CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 1 Phn mt BT NG THC Cễ SI (AM-GM) V K THUT S DNG I-CC DNG BT NG THC 1).Dng c bn: 12 12 n n n aa a aa a n +++ vi 0, 1, i ain= 2).Dng lu tha: 12 12 m mm m nn aa a aa a nn +++ +++ vi 0, 1, i ain= 3).Dng cng mu s: 2 12 12 11 1 nn n aa a aa a ++ + ++ vi 0, 1, i ain>= 4).Dng trung bỡnh a).Trung bỡnh nhõn: ()( ) 12 12 1 1 2 2 . . ( ) nn n nn nn aa a bb b a b a b a b++++ (Bt ng thc MinCụpxki) H qu: ()()() () 12 12 1 1 1 1 n n nn aa a aaa++ ++ b).Trung bỡnh cn: 22 22 111 nnn ii i i iii ab a b === + + (Bt ng thc MinCụpxki) c). Trung bỡnh iu ho: 11 1 11 nn ii n ii ii nn i ii ii ii ab ab ab ab == = == + + vi 0, 0; 1, ii ab in>>= Mi quan h gia cỏc dng trung bỡnh: 22 2 22 ab a b a b ab ab ++ + 5).Dng phõn thc: 12 12 11 1 11 1 1 . n n n n aa a aa a +++ ++ + + vi 0, 1, i ain>= (Bt ng thc Jen sen). II-K THUT S DNG BT NG THC Cễ SI 1. Phơng pháp cân bằng tổng (ỏnh giỏ t trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn) Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau. Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S 1 + S 2 + + S n m , ta biến đổi S = A 1 +A 2 + +A n là các số không âm mà có tích A 1 A 2 A n = C không đổi, sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi. Vớ d 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x + 1 1 x khi x > 1 Giải: Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - 1 > 0 và 1 1 x > 0 ta có () 1111 121 12 3 1111 xxx x xxxx + + + . Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2. Vớ d 2. Chứng minh rằng nếu x > -1 thì 2 1 21 (1) x x + + CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 2 Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy cha ra kết quả, nhng nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh. Vớ d 3. Chứng minh rằng 0x thì 1 )3( 27 3 + + x x . Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải phân tích x thành 3 số hạng là 3 3 x+ Giải: Bất đẳng thức đã cho tơng đơng 13 )3( 27 3 3 3 3 3 3 3 + + + + + + + x xxx 4 )3( 27 3 3 3 3 3 3 3 + + + + + + + x xxx . Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dơng gồm ba số 3 3 + x và () 3 3 27 +x ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x=0 Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tơng tự sau: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 12 2 + + x x với x > 0 2) Chứng minh rằng nếu nếu x > - 3 thì () 1 3 9 3 2 2 + + x x 3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 3 )1)(( 2 + bba b 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: 1 32 =+ yx Hớng dẫn: từ biểu thức ta có y = 2 6 3 2 3 += xx x do vậy Q = 5 2 6 2 2 6 3 + += ++=+ x x x xyx 5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R = ab ba ba ab 22 22 + + + với a > 0, b > 0 HD: R = 22 22 22 3 . 44 ab ab ab a b ab ab ++ ++ + sau đó dùng bất đẳng thức Côsi. 6. Chứng minh rằng 2 2 (2) 3(0) 2 xa x ++ > + 7. Chng minh rng CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 3 1). () () 8 2 64 , , 0ab abab ab+ + 2). ()( ) 19,,0a b a b ab ab a b++ ++ 3). 