K cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach biến thể khác nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định phương pháp lặp thu theo hướng nghiên cứu Alber Y Nghiên cứu mở rộng kết Xu H K cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu từ không gian Hilbert lên không gian Banach trơn Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach biến thể nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh thu Nội dung luận án trình bày ba chương Chương có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học khơng gian Banach, tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử loại đơn điệu, tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn, tổng quan phương pháp giải biết cho lớp toán cuối số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh kết nghiên cứu đạt chương sau luận án Chương trình bày định lí hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề theo hướng nghiên cứu tác giả Buong N Xu H K cho toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu khơng gian Banach, tính ổn định phương pháp lặp thiết lập nghiên cứu Một số ứng dụng kết đạt cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert, tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach số ví dụ với tính tốn cụ thể trình bày cuối chương nhằm minh họa thêm cho kết nghiên cứu đạt Chương trình bày định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach với tính ổn định phương pháp Mục cuối chương này, đề cập đến số ứng dụng phương pháp lặp thu cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert, tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach, với ví dụ số nhằm minh họa thêm cho kết nghiên cứu đạt Chương Một số vấn đề chuẩn bị Chương luận án chương có tính chất chuẩn bị, nhằm trình bày kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu đạt chương sau luận án Cụ thể: Mục 1.1 đề cập số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn Ngồi mục chúng tơi cịn trình bày khái niệm tốn tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ không giãn với số tính chất chúng Mục 1.2 chương đề cập đến khái niệm tốn đặt khơng chỉnh, với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp toán loại Mục 1.3 Mục 1.4 chương trình bày sơ lược phương pháp điểm gần kề, phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử loại đơn điệu Mục 1.5 dành cho việc phát biểu tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn đặc biệt mục chúng tơi trình bày cách tổng quan phương pháp "cổ điển" xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn nói chung phương pháp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn nói riêng Mục 1.6 mục cuối chương này, trình bày số bổ đề quan trọng, thường xuyên sử dụng đến việc chứng minh kết nghiên cứu đạt chương sau luận án Trong chương sau luận án đề cập đến số phương pháp ổn định giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Chương Phương pháp điểm gần kề Chương này, chúng tơi trình bày kết nghiên cứu đạt hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn tốn xác định khơng điểm tốn tử m − j−đơn điệu khơng gian Banach, với số ứng dụng kết thu cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert tốn chấp nhận lồi không gian Banach 2.1 Phương pháp điểm gần kề cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Trước hết, ta xét toán sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N F ix(Ti) = ∅, i=1 (2.1) F ix(Ti) tập điểm bất động ánh xạ Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N Định lí 2.1 Giả sử E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N họ hữu hạn ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Nếu