BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Ø TRẦN THỊ HỒNG NGA PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET KHÔNG THUẦN NHẤT Ở MỘT PHẦN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60. 46. 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Ø PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET KHÔNG THUẦN NHẤT Ở MỘT PHẦN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60. 46. 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán- tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Trần Thò Hồng Nga Bộ môn Tự nhiên, Trung tâm Đại học Tại Chức Cần Thơ. THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2007 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Nhận xét 1: PGS. TS. Đặng Đức Trọng Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Nhận xét 2: PGS. TS. Nguyễn Đình Huy Khoa Khoa học Ứng dụng, Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Trần Thò Hồng Nga Bộ môn Tự nhiên Trung tâm Đại học Tại Chức Cần Thơ. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tại trường Đại học Cần Thơ, vào lúc …… giờ …… ngày …… tháng …… năm 2007. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Cần Thơ. LÔØI CAÛM ÔN 1 CHƯƠNG 0 PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và ban đầu sau: (0.1) () ( ) ,0,1,0,,,,, Ttxuuutxfuu txxxtt < < = Ω ∈ =− (0.2) () () ( ) ,0,1,,0 = = tutgtu (0.3) () () ( ) ( ) , ~ 0,, ~ 0, 10 xuxuxuxu t = = trong đó 10 ~ , ~ ,, uugf là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của phương trình (0.4) ,2 3 21 buuuuu tttxx +=−−− εαα với 0> ε bé. Rabinowitz [15] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (0.5) ( ) ,,,,,2 1 txtttxx uuutxfuuu = +− α trong đó ε là một tham số bé và f là tuần hoàn theo thời gian. Trong bài báo của Caughey và Ellison [2], đã hợp nhất các xấp xỉ các trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh tiệm cận của nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục. Trong [6], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi 0→ ε của nghiệm yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất (0.6) () () ,0,1,0 == tutu trong đó số hạng phi tuyến có dạng (0.7) () .,utff ε = Bằng sự tổng quát hóa của [6], Alain Phạm và Long [7] đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng (0.8) () t uutff ,, ε = . 2 Nếu [ ) ( ) 2 ,0 ℜ×∞∈ N Cf thỏa ( ) 00,0, = tf với mọi 0≥t một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6) đến cấp 1 + N theo ε thu được, với ε đủ nhỏ, mà điều này đã nới rộng kết quả cho phương trình đạo hàm riêng từ phương trình vi phân thường [4]. Trong [3, 8, 11, 12], các tác giả Alain Phạm, Long và trong [11] Long, Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng phi tuyến có dạng (0.9) () ., t uuff = Trong [3] M. Bergounioux, Long, Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng có dạng ( ) λ λ ,,, KuKuuuff tt + = = là các hằng số dương, và với điều kiện biên tổng quát hơn (0.10) () () () ( )() () () () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ −−+= ∫ ,0,1,1,1 ,,0,0,0 11 0 tuKtutu dssustkthutgtu tx t x λ với 11 , λ K là các hằng số dương. Trong [8, 11], các tác giả xét bài toán (0.1), (0.3) với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất (0.10) () () ( ) ( ) ,0,1,,0,0 = + = tutgthutu x trong đó 0>h là hằng số dương cho trước; trong [12] với điều kiện biên tổng quát hơn (0.12) () () () ( )() () .0,1,,0,0,0 0 =−−+= ∫ tudssustkthutgtu t x Trong [13], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất (0.13) () () ( ) ( ) ,0,1,1,0,0 10 = + = − tuhtutuhtu xx trong đó 10 , hh là các hằng số không âm cho trước với 0 10 > + hh và với số hạng phi tuyến vế phải có dạng (0.14) () ( ) .,,,,,,,, 1 txtx uuutxfuuutxff ε + = 3 Trong trường hợp [ ] [ ) ( ) 32 ,01,0 ℜ×∞×∈Cf và [][ ) ( ) 31 1 ,01,0 ℜ×∞×∈ Cf , các tác giả thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ε u đến cấp hai theo , ε với ε đủ nhỏ [13]. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đòa phương của bài toán (0.1)-(0.3). Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu về tính compact. Nhờ kết quả này chúng tôi tiến đến khảo sát bài toán nhiễu cấp cao theo tham số bé , ε trong đó số hạng nhiễu là số hạng phi tuyến trên phương trình cùng dạng và ở biểu thức của điều kiện đầu bài toán sau: () () ( ) () () () ( ) () () () () () ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += == <<<<+=− ∑ ∑ + = + = 1 1 11 1 1 00 1 , ~~ 0, , ~~ 0, ,0,1,,0 ,0,10,,,,,,,,, N k k kt N k k k txtxxxtt xuxuxu xuxuxu tutgtu Ttxuuutxfuuutxfuu Q ε ε ε ε trong đó, ta giả sử rằng ( ) + ℜ∈ 3 Cg và [] () [] () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ℜ×ℜ×∈ℜ×ℜ×∈ +=∈∈ ++ + ,1,0,1,0 ,1, ,2,1, ~ , ~ , ~ , ~ 3 1 31 1 11 2 00 NN kk CfCf NkHuuHuu thỏa một số điều kiện phụ. Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán () ε Q theo tham số bé , ε tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo ε : () () ,, ˆ , 0 ∑ = ≈ N k k k txUtxu ε theo nghóa cần phải chỉ ra các hàm ( ) ( ) NktxU k , ,1,0,, ˆ = và thiết lập đánh giá theo dạng () () , ˆ ˆ 1 ;,0 0 ;,0 0 1 0 2 + == ≤−+ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∞ ∞ ∑∑ N T HTL N k k k LTL N k k k CUu t U t u εεε ε ε với tham số ε đủ bé, hằng số T C độc lập với tham số . ε Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo một tham số đã được một số các tác giả quan tâm, chẳng hạn như Long, Diễm [13], Long, Tâm, Trúc [14]. 4 Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bò bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (0.1)- (0.3). Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán () ε Q theo một tham số bé . ε Trong chương 4, chúng tôi xét một bài toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài toán trên. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. Nhìn chung các kết quả trình bày trong các chương 2, 3, 4 là một nới rộng nhỏ kết quả trong [13, 14]. 5 CHƯƠNG 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu sau ( ) ( ) ,0,,0,1,0 > × Ω = = Ω TTQ T và bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng: ( ) ( )() ( ) .,,, , ΩΩΩΩ pmmpm WHLC Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau ( ) ( )() .,, ,,2, pmpmmmmpp WWWHHLL =Ω==Ω=Ω Có thể xem chi tiết trong [1, 2]. Ta đònh nghóa ( ) Ω= 22 LL là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.1) .,,)()(, 2 1 0 Lvudxxvxuvu ∈=〉〈 ∫ Ký hiệu . để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghóa là (1.2) () .,, 2 21 1 0 2 Ludxxuuuu ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == ∫ Ta đònh nghóa không gian Sobolev cấp 1 (1.3) { } .: 2/21 LvLvH ∈∈= Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.4) .)]