ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯỜNG THANH NGA TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái nguyên, năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯỜNG THANH NGA TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CĨ TRỄ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Thái nguyên, năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Möc löc Möc löc Mởt số kẵ hiằu dũng luên vôn Líi mð ¦u Cì sð to¡n håc 1.1 B i to¡n ên ành v  ên ành ho¡ 1.1.1 B i to¡n ên ành 1.1.2 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov 1.1.3 B i to¡n ên ành ho¡ 1.2 B i to¡n ên ành, ên ành ho¡ h» câ tr¹ 1.2.1 B i to¡n ên ành h» câ tr¹ 1.2.2 Bi toĂn ờn nh hoĂ hằ phữỡng trẳnh vi phƠn v iÃu khin cõ trạ 1.3 Mët sè bê · bê trñ 7 11 12 12 13 14 Tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ 16 2.1 Tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.1 T½nh ên nh cừa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 2.1.2 Tẵnh ờn nh hoĂ cừa hằ tuyán t½nh khỉng ỉtỉnỉm 2.2 T½nh ên ành v  ờn nh hoĂ hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ 2.2.1 Tẵnh ờn nh hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ 2.2.2 Tẵnh ờn ành ho¡ cõa h» i·u khiºn khỉng ỉtỉnỉm câ tr¹ 16 20 23 23 31 T½nh ên ành v  ên nh hoĂ hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp 36 3.1 Tẵnh ờn nh hằ tuyán tẵnh khổng ỉtỉnỉm câ tr¹ hđp 3.2 Sü ờn nh hoĂ cừa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp 3.3 Tẵnh ờn nh bÃn vỳng hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ Kát luên T i li»u tham kh£o 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 46 50 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn MËT SÈ K HI›U DÒNG TRONG LUN VN ã R+ : Têp cĂc số thỹc khổng Ơm ã Rn : Khổng gian vc tỡ n - chiÃu vợi kẵ hiằu tẵch vổ hữợng l chuân vc tỡ l ||.|| ã Rnìr : Têp cĂc hm liản tửc trản [a, b] v nhên giĂ tr trản Rn • L2 ([a, b], Rm ): Rm • I: v Khổng gian cĂc ma (n ì r) - chi·u • C([a, b], Rn ): • AT : , Têp cĂc hm khÊ tẵch bêc hai trản [a, b] lĐy giĂ tr Ma chuyn v cừa ma A Ma ỡn v ã (A): Têp tĐt cÊ cĂc giĂ tr riảng cừa A ã λmax (A) :=max {Reλ : λ ∈ λ(A)} • BM + (0, ∞): Tªp c¡c h m ma trªn èi xùng, xĂc nh khổng Ơm v b chn trản (0, ) ã A > 0: Ma A xĂc nh dữỡng • A ≥ 0: Ma trªn A x¡c ành khỉng Ơm ã ||A|| = max (AT A): Chuân phờ cừa ma trªn A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Líi mð ¦u Lỵ thuyát ờn nh ữủc bưt Ưu nghiản cựu tứ cuối thá k 19 bi nh toĂn hồc ngữới Nga A.M Lyapunov Tr£i qua qu¡ tr¼nh ph¡t triºn hìn mët trôm nôm, lỵ thuyát ny khổng hà tọ cờ in m trĂi lÔi văn l mởt lỵ thuyát toĂn hồc phĂt trin mÔnh m v thu ữủc nhiÃu thnh tỹu rỹc rù nhiÃu thêp k qua vẳ sỹ phĂt trin àp  cÊ và lỵ thuyát v ựng dửng phong phú cừa nõ Cho án lỵ thuyát ờn nh  ữủc nghiản cựu v phĂt trin nhữ mởt lỵ thuyát toĂn hồc ởc lêp v ữủc ựng dửng nhiÃu cĂc lắnh vỹc khĂc nhữ kinh tá khoa hồc kắ thuêt, sinh thĂi hồc, iÃu khin tối ữu, iÃu khin hằ thống Nhữ  biát, cõ nhiÃu phữỡng phĂp  nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn v mội phữỡng phĂp lÔi cõ nhỳng ữu, nhữủc im riảng Trong luên vôn ny, chúng tổi nghiản cựu tẵnh ờn nh, ờn nh hoĂ cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn v iÃu khin cõ trạ bơng phữỡng phĂp hm Lyapunov (cỏn gồi l  ph÷ìng ph¡p Lyapunov thù hai), l  mët ph÷ìng ph¡p rĐt hỳu hiằu viằc nghiản cựu tẵnh chĐt ờn nh cừa cĂc hằ phữỡng trẳnh vi phƠn ỗng thới, ph÷ìng ph¡p n y cơng l  mët cỉng cư quan trång lỵ thuyát nh tẵnh cĂc hằ iÃu khin, cĂc hằ ởng lỹc BÊn luên vôn gỗm phƯn m Ưu v chữỡng Cử th l: S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng 1: Cì sð to¡n håc Trong ch÷ìng n y, chúng tổi trẳnh by mởt số kián thực cỡ s và hằ phữỡng trẳnh vi phƠn hm v iÃu khin câ tr¹, b i to¡n ên ành, ên ành ho¡ h» phữỡng trẳnh vi phƠn v iÃu khin cõ trạ, mởt sè bê · dịng º chùng minh c¡c k¸t qu£ cĂc chữỡng sau Chữỡng 2: Tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kát qu£ v· sü ên ành mô, mët sè i·u ki»n mợi  mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ l ờn nh tiằm cên mụ, - ên ành mơ, v  mët sè v½ dư minh hoÔ Chữỡng 3: Tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ v· sü ên ành mơ, mët sè i·u ki»n mỵi  mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp, v mởt số vẵ dử minh hoÔ Tổi xin by tọ lỏng khƠm phửc v biát ỡn sƠu sưc tợi GS TSKH Vụ Ngồc PhĂt, ngữới thƯy  tên tẳnh ch bÊo tổi suốt quĂ trẳnh lm luên vôn Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn tợi cĂc thƯy, cĂc cổ Viằn ToĂn hồc  ch bÊo, giúp ù tổi hon thnh luên vôn ny ỗng thới, tổi cụng xin by tọ lỏng biát ỡn tợi nhỳng thƯy cổ khoa ToĂn, khoa Sau Ôi hồc, trữớng Ôi hồc sữ phÔm, HTN,  giúp ù, tÔo iÃu kiằn cho tổi quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Cuối cũng, tổi xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn, bÔn b, nhỳng ngữới luổn ởng viản, õng hë v  l  ché düa tinh th¦n cho tỉi cc sèng, håc tªp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v  nghiản cựu Mc dũ  cố gưng rĐt nhiÃu vẳ thới gian v trẳnh ở cỏn hÔn chá nản luên vôn ny khổng trĂnh khọi nhỳng sai lƯm, thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo v nhỳng ỵ kián õng gõp cừa quẵ thƯy cổ v cĂc bÔn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch÷ìng Cì sð to¡n håc Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì bÊn và tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ ữủc cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng v hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ [3], [5], [8] 1.1 Bi to¡n ên ành v  ên ành ho¡ 1.1.1 B i to¡n ên ành X²t mët h» thèng ÷đc mỉ t£ bði mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn: x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , ˙  x(t ) = x , t0 ≥ 0, 0 (1.1) â: f (t, x) : R+ × Rn → Rn, vỵi méi t ≥ t0, x(t) ∈ Rn Chóng ta giÊ thiát hằ (1.1) luổn cõ nghiằm nhĐt x(t, x0) trản [0, ) nh nghắa 1.1.1 Nghiằm x0(t) cừa hằ (1.1) l ờn nh náu vợi mồi số > 0, vợi mồi t0 0, tỗn tÔi số δ > cho vỵi måi nghi»m y(t) kh¡c x0 (t) vỵi y(t0 ) = y0 cõa h» (1.1) thoÊ mÂn ||y0 x0 || < thẳ bĐt ¯ng thùc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sau nghi»m óng: ||y(t) − x0 (t)|| < ε, ∀t ≥ t0 ành ngh¾a 1.1.2 Nghi»m x0(t) cõa h» (1.1) l  ên ành tiằm cên náu nghiằm õ l ờn nh v tỗn tÔi số > cho vợi ||y0 x0|| < δ0 th¼ lim y(t) − x0 = t→∞ Vªy ta câ: Nghi»m x0(t) l  ên ành ti»m cên náu nõ ờn nh v mồi nghiằm y(t) khĂc cõ giĂ tr ban Ưu y0 gƯn vợi giĂ tr ban Ưu x0 s tián gƯn x(t) t tián tỵi vỉ cịng Vỵi x0(t) l  mët nghi»m cõa h» (1.1), bơng php ời bián z(t) = x(t) x0 (t), hằ (1.1) s ữủc ữa và dÔng: z(t) = F (t, z(t)), t ≥ t0 , F (t, 0) = 0, ˙  z(t ) = z , (1.2) â: F (t, z(t)) = f (t, z(t) + x0 (t)) − f (t, x0 (t)) Khi â: z ≡ l  mët nghi»m cõa (1.2) vợi iÃu kiằn ban Ưu z(t0) = z0 Nhữ vêy, ta thĐy rơng viằc nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa mët nghi»m x0(t) n o â cõa h» (1.1) ÷đc ÷a và nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa nghiằm khổng (nghiằm ỗng nhĐt bơng 0) cừa hằ (1.2)  ngưn gồn, tø thay v¼ nâi nghi»m khỉng cõa h» (1.2) l  ên ành ta s³ nâi h» (1.2) l  ên nh Do vêy, tứ bƠy giớ ta xt hằ (1.1) vợi giÊ thiát hằ cõ nghiằm 0, tực l: f (t, 0) = 0, t ∈ R+ ành ngh¾a 1.1.3 Hằ (1.1) ữủc gồi l ờn nh náu bĐt ký số > 0, t0 tỗn tÔi sè δ > cho b§t ký nghi»m x(t) vợi iÃu kiằn ban Ưu x(t0) = x0 thoÊ mÂn ||x0|| < thẳ ta cõ ||x(t)|| < , vợi måi t ≥ t0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do â, tø (3.5), (3.6), (3.7), ta câ: ˙ ˙ ˙ V1 + V2 ≤ (Pβ (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t))x(t), x(t) p (1 − δi )e−2αhi ||x(t − hi (t))||2 + i=1 q t (1 − µk )e + −2αrk ||x(s)||2 ds t−rk (t) k=1 (3.8) Ôo hm cừa V3 v V4 dồc theo nghi»m cõa h» (3.1) ta câ: p ˙ ||x(t)||2 − (1 − hi (t))e−2αhi (t) ||x(t − hi (t))||2 ˙ V3 = i=1 p t e2α(s−t) ||x(s)||2 ds − 2α (3.9) t−hi (t) i=1 p ˙ (1 − hi (t))e−2αhi (t) ||x(t − hi (t))||2 − 2αV3 = p||x(t)||2 − i=1 p (1 − δi )e−2αhi ||x(t − hi (t))||2 − 2αV3 ≤ p||x(t)||2 − i=1 q t ˙ V4 = e2α(s−t) ||x(s)||2 ds rk (t)||x(t)|| − (1 − rk (t)) ˙ t−rk (t) k=1 q t t e2α(ξ−t) ||x(ξ)||2 