ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN #" LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG KIRCHHOFF Người hướng dẫn: TS. TRẦN MINH THUYẾT Học viên cao học: TRẦN ĐÌNH GIÁP Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1.01.01 TP. HỒ CHÍ MINH 2008 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN #" TRẦN ĐÌNH GIÁP PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA SỐ HẠNG KIRCHHOFF LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1.01.01 TP. HỒ CHÍ MINH 2008 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP. HỒ CHÍ MINH  Người hướng dẫn: TS. TRẦN MINH THUYẾT Khoa Toán – Thống kê Đại học Kinh Tế TP.HCM  Người nhận xét 1: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Khoa Toán –Tin học Đại học Sư phạm TP.HCM  Người nhận xét 2: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM  Học viên cao học: TRẦN ĐÌNH GIÁP Đại học Kinh Tế TP.HCM Luận văn sẽ được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh vào lúc… giờ… phút, ngày……tháng… năm 2008. Có thể tìm hiểu luận văn tại phòng sau Đại học, Thư viện ĐH khoa học tự nhiên TP . Hồ Chí Minh. LỜI CẢM ƠN ời đầu tiên tôi xin kính gởi đến Thầy TS. Trần Minh Thuyết lời cảm ơn sâu sắc về sự giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt thời gian qua, nhất là trong quá trình hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Thầy TS. Nguyễn Thành Long đã đọc và cho những chỉ dẫn hết sức quí báu đối với luận văn này khi còn ở bản thảo. Xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy là Th ầy dạy của tôi từ những năm Đại học về những nhận xét bổ ích cho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quí Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quí giá và những nhận xét sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn. Xin cảm ơn quí Thầy, Cô khoa Toán tin Trường ĐHKHTN - ĐHQG TP. HCM, khoa Toán tin Trường ĐHSP TP.HCM đã tận tình giảng dạy và truy ền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức khoa học. Xin cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn và anh Nguyễn Kim Âu về những đóng góp cho bản luận văn này. Tôi xin cảm ơn quí Thầy, Cô thuộc phòng quản lý sau đại học trường ĐHKHTN TP. HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi suốt khóa học. Xin cảm ơn Thầy Ths. Lê Khánh Luận cùng các anh chị em trong nhóm seminar định kỳ và bạn bè cùng khóa qua những trao đổ i - thảo luận các đề tài liên hệ đến luận văn này. Đặc biệt, tôi xin gởi đến các bậc Cha Mẹ cùng mọi thành viên trong gia đình tôi, nơi cho tôi những điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu lòng tri ân cao cả nhất. TP. HCM Xuân Mậu Tý. L MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Chương 0 : Phần mở đầu 1 Chương 1 : Một số công cụ chuẩn bị 5 Chương 2 : Nghiên cứu phương trình với 2 () ttt f uuu β λ − = 14 2.1 : Giới thiệu 14 2.2 : Các giả thiết…………………………………………………………… 15 2.3 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm………………………………………16 2.4 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 0λ + → 30 Chương 3 : Nghiên cứu phương trình với 2 2 (, ) ttt f uu Ku u u u β α λ − − =+ 37 3.1 : Giới thiệu 37 3.2 : Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm …………………………………… 37 3.3 : Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 0, 0K λ ++ →→……………… 48 3.4 : Sự ổn định nghiệm……………………………………………………….55 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo. Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 1 Học viên Trần Đình Giáp CHƯƠNG 0 Phần mở đầu Trong luận văn này, chúng tôi xét hai bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng dưới đây () 2 2 (, ) (,),(,) (0, ), tt t uuBuufuuFxtxt Tµ+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω× (0.1) (0,) (1,) 0,ut ut== (0, ) (1, ) 0, xx ut ut== (0.2) 0 (,0) (),ux u x= 1 (,0) (), t ux ux= (0.3) trong đó (0,1), 0, 0T µΩ= > > là các hằng số dương cho trước, các hàm cho trước 01 ,, , ,BfFu u sẽ được giả thiết sau. Trong phương trình (0.1), số hạng phi tuyến () 2 B u∇ phụ thuộc vào tích phân 1 2 2 0 () ( , ) xx ut u xtdx= ∫ (0.4) và thỏa điều kiện () :iB + →\\ liên tục, (0.5) 00 0 0 0 () 0, 0: () , z ii D B s ds D zγγ∃> > ≥− ∀≥ ∫ . (0.6) Trong trường hợp (0, ),LΩ= phương trình (0.1) được tổng quát hóa từ phương trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi ( xem Kirchhoff [6], Carrier [2] ) 2 0 0 (,) ,0 ,0 , 2 L tt xx Eh u y t hu P dy u x L t T Ly ρ ⎛⎞ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =+ << << ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂⎟ ⎝⎠ ∫ (0.7) ở đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài của sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và 0 P là lực căng lúc ban đầu. Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 2 Học viên Trần Đình Giáp Khi 0f = , bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [4]. Medeiros trong [13] đã nghiên cứu bài toán (0.1) – (0.4) với 2 () ,ffubu== trong đó b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của 3 .