Đang tải... (xem toàn văn)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp . Ngoài 3 phương pháp cơ bản : Đặt nhân tử chung. Nhóm nhiều hạng tử. Dùng hằng đẳng thức. Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phương pháp : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Thêm bớt cùng một hạng tử. Ngoài ra có thể sử dụng những phương pháp khác : Đặt ẩn phụ (biến đổi). Hệ số bất định.
A.ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Phân tích đa thức thành nhân tử kiến thức chương trình tốn học cơng cụ để giải nhiều toán : - Rút gọn phân thức - Giải phương trình, giải bất phương trình - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức - Biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ - Tìm giá trị biến để biểu thức nguyên - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ … Việc phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi người học phải tư duy, có kiến thức tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức tốn học cách nhuần nhuyễn, hợp lý Để làm việc người học sử dụng thành thạo tính chất, quy tắc phép tính, thành thạo việc nhân chia đa thức Đặc biệt phải thuộc lòng đẳng thức đáng nhớ từ phát triển đẳng thức tổng quát Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Ngồi phương pháp : - Đặt nhân tử chung - Nhóm nhiều hạng tử - Dùng đẳng thức Sách giáo khoa giới thiệu thêm hai phương pháp : - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm bớt hạng tử Ngồi sử dụng phương pháp khác : - Đặt ẩn phụ (biến đổi) - Hệ số bất định Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác giảng dạy người giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải cách nhanh chóng Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh phương pháp khác sách giáo khoa Đặc biệt học sinh khá, giỏi Giúp em lựa chọn phương pháp thích hợp để giải tốn khó Vì tơi xin nêu phương pháp tơi sử dụng giảng dạy, “Rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG Qua năm giảng dạy môn tốn lớp 8,tơi thấy nhiều học sinh cịn lúng túng gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử Cũng có nhiều nguyên nhân dẫn đến điều này, theo tơi ngun nhân : +Kiến thức cần sử dụng vào toán phân tích đa thức thành nhân tử em nắm chưa vững +Gặp số dạng toán mà sách giáo khoa chưa giải Chẳng hạn nói đến dạng tốn : “Phân tích đa thức thành nhân tử ” lớp nhiều em vướng mắc sử dụng số phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử,thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ (biến đổi), hệ số bất định…Vì mà em cịn ngại , chán nạn chưa tìm hướng giải giải em cịn khơng biết cách phân tích dẫn đến mắc số sai lầm khơng đáng có cụ thể: Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + -Học sinh lúng túng gặp dạng toán chưa biết nên tách hạng tử nào,nhiều em cịn sai lầm nhóm nhân tử chung : 3x2 – 8x + = x (3x - 8) + đến em phương hướng giải Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4 + 81 - Nhìn tốn học sinh khá, giỏi vướng mắc, chưa nói đến học sinh trung bình ,yếu em thật chán nạn,sợ sệt không đủ tự tin thân làm học sinh chưa hiểu 4x4 + 81 thêm, bớt 36x2 tốn có dạng đẳng thức hiệu hai bình phương.Nên dạng toán học sinh cần xem áp dụng pháp nào? KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT Khi chưa thực đề tài ,tôi khảo sát lớp 8A,8B với đề sau : Phân tích đa thức thành nhân tử a , 4xy + 3x2y b, x2 - c, x2 +x -2x3 -2 d , 2x2 – 4xy + 2y2 e, (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + Qua khảo sát cho thấy số học sinh mơ hồ phương pháp học ,quá trình làm chưa tự tin sai vấn đề,chưa hợp lí Kết đạt sau: Lớp Sĩ số 8A 8B 32 32 Giỏi SL % 3,1 3,1 Khá SL % 18,8 21,9 TB SL % 12 37,5 13 40,6 Yếu SL % 15,6 18,8 Kém SL % 25,0 15,6 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: - Ôn lại cho học sinh số kiến thức cần sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử - Dựa vào phương pháp học ta phân loại toán để học sinh phát , nhận dạng có hướng giải ,khơng sai lệch với đề đưa , học sinh nhận dạng tốn u cầu tìm nhân tử chung ,đặt ẩn phụ , thêm bớt hạng tử hay tách hạng tử sở để học sinh tháo gỡ vấn đề - Dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử ” áp dụng tiết học lớp ,ngoài hướng dẫn em số phương pháp buổi học phụ đạo vào buổi chiều giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu II BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thơng thường 1.1 – Phương pháp đặt nhân tử chung a Phương pháp : Tìm nhân tử chung đơn , đa thức có mặt tất hạng tử Xem số hạng đa thức có thừa số chung hay khơng? Nếu có ta đặt làm thừa số đa thức cách đặt ngồi dấu ngoặc,viết nhân tử cịn lại vào dấu ngoặc (kể dấu chúng).Phương pháp dựa tính chất : A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F) Học sinh phải nắm kiến thức phép nhân phân phối phép cộng b Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử A = 15a2b2 - 9a3b + a2b3 Với định hướng câu hỏi , học