Trần Thị Kim Liên: Tính tự nhiên tôpô của định lý Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức – Toán giải tích Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mở đầu…………….…………………………………………………… 1 Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ chỉnh hình…………………………………… ……………. 3 1.2 Đa tạp phức…………………………………………………………. 3 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức………………… 6 1.4 Không gian phức hyperbolic ………… …………………………… 7 Chương 2 : Tính tự nhiên tôpô của định lí Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức 2.1 Mở đầu…………………….……………………………………… 19 2.2 Tổng quát tôpô các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi trong không gian phức……………………………………… 20 2.3 Một số đặc trƣng của tính chất  và ứng dụng……………………… 32 Kết luận………………………………………………………………. 46 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Vào đầu những năm 70, S.Kobayashi đã đƣa ra lý thuyết các không gian phƣ́ c hyperbolic và trở thà nh mộ t trong nhƣ̃ ng hƣớ ng nghiên cƣ́ u quan trọ ng của giải tích phức . Trong nhƣ̃ ng năm gầ n đây , lý thuyết này đã thu ht sự quan tâm nghiên cƣ́ u củ a nhiề u nhà toá n họ c trên thế giớ i . Bài toán thác trin các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức vi các kết quả quan trng đã gắ n liề n vớ i tên tuổ i cá c nhà toá n họ c nhƣ Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi. Tƣ̀ việ c khá i quá t hó a đị nh lý Picard lớ n để đƣợ c k ết quả K 3 – đị nh lý (định lý Kiernan , Kobayashi, Kwack), và tiếp sau là định lý thác trin hội tụ Noguchi. Sau kế t quả củ a Noguchi , tƣ̀ năm 1994 đến năm 2000, J.Joseph và M.Kwack đã chƣ́ ng tỏ đƣợ c tấ t cả cá c kế t quả trên đề u có thể chứng minh và mở rộng đƣc bng phƣơng pháp thuần ty tôpô . Tƣ̀ đó đã đƣa ra mộ t số đặ c trƣng củ a tính nhú ng hyperbolic củ a cá c không gian phƣ́ c . Các nghiên cƣ́ u nà y đã gó p phầ n thú c đẩ y sƣ̣ phá t triể n củ a lý thuyế t cá c không gian phƣ́ c hyperbolic và mở ra nhƣ̃ ng hƣớ ng nghiên cƣ́ u mớ i . Trong luận văn này, chng tôi đặ t vấ n đề tìm hiể u cá c kế t quả củ a J.Joseph và M.Kwack theo cá c hƣớ ng đã nêu . Luận văn gồm có hai chƣơng. Chƣơng 1, chng tôi trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích phức nhiều biến và giải tích hyperbolic nhm chuẩn bị cho chƣơng sau. Bao gồ m đị nh ngha một số khái nim về đa tạp phức , không gian phƣ́ c hyperbolic và tính nhng hyperbolic của các không gian phức . Tiế p theo l à các kết quả của Kiernan, Kobayashi, Kwack và Noguchi về thá c triể n á nh xạ chỉnh hì nh giƣ̃ a các không gian phức . Chƣơng 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chƣơng này chng tôi trình bày một số đặ c trƣng củ a tí nh chấ t , các chứng minh và tổ ng quá t cá c kế t quả củ a Kiernan , Kobayashi, Kwack và Noguchi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Các kết quả trình bày trong chƣơng 2 đã đƣợ c J .Joseph và M .Kwack trình bày trong   4 . Tuy nhiên trong luậ n văn chú ng tôi đã cố gắ ng trì nh bày mộ t cá ch tƣơng đố i chi tiế t cá c chứng minh củ a cá c định lý và trì nh bà y cá c vấ n đề theo cách hiu của mình . Ngoài ra chng tôi cn chứng minh đƣc một số ví dụ mà J .Joseph và M.Kwack đã đƣa ra nhằ m là m rõ hơn cá c vấ n đề đã đƣợ c trì nh bà y trong luậ n văn . Luận văn đƣc hoàn thành dƣi sự hƣng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Vit Đức. Em xin bày tỏ lng biết ơn sâu sắc ti Thầy. Nhân dịp này em cũng xin đƣc bày tỏ lng biết ơn sâu sắc ti các Thầy , Cô đã giảng dạy cho em các kiến thức khoa hc trong suốt quá trình hc tập tại trƣờng. Xin chân thà nh cảm ơn Trƣờng Đại hc Sƣ phạm - Đại hc Thái Nguyên đã tạo điều kin thuận li cho vic hc tập của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, ngƣời thân và bạn bè đã động viên gip đỡ tôi trong suốt quá trình khoá hc và hoà n thà nh luậ n văn nà y . Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình 1.1.1 Định nghĩa Cho X là tập mở trong n  và :fX  là một hàm tùy ý. (1) Hàm f đƣc gi là khả vi phức tại 0 xX nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính : n   sao cho : 00 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x h h       trong đó 12 ( , , , ) n n h h h h và 2 22 12 n h h h h    (2) Hàm f gi là chỉnh hình tại 0 xX nếu f là khả vi phức trong một lân cận nào đó của 0 x và đƣc gi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mi đim thuộc X. (3) Cho X là tập mở trong n  . Khi đó ánh xạ : m fX có th đƣc biu diễn dƣi dạng 12 ( , , , ) m f f f f trong đó : ii f f X   ; f đƣc gi là chỉnh hình trên X nếu i f chỉnh hình trên X vi mi 1,2, ,im . 1.1.2 Định nghĩa Cho X là tập mở trong n  , hàm : ( ) n f X f X là song chỉnh hình nếu f là song ánh chỉnh hình và 1 f  cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ 1.2.1.1 Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô Hausdorff (1) Cặp   ,U  đƣc gi là một bản đồ địa phƣơng của X ở đó U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 là một tập mở trong X, : n U    nếu các điều kin sau đƣc thỏa mãn : (i) ()U  là một tập mở trong n  . (ii) : ( )UU   là một đồng phôi. (2) H     , ii iI U   A các bản đồ địa phƣơng của X đƣc gi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kin sau đƣc thỏa mãn: (i)   i iI U  là một phủ mở của X. (ii) Vi mi , ij UU mà ij UU   thì ánh xạ     1 : j i i i j j i j U U U U         là ánh xạ chỉnh hình. Xét h các atlas trên X. Hai atlas 12 ,AA đƣc gi là tƣơng đƣơng nếu hp 12 AA là một atlas. Đây là một quan h tƣơng đƣơng trên tập các atlas. Mỗi lp tƣơng đƣơng xác định một cấu trc khả vi phức trên X, và X cùng vi cấu trc khả vi phức trên nó đƣc gi là một đa tạp phức n chiều. 1.2.1.2 Ví dụ (1) Giả sử D là một miền trong n  , khi đó D là một đa tạp phức n chiều vi bản đồ địa phƣơng     , D D Id . (2) Đa tạp xạ ảnh () n P  . Xét     01 : : : ( ) 0 n i n i U z z z P z   vi 0,1,2, ,in . Rõ ràng   1 n i i U  là một phủ mở của () n P  . Xét các đồng phôi : n ii UC     0 1 1 01 : : : , , , , , i i n n i i i i z z z z z z z z z z z      Ta có : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5   1 0 1 1 0, : , , , , k j i i i n j kn kj z z z z z z           , ở đó 1 i z  là ánh xạ chỉnh hình.Vậy () n P  là một đa tạp phức n chiều. 1.2.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức (1) Cho M,N là hai đa tạp phức. Ánh xạ liên tục :f M N gi là chỉnh hình trên M nếu vi mi bản đồ địa phƣơng   ,U  của M và bản đồ địa phƣơng   ,V  của N sao cho ()f U V thì ánh xạ 1 : ( ) ( )f U V       là chỉnh hình. Ta ký hiu ( , )H M N là tập các ánh xạ chỉnh hình từ đa tạp phức M đến đa tạp phức N. (2) Cho M,N là hai đa tạp phức và :f M N là một song ánh. Nếu 1 ,ff  là các ánh xạ chỉnh hình thì f đƣc gi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N. 1.2.3 Định nghĩa (1) Cho M là đa tạp phức, một không gian con phức đóng X là một tập con đóng của M mà về mặt địa phƣơng nó có th xác định là không đim của một số hữu hạn các hàm chỉnh hình, ngha là vi 0 xX tồn tại một lân cận mở V của 0 x trong M và một số hữu hạn các hàm chỉnh hình 12 , , , n    trên V sao cho XV là tập các đim xX thỏa mãn : 12 ( ) ( ) ( ) 0 n x x x        . (2) Cho M là đa tạp phức, không gian con phức đóng A của M đƣc gi là một divisor trên M nếu về mặt địa phƣơng thì nó là không đim của một hàm chỉnh hình, ngha là vi mỗi xA có lân cận V của x trong M sao cho AV là tập các không đim của hàm f chỉnh hình trên V. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Khi dimMm thì divisor A đƣc gi là có giao chuẩn tắc nếu về mặt địa phƣơng thì : * () rs M A D D   , vi r + s = m, trong đó D là đa đơn vị trong  . 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 1.3.1 Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị Giả sử   ,1D z z   là đa đơn vị mở trong  . Xét ánh xạ : D DD    xác định bởi 1 1 ( , ) ln ; , 1 1 D ab ba a b a b D ab ba           . Ta có D  là một khoảng cách trên D và gi nó là khoảng cách Bergman – Poincaré trên đa đơn vị. 1.3.2 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 1.3.2.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai đim tùy ý của X. ( , )H D X là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đa đơn vị D vào không gian phức X đƣc trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các đim 01 , , , k p x p p y của X, dãy các đim 12 , , , k a a a của D và dãy các ánh xạ 12 , , , k f f f trong ( , )H D X thỏa mãn 1 (0) , ( ) , 1,2, , i i i i i f p f a p i k      . Ta gi một dây chuyền chỉnh hình  nối x vi y là tập hp :   0 1 1 , , , , , , , , k k k p p a a f f   thỏa mãn các điều kin trên. Ta đặt : 1 (0; ) n Di i La      và định ngha ( , ) inf X d x y L   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 trong đó infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình  nối x vi y . Dễ thấy X d thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là : ) ( , ) 0, , . ) ( , ) ( , ), , . ) ( , ) ( , ) ( , ), , , . X XX X X X i d x y x y X ii d x y d y x x y X iii d x z d x y d y z x y z X           Nói cách khác X d là một giả khoảng cách trên X. Giả khoảng cách X d đƣc gi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. 1.3.2.2 Tính chất Ta có th dễ dàng chứng minh các tính chất sau của X d : i) DD d   và 1, (( ),( )) max ( , ) n i j i j D jn d z w z w    vi mi ( ),( ) n ij z w D . ii) Nếu : f X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X,Y thì ( , ) ( ( ), ( )), , XY d p q d f p f q p q X   . Từ đó suy ra rng nếu : f X Y là song chỉnh hình thì ( , ) ( ( ), ( )), , XY d p q d f p f q p q X   . iii) Đối vi một không gian phức X tùy ý, hàm khoảng cách X d là liên tục trên XX . iv) Nếu X,Y là các không gian phức thì vi mi 1 2 1 2 , ; ,x x X y y Y ta có   1 2 1 2 1 1 2 2 max ( , ), ( , ) (( , ),( , )) X Y X Y d x x d y y d x y x y   . 1.4 Không gian phức hyperbolic 1.4.1 Không gian phức hyperbolic 1.4.1.1 Định nghĩa Không gian phức X đƣc gi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi X d là khoảng cách trên X, ngha là: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 ( , ) 0 X d p q p q   , ,p q X 1.4.1.2 Ví dụ (a) D là hyperbolic vì DD d   mà D  là khoảng cách trên D nên D d cũng là khoảng cách trên D. (b)  n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử n d  là giả khoảng cách Kobayashi trên  n , ta sẽ chỉ ra rng 0 n d   và do đó n d  không là khoảng cách trên  n . Vi ,  n xy và ( 0)p D p   , xét ánh xạ : : n fD yx z x z p      Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, (0) fx và ()f p y . Do f làm giảm khoảng cách đối vi D d và n d  nên ta có: (0; ) ( (0); ( )) n D d p d f f p   ( , ) (0; ) n D d x y p    . Cho p dần ti 0 ta có ( , ) 0 n d x y   . Vậy  n không là đa tạp hyperbolic. 1.4.1.3 Tính chất i) Nếu X,Y là không gian phức, thì XY là không gian hyperbolic khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic. ii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và : f X Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là không gian hyperbolic. Đặc bit, nếu X là không gian con phức của không gian hyperbolic Y thì X cũng là hyperbolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chứng minh Vi mi , ' , 'x x X x x ta có :   ( , ') ( ), ( ') . XY d x x d f x f x Mặt khác do f đơn ánh nên ( ) ( ')f x f x và do Y là không gian hyperbolic nên ta có :   ( ), ( ') 0 Y d f x f x   ( , ') 0 X d x x   X là không gian hyperbolic. iii) Định lý Barth (xem   8 ) Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì X d sinh ra tô pô tự nhiên của X. 1.4.1.4 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood) Giả sử : XY  là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm yY có lân cận U của y sao cho 1 ()U   là hyperbolic thì X là hyperbolic . 1.4.2. Không gian phức hyperbolic đầy 1.4.2.1 Định nghĩa Không gian phức X đƣc gi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và mi dãy Cauchy vi khoảng cách X d đều hội tụ. 1.4.2.2 Mệnh đề Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông. Khi đó X là hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu với mọi xX và 0r  mọi hình cầu đóng ( , )B x r là compact. 1.4.2.3 Mệnh đề (a) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy. [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG 2 TÍNH TỰ NHIÊN TÔPÔ CỦA ĐỊNH LÝ NOGUCHI VỀ DÃY CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC 2.1 Mở đầu Nếu X, Y là các không gian tôpô , ta ký hiệu F ( X , Y ) là tập hợp các hàm từ X tới Y Dựa vào các tính chất (i) và (ii) của định lý 1.4.4.11 J.Joseph và M.Kwack đã đƣa ra khái niệm sau: Tính chất  : Giả sử X và Y là các không gian tôpô và X 0  X là trù mật Ta... con phức, compact tương đối trong không gian phức Y Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu H ( D, X ) là compact tương đối trong H ( D, Y ) 1.4.4 Các định lý về thác triển chỉnh hình giữa các không gian phức 1.4.4.1 Định lý Nếu X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y thì mọi f  H ( D* , X ) có thác triển  f  H ( D,Y ) 1.4.4.2 Định lý Noguchi. .. đặc trƣng của tính chất  và ứng dụng cho nghiên cứu tính nhúng hyperbolic của các không gian phức Trƣớc hết, ta nhắc lại một số khái niệm sau : + Một không gian đƣợc gọi là k - không gian nếu một tập con C của không gian là đóng khi C  K là đóng trong K cho mỗi tập con compact K của không gian + Mọi không gian tôpô đều đƣợc giả thiết là không gian Hausdorff và Y sẽ luôn là không gian compact...(b) Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy (c) Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy (d) Giả sử  : X  Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi y  Y , tồn tại một lân cận U sao cho  1 (U ) là hyperbolic Khi đó X là hyperbolic đầy (e) Giả sử  : X '  X là ánh xạ phủ chỉnh hình Khi đó X là hyperbolic... tập các ánh xạ g  C ( X , Y ) mà là các thác triển của các phần tử của f 1.4.4.6 Định lý Nếu X, Y là các không gian phức thì họ f  H  X ,Y  là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu f  H  M , X  là compact tương đối trong C ( D,Y  ) 1.4.4.7 Định lý Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 http://www.lrc-tnu.edu.vn phức. .. nếu X’ là hyperbolic đầy 1.4.3 Không gian phức nhúng hyperbolic 1.4.3.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó ta nói X là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y  X  Y , tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho d X ( X  U , X  V )  0, trong đó dX là khoảng cách Kobayashi trên X 1.4.3.2 Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ... khái niệm và kết quả sau 1.4.4.5 Định nghĩa Giả sử X,Y là các không gian phức Ký hiệu C ( X , Y ) là họ các ánh xạ liên tục từ X vào Y Họ f  H  X ,Y  đƣợc gọi là họ chuẩn tắc đều nếu f  H  M , X  là compact tƣơng đối trong C(M ,Y  ) , với mỗi đa tạp phức M, trong đó Y   Y   là compact hóa 1 điểm của Y Nếu X 0 ,Y0 là các không gian con của không gian tôpô X,Y tƣơng ứng và f  C  X... tạp phức M thì mỗi  f  H ( M  A, X ) đều thác triển được thành f  C ( M , Y  ) và nếu X là  compact tương đối trong Y thì f  H ( M ,Y ) Từ đó theo định lí 1.4.4.7 và định lí 1.4.4.9 ta suy ra kết quả của định lí Noguchi 1.4.4.4 1.4.4.11 Định lý Các phát biểu dƣới đây là tƣơng đƣơng, với X là không gian con phức trong không gian phức Y i) X là nhúng hyperbolic trong Y ii) Nếu  fn,zn là các. .. Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 http://www.lrc-tnu.edu.vn trong không gian phức Y Cho f  H ( D* , X ) và  f n  là dãy trong H ( D* , X )   Khi đó nếu f n  f thì f n  f 1.4.4.3 Định lý K3 Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Cho M là đa tạp phức và... hyperbolic trong không gian phức Y Cho M là đa tạp phức và A là divisor trên M có giao chuẩn tắc Giả sử fn : M  A  X là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hôi tu đêu trên cac tâp con compact cua M  A ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ tơi anh xa chỉnh hình ́ ́ ̣ f :M  A X   Giả sử f n , f là các thác triển chỉnh hình của ́ ̀ f n , f tương ưng tư M vào Y   Khi đó f n  f trong H ( M , Y ) Để chứng minh định lí 1.4.4.4 ta cần . CHƢƠNG 2 TÍNH TỰ NHIÊN TÔPÔ CỦA ĐỊNH LÝ NOGUCHI VỀ DÃY CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC 2.1 Mở đầu Nếu X, Y là các không gian tôpô , ta ký hiu ( , )F X Y là tập hp các hàm. Chương 2 : Tính tự nhiên tôpô của định lí Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức 2.1 Mở đầu…………………….……………………………………… 19 2.2 Tổng quát tôpô các kết quả của Kiernan,. Trần Thị Kim Liên: Tính tự nhiên tôpô của định lý Noguchi về dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức – Toán giải tích Số hóa bởi Trung tâm Học liệu