()()()([,,, 1 0 //// 1 ∫ +=〉〈+〉〈=〉〈 dxxvxuxvxuvuvuvu H Ký hiệu 1 . H để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghóa là (1.5) () .,)(, 1 21 1 0 2 /2 1 1 Hudxxuxuuuu H H ∈ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=〉〈= ∫ Liên quan giữa hai không gian hàm 1 H và ( ) , 0 ΩC ta có bởi bổ đề sau. 6 Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 H  ( ) Ω 0 C là compact và (1.6) () .2 1 10 Hvvv HC ∈∀≤ Ω Chứng minh Bổ đề 1.1 không khó khăn. Chú thích 1.1. Phép nhúng 1 H  ( ) Ω 0 C về mặt đại số ta hiểu theo nghóa: Với mỗi hàm , 1 Hu ∈ tồn tại duy nhất một hàm liên tục () Ω∈ 0 ~ Cu sao cho Ω∈= xeauu ~ [2]. Khi đó theo Bổ đề 1.1 phép nhúng ( ) uu CHId ~ : 01 a Ω→ là liên tục và compact. Điều này còn có nghóa là mọi dãy { } 1 Hu m ⊂ bò chặn trong , 1 H tồn tại một dãy con { } { } mmk uu ⊂ sao cho { } mk u hội tụ đều trên ,Ω ở đây, ta đã đồng nhất ( ) . ~ mkmkmk uIduu == Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian Sobolev (1.7) () () 1 1 1 0 H c H CDH Ω=Ω= ∞ (bao đóng trong 1 H của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω ). Mặt khác, 1 0 H cũng là không gian con đóng của , 1 H do đó, 1 0 H là không gian Hilbert đối với tích vô hướng của . 1 H Mặt khác trên 1 , 1 0 H vH và 21 1 0 2 /// )(, ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =〉〈 ∫ dxxvvv là hai chuẩn tương đương. Điều này cho bởi bổ đề sau Bổ đề 1.2. Phép nhúng 1 H  ( ) Ω 0 C là compact và (1.8) () . 1 0 / 0 Hvvv C ∈∀≤ Ω Chứng minh Bổ đề 1.2 không khó khăn. Một cách đặc trưng khác để xác đònh 1 0 H là (1.9) ( ) ( ) { } .010: 11 0 ==∈= vvHvH [...]... đây 30 ~ ⎧u1 − Δu1 = F1 [u1 ], 0 < x < 1, 0 < t < T , && ⎪ ⎨u1 (0, t ) = u1 (1, t ) = 0, ~ ~ ⎪u (x,0 ) = u (x ), u ( x,0 ) = u ( x ), &1 01 11 ⎩ 1 (L 1 ) trong đó, ~ F1 [u1 ] = π 1 [ f ] + π 0 [ f 1 ] , (3 .13 ) với π 0 [ f ], π 1 [ f ] được xác đònh như sau & π 0 [ f ] = f [u 0 ] ≡ f (x, t , u 0 , ∇u 0 , u 0 ) , (3 .14 ) và & π 1 [ f ] = π 0 [D3 f ]u1 + π 0 [D4 f ]∇u1 + π 0 [D5 f ] u1 , (3 .15 ) với 2 ≤ i... phép nhúng từ L2 vào H 1 Chứng minh (ii) Ta có, với mọi w ∈ L2 , 7 Tw H 1 = sup 1 v∈H 0 , v ≤ H1 0 =1 Tw , v = sup 1 v∈H 0 , v ≤ w, v H1 0 =1 w v H1 0 =1 sup 1 v∈H 0 , v sup 1 v∈H 0 , v H1 0 w v =1 1 H0 = w Chứng minh (iii): Ta chứng minh rằng mỗi phi m hàm tuyến tính liên tục trên H 1 và triệt tiêu trên H 1 Coi L ∈ ( H 1 ) / , với L, Tw (H )′ , H = 0, ∀Tw ∈ T (L2 ) 1 1 1 1 Ta chứng minh rằng... 1 ) / = H 0 , theo nghóa, (1. 13) ∀L ∈ ( H 1 ) / , ∃v ∈ V : 〈 L, z〉 (H )′ , H 1 1 = 〈 z , v〉 H 1 , H 1 , ∀z ∈ H 1 0 Lấy z = Tw ∈ H 1 , ta có 0 = L, Tw (H 1 )′ , H 1 = Tw , v 1 H 1 , H 0 1 = w, v , ∀w ∈ H 0 1 Do H 0 trù mật trong L2 , nên ta có w, v = 0, ∀w ∈ L2 Vậy v = 0 Theo (1. 13) ta có L, z (H 1 )′ , H 1 = z , v 1 H 1 , H 0 = 0, ∀z ∈ H 1 Vậy L triệt tiêu trên H 1 Chú thích 1. 