dãy {tn} ⊂ (0, 1) thỏa i=1 mãn điều kiện tn i) limn→∞ tn = 0, ∞ tn = ∞, limn→∞ = n=1 tn+1 ii) limn→∞ tn = 0, ∞ n=1 tn = ∞, ∞ n=1 |tn − tn+1| < +∞, dãy {xn} xác định N Ai(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ (2.2) i=1 hội tụ mạnh QS u, Ai = I − Ti, i = 1, 2, , N QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lí 2.2 Giả sử E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N họ hữu hạn ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Nếu dãy số i=1 {rn} ⊂ (0, +∞) {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞, dãy {xn} xác định N Ai(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ (2.3) rn i=1 hội tụ mạnh QS u, Ai = I − Ti, i = 1, 2, , N QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Tiếp theo mục này, đưa phương pháp lặp tương tự để giải toán tổng quát đây: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N F ix(Ti), i=1 (2.4) Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn, Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn E Định lí 2.3 Giả sử E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn E cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Cho {xn} dãy xác định i=1 N Bi(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ 0, (2.5) i=1 Bi = I − TiQCi , i = 1, 2, , N QCi : E −→ Ci ánh xạ co rút không giãn từ E lên Ci, i = 1, 2, , N Nếu dãy số {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0, ∞ n=1 tn = ∞, limn→∞ ii) limn→∞ tn = 0, ∞ n=1 tn = ∞, ∞ n=1 tn tn+1 = |tn − tn+1| < +∞, dãy {xn} hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lí 2.4 Giả sử E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn E cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Cho {xn} dãy xác định i=1 N Bi(xn+1)+xn+1 = tnu+(1−tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ 0, (2.6) rn i=1 Bi = I − TiQCi , i = 1, 2, , N QCi : E −→ Ci ánh xạ co rút không giãn từ E lên Ci, i = 1, 2, , N Nếu dãy số {rn} ⊂ (0, +∞) {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞, dãy {xn} hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Cuối mục đề xuất số phương pháp giải toán sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N F ix(Ti), i=1 (2.7) Ti : Ci −→ E, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E Định lí 2.5 Giả sử E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ E, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Cho {xn} dãy xác định i=1 N fi(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ 0, (2.8) i=1 11 Tiếp theo, chúng tơi thiết lập tính ổn định phương pháp lặp (2.6) dạng sau N Bin(zn+1)+zn+1 = tnu+(1−tn)zn, u, z0 ∈ E, n ≥ 0, (2.12) rn i=1 Bin = I − TinQCin , i = 1, 2, , N QCin : E −→ Cin co rút không giãn theo tia từ E lên Cin, i = 1, 2, , N Định lí 2.8 Giả sử E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn E cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa i=1 mãn dãy số {rn}, {δn} {tn} thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞; iii) ∞ n=0 rnξ(a hE (δn)) < +∞ với a > 0, dãy {zn} xác định (2.12) hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ánh co rút không giãn theo tia từ E lên S 2.3 Phương pháp điểm gần kề tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu Cho E không gian Banach trơn A : D(A) ⊆ E −→ toán tử m − j−đơn điệu với S = A−1(0) = ∅ Chúng nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp ẩn {xn} xác định bởi: u, x0 ∈ E, E rnA(xn+1) + xn+1 tnu + (1 − tn)xn, n ≥ 0, (2.13) {tn} ⊂ (0, 1) {rn} ⊂ (0, +∞) Trước hết ta có định lí sau: Định lí 2.9 Cho E khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào 12 ∗ E E Cho A : D(A) ⊆ E −→ toán tử m−j−đơn điệu với S = A−1(0) = ∅ Nếu dãy số {rn} ⊂ (0, +∞) {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn ∞ n=0 tn i) limn→∞ tn = 0; = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞, dãy {xn} xác định (2.13) hội tụ mạnh QS u, QS ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Với giả thiết khác đặt lên dãy số {rn} {tn}, ta nhận hội tụ mạnh dãy {xn} Điều khẳng định định lí đây: Định lí 2.10 Cho E khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2E toán tử m−j−đơn điệu với S = A−1(0) = ∅ Nếu dãy số {rn} ⊂ (0, +∞) {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn ∞ n=0 tn i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 ii) inf rn = r > 0, n = +∞, ∞ |tn+1 − tn| < +∞; n=0 rn 1− < +∞, rn+1 dãy {xn} xác định (2.13) hội tụ mạnh QS u, QS ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phương pháp lặp (2.13) dạng rnAn(zn+1) + zn+1 tnu + (1 − tn)zn, u, z0 ∈ E, n ≥ 0, (2.14) An : D(An) ⊆ E −→ 2E toán tử m − j−đơn điệu với D(An) = D(A) cho H(An(x), A(x)) ≤ g( x )hn, (2.15) g hàm thực bị chặn (ảnh tập bị chặn qua g tập bị chặn) với t ≥ với g(0) = {hn} dãy số dương Ta có kết sau: 13 Định lí 2.11 Cho E khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2E An : D(An) ⊆ E −→ 2E toán tử m − j−đơn điệu với S = A−1(0) = ∅ D(A) = D(An) với n Nếu điều kiện (2.15) thỏa mãn dãy số {rn} ⊂ (0, +∞), {tn} ⊂ (0, 1) chọn cho i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞; ∞ n=1 iii) rnhn < +∞, dãy {zn} xác định (2.14) hội tụ mạnh QS u, QS ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lí 2.12 Cho E khơng gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2E An : D(An) ⊆ E −→ 2E toán tử m − j−đơn điệu với S = A−1(0) = ∅ D(A) = D(An) với n Nếu điều kiện (2.15) thỏa mãn dãy số {rn} ⊂ (0, +∞), {tn} ⊂ (0, 1) chọn cho i) limn→∞ tn = 0; ii) inf rn = r > 0, n iii) ∞ n=1 = +∞, ∞ |tn+1 − tn| < +∞; n=0 rn 1− < +∞; rn+1 ∞ n=0 tn ∞ n=0 rnhn < +∞, dãy {zn} xác định (2.14) hội tụ mạnh QS u, QS ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S 2.4 Ứng dụng 2.4.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Trước hết, mục đề cập đến ứng dụng phương pháp lặp trình bày Mục 2.1 cho việc giải 14 tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert Xét tốn sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N F ix(fi) = ∅, i=1 (2.16) fi : Ci −→ Ci ánh xạ ki−giả co chặt từ tập lồi, đóng Ci khơng gian Hilbert H vào Ci với i = 1, 2, , N Với i, đặt Ti = (1 − t)I + tfi Fi = I − TiPCi , < t ≤ mini=1,2, ,N {1 − ki} PCi phép chiếu mêtric từ H lên Ci Khi đó, Ti ánh xạ khơng giãn từ Ci vào tốn (2.16) tương đương với toán sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N F ix(Ti) = ∅ i=1 (2.17) Từ Định lí 2.1 Định lí 2.2, ta có kết sau: Định lí 2.13 Nếu dãy số {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện tn i) limn→∞ tn = 0, ∞ tn = ∞, limn→∞ = n=1 tn+1 ∞ n=1 tn ii) limn→∞ tn = 0, = ∞, ∞ n=1 |tn − tn+1| < +∞, dãy {xn} xác định N Fi(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ H, n ≥ (2.18) i=1 hội tụ mạnh PS u, PS phép chiếu mêtric từ H lên S Định lí 2.14 Nếu dãy số {rn} ⊂ (0, +∞) {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞, dãy {xn} xác định phương trình N Fi(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ H, n ≥ (2.19) rn i=1 hội tụ mạnh PS u, PS phép chiếu mêtric từ H lên S 15 2.4.2 Bài toán chấp nhận lồi Xét toán chấp nhận lồi sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N Si = ∅, i=1 (2.20) Si, i = 1, 2, , N tập lồi, đóng co rút khơng giãn khơng gian Banach lồi trơn E S tập co rút không giãn theo tia E Gọi QSi ánh xạ co rút không giãn từ E lên Si, i = 1, 2, , N Rõ ràng ta có F ix(QSi ) = Si, i = 1, 2, , N Do đó, tốn (2.20) tương đương với tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti = QSi , i = 1, 2, , N Từ Định lí 2.1 Định lí 2.2, ta có kết sau: Định lí 2.15 Nếu dãy số {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện tn i) limn→∞ tn = 0, ∞ tn = ∞, limn→∞ = n=1 tn+1 ∞ n=1 tn ii) limn→∞ tn = 0, = ∞, ∞ n=1 |tn − tn+1| < +∞, dãy {xn} xác định N Ai(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ (2.21) i=1 hội tụ mạnh QS u, Ai = I − QSi , i = 1, 2, , N QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lí 2.16 Nếu dãy số {rn} ⊂ (0, +∞) {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0; ∞ n=0 tn = +∞; ii) limn→∞ rn = +∞, dãy {xn} xác định N Ai(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ (2.22) rn i=1 hội tụ mạnh QS u, Ai = I − QSi , i = 1, 2, , N QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Chương này, chúng tơi trình kết nghiên cứu đạt hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho toán xác định điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn, với số ứng dụng phương pháp hiệu chỉnh cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt không gian Hilbert tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach 3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Trước hết, mục ta xét toán sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = ∩N F ix(Ti) = ∅, i=1 (3.1) F ix(Ti) tập điểm bất động ánh xạ Ti : C −→ C, i = 1, 2, , N C tập lồi, đóng co rút không giãn theo tia không gian Banach E Chúng xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh dạng N Ai(xn) + αn(xn − y) = 0, i=1 16 (3.2) 17 N Ai(un+1) + αn(un+1 − y)) cn ( (3.3) i=1 + un+1 = QC (un + γn(un − un−1)), tương ứng, y, u0, u1 ∈ C, Ai = I − Ti, i = 1, 2, , N QC : E −→ C ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C để giải toán (3.1) Trước hết, ta có định lí sau: Định lí 3.1 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút không giãn theo tia E cho Ti : C −→ C, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Khi đó, i=1 i) với αn > phương trình (3.2) có nghiệm xn; ii) dãy số dương {αn} thỏa mãn điều kiện limn→∞ αn = 0, {xn} hội tụ mạnh QS y, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Hơn nữa, ta có đánh giá sau xn+1 − xn ≤ |αn+1 − αn| R0 ∀n ≥ 0, αn (3.4) R0 = y − QS y Định lí 3.2 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút không giãn theo tia E cho Ti : C −→ C, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Nếu dãy số i=1 {cn}, {αn} {γn} thỏa mãn i) < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, |αn+1 − αn| → 0, αn −1 ii) γn ≥ 0, γnαn un − un−1 −→ 0, ∞ n=0 αn = +∞; 18 dãy {un} xác định (3.3) hội tụ mạnh QS y, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Hệ 3.1 Cho E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ cho {un} dãy xác định i=1 N Ai(un+1) + αnun+1) + un+1 = un + γn(un − un−1), u0, u1 ∈ E cn ( i=1 Khi đó, dãy số {cn}, {αn} {γn} thỏa mãn điều kiện i) < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, |αn+1 − αn| → 0, αn ∞ n=0 αn = +∞; −1 ii) γn ≥ 0, γnαn un − un−1 → 0, dãy {un} hội tụ mạnh QS θ, QS : E −→ S co rút không giãn theo tia từ E lên S Hệ 3.2 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút không giãn theo tia E, Ti : C −→ E, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ cho {un} dãy i=1 xác định N Bi(un+1) + αn(un+1 − y)) cn ( (3.5) i=1 + un+1 = QC (un + γn(un − un−1)), với y, u0, u1 ∈ C Khi đó, dãy số {cn}, {αn} {γn} thỏa mãn điều kiện i) < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, |αn+1 − αn| → 0, αn ∞ n=0 αn = +∞; 19 ii) γn ≥ 0, −1 γn αn un − un−1 → 0, dãy {un} hội tụ mạnh QS y, Bi = I − QC Ti, i = 1, 2, , N , QC co rút không giãn theo tia từ E lên C, QS co rút không giãn theo tia từ E lên S Tiếp theo, đưa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh tương tự để giải tốn (2.4) Định lí 3.3 Giả sử E không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn E cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Nếu dãy số dương {αn} hội tụ khơng, i=1 dãy {xn} xác định N Bi(xn) + αnxn = (3.6) i=1 hội tụ mạnh QS θ, Bi = I − TiQCi , i = 1, 2, , N , QCi co rút không giãn theo tia từ E lên Ci, QS co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lí 3.4 Giả sử E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn E, Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ cho {un} dãy xác định i=1 N Bi(un+1) + αnun+1) + un+1 = un + γn(un − un−1), cn ( (3.7) i=1 với u0, u1 ∈ E Khi đó, dãy số {cn}, {αn} {γn} thỏa mãn điều kiện i) < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, |αn+1 − αn| → 0, αn −1 ii) γn ≥ 0, γnαn un − un−1 −→ 0, ∞ n=0 αn = +∞; 20 dãy {un} hội tụ mạnh QS θ, Bi = I − TiQCi , i = 1, 2, , N , QCi co rút không giãn từ E lên Ci, QS co rút không giãn theo tia từ E lên S 3.2 Tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Trong mục chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh (3.2) (3.3) toán tử Ti miền xác định C thỏa mãn điều kiện nhiễu đây: (A1) Đối với miền xác định C, tồn dãy tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia Cn ⊂ E, n = 1, 2, 3, cho H(Cn, C) ≤ δn, {δn} dãy số dương thỏa mãn tính chất δn+1 ≤ δn, ∀n ≥ (3.8) (A2) Trên tập Cn, tồn ánh xạ không giãn Tin : Cn −→ Cn, i = 1, 2, , N thỏa mãn điều kiện: tồn hàm dương g(t) ξ(t) tăng với t > cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = x ∈ Ck , y ∈ C, x − y ≤ δ, Tik x − Tiy ≤ g(max{ x , y })ξ(δ) (3.9) Chúng tơi thiết lập tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (3.2) phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (3.3) dạng N An(zn) + αn(zn − QCn y) = 0, i (3.10) i=1 N An(un+1) + αn(un+1 − QCn y)) + un+1 i cn ( i=1 (3.11) = QCn (un + γn(un − un−1)), tương ứng, u0, u1, y phần tử thuộc E, An = I − i n Ti , i = 1, 2, , N , QCn : E −→ Cn ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên Cn 21 Định lí 3.5 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút khơng giãn theo tia E cho Ti : C −→ C, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Khi đó, i=1 i) với αn > phương trình (3.10) có nghiệm zn; ii) điều kiện (A1) (A2) thỏa mãn dãy số dương {αn}, {δn} thỏa mãn αn −→ 0, δn + ξ(δn) −→ 0, n −→ ∞, αn (3.12) dãy {zn} xác định (3.10) hội tụ mạnh QS (QC y), QS : E −→ S co rút không giãn theo tia từ E lên S Hơn nữa, thêm điều kiện {αn} dãy giảm, ta có đánh giá sau zn+1 − zn ≤ 4δn + K δn + ξ(2δn) αn − αn+1 + R αn αn (3.13) + K3 LK4 hE (δn), ∀n ≥ 0, R, K, K3, K4 số Tiếp theo tính ổn định hội tụ phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (3.11) cho định lí sau: Định lí 3.6 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút không giãn theo tia E cho Ti : C −→ C, i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn với S = ∩N F ix(Ti) = ∅ Nếu điều i=1 kiện (A1) (A2) thỏa mãn dãy số {αn}, {δn}, {cn} {γn} thỏa mãn αn − αn+1 i) αn 0, −→ 0, n −→ ∞, ∞ αn = +∞, n=1 αn 22 δn + ξ(2δn) −→ 0, αn ii) hE (δn) −→ 0, n −→ ∞, αn −1 iii) < c0 < cn, γn ≥ 0, γnαn un − un−1 −→ 0, n −→ ∞, dãy {un} xác định (3.11) hội tụ mạnh QS (QC y), QS : E −→ S co rút không giãn theo tia từ E lên S 3.3 Ứng dụng 3.3.