dξds − 2α k=1 t−rk (t) s q q rk (t)||x(t)|| − = k=1 V¼ rk (t) ≤ rk , q rk ||x(t)|| − k=1 n¶n ta câ: t e2α(s−t) ||x(s)||2 ds − 2αV4 (1 − µk ) t−rk (t) k=1 q t (1 − µk )e−2αrk rk ||x(t)||2 − ≤ t−rk (t) rk (t) ≤ µk , k = 1, 2, , q ˙ k=1 q e2α(s−t) ||x(s)||2 ds − 2αV4 (1 − rk (t)) ˙ k=1 q ˙ V4 ≤ t ||x(s)||2 ds − 2αV4 t−rk (t) k=1 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.10) Tø (3.5), (3.8),(3.9), (3.10) ta câ: ˙ V (t, xt )+2αV (t, xt ) ˙ = (Pβ (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t))x(t), x(t) p Pβ (t)Ai (t)x(t − hi (t)), x(t) +2 i=1 q t Pβ (t)Dk (t) +2 x(s)ds, x(t) t−rk (t) k=1 p ˙ (1 − hi (t))e−2αhi (t) ||x(t − hi (t))||2 + p||x(t)||2 − i=1 q p t rk (t)||x(t)|| − + k=1 e2α(s−t) ||x(s)||2 ds (1 − rk (t)) ˙ t−rk (t) k=1 + 2α P (t)x(t), x(t) + 2αβ||x(t)||2 (3.11) ˙ ⇒ V (t, xt )+2αV (t, xt ) ˙ Pβ (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) ≤ p + 2αPβ (t) + Pβ (t) i=1 q + k=1 ≤ e2αhi Ai (t)AT (t) i − δi rk e2αrk T Dk (t)Dk (t) Pβ (t) + (p + − µk q rk )I x(t), x(t) k=1 ˙ Pβ (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) q + 2αPβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + (p + rk )I x(t), x(t) k=1 Khi â: ˙ V (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ 0, t ≥ Do â, theo ành lỵ (1.2.1) hằ trản l - ờn nh mụ 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.12) º t¼m h» sè ên nh, ta lĐy tẵch phƠn vá cừa (3.12) tứ ¸n t ta câ: V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2αt , t ∈ R+ , K¸t hủp vợi (3.4) ta ữủc: V (0, x0 ) t e , t ≥ β ||x(t, φ)|| ≤ Ta ÷ỵc l÷đng gi¡ trà V (0, x0) nh÷ sau: V (0, x0 ) = P (0)x(0), x(0) + β||x(0)||2 p q e + i=1 2αs e2αξ ||x(ξ)||2 dξds ≤ (p0 + β)||φ|| + e i=1 p = (p0 + β)||φ|| + i=1 β = p0 + β + i=1 2αs s 0 e2αξ dξds ||φ||2 ds + −hi − e−2αhi + 2α − e−2αhi + 2α −rk (0) q k=1 p p ||x(s)|| ds + −hi (0) Vỵi q k=1 k=1 −rk s q −2αrk + 2αrk − ||φ||2 4α e k=1 e−2αrk + 2αrk − 4α2 Khi â: ||x(t, φ)|| ≤ N ||φ||e−αt, t 0, vợi N = nh lỵ ữủc chựng minh (3.13) β1 β V½ dư 3.1.3 X²t mët h» phữỡng trẳnh khổng dứng cõ trạ hộn hủp: t x(t) = A0 (t)x(t) + A1 (t)x(t − h1 (t)) + A2 (t)x(t − h2 (t)) + D(t) ˙ x(s)ds t−r(t) Trong â:   a0 (t) b0 (t) , A0 (t) =  b0 (t) c0 (t)  A1 (t) = 1/2e−1+t  −1 1  , 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.14)  A2 (t) = 1/2e−1+t   −1 ,   1 , D(t) = et−1/2  5e2t a0 (t) = −3(1 + e ) − , 2(1 + e2t ) 2t b0 (t) = + e2t , 5e2t c0 (t) = − (1 + e2t ) − 2(1 + e2t ) v  t h1 (t) = sin2 , t h2 (t) = cos2 , r(t) = 1/2cos2 3t/2 Ta câ: h1 = h2 = 1, r = 0.5 v  δ1 = δ2 = 1/2, µ1 = 3/4 L§y α = 1, β = 1, thỷ lÔi ta cõ: P (t) = 2t e 0 e−2t  , l  mët nghi»m cõa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati (3.3) Sỷ dửng nh lỵ (3.1.2), h» (3.14) l  ên ành mơ vỵi h» sè = Bơng php tẵnh ỡn giÊn, thu ÷đc: p0 = 1, β1 = − e−2 + 1/4e−1 Tø (3.13), ta câ h» sè ên ành: N = tho£ m¢n: √ β1 x(t, φ) ≤ 1.72e−t 1.7195, v  nghi»m cõa h» (3.14) φ , t ≥ 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Sü ên ành hoĂ cừa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp Xt hằ iÃu khin tuyán tẵnh hộn hủp p x(t) = A(t)x(t) + A (t)x(t − h (t)) + B(t)u(t) ˙  i i   i=1  q t t ∈ R+ , + Dk (t) t−rk (t) x(s)ds,   k=1     x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (3.15) â: u(t) ∈ Rm l  h m i·u khiºn v  B(t) l  c¡c ma hm liản tửc trản [0, ), hi(t), rk (t) l cĂc hm cõ trạ thoÊ mÂn (3.2) A(t), Ai (t), Dk (t), ≤ i ≤ p, ≤ k ≤ q ành ngh¾a 3.2.1 H» (3.15) l  - ờn nh mụ hoĂ ữủc náu tỗn tÔi h m i·u khiºn ng÷đc u(t) = K(t)x(t) cho h» âng:  p x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t) + A (t)x(t − h (t)) ˙  i i   i=1  q t t ∈ R+ , + Dk (t) t−rk (t) x(s)ds,   k=1     x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], l  α - ên ành mô C¡c sè α > 0, β > 0, hi, rk > 0, ≤ i ≤ p, ≤ k ≤ q Ta k½ hi»u: q Pβ (t) = P (t) + βI, Q = (p + rk )I, k=1 p R(t) = i=1 e2αhi Ai (t)AT (t) + i − δi q k=1 rk e2αrk T Dk (t)Dk (t), − µk 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.16) p R(t) = i=1 e2αhi Ai (t)AT (t) + i − δi q k=1 rk e2αrk T Dk (t)Dk (t) − B(t)B T (t) − àk Ta xt phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati: P (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + 2αPβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q = (3.17) nh lỵ 3.2.2 Cho > 0, hằ (3.15) l - ờn nh mụ hoĂ ữủc náu > v  P ∈ BM + [0, ∞) tho£ m¢n phữỡng trẳnh Riccati (3.17) Hm iÃu khin ngữủc ờn nh ho¡ ÷đc cho bði : u(t) = − B T (t)Pβ (t)x(t), t ≥ Chùng minh õ: Vợi hm iÃu khin ngữủc u(t) = K(t)x(t), K(t) = − B T (t)Pβ (t) H» âng cõa h» (3.15) ÷đc cho bði:  p x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t) + A (t)x(t − h (t)) ˙  i i   i=1  q t t ∈ R+ , + Dk (t) t−rk (t) x(s)ds,   k=1     x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], K½ hi»u: A(t) = A(t) + B(t)K(t) Khi â h» tr¶n trð th nh:  p x(t) = A(t)x(t) + A (t)x(t − h (t)) ˙  i i   i=1  q t + Dk (t) t−rk (t) x(s)ds, t ∈ R+ ,   k=1     x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0] 47 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.18) Tø (3.17) ta câ: T A (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) = [AT (t) + K T (t)B T (t)]Pβ (t) + Pβ (t)[A(t) + B(t)K(t)] p + Pβ (t) i=1 e2αhi Ai (t)AT (t) + i − δi q k=1 rk e2αrk T Dk (t)Dk (t) Pβ (t) − µk = AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) 1 − Pβ (t)B(t)B T (t)Pβ (t) − Pβ (t)B(t)B T (t)Pβ (t) 2 q p 2αhi rk e2αrk e T T Ai (t)Ai (t) + Dk (t)Dk (t) Pβ (t) + Pβ (t) − δi − µk i=1 k=1 p T = A (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + Pβ (t) i=1 q + k=1 e2αhi Ai (t)AT (t) i − δi rk e2αrk T Dk (t)Dk (t) − B(t)B T (t) Pβ (t) − µk = AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) Vªy ta câ: T ˙ Pβ (t) + A (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + 2αPβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q ˙ = Pβ (t) + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t) + 2αPβ (t) + Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q p döng ành lỵ (3.1.2), ta cõ hằ õng (3.18) l -ờn ành mô hay h» (3.15) l  α - ên ành mụ hoĂ ữủc nh lỵ ữủc chựng minh Vẵ dử 3.2.3 X²t h» i·u khiºn:  x(t) = A(t)x(t) + p Ai (t)x(t − hi (t)) + B(t)u(t) ˙ i=1   t + q Dk (t)) t−rk (t) x(s)ds, t ∈ R+ , k=1     x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn â: p = q = v   A(t) =  − 2(1+e−t ) −t e (1 + e−t ) −t e (1  +e ) , −t − 2(1+e−t )   1 , D(t) = 1/2e0,5(t−1)    −1 , A1 (t) = 1/2e0,5t−1    √ B(t) = + e−t   , h(t) = 2sin2 3/8t, r(t) = cos2 3/4t Ta câ: h = 2, r = v = à1 = 0.75 LĐy = 0.5, = Khi õ, thỷ lÔi ta cõ:  , P (t) = e−t  l mởt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati (3.17) Sỷ dửng nh lỵ (3.2.2), hằ trản l 0.5 - ên ành mơ H m i·u khiºn ng÷đc : u(t) = −e−t (1 + e−t ) 2 x(t), t ≥ Hìn núa, nghi»m cõa h» âng tho£ m¢n: ||x(t, φ)|| ≤ 1.798e−0.5t ||φ||, t ≥ 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3 T½nh ên ành b·n vỳng hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ Xt hằ phữỡng trẳnh cõ trạ hộn hủp: p x(t) = (A + ∆A (t))x(t) + (A + ∆A (t))x(t − h (t)) ˙  i i i 0   i=1  q t t ∈ R+ , + (Dk + ∆Dk (t)) t−rk (t) x(s)ds,   k=1     x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (3.19) â: hi(t), rk (t) l  c¡c h m khổng dứng cõ trạ thoÊ mÂn (3.2) v A0 , Ai , Dk , ≤ i ≤ p, k q l cĂc ma hơng; CĂc ma nhiạu A0 (t), Ai (t), Dk (t) cõ dÔng: A0 (t) = E0 F0 (t)H0 , Ai (t) = Eia Fia (t)Hia , d d d ∆Dk (t) = Ek Fk (t)Hk , â: d v  Ek , Hkd, ≤ k ≤ q l  c¡c ma trªn thüc d F0 (t), Fia (t), ≤ i ≤ p, Fk (t), ≤ k ≤ q l  cĂc ma khổng xĂc nh thoÊ mÂn iÃu kiằn sau: E0 , H0 , Eia , Hia , ≤ i ≤ p T F0 (t)F0 (t) ≤ I, FiaT (t)Fia (t) ≤ I, dT d Fk (t)Fk (t) ≤ I, k = 1, 2, , q, i = 1, 2, , p, ∀t ≥ Chóng ta câ cĂc kát quÊ sau và tẵnh - ờn nh mụ cừa hằ (3.19) nh lỵ 3.3.1 Cho > 0, h» (3.19) l  α - ên ành mơ n¸u tỗn tÔi ma P ối xựng, xĂc nh dữỡng, c¡c sè d÷ìng ρ0 , ρi , νk , ≤ i ≤ p, ≤ k ≤ q 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn d dT cho ρi I − Hia HiaT > 0, νk I − Hk Hk > v  tho£ m¢n:   Ω13 Ω14 Ω15 Ω16 Ω17  Ω11 Ω12    ∗ −Ω22 0 0       ∗ ∗ −Ω33 0 0       ∗ ∗ ∗ −Ω44 0  <      ∗ ∗ ∗ ∗ −Ω55 0        ∗ ∗ ∗ ∗ −Ω66   ∗   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Ω77 (3.20) â: q Ω11 = AT P + P A0 + 2αP + T ρ0 H0 H0 + (p + rk )I, k=1 a Ω12 = [P A1 H1 ··· a P Ap Hp ], d Ω13 = [P D1 H1 ··· d P Dq Hq ], Ω14 = [P E0 a a P E1 · · · P Ep ], d Ω15 = [P E1 d P E2 ··· d P Eq ], Ω16 = [P A1 P A2 ··· P Ap ], Ω17 = [P D1 P D2 ··· P Dq ], a aT a aT Ω22 = diag{(1−δ1 )e−2αh1 (ρ1 I−H1 H1 ), · · · , (1−δp )e−2αhp (ρp I−Hp Hp )}, 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn −1 d dT −1 Ω33 = diag{(1 − µ1 )r1 e−2αr1 (ν1 I − H1 H1 ), · · · , (1 − µq )rq e−2αrq (νq I − d dT Hq Hq )}, Ω44 = diag{ρ0 I, (1 − δ1 )e−2αh1 ρ1 I, · · · , (1 − δp )e−2αhp ρp I}, −1 −1 Ω55 = diag{(1 − µ1 )r1 e−2αr1 ν1 I, · · · , (1 − µq )rq e−2αrq νq I}, Ω66 = diag{(1 − δ1 )e−2αh1 I, · · · , (1 − δp )e−2αhp I}, −1 −1 Ω77 = diag{(1 − µ1 )r1 e−2αr1 I, · · · , (1 − µq )rq e−2αrq I} Chùng minh Ta k½ hi»u: A0 (t) = A0 + ∆A0 (t), Ai (t) = Ai + ∆Ai (t), Dk (t) = Dk + ∆Dk (t) Sû döng m»nh · (1.3.5) ta câ: T T T P ∆A0 (t) + [∆A0 (t)]T P = P E0 F0 (t)H0 + H0 F0 (t)E0 P T T ≤ ρ−1 P E0 E0 P + ρ0 H0 H0 Ai (t)AT (t) = (Ai + ∆Ai (t))(Ai + ∆Ai (t))T i = (Ai + Eia Fia Hia )(Ai + Eia Fia Hia )T ≤ Ai AT + Ai HiaT (ρi I − Hia HiaT )−1 Hia AT + ρ−1 Eia EiaT i i i T Dk (t)Dk (t) = (Dk + ∆Dk (t))(Dk + ∆Dk (t))T d d d d d d = (Dk + Ek Fk (t)Hk )(Dk + Ek Fk (t)Hk )T T dT d dT d T −1 d dT ≤ Dk Dk + Dk Hk (νk I − Hk Hk )−1 Hk Dk + νk Ek Ek ≤ i ≤ p, ≤ k ≤ q 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p dửng nh lỵ (3.1.2) cho P (t) = P , phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati tr thnh: q AT (t)P rk )I = + P A0 (t) + 2αP + P R(t)P + (p + k=1 Ta câ: q T rk )I A0 (t)P + P A0 (t) + 2αP + P R(t)P + (p + k=1 = AT + ∆A0 (t)T P + P A0 + ∆A0 (t) + 2αP q p + (p + k=1 e2αhi rk )I + P Ai (t)AT (t) + i − δi i=1 q k=1 rk e2αrk T Dk (t)Dk (t) P − µk q = [AT P T + P A0 ] + [∆A0 (t)] P + P ∆A0 (t) + 2αP + (p + rk )I k=1 p e2αhi + P Ai (t)AT (t)P + i − δi i=1 q k=1 rk e2αrk T P Dk (t)Dk (t)P − µk T T ≤ AT P + P A0 + 2αP + Q + ρ−1 P E0 E0 P + ρ0 H0 H0 0 p e2αhi + P Ai AT P + i − δi i=1 p e2αhi −1 ρi P Eia EiaT P − δi i=1 p + e2αhi P Ai HiaT (ρi I − Hia HiaT )−1 Hia AT P i − δi i=1 q + k=1 q + k=1 rk e2αrk T P Dk Dk P + − µk q k=1 (3.21) rk e2αrk −1 d dT νk P E k E k P − µk rk e2αrk dT d dT d T P Dk Hk (νk I − Hk Hk )−1 Hk Dk P − µk Sû dưng bê · (1.3.1) v  tø (3.20), (3.21) ta thu ÷đc sü ¡nh gi¡ t÷ìng tü (3.12) cho h» (3.19) v  tø â ta suy t½nh α - ên ành mơ cõa h» (3.19) ành lỵ ữủc chựng minh 53 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K˜T LUŠN Luên vôn trẳnh by cĂc kát quÊ cỡ bÊn và tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ ữủc mởt số hằ phữỡng trẳnh vi phƠn v iÃu khin cõ trạ CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn: é chữỡng 2, chúng tổi trẳnh by mởt số kát quÊ và tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ ữủc dÔng mụ cho hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm v hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ v minh hoÔ bơng mởt số vẵ dử mợi é chữỡng 3, vợi viằc cÊi tián hm Lyapunov, sỷ dửng kắ thuêt Ănh giĂ v chùng minh phị hđp, chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kát quÊ cho tẵnh ờn nh mụ, ờn nh hoĂ ữủc dÔng mụ cho hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp Tứ õ Ăp dửng cĂc kát quÊ n y, chùng minh c¡c i·u ki»n õ cho t½nh ên nh mụ bÃn vỳng cừa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp v minh hoÔ bơng mởt số vẵ dử mợi 54 S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn T i li»u tham khÊo Tiáng viằt [1] Nguyạn Thá Hon, PhÔm Phu, (2000), Cỡ s phữỡng trẳnh vi phƠn v lỵ thuyát ờn ành, Nh  xu§t b£n Gi¡o Dưc, H  Nëi [2] Phan Thanh Nam, (2008), T½nh ên ành mơ v  ên ành hoĂ ữủc dÔng mụ cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cõ chêm, Luên Ăn tián s toĂn hồc, Vi»n To¡n håc, H  Nëi [3] Vô Ngåc Ph¡t, (2001), Nhêp mổn lỵ thuyát iÃu khin toĂn hồc , Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc Gia H Nởi Tiáng Anh [4] Abou - Kandil, H., Freiling, G.,Lonescu, V.,Jank, G., (2003), Matrix Riccati Equations in Control and Systems Theory, Birkhauser, Basel [5] Hale J K., Verduyn Lunel S M., (1993), Differential Equation, Springer - Verlag Introduction to Functional [6] L V HIEN, T T ANH and V N PHAT, New stability analysis for linear time - varying systems with mixed multiple delays and applications, IMA - Applied Mathematics, Submitted 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [7] Vu Ngoc Phat, (1996), Constrained Control Problem of Discrete, World Scientific Publisher, Singapore [8] Yoshizawa T., (1966), Stability Theory by Lyapunov's Second Method, Puslisher of Math Soc of Japan 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯỜNG THANH NGA TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ĐIỀU KHIỂN CĨ TRỄ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... 2.1.1 Tẵnh ờn nh cừa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 2.1.2 T½nh ên ành ho¡ cõa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 2.2 Tẵnh ờn nh v ờn nh hoĂ hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm câ tr¹ ... Tẵnh ờn nh hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp 3.2 Sỹ ờn nh hoĂ cừa hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ hộn hủp 3.3 Tẵnh ờn nh bÃn vỳng hằ tuyán tẵnh khổng ổtổnổm cõ trạ Kát luên