sinh tìm thừa số chung hạng tử 3a2b Đặt 3a2b làm thừa số chung ta được: A = 3a2b (5b – 3a –b2) 1.2 – Phương pháp dùng đẳng thức : a Phương pháp : Để sử dụng đẳng thức đưa đa thức dạng tích đa thức luỹ thừa đa thức học sinh cần phải thuộc lòng đẳng thúc đáng nhớ đẳng thức tổng quát 1, a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 2, a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Mở rộng : a2 + b2 + c2+2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)2 3, a2 - b2 = (a + b)(a - b) 4, a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 5, a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) 6, (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3 7, (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 Sau xét xem phân tích đa thức thành thừa số cách sử dụng đẳng thức hay khơng ? b Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 Ở ví dụ số hạng có nhân tử chung khơng? Các số hạng có lập thành đẳng thức khơng ? Đa thức có hạng tử,nhận xét xem hạng tử có đặc điểm gì, từ suy thuộc đẳng thức nào? 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x - y)3 – Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : a – Phương pháp : Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Tiếp tục áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Đối với phương pháp học sinh cần sử dụng tính chất giao hốn, kết hợp để nhóm hạng tử cách thích hợp phân tích thành nhân tử nhóm,từ viết đa thức cho thành nhân tử b Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – Ở đa thức hạng tử nhân tử chung , khơng lập thành đẳng thức.Vậy nên nhóm số hạng để xuất nhân tử chung mới? 2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – = (2x2 – x2z ) + (2y2 – y2z) + (z - 2) = x2 (2 - z) + y2 (2 - z) – – z = (x2 + y2 - 1) (2 - z) Ngồi ba phương pháp phối hợp đồng thời ba phương pháp để giải 1.4.Phối hợp nhiều phương pháp: a Phương pháp : Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên : -Đặt nhân tử chung – Dùng đẳng thức –Nhóm nhiều hạng tử b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Ở đa thức xét xem nhóm số hạng thích hợp nhằm làm xuất nhân tử chung dạng đẳng thức 3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3x y(x2 - 2x – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy (x2 - 2x +1) (y2 – 2ay – a2) = 3xy(x -1)2 – (y- a)2 = 3xy (x -1) – (y+ a) (x -1) + (y+ a) = 3xy (x -1 – y - a).(x -1 + y+ a) 1.5 Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử : a.Phơng pháp: Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử để xuất đẳng thức đặt nhân tử chung: b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 6x + Đa thức không chứa nhân tử chung , dạng đẳng thức đáng nhớ , nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử Cách 1: (Tách h¹ng tư thø hai) x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = (x2 - 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4) C¸ch 2: (T¸ch h¹ng tư thø ba) x2 – 6x + = x2 – 6x + – = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 1)( x – + 1) = (x – 4)(x -2) 1.6 Ph¬ng pháp thêm bớt hạng tử : a Phơng pháp : Thêm bớt hạng tử thích hợp để làm xuất hiệu hai bình phơng nhân tử chung b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + Giáo viên gợi ý : Bằng phơng pháp đà học giải đợc ta nghĩ đến phơng pháp thêm bớt hạng tử 4x2 x4 + = x4 + + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + ) - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 =( x2 + -2x)( x2 + + 2x) Nhiều với phơng pháp thông thờng cha đáp ứng đợc yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử Sau số phơng pháp đặc biệt Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặc biệt : 2.1 Phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) a Phơng pháp : Một số toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức ®· cho cã biĨu thøc xt hiƯn nhiỊu lÇn, ta đặt biểu thức làm biến phụ từ đa đợc đa thức đơn giản b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : A = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x - 3) Đặt (x2 + 3x + 1) = y A = y(y - 4) – = y2 + y - 5y - = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5) Thay (x2 + 3x + 1) = y vµo ta cã : A = (x2 + 3x + 2) (x2 + 3x - 4) = (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4) 2.2 Phơng pháp xét giá trị riêng: a Phơng pháp : Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số lại b.Ví dụ : P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x -y) Thay x bëi y th× : P = y2(y - z) + y2(z -y) = Nh vËy P cha thõa sè (x - y) Ta thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z x P không đổi, đa thức P thay đổi vòng quanh Do P đa chứa thừa số (x - y) chøa thõa sè (y - z)(z -x) VËy P cã d¹ng :k(x - y)(y - z)(z -x) Ta thÊy k số P có bậc ba tập hợp biến x,y,z đẳng thức : x2(y - z) + y2(z - c) + z2(x -y) = k(x - y)(y - z)(z -x) ®óng víi mäi x,y,z Nên ta gán cho biến x,y,z giá trị riêng Chẳng hạn : x = 2, y = 1, z= ta đợc: 4.1 + 1(-2) + = k.1.1.(-2) => k = VËy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x) 2.3 Phơng pháp hệ số bất định a Phơng pháp : Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx2 + dx + m) råi biÕn ®ỉi cho ®ång hệ số đa thức với hệ số cđa ®a thøc b.VÝ dơ : 1, x3 + 11x + 30 Kết cần tìm có dạng : (x + a)(x2 + bx + c) V× (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Nªn x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Ta cã a+b=0 ab + c = 11 ac = 30 Cã thÓ chän: a =2, b = -2, c = 15 lµ bé sè tho· m·n (=> ac = 30) VËy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 - 2x + 15) 2, x3 - 19x – 30 NÕu ®a thức phân tích đợc thành nhân tử tích phải có dạng : x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac Vì hai đa thức đồng nªn : a+b=0 ab + c = -19 ac = -30 Chän a = 2, c = -15 ®ã b = - tho¶ m·n VËy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15) 2.4 Phơng pháp tìm nghiệm đa thức : a Phơng pháp : Cho đa thức f(x),a nghiệm ®a thøc f(x) nÕu f(x) = Nh vËy nÕu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) a phải nghiệm đa thức Ta đà biết nghiệm nguyên đa thức có phải lµ íc cđa hƯ sè tù b VÝ dơ : x3 + 3x – NÕu ®a thøc cã nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử x - a) nhân tử lại có dạng (x2 + bx + c) => - ac = => a ớc Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử không đổi Ư(- 4) = { 1;1;−2;2;−4;4} Sau kiểm tra thấy nghiệm đa thức => Đa thức chứa nhân tử (x – 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x – 1) Cách 1: x3 + 3x2 – = x3 - x2 + 4x2 – = x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 – = x3 - + 3x2 – = (x3 - 1) + 3(x2 – 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) +3(x2 – 1) = (x - 1)(x + 2)2 Chú ý 1: -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử (x - 1) - Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử (x + 1) Ví dụ: x2 - 5x + 8x – có : – + – Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số (x - 1) x3 - 5x2 + 3x + có : -5 + = + Đa thức có nghiệm -1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1) Nếu đa thức khơng có nghiệm nguyên đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ có phải có dạng p/q Trong p ước hạng tử không đổi ,q ước dương hạng tử cao Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x – Nghiệm hữu tỉ có đa thức :-1 ; ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ;…Sau kiểm tra ta thấy x = -1/2 nghiệm đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) 2x3 - 5x2 + 8x – = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x – = x2(2x - 1) – 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x2 - 2x + 3) Chú ý 2: Có thể nhận định đa thức :f(x) = anxn + a(n – 1)xn – +…+ ao với a1 > a2 … an ∈ Z Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ p/q p/a0 > q/an Nếu nghiệm f(x) f(x) phân tích thành nhân tử có hạng tử x – a dựa vào hệ định lý Bezout “ Nếu nghiệm f(x) f(x) x – a ” Như đa thức bậc 2, bậc mà nhẩm nghiệm khơng có nghiệm hữu tỉ đa thức khơng phân tích thành nhân tử PHẦN II : ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài tốn rút gọn biểu thức • Đường lối giải : Dựa sở tính chất phân thức đại số phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử chung rút gọn đồng thời tìm TXĐ biểu thức thơng qua nhân tử nằm mẫu Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại rút gọn , giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh Ví dụ : Cho A = ( 2− x 3− x 2− x + ) x+3 x+2 x + 5x + a Rút gọn b Tình giá trị A với x = 998 Giải : a Rút gọn với x ≠ - 2; x ≠ - A= ( A= 2− x 3− x 2− x + ) x+3 x+2 x + 5x + (2 − x)(2 + x ) − (3 − x)(3 + x ) + ( − x) ( x + 2)( x + 3) − (3 + x ) − x2 − + x2 + − x A= = ( x + 2)( x + 3) = ( x + 2)( x + 3) x+2 b Tính A với x = 998 A=- 1 =998 + 100 Bài toán giải phương trình: * Đường lối giải Với phương trình bậc trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng ,vì sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích : A.B = A = B = Ví dụ : Giải phương trình: (4x + 3)2 – 25 = Áp dụng phương pháp phân tích vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng (4x + 3)2 – 25 = 8(2x - 1)(x + 2) 8(2x - 1)(x + 2) = x =1/2 x = -2 Áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng : (2x - 1)(x + 2) = => x = 1/2 x = -2 Bài tốn giải bất phương trình : * Đường lối giải Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức vào bất phương trình thành đa thức mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < 0) (A.B > 0) hay bất phương trình thường Ví dụ : Giải bất phương trình a, x−2 3x + -1> -3 x +1 x −1 Điều kiện : x ≠ - x ≠ ,bất phương trình cho tương đương với : x − − x − 3x + − 3x + >0 x+2 x −1 3x − + x + −3 5 >0 + < ( x + 1)( x − 1) < x +1 x −1 x +1 x −1 8x + ( x − 1)( x + 1) < Sử dụng phương pháp bảng ta có x < -1 -1/4 < x < b , x2 – 2x + < Giải : Cách 1: x2 – 2x + < (x - 1)2 < x − < -3