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt Tương tự Mục 2.4.1 Chương 2, mục đề cập đến ứng dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh trình bày Mục 3.1 cho việc giải tốn (2.16) Từ Định lí 3.3 Định lí 3.4 ta có kết sau: Định lí 3.7 Nếu dãy số dương {αn} thỏa mãn limn→∞ αn = 0, dãy {xn} xác định N Fi(xn) + αnxn = 0, n ≥ 0, (3.14) i=1 hội tụ mạnh PS θ, PS phép chiếu mêtric từ H lên S Định lí 3.8 Cho {un} dãy xác định u0, u1 ∈ H N cn Fi(un+1) + αnun+1 i=1 (3.15) + un+1 = un + γn(un − un−1), n ≥ Nếu dãy số {cn}, {αn} {γn} thỏa mãn điều kiện |αn+1 − αn| i) < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, → 0, ∞ αn = +∞; n=0 αn −1 ii) γn ≥ 0, γnαn un − un−1 → 0, dãy {un} hội tụ mạnh nghiệm chuẩn tắc PS θ tốn (2.16), PS phép chiếu mêtric từ H lên S 23 3.3.2 Bài toán chấp nhận lồi Tương tự Mục 2.3.2 Chương 2, mục đề cập đến ứng dụng phương pháp hiệu chỉnh (3.2) (3.3) để tìm nghiệm tốn (2.20) Ta có định lí sau: Định lí 3.9 Nếu dãy số dương {αn} thỏa mãn limn→∞ αn = 0, dãy {xn} xác định N Bi(xn) + αnxn = 0, n ≥ 0, (3.16) i=1 hội tụ mạnh nghiệm chuẩn tắc QS θ tốn (2.20), Bi = I − QSi , i = 1, 2, , N , QS ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Định lí 3.10 Cho {un} dãy xác định u0, u1 ∈ E N cn Bi(un+1) + αnun+1 (3.17) i=1 + un+1 = un + γn(un − un−1), n ≥ Nếu dãy số {cn}, {αn} {γn} thỏa mãn điều kiện i) < c0 < cn, αn > 0, αn → 0, |αn+1 − αn| → 0, αn ∞ n=0 αn = +∞; −1 ii) γn ≥ 0, γnαn un − un−1 → 0, dãy {un} hội tụ mạnh nghiệm chuẩn tắc QS θ toán (2.20), Bi = I − QSi , i = 1, 2, , N , QS co rút không giãn theo tia từ E lên S 24 KẾT LUẬN Luận án đề cập đến vấn đề sau: - Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach - Nghiên cứu thiết lập điều kiện đảm bảo tính ổn định phương pháp thu - Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach Đưa ví dụ số cụ thể minh họa cho kết thu Kết đạt luận án bao gồm: - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc - Đưa chứng minh định lí hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh cho tốn xác định khơng điểm tốn tử m-j-đơn điệu không gian Banach trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc - Nghiên cứu thiết lập giả thiết đảm bảo cho tính ổn định phương pháp giải - Đưa số ứng dụng phương pháp hiệu chỉnh thu cho việc giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert, tốn chấp nhận lồi khơng gian Banach trường hợp đặc biệt tốn chấp nhận lồi, tốn giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Kim J K., T M Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52) Tuyen T M (2012), "Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Optim Theory Appl., 152, pp 351-365 Hang N T., Tuyen T M (2012), "A note on the paper: Regularization proximal point algorithm for common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Optim Theory Appl., 155, pp 723-725 Tuyen T M (2012), "A Regularization proximal point algorithm for zeros of accretive operators in Banach spaces", Afr Diaspora J Math., 13 (2), pp 62-73 Tuyen T M (2012), "An other approach for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J Nonl Anal Optim., (2), pp 207-220 ... tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt khơng gian Hilbert tốn chấp nhận lồi không gian Banach 2.1 Phương pháp điểm gần kề cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không. .. bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn đặc biệt mục chúng tơi trình bày cách tổng quan phương pháp "cổ điển" xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn nói chung phương pháp tìm điểm bất động chung. .. luận án Trong chương sau luận án đề cập đến số phương pháp ổn định giải tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Chương Phương pháp điểm gần kề Chương này, chúng