Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLE ĐỂ GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có được hệ thống kiến thức để phục vụ cho các kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Tài liệu là một chuyên đề hay và đặc sắc. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho bạn đọc và thương hiệu của tôi ngày một phát triển.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG TRÍ ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG TRÍ ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 01. 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. PHẠM VĂN CƯỜNG Bình Định - Năm 2013 i Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5 1.1 Nguyên lý Dirichlet và các ứng dụng trong toán học . . . . . . 5 1.1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản và mở rộng . . . . . . . . . 5 1.1.2 Một số ứng dụng của nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức được trang bị trong chương trình Toán trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Định nghĩa, tính chất và một số bất đẳng thức cơ bản 9 1.2.2 Một số phương pháp thông dụng chứng minh bất đẳng thức ở Trường phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG PHẠM VI KIẾN THỨC CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 15 2.1 Cơ sở ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Mệnh đề 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ii 2.1.2 Cách sử dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh bằng phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển . . . . . . . . 20 2.2.3 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh bằng cách thông qua đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức phụ . . . . . . . . . . 25 2.2.5 Chứng minh bất đẳng thức dạng hình học . . . . . . . 26 2.2.6 Chứng minh dạng bất đẳng thức mà có thể chứng minh bằng cách sử dụng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 32 3.1 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán bất đẳng thức trong các kì thi học giỏi cấp quốc gia, quốc tế . . . . . . 32 3.2 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Quyết định giao đề tài luận văn 47 1 Mở Đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như chúng ta đã biết, trong nhiều thập kỷ qua, Nguyên lý Dirichlet được ứng dụng để chứng minh nhiều lĩnh vực của Toán học. Nguyên lý Dirichlet được ứng dụng để giải quyết các bài toán: hình học tổ hợp, bài toán về số học, bài toán về tính chia hết, , ngoài ra nguyên lý Dirichlet còn có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh các bài toán về bất đẳng thức. Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó. Để chứng minh được một bất đẳng thức đòi hỏi người học phải có sự hiểu biết và tư duy về toán học rất cao. Trong mỗi bất đẳng thức đều có những vẻ đẹp riêng về cách tư duy và hướng khai thác để giải. Trong chương trình Toán ở phổ thông, kiến thức về bất đẳng thức được trang bị chưa nhiều, việc chứng minh bất đẳng thức cũng chỉ giới thiệu bằng những phương pháp cơ bản: sử dụng định nghĩa, tính chất; dùng các bất đẳng thức cổ điển; phương pháp lượng giác; phương pháp dồn biến, Hiện nay, chưa có một công trình nghiên cứu sâu, cụ thể nào về việc ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông. Qua nghiên cứu chúng tôi thấy nguyên lý Dirichlet có thể ứng dụng để giải một số dạng toán bất đẳng thức, không những trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông mà còn có thể giải một số bài toán bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi Toán quốc gia hằng năm. Qua đó, để giúp cho học sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh giỏi toán nói riêng có một cách nhìn, một phương pháp mới trong việc chứng minh bất đẳng thức. Với suy nghĩ đó, chúng tôi lựa chọn đề tài "Ứng dụng nguyên lý Dirich- 2 let để giải một số dạng toán bất đẳng thức" để nghiên cứu thực hiện luận văn của mình. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh và giáo viên trung học phổ thông có thêm một phương pháp chứng minh một số dạng toán bất đẳng thức trong chương trình Trung học phổ thông bằng cách ứng dụng nguyên lý Dirichlet. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trong đề tài này chúng tôi tập trung nghiên cứu hai nhiệm vụ: - Nghiên cứu ý nghĩa nguyên lý Dirichlet để ứng dụng chứng minh bất đẳng thức. - Nghiên cứu một số dạng toán bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực hiện đề tài, trong quá trình nghiên cứu chúng tôi thực hiện các phương pháp sau: 4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Tìm hiểu tình hình nghiên cứu những vấn đề liên quan về việc ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong Toán học. - Nghiên cứu ý nghĩa và khả năng ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức. - Nghiên cứu các dạng bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh. 4.2. Phương pháp phân tích, tổng hợp và phân loại Trên cơ sở nghiên cứu một số dạng toán bất đẳng thức trong pham vi kiến thức của chương trình Toán ở Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh, tác giả phân tích, tổng hợp và phân loại theo từng dạng bất đẳng thức để có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng 3 minh. 4.3. Phương pháp thực nghiệm, kiểm chứng - Tổ chức giới thiệu, hướng dẫn cho học sinh biết sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng bài toán bất đẳng thức. - So sánh hiệu quả phương pháp giải nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh bất đẳng thức. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đề tài nghiên cứu việc ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất đẳng thức trong phạm vi kiến thức về bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông; nghiên cứu chứng minh một số bài toán bất đẳng thức trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế để bồi dưỡng học sinh giỏi toán. - Đề tài được nghiên cứu tại Trường THPT Nguyễn Trường Tộ, Thành phố Tuy Hòa, Tỉnh Phú Yên. - Thời gian nghiên cứu từ tháng 1/2013 đến tháng 8/2013. 6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN Luận văn có những đóng góp về lý luận và thực tiễn sau: - Khái quát việc ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán sơ cấp. - Phân loại được một số dạng bất đẳng thức trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh. - Nêu được một số dạng bất đẳng thức có thể ứng dụng nguyên lý Dirichlet để chứng minh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. 7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn được nghiên cứu thực hiện theo cấu trúc sau: Mở đầu. Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. 4 Chương 2. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất đẳng thức trong phạm vi kiến thức chương trình Toán ở Trung học phổ thông. Chương 3. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số dạng toán bất đẳng thức trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông. Kết luận. 5 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Nguyên lý Dirichlet và các ứng dụng trong toán học Nguyên lý Dirichlet là nguyên lý những cái lồng nhốt các chú thỏ đã được biết đến từ rất lâu. Nguyên lý này được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học người Đức Perter Guster Lijeune Dirichlet (1805 - 1859). 1.1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản và mở rộng 1.1.1.1. Nguyên lý Dirichlet cơ bản Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ, (với n là số nguyên dương). 1.1.1.2. Nguyên lý Dirichlet dạng mở rộng Nếu nhốt n con thỏ vào m cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất n m 1 m con thỏ, (kí hiệu α để chỉ phần nguyên của số α), với n, m là số các nguyên dương, n > m, m 2 . Nguyên lý Dirichlet mở rộng được chứng minh như sau: Giả sử trái lại mọi chuồng thỏ không có đến n m 1 m n 1 m 1 n 1 m 1 con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng n 1 m con.Từ đó suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m n 1 m n 1 con. Điều này vô lý, vì có n con thỏ. Vậy giả thiết phản chứng là sai. 6 Nguyên lý Dirichlet được chứng minh. Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy, nhưng nó là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của Toán học. Nguyên lý này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ. Nguyên lý Dirichlet thực chất là một định lý về tập hữu hạn. Do đó, nguyên lý Dirichlet có thể phát biểu dưới các dạng tập hợp sau đây: 1.1.1.3. Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với một phần tử của B. 1.1.1.4. Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn, n(A) và n(B) tương ứng là số lượng phần tử của A và B. Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà n A k.n B và có quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B. Khi đó tồn tại ít nhất k 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B. 1.1.2 Một số ứng dụng của nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán sơ cấp 1.1.2.1. Ứng dụng nguyên lý Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp a) Cơ sở lý luận Để ứng dụng nguyên lý Dirichlet để giải bài toán hình học tổ hợp, người ta sử dụng mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1. (Nguyên lý Dirichlet cho diện tích) [...]... h c ph thụng hi n nay tr ng Trung 15 Chng 2 NG D NG NGUYấN Lí DIRICHLET GI I M T S D NG TON B T NG TH C TRONG PH M VI KI N TH C CHNG TRèNH TON PH THễNG 2.1 C s ng d ng nguyờn lý Dirichlet ch ng minh b t ng th c ng d ng nguyờn lý Dirichlet gi i m t s d ng toỏn b t ng th c trong chng Toỏn Trung h c ph thụng ngoi vi c s d ng nguyờn lý Dirichlet chỳng ta cũn cn c m nh sau: 2.1.1 M nh 2 Trong ba... tỡm hi u v nguyờn lý Dirichlet, ki n th c c b n v b t ng th c trong chng trỡnh Toỏn Trung h c ph thụng, tỏc gi ó khỏi quỏt nh ng ng d ng c a nguyờn lý Dirichlet trong vi c gi i toỏn s c p; khỏi quỏt c ki n th c v b t ng th c v m t s phng phỏp 14 thụng d ng ch ng minh b t ng th c trong chng trỡnh Toỏn Trung h c ph thụng T ú t v n cho vi c th c hi n nghiờn c u ng d ng nguyờn lý Dirichlet gi i m... c i u ph i ch ng minh 2.3 K t lu n chng 2 - Tỏc gi ó nờu c c s v cỏch ng d ng nguyờn lý Dirichlet ch ng minh b t ng th c 11 31 - Tỏc gi nờu c m t s vớ d minh h a m t s d ng b t ng th c cú th ch ng minh b ng s d ng nguyờn lý Dirichlet - Tỏc gi rỳt ra kinh nghi m, i u ki n b t ng th c cú th s d ng nguyờn lý Dirichlet ch ng minh l: + B t ng th c ú cú ớt nh t ba bi n cú vai trũ nh nhau + Sau... nguyờn lý Dirichlet chỳng ta cũn cn c m nh sau: 2.1.1 M nh 2 Trong ba s th c b t kỡ x, y, z thỡ ph i cú ớt nh t hai s cựng d u 16 2.1.2 Cỏch s d ng nguyờn lý Dirichlet ch ng minh b t ng th c Khi ch ng minh b t ng th c b ng cỏch s d ng nguyờn lý Dirichlet ta th c hi n nh sau: - Ch n "i m ri": B ng cỏch bi n i b t ng th c ó cho cú th d n n gi thi t: + Cú hai trong ba s pa Ă kq, pb Ă kq, pc Ă kq... bi u ng d ng nguyờn lý Dirichlet ch ng minh m t s d ng b t ng th c trong chng Toỏn 2.2.1 Trung h c ph thụng Ch ng minh d ng b t ng th c m cú th ch ng minh b ng phộp bi n i tng ng Bi toỏn 1 Cho ba s th c dng a, b, c Ch ng minh r ng a2 b2 c2 2abc 1 Ơ 2pab bc caq L i gi i D oỏn i m ri a b c 1 pa Ă 1q, pb Ă 1q, pc Ă 1q cựng d pa Ă 1qpb Ă 1q Ơ 0, suy ra Theo nguyờn lý Dirichlet thỡ 2 trong... hỡnh qu t b ng nhau, m i 1 hỡnh qu t cú di n tớch b ng Do cú 17 i m, m 17 : 8 = 2 d 1, nờn theo 8 nguyờn lý Dirichlet cú m t hỡnh qu t ch a ớt nh t 3 i m Theo gi thi t ba 1 i m khụng th ng hng nờn t o thnh m t tam giỏc cú di n tớch nh hn 8 V y ta c i u ph i ch ng minh 1.1.2.2 ng d ng nguyờn lý Dirichlet gi i cỏc bi toỏn s h c Vớ d 4 Bi t ba s a, a k, a 2k u l cỏc s nguyờn t l n hn 3 Ch ng minh... v tỡm nhi u cỏch ch ng minh b t ng th c ó cho h ts cv tv ng d ng nguyờn lý Dirichlet cú th ch ng minh m t s d ng toỏn b t ng th c trong cỏc kỡ thi h c sinh gi i toỏn l m t phng phỏp gi i h t s c c ỏo, ng n g n, s giỳp h c sinh gi i toỏn cú thờm m t phng phỏp ch ng minh b t ng th c Sau õy l m t s vớ d ng d ng nguyờn lý Dirichlet ch ng minh m t s bi toỏn b t ng th c trong cỏc k thi h c sinh gi... u T c l ch ng minh xu t pa Ă kqpb Ă kq Ơ 0, trong ú k l giỏ tr m ng th c a b c k t hai trong ba s phỏt t x y ra 32 Chng 3 NG D NG NGUYấN Lí DIRICHLET GI I M T S D NG TON B T NG TH C TRONG VI C B I D NG H C SINH GI I TON 3.1 ng d ng nguyờn lý Dirichlet gi i m t s bi toỏn b t ng th c trong cỏc kỡ thi h c gi i c p qu c gia, qu c t Nhi u nm qua trong cỏc thi h c sinh gi i toỏn c p t nh, c... ph i ch ng minh ng th c x y ra khi v ch khi a b c 1 Bi toỏn 2 Cho ba s th c b t kỡ a,b,c Ch ng minh r ng a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 Ơ 2pab bc caq L i gi i D oỏn i m ri a b c ă1 Theo nguyờn lý Dirichlet thỡ hai trong ba s pa2 Ă 1q, pb2 Ă 1q, pc2 Ă 1q cựng d u pa2 Ă 1qpb2 Ă 1q Ơ 0, suy ra c2pa2 Ă 1qpb2 Ă 1q Ơ 0, hay a2 b2 c2 c2 Ơ b2 c2 c2 a2 Nờn ta ch c n ch ng minh a2 b2 2 b2 c2 c2 a2... c i u ph i ch ng minh ng th c x y ra khi v ch khi a b c ă1 Bi toỏn 5 Cho cỏc s th c dng a,b,c sao cho a + b + c = 3 Ch ng minh r ng pa2 Ă a 1qpb2 Ă b 1qpc2 Ă c 1q Ơ 1 L i gi i Theo nguyờn lý Dirichlet thỡ ta gi s pb Ă 1qpc Ă 1q Ơ 0 Khi ú pb2 Ă b 1qpc2 Ă c 1q b2c2 Ă b2c Ă bc2 b2 c2 Ă b Ă c bc 1 bcpb Ă 1qpc Ă 1q b2 c2 Ă b Ă c 1 Ơ b2 c2 Ă b Ă c 1 1 Ơ 2 pb cq2 Ă pb cq 1 Do