33 2 37 9,,0ab abab+ HD: 3 33 33 333 36 2 37 36 333327 9,,0abababb ab abab + +=++ = 8. Cho ,,, 0 1111 3 1111 abcd abcd > +++ ++++ . Chng minh rng: 1 81 abcd HD: ()()() 3 11 1 1 111 3 0 11 1 1111111 bcd bcd ab c dbcdbcd = + + = + + ++ + +++++++ 9. Cho ,, 0 1 abc abc > ++= . Chng minh rng: 111 1118 abc . HD: 11 1 abc aa a + = = . Chỳ ý: Tỏch nghch o trong k thut ỏnh giỏ trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn l k tỏch phn nguyờn theo mu s khi chuyn sang trung bỡnh nhõn thỡ cỏc phn cha bin s b trit tiờu. 10. Chng minh rng: 1). 2 2 2 2, 1 a a a + + \ 2). 22 22, 1 ab ab ab ab > + = 3). () 1 3, 0aab ba b +>> 4). ()() 2 4 3, 0 1 aab abb + > + 5). () 2 1 22, 0aab ba b +>> 6). () 3 1 21 2 3, 4 1 a a a ba b b + > 11. Vi mi x, y, z dng, hóy chng minh 333 xyz x yz yz zx xy + +++ 12. Vi x, y, z l cỏc s dng cú tớch bng 1, hóy chng minh bt ng thc sau ()()()()()() 333 3 11 11 11 4 xyz yz zx xy ++ ++ ++ ++ 2. Phơng pháp cân bằng tích ( ỏnh giỏ t trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cng) Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau. Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P= P 1 P 2 P n M ta phân tích P = B 1 B 2 B n là các số không âm mà tổng B 1 + B 2 + + B n = C là một số không đổi. CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 4 Vớ d 1. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng ab 2 27 4 . Phân tích: ta cần tách biểu thức ab 2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1. Giải: ab 2 = 2 . 2 .4 bb a mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng là a, b/2,b/2 ta có: 27 4 2 . 2 .4 27 1 2 . 2 . 3 1 3 22 2 . 2 . 3 = ++ bb a bb a bb a bb a đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3. Bi tp t luyn Bi 1. Chng minh rng: 1). ()() +++ >,,,, 0ab cd a c b d a b c d 2). () () >> + >> 0 , 0 ac ca c cb c ab bc 3). ()() + 24 16 , , 0ab a b a b a b 4). ()( ) ()() 22 1 11 22 11 ab ab ab + ++ Bi 2. Chng minh rng: ()()() ++++ 3 3 11 1 1,,,0abc a b c a b c Tng quỏt: ()() 12 12 1 1 2 2 . . ( ) nn n nn nn aa a bb b a b a b a b++++(Bt ng thc MinCụpxki). Bi 3. Chng minh rng: +` 11 11 1, 3 ! nn n nn . HDG: Bin i: 11 11 11 111121 . . 23 23 ! nn nn n nn nn += + Bi 4. Cho ++= ,, 0 1 abc abc . Chng minh rng: 1). 16abc a b+ HDG: ()() () 22 ôôsi 16 16 . 4 4 22 Csi C ab abc abc c ababc ab ab +++ =+++ =+ 2). ++ 8 27 ab bc ca abc HDG: CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 5 ()()() 33 ô 111 28 1111 3327 Csi abc VT ab bc ca a b c abc a b c ++ =+ + + = = = 3). ()()() +++ 8 729 abc a b b c c a 4). ++ 7 02 27 ab bc ca abc (IMO-1984) Gii: Theo gi thit suy ra: [ ] ,, 0;1abc do ú: () () 2 2 3 3 23 23 232 0ab bc ca abc abc abc abc abc abc abc abc++ = =. (vỡ [] () 2 3 0;1abc abc abc ). Ta s chng minh: () ( ) ( ) [ ] ,, 0;1a b c b c a c a b abc a b c+ + + . Nu cú hai tha s 0VT , chng hn: 0 20ôí 0 abc bvl bca + + Nu cú ỳng mt tha s 0ĐPCMVT Nu c ba tha s VT u dng thỡ ta cú: ()()()()()() 222 VT abcbca bcacab cababc abcbcabcacabcababc abc =++ ++ ++ +++ +++ +++ = M 1abc++= suy ra: ()()() () () 3 12 12 12 12224 8 11 7 21 1 44327 c a b abc a b c ab bc ca abc abc abc ab bc ca abc abc + + + ++ ++ + + = Vy ta cú iu phi chng minh. Chỳ ý: Nhõn thờm hng s trong k thut ỏnh giỏ trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cng Bi 5. Chng minh rng: 11,,1ab ba ab ab+ Bi 6. Cho ++= ,, 0 1 abc abc . Chng minh rng: 6ab bc ca++ ++ + Bi 7. Cho 3 4 2 a b c . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 234 22 ab c bc a ca b P ++ = CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 6 Bi 8. Cho 03 04 x y . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: ( ) ( )( ) 3423 A xyxy= + Bi 9. a). Cho ,0xy> . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: () ( ) 3 2 ; x y fxy xy + = b). Cho ,, 0xyz> . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: () () 6 23 ;; x yz fxyz xy z ++ = Tng quỏt: Cho 12 , , , 0 n xx x> . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: () ( ) 12 12 12 2 12 ; ; ; n n n n n xx x fxx x xx x + ++ +++ = Bi 10. Chng minh rng; 2 23 sin .cos 9 Axx = Tng quỏt: () . sin .cos , 1 , mn mn mn mn Axx mn mn + = + ] Bi 11. ( THI HSG Tnh Ngh An-Bng A-1992-1993) Cho 123 10 , , , ,aaa a l cỏc s dng. Tỡm giỏ tr nh nht ca () 22 2 12 10 10 1 2 9 aa a P aaa a +++ = +++ . Gii. Nhn xột vai trũ ca 12 9 , , ,aa a bỡnh ng nờn ta phõn phi 10 a u cho 9 s . p dng bt ng thc Cụ si : 22 110110 22 210210 22 910910 1 3 9 1 3 9 1 3 9 aaaa aaaa aaaa + + + Cng v theo v cỏc BT trờn ta c: () 22 2 1 2 10 10 1 2 9 3 aa a aaa a+++ +++ Suy ra: () 22 2 12 10 10 1 2 9 3 aa a P aaa a +++ = +++ . ng thc xy ra khi 12 9 10 1 3 aa a a ==== .Vy: 3MinP = khi 12 9 10 1 3 aa a a ==== 3. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng. Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu quả khi dùng và tạo rất nhiều hứng thú cho học sinh. Vớ d 1: Chứng minh 0,, > cba thì cba b ac a bc c ab ++++ CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 7 Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay đợc, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số. Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên 0,0,0 >>> b ac a bc c ab áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp: ++++ ++ ++ ++ )(2)(2 2.2 2.2 2.2 cba b ac a bc c ab a c ba b ac c ba b ac c ba b ac c b ac a bc b ac a bc b ac a bc b a bc c ab a bc c ab a bc c ab đpcm Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Chỳ ý: Ghộp i xng Phộp cng: () 2 222 x yz xyyzzx x yyzzx xyz ++ = +++++ +++ ++= + + Phộp nhõn: ()() ( ) () 222 ,, 0 xyz xy yz zx xyz xyz xy yz zx = = Vớ d 1. Chng minh rng: 1). ,,,0 bc ca ab abc abc abc ++++ > 2). 222 222 0 abc abc abc bcacab ++++ 3). 333 2 2 2 ,, 0a b c a bc b ca c ab a b c++ + + Vớ d 2. Cho tam giỏc ABC. Chng minh rng: 1). ()()() 1 8 p apbpc abc 2). 111 111 2 1 p pb pc a bc ++++ 3). ()()() bcacababc abc+ + + 4). 2 R r 5). 222 43abc S++ 6). 222 33 abc mmm S++ 7). ()() 2 2 2222 2 27 abcabc mmmhhh S++ ++ CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 8 Vớ d 3.Cỏc s thc dng ,, x yz tho món iu kin: 222 3xyz + +=. Hóy chng minh rng: 3 xy yz zx zxy ++ HD: Bỡnh phng 2 v BT cn chng minh ri ghộp i xng. 4.Ghộp cp nghch o () 2 12 12 11 1 0 , 1, ni n x xx nxin xx x +++ + ++ > = Vớ d 1. Chng minh rng: 1). 6,,0 bc ca ab abc abc +++ ++> 2). 222 9 bc ca ab abc ++ +++ ++ ,, 0abc> 3). 3 2 abc bc ca ab ++ +++ ,, 0abc> 4). 222 2 abcabc bc ca ab ++ ++ +++ ,, 0abc> Vớ d 2. Cho ,, 0 1 abc abc ++= . Chng minh rng: 1119 2bc ca ab + + +++ Vớ d 3. Cho ,, 0 1 abc abc > ++ . Chng minh rng: 222 111 9 222abcbcacab + + +++ 5. ỏnh giỏ mu s Vớ d 1. Chng minh rng: 1). 222 111 ,, 0 2 abc abc a bc b ca c ab abc + + ++ > +++ 2). 