2... ∫ Fm +1 (s ) − Fm (s ), wm (s ) ds (2.66) 2 2 0 Mặt khác, từ (2 .10 ) và (2 .13 ) ta được & Fm +1 (t ) − Fm (t ) ≤ K 1 [2 ∇wm 1 (t ) + wm 1 (t ) ] ≤ 2 K 1 wm 1 (2.67) W1 (T ) Ta suy từ (2.66)-(2.67) rằng & wm (t ) + ∇wm (t ) ≤ 4 K 1 wm 1 2 (2.68) t 2 W1 (T ) & ∫ w (s ) ds m 0 ≤ 4TK 1 wm 1 W1 (T ) & wm ( L∞ 0 ,T ; L2 ) Không khó khăn từ (2.68) ta thu được (2.69) wm W1 (T ) ≤ k T wm 1 W1 (T ) với mọi... f ∈ C 0 ([0 ,1] × ℜ + × ℜ 3 ), j = 1, 3, 4, 5 Ở đây ta đã dùng các ký hiệu D1 f = D5 f = ∂f ∂f ∂f ∂f , D2 f = , D3 f = , D4 f = , ∂t ∂u ∂v ∂x ∂f Ta chú ý rằng không nhất thiết f ∈ C 1 ([0 ,1] × ℜ + × ℜ 3 ) Thay vì xét bài ∂w toán không thuần nhất (0 .1) -(0.3), ta sẽ đưa nó về bài toán có điều kiện biên thuần nhất như sau Với x ∈ [0 ,1] và t ≥ 0, ta đặt (2 .1) (2.2) (2.3) (2.4) φ ( x, t ) = (1 − x )g (t... hàm hệ số c mj ) thoả hệ phương trình vi phân phi tuyến (2 .18 ) (2 .19 ) ( ) ( &&( v mk ) (t ), w j + a v mk ) (t ), w j = Fm (t ), w j , 1 ≤ j ≤ k , ( ~ v mk ) (0 ) = v0 k , ~ &( v mk ) (0) = v1k , trong đó (2.20) k (k 1 ~ ~ v0 k = ∑ α mj ) w j → v0 mạnh trong H 0 I H 2 , j =1 (2. 21) k (k ~ ~ v1k = ∑ β mj ) w j → v1 j =1 1 mạnh trong H 0 16 ∂2 : ∂x 2 Chú thích Hệ (2 .18 )-(2 .19 ) có thể viết thành một... bổ đề sau Bổ đề 1. 9 (Lions [10 ]) Nếu u ∈ L p (0, T ; X ) và u / ∈ Lp (0, T ; X ), thì u bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [0, T ] → X 1. 5 Bổ đề về tính compact của Lions [10 ] Cho ba không gian Banach X 0 , X 1 , X với X 0  X  X 1 với các phép nhúng là liên tục, sao cho: (1. 20) X 0 , X 1 là phản xạ, (1. 21) phép nhúng X 0  X là compact Với 0 < T < ∞, 1 ≤ pi ≤ ∞, i = 0, 1, ta đặt (1. 22) { } W (0,...Bổ đề 1. 3 Đồng nhất L2 với (L2 ) / ( đối ngẫu của L2 ) Khi đó ta có 1 1 H 0  L2 ≡ (L2 ) /  ( H 0 ) / ≡ H 1 , với các nhúng liên tục và nằm trù mật 1 Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng L2 nhúng trong H 1 Vì H 0 ⊂ L2 , với mọi w ∈ L2 , ánh xạ 1 Tw : H 0 → R (1. 10) 1 v a Tw (v ) = w, v = ∫ w( x )v(x )dx 0 1 1 là tuyến tính liên tục trên H 0 , tức là Tw ∈ ( H 0 ) / ≡ H 1 Ta xét ánh... ánh xạ T : L2 → H 1 w a T (w) = Tw (1. 11) Khi đó ta có (1. 12) Tw , v 1 H 1 , H 0 = w, v , 1 ∀v ∈ H 0 , ∀w ∈ L2 Ta sẽ chứng minh rằng toán tử T thoả các tính chất sau: (i) (ii) T : L2 → H 1 là đơn ánh, Tw H 1 ≤ w ∀w ∈ L2 , (iii) T L2 = Tw : w ∈ L2 là trù mật trong H 1 ( ) { } Chứng minh (i) Dễ thấy rằng T tuyến tính Nếu Tw = 0, thì w, v = Tw , v 1 H 1 , H 0 = 0, 1 ∀v ∈ H 0 1 Do H 0 trù mật trong... X 0 ) : v / ∈ Lp1 (0, T ; X 1 ) 12 Ta trang bò W (0, T ) bởi chuẩn (1. 23) v w ( 0 ,T ) = v L p 0 (0 ,T ; X 0 ) + v/ L p1 (0 ,T ; X 1 ) Khi đó, W (0, T ) là một không gian Banach Hiển nhiên W (0, T ) ⊂ L p (0, T ; X ) Ta cũng có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact 0 Bổ đề 1. 10 (Bổ đề về tính compact của Lions [10 ]) Với giả thiết (1. 20), (1. 21) và nếu 1 < pi < ∞, i = 0, 1, phép nhúng W . Với giả thi t (1.20), (1.21) và nếu ,1,0,1 = ∞<< ip i phép nhúng ( ) TW ,0  ( ) XTL p ;,0 0 là compact. Chứng minh Bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong Lions [10], trang 57. 1.6 Hồng Nga Bộ môn Tự nhiên Trung tâm Đại học Tại Chức Cần Thơ. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tại trường Đại học Cần Thơ, vào lúc …… giờ …… ngày …… tháng …… năm 20 07. . () ,0,1,0 == tutu trong đó số hạng phi tuyến có dạng (0 .7) () .,utff ε = Bằng sự tổng quát hóa của [6], Alain Phạm và Long [7] đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến