ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— TRẦN THỊ HỒNG MINH TÔPÔ I-ADIC TRÊN VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Giới hạn ngược của hệ các môđun . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Topo I-adic trên vành Noether 19 2.1 Lọc môđun, vành phân bậc liên kết và vành Rees . . . . . . 19 2.2 Định lí Artin-Rees và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Đầy đủ I-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Vành địa phương và đầy đủ m-adic . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, khoa Giáo dục Trung học cơ sở - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho R là một vành giao hoán, I là một iđêan của R. Mục đích của luận văn là nghiên cứu tôpô I-adic xác định trên vành R bởi iđêan I. Đặc biệt, chúng tôi xem xét trong trường hợp vành R là Noether địa phương. Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên cuốn bài giảng của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường [1] và hai cuốn tài liệu tham khảo chính của các tác giả M. F. Atiyal and I. G. Macdonald [4] và của D. Northcott [3]. Với mục đích tìm hiểu về tôpô I-adic trên vành Noether, đặc biệt là vành Noether địa phương và các tính chất của đầy đủ I-adic. Tôi đã lựa chọn đề tài "Tôpô I-adic trên vành Noether" làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ. Luận văn gồm 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở như định nghĩa và các tính chất về vành và môđun Noether; Giới hạn ngược của hệ các môđun và các tính chất của nó, đặc biệt là tính chất khớp. Định nghĩa và các tính chất về vành và môđun phân bậc được đưa ra ở phần cuối chương. Đây là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tôpô I-adic trên vành Noether. Phần đầu chương trình bày định nghĩa và các tính chất về lọc môđun; Vành phân bậc liên kết và vành Rees; Định lý Artin - Rees và các hệ quả. Phần tiếp theo chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về tôpô I-adic trên vành Noether. Chúng tôi 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sẽ chỉ ra rằng: Đầy đủ I-adic của một vành Noether là Noether. Phần cuối của chương là trình bày về một số tính chất của vành đầy đủ m-adic ˆ R trên một vành Noether địa phương (R, m). Trong quá trình trình bày luận văn, tác giả đã cố gắng chứng minh chi tiết một số vấn đề còn trình bày vắn tắt trong các tài liệu trên. Một số ví dụ và bài tập minh họa cũng được tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho những nội dung được trình bày. Vì điều kiện thời gian, năng lực và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của các quý thầy cô và các bạn học viên cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011. Tác giả TRẦN THỊ HỒNG MINH 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành và môđun Noether Mục này chúng tôi trình bày định nghĩa cùng một số tính chất của vành và môđun Noether. Những vấn đề này là cơ sở để chúng ta nghiên cứu tôpô I - adic trên vành Noether ở mục sau. Định lý 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có một phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng các môđun con của M M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ đều dừng, nghĩa là tồn tại m để M k = M m , ∀k ≥ m. (iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh. (i)⇒(ii): Lấy tuỳ ý một dãy tăng các R-môđun con của môđun M M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gọi F là tập tất cả các phần tử của dãy này. Bởi (i), tập này có phần tử cực đại M m với m nào đó. Khi đó ta có M k = M m với mọi k ≥ m hay dãy trên là dừng. (ii)⇒(iii): Giả sử trái lại, tồn tại một môđun con N của M không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần tử x 1 , x 2 , , x n , sao cho nếu đặt M m = m  i=1 Rx i thì M j ⊂ M j+1 với mọi j ≥ 1. Ta sẽ nhận được một dãy tăng vô hạn mà không dừng M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊂ M n ⊆ các môđun con của M, mâu thuẫn với (ii). (iii)⇒(i): Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M. Vì S là một tập khác rỗng, nên ta chọn được một môđun con M 1 ∈ S. Khi đó nếu M 1 không phải là một phần tử cực đại trong S thì sẽ tồn tại M 2 thực sự chứa M 1 . Lặp lại luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một dãy tăng vô hạn M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ không dừng các môđun con của M. Dễ thấy rằng khi đó N = ∪ i≥1 M i là một môđun con của M, nên N là một môđun hữu hạn sinh. Giả sử {x 1 , x 2 , , x m } là một hệ sinh của N. Vì dãy các môđun nhận được là một dãy tăng nên tồn tại k để x 1 , x 2 , , x m ∈ M k . Khi đó N = m  i=1 Rx i ⊆ M k , do vậy M k = N, và như thế thì dãy trên bị dừng bắt đầu tại vị trí thứ k (mâu thuẫn). Vậy trong S phải có một phần tử cực đại. Định nghĩa 1.1.2. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó, một R-môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thoả mãn một trong các 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện tương đương trong Định lý 1.1.1. Vành R là một vành Noether nếu nó là một R-môđun Noether. Từ Định nghĩa trên ta dễ dàng có nhận xét sau. Nhận xét 1.1.3. Vì một tập con khác rỗng của R là một R-môđun con của R-môđun R nếu và chỉ nếu nó là một iđêan của R, nên R là một vành Noether khi và chỉ khi R thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương sau đây. (i) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại. (ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R I 1 ⊆ I 2 ⊆ ⊆ I n ⊆ đều dừng, nghĩa là tồn tại m để I k = I m , ∀k ≥ m. (iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. Ví dụ 1.1.4. (a) Vành các số nguyên Z là vành Noether, vì mọi iđêan của nó đều là iđêan chính nên nó hữu hạn sinh. Tổng quát, mọi vành chính đều là vành Noether. (b) Một trường là vành Noether vì nó có hữu hạn iđêan. (c) Một không gian véctơ là một môđun Noether nếu và chỉ nếu nó hữu hạn chiều. (d) Vành đa thức vô hạn biến trên vành giao hoán R khác không, R [x 1 , x 2 , ] không phải là một vành Noether, vì có dãy tăng vô hạn các iđêan của R [x 1 , x 2 , ] (x 1 ) ⊂ (x 1 , x 2 ) ⊂ ⊂ (x 1 , x 2 , , x n ) ⊂ Định lý 1.1.5. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R-môđun 0 → M  → M → M  → 0. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu M  và M  là các môđun Noether. Chứng minh. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng M  là một R-môđun con của M và M  = M/M  . Giả sử M là môđun Noether. Vì mọi xích tăng các môđun con của M  cũng là xích tăng trong M, nên M  là Noether. Cho N 1 ⊆ N 2 ⊆ ⊆ N n ⊆ là một dãy tăng các môđun con của M  . Khi đó, tồn tại dãy tăng các môđun con M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ của M sao cho N n = M n /M  , ∀n. Suy ra tồn tại k ∈ N để M n = M k , ∀n ≥ k, tức N n = N k , ∀n ≥ k và do đó M  là Noether. Ngược lại, cho M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n ⊆ là một xích tăng tuỳ ý các môđun con của M. Khi đó ta nhận được các xích tăng các môđun con M 1 ∩ M  ⊆ M 2 ∩ M  ⊆ ⊆ M n ∩ M  ⊆ của M  và (M 1 + M  ) /M  ⊆ (M 2 + M  ) /M  ⊆ ⊆ (M n + M  ) /M  ⊆ của M/M  . Theo giả thiết tồn tại một số tự nhiên k sao cho M n ∩ M  = M k + M  và (M n + M  ) /M  = (M k + M  ) /M  , ∀n ≥ k. Từ đây ta dễ dàng suy ra M n = M k , ∀n ≥ k, tức M là Noether. Sau đây là các hệ quả suy ra trực tiếp từ Định lý 1.1.5. Hệ quả 1.1.6. Vành thương của một vành Noether là Noether. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ quả 1.1.7. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun Noether là một R-môđun Noether. Hệ quả tiếp theo nói lên mối quan hệ giữa môđun hữu hạn sinh và môđun Noether. Hệ quả 1.1.8. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether là một R-môđun Noether. Tính Noether của một môđun được bảo tồn qua địa phương hoá, thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.9. Nếu M là một R-môđun Noether và S là tập đóng nhân trong R thì S −1 M là một S −1 R-môđun Noether. Trong trường hợp M = R, ta có kết quả sau. Hệ quả 1.1.10. Nếu R là một vành Noether và S là tập đóng nhân trong R thì S −1 R là một vành Noether. Sau đây là một kết quả đặc sắc của Hilbert về vành Noether. Định lý 1.1.11. (Định lý cơ sở Hilbert) Vành đa thức một biến R [x] lấy hệ tử trên vành Noether R là một vành Noether. Chứng minh. Cho R là một vành Noether, để chứng minh R [x] là vành Noether, ta sẽ chỉ ra rằng mọi iđêan khác không của nó là hữu hạn sinh. Cho I là một iđêan khác không tuỳ ý của R [x]. Xét tập hợp con của R I 0 =  a ∈ R   ∃f ∈ I : f = ax m + a 1 x m−1 + + a m  . Nói cách khác I 0 là tập tất cả các hệ số cao nhất của các đa thức thuộc I. Dễ dàng kiểm tra được rằng I 0 là một iđêan của R. Vì R là vành Noether nên I 0 là hữu hạn sinh. Giả sử I 0 = (a 1 , , a n ) , a i ∈ R, i = 1, , n. 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... khẳng định vành Rees và vành phân bậc liên kết của một vành Noether đối với một iđêan là vành Noether Định lý 2.1.5 Cho R là vành Noether và I là iđêan của R Khi đó, ta có các khẳng định sau (i) R(I) và GI (R) là các vành phân bậc Noether (ii) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và (Mn ) là một I -lọc tốt của M thì GI (M ) là GI (R)-môđun hữu hạn sinh Chứng minh (i) R(I) = ⊕ I n là vành phân bậc Noether n≥0... -đại số hữu hạn sinh ii ⇒ i) Giả sử R0 là vành Noether và R là R0 -đại số hữu hạn sinh, giả sử R = R0 [a1 , , an ] Theo Hệ quả 1.1.13, suy ra R là vành Noether 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Topo I-adic trên vành Noether 2.1 Lọc môđun, vành phân bậc liên kết và vành Rees Định nghĩa 2.1.1 (i) Cho R là vành giao hoán, có đơn vị Một dãy giảm các... trọng sau đây Định lý 1.3.5 Cho R là một vành phân bậc Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành Noether (ii) R0 là vành Noether và R là hữu hạn sinh như một R0 -đại số ∞ ∞ n=0 n=1 Chứng minh Giả sử R = ⊕ Rn là vành phân bậc và R+ = ⊕ Rn là một iđêan của R i ⇒ ii) Ta có R0 = R/R+ Do R là vành Noether, R+ là một iđêan của R suy ra vành thương R0 là vành Noether 17 Số hóa bởi Trung tâm Học... 2.3.6 Lớp ví dụ quan trọng nhất của nhóm tôpô mà chúng ta quan tâm đến xác định bởi G là một vành A và Gn = I n , trong đó I là một iđêan của vành A Khi đó tôpô xác định trên A được gọi là tôpô I -adic Vì I n là các iđêan, với mọi n nên không khó để kiểm tra rằng với tôpô này A là một vành tôpô, tức là các phép toán trên nó là liên tục Và theo Bổ đề 2.3.1, tôpô này là Hausdorff khi và chỉ khi ∩ I n... Hiển nhiên ϕ là một toàn cấu vành, suy ra 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R [a1 , , an ] ∼ R [x1 , , xn ] /kerϕ = Theo Định lý cơ sở Hilbert thì vành đa thức R [x1 , , xn ] là Noether Suy ra vành thương R [x1 , , xn ] /kerϕ cũng là vành Noether Vậy R(I) là một vành phân bậc Noether • GI (R) = ⊕ I n /I n+1 là vành phân bậc Noether Thật vậy n≥0 +) Từ GI... )n≥0 là một I -lọc tốt Từ Định nghĩa trên ta có chú ý sau Chú ý 2.1.2 Cho (In )n≥0 là một lọc iđêan của vành R Khi đó ta có T = ⊕ In là một vành phân bậc n≥0 G = ⊕ In /In+1 là một vành phân bậc n≥0 Hơn nữa, nếu (Mn )n≥0 là một lọc các môđun con của M và là I -lọc tốt Thì các môđun ⊕ Mn là môđun phân bậc trên vành R(I) = ⊕ I n n≥0 n≥0 ⊕ Mn /Mn+1 là môđun phân bậc trên vành GI (R) = ⊕ I n /I n+1 n≥0 n≥0... pn → 0 Định lý sau đây được suy ra từ Định lý Artin - Rees Định lý 2.3.7 Giả sử A là một vành Noether, I là một iđêan của A, M là A-môđun hữu hạn sinh và M là một môđun con của M Khi đó các lọc I n M và (I n M ) ∩ M sai khác nhau chặn trên Đặc biệt, tôpô I -adic trên M trùng với tôpô cảm sinh bởi tôpô I -adic trên M Kết hợp Định lý 2.3.7 với Định lý 2.3.2, ta thu được tính chất khớp của đầy đủ I... an ∈ An ⇒ (an ) ∈ A Vậy dA là toàn cấu 1.3 Vành và môđun phân bậc Định nghĩa 1.3.1 Một vành phân bậc là một vành R cùng với một họ các nhóm con (Rn )n≥0 của nhóm cộng R, sao cho R = ⊕ Rn và Rn Rm ⊆ Rn+m , ∀n, m ≥ 0 n≥0 Khi đó ta có R0 R0 ⊆ R0 , do đó R0 là một vành, gọi là vành con của vành R R0 Rn ⊆ Rn do đó Rn là một R0 - môđun Định nghĩa 1.3.2 Cho R là một vành phân bậc, một R-môđun phân bậc là một... n≥0 A của A lại là một vành tôpô và đồng cấu φ : A → A là liên tục và có Ker φ = ∩ I n n≥0 Tương tự đối với A-môđun M , ta xét trường hợp G = M và Gn = I n M , xác định tôpô I -adic trên M và đầy đủ M của M là một A-môđun tôpô (tức là ánh xạ A × M → M là liên tục) Nếu f : M → N là một A-đồng cấu môđun thì f (I n M ) = I n f (M ) ⊆ I n N , do đó f là liên tục đối với tôpô I - trên M và N và xác định... trình trên được dừng lại, bằng không nhất thiết là sau m−r bước ta sẽ tìm được các đa thức G(x) ∈ I có deg G(x) ≤ r và P (x) ∈ J sao cho g(x) = P (x) + G(x) ∈ J + N Từ đây ta suy ra rằng I ⊆ J + N Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên và định lý được chứng minh Từ đó ta có các hệ quả quan trọng sau Hệ quả 1.1.12 Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R [x1 , , xn ] cũng là một vành Noether Đặc biệt, vành . hiểu về tôpô I-adic trên vành Noether, đặc biệt là vành Noether địa phương và các tính chất của đầy đủ I-adic. Tôi đã lựa chọn đề tài " ;Tôpô I-adic trên vành Noether& quot; làm luận văn tốt. là vành Noether thì vành đa thức R [x 1 , , x n ] cũng là một vành Noether. Đặc biệt, vành đa thức k [x 1 , , x n ] trên trường k cũng là một vành Noether. Hệ quả 1.1.13. Giả sử R là vành Noether. Hilbert) Vành đa thức một biến R [x] lấy hệ tử trên vành Noether R là một vành Noether. Chứng minh. Cho R là một vành Noether, để chứng minh R [x] là vành Noether, ta sẽ chỉ ra rằng mọi iđêan khác