33 33 33 1111 ,, 0abc a b abc b c abc c a abc abc ++> ++ ++ ++ 3). +++ +++ +++ +++ +++ 444 444 444 444 11111 a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd . Tng quỏt: Cho ( ) 12 , , , 0 3 n aa a n>. Chng minh rng: 11122 12 121212 11 11 0, 1 i nn nn nnn nn nnn nnn ai a a aaaa aaaa aa a aaa aaa +++ >= ++ + ++ + + ++ + Vớ d 2.Cho [ ] ,, 0;1abc . Chng minh rng: ()()() 111 1 111 abc abc bc ca ab +++ ++ ++ ++ . Tng quỏt: Chng minh rng: CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 9 ()()() 12 12 23 13 12 1 1 1 1 1 1 1 1 n n nn n a aa aa a aa a aa a aa a +++ + ++++ ++++ +++ + (1) vi mi [ ] 12 , , , 0;1 n aa a . Gii: Gi s () 112 max , , , n aaaa= .Khi ú ta cú: 11 23 23 22 13 23 12 1 2 1 1 1 1 1 1 1 nn nn nn nnn aa aa a aa a aa aa a aa a aa aa a a a a = ++++ ++++ ++++ ++++ +++ + ++ ++ Cng v theo v ta c: 12 12 23 13 12 1 23 1 1 1 1 nn nn n n aaaa aa aaaaaa aaa aaa +++ +++ ++++ ++++ +++ + ++++ (2) Ta s chng minh: ()()() 12 1 12 22 1 1 1 1 1 1 1 n n nn aa a a aa a aa aa +++ = + ++ +++ (3) Nu 1 1a = thỡ (3) ỳng. Nu 1 1a thỡ 1 10a>.Do ú ( ) ( ) ( )( ) ( ) 23 2 3 3 1 1 1 1 1 nn aa a a a a ++++ p dng BT Cauchy cho VT ta cú: ()()()() 23 2 3 23 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn nn aa a a a a aa a a a a n + + + ++ + + + ++++ = Vy (3) ỳng. Cng v theo v ca (2) v (3) ta cú iu phi chng minh. Vớ d 3. Cho 222 ,, 0 1 abc abc > ++= . Chng minh rng: 22 22 22 33 2 abc bc ac ab ++ +++ Tng quỏt: Cho 12 222 12 , , , 0 1 n kkk n aa a aaa > ++= v ,,kmn ] . Chng minh rng: ( ) 2 21 21 21 12 22 2 12 2121 11 1 2 m k kk n mm m n mm a aa aa a m + + +++ Gii: Ta cú: ( ) 2 21 21 21 12 22 2 12 2121 11 1 2 m k kk n mm m n mm a aa aa a m + + +++ CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 10 ()() () ( ) 2 2 22 12 22 2 11 22 2121 2 11 1 m k kk n mm m nn mm a aa m aa aa aa + + +++ Ta s chng minh: () () () () () () 2 2 2 1 1 2 11 2 11 2 2 2 2 11 21 2121 (1) 2 1 2 1 2121 2 1 21 m k k m m m m m m m mm a a m aa m aa mm m aa m + ++ ++ + p dng BT Cụ si ta cú: () ()() ()()() () () 21 22 2 2 11 1 1 22 2 22 2 2 11 1 1 2 21 21 2 1 1 1 11 121 2221 2 12 221 21 m mm m m mm m mm m m m m m ma a a a aa ma a mmm m m mm m + + + + + ++ = + == + + Tng t ta cú: () () () () 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2121 (2) 2 1 2121 () 2 1 m k k m m k k n n m nn mm a a m aa mm a an m aa ++ ++ Cng v theo (1), (2),,(n) ta c: ()() () ( ) () ( ) 22 2 22 22 2 12 12 22 2 11 22 2121 2121 22 11 1 mm k kk kk k n n mm m nn mm mm a aa aa a mm aa aa aa + +++ +++ +++= (vỡ 22 2 12 1 kk k n aa a+++= ). T ú suy ra PCM. Chỳ ý: ỏnh giỏ mu s trong k thut Cụsi ngc du Vớ d 4: Cỏc s dng a, b, c tho món: 3abc + +=. Chng minh bt ng thc: 222 3 2 111 abc bca ++ +++ . Bỡnh lun: Ta khụng th dựng trc tip bt ng thc Cụ si (AM-GM) vi mu s vỡ bt ng thc sau ú s i chiu 222 3 2222 111 abcabc bca bca + + ++ +++ [...]...CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Tuy nhiờn, rt may mn ta li cú th dung bt ng thc ú theo cỏch khỏc: ( ) a 1 + b2 b2 a ab 2 ab2 ab = = a a = a 2b 2 1 + b2 1 + b2 1 + b2 2 Ta õ s dng bt ng thc AM-GM: 1 + b 2b di mu nhng li cú c mt bt ng thc thun chiu S may mn õy l . PHAMQUYNHANHBABY0512@YAHOO.COM - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN 11 Tuy nhiờn, rt may mn ta li cú th dung bt ng thc ú theo cỏch khỏc: () 22 22 22 2 1 22 11 1 abb aababab aaa b bb b + === ++ + Ta