\ K. Nishihara trong [14] đã xét bài toán (0.1) – (0.4) với 0 µ = () tt f fu uλ== , 0λ > là hằng số cho trước. Hosoya và Yamada trong [5] đã xét bài toán (0.1) với () , f fu u u α δ==− trong đó 0, 0δα>≥ là các hằng số cho trước. Dmitriyeva trong [3] nghiên cứu bài toán hai chiều () 2 2 (,), , 0 , tt t uuBuuuFxtx tTλε+∆− ∇ ∆+ = ∈Ω << (0.8) 2 2 2 1 0 i i i u u x ν = ∂ == ∂ ∑ trên ,∂Ω (0.9) 0 (,0) ()ux u x= , 1 (,0) (), t ux ux= (0.10) trong đó (0,) (0,),ππΩ= × ν là pháp tuyến đơn vị trên biên ∂Ω hướng ra ngoài, 22 2 cos( , ), , 6 ii h Ox π ννλ== với ,h ε là các hằng số dương. Trong trường hợp này, bài toán mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh. N.T. Long và các tác giả [7] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán () 2 1 2 (,), ,0 , tt t t uuBuuuuFxtx tT α λε − +∆− ∇ ∆+ = ∈Ω << (0.11) 0 u u ν ∂ == ∂ trên ,∂Ω (0.12) 0 (,0) (),ux u x= 1 (,0) (), t ux ux= (0.13) Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 3 Học viên Trần Đình Giáp trong đó 0, 0, 0 1λε α>> << là các hằng số cho trước. Bằng sự tổng quát hóa của [7], N.T. Long và T.M. Thuyết trong [10] đã nghiên cứu bài toán () 2 2 (, ) (,),(,) (0, ), tt t uuBuufuuFxtxt Tλ+∆ − ∇ ∆+ = ∈Ω× (0.14) liên kết với (0.12), (0.13). Trong [9], Long, Alain và Diễm đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán () 2 (,, , , ),(,) (0,1) (0, ), tt xx x t uBuu fxtuuu xt T−∇ = ∈ × (0.15) (0,) (1,) 0ut ut== , (0.16) 0 (,0) ()ux u x= , 1 (,0) () t ux ux= , (0.17) trong đó 03 ([0, 1 [0, ) ),fC∈×∞×\ 2 0 (0,1),uH∈ 1 1 (0,1),uH∈ 1 (),BC + ∈ \ 0 0,Bb≥> thỏa điều kiện 03 ,, , ([0,1[0,) ) x ffff C xuu u ∂∂∂∂ ∈×∞× ∂∂∂ ∂ \  và một số điều kiện phụ. Mặt khác nhiều kết quả gần đây thuộc loại phương trình sóng có dạng tương tự cũng được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem [8], [11]. Nội dung của luận văn bao gồm các phần sau: Phần mở đầu, Chương 0 khái quát về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó đồng thời nêu bố cục luận văn. Chương 1, là chương công cụ, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, các ký hiệu, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm quan trọng. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài toán (0.1) (0.4)− với 2 () , 1, 0. ttt f uuu β λβλ − =>> Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 4 Học viên Trần Đình Giáp Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu, toán tử đơn điệu và kỹ thuật về tính compact. Sau đó khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1) (0.4) − với 12,β<≤ khi 0.λ + → Trong Chương III, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu bài toán (0.1) (0.4)− với 2 2 ( , ) , 1, 1, 0, 0 . ttt f uu Ku u u u K β α λαβ λ − − =+ >>>> Các chứng minh được thực hiện tương tự như trong Chương III, tiếp theo chúng tôi khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1) (0.4) − với 2, 1 2,αβ≥<≤ khi 0, 0.K λ ++ →→ Sau đó chứng minh nghiệm của bài toán (0.1) (0.4) − với 2, 2, 0, 0Kαβ λ≥≥ >> là ổn định đối với ,, .KFλ Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 5 Học viên Trần Đình Giáp CHƯƠNG 1 Một số công cụ chuẩn bị 1. Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu (0,1),Ω= (0, ), 0. T QTT=Ω× > Ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: (), m C Ω (), p L Ω (), m H Ω , (). mp W Ω Có thể tham khảo trong [1], [12]. Ta định nghĩa 2 ()HL=Ω là không gian Hilbert đối với tích vô hướng 1 2 0 ,()();,().uv uxvxdx uv L〈〉= ∈Ω ∫ (1.1) Ký hiệu ⋅ chuẩn sinh bởi tích vô hướng này, nghĩa là 1/2 1 22 0 ,(),().uuu uxdxuL ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =〈 〉= ∈ Ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ∫ (1.2) Ta định nghĩa 122 {: }HvLvL ′ =∈ ∈ (1.3) và 1 11 // / / 00 ,,, ()()()(). H uv uv u v uxvxdx u xv xdx=+ = + ∫∫ (1.4) 1 H là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.4). Ta ký hiệu 1 1 , H H vuv=〈 〉 là chuẩn trong 1 .H Ta có bổ đề sau. Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 H 1 0 ()ΩC là compact và 01 1 () 2, . CH vvvH Ω ≤∀∈ (1.5) Chứng minh bổ đề 1.1 có thể tìm trong [12]. [...]... Lp (Q ) Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 13 Bổ đề 1.11 ( Xem Lions [12]) Cho Q là tập mở bị chận của N và Gm , G ∈ Lp (Q ), 1 < p < ∞, sao cho: Gm Lp (Q ) ≤ C , trong đó C là hằng số độc lập với m và Gm → G a.e., trong Q Khi đó ta có : Gm → G trong Lp (Q ) yếu 7 Bổ đề Gronwall Bổ đề sau liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết... Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 16 Phương pháp xấp xỉ Galerkin, Phương pháp compact yếu, Toán tử đơn điệu 2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Định lý 2.1 Giả sử (A1 ) − (A3 ) là đúng Cho β > 1 và T > 0 Khi đó bài toán (2.1) – (2.4) có ít nhất một nghiệm yếu u sao cho 2 u ∈ L∞ (0,T ; H 0 ) và u / ∈ L∞ (0,T ; L2 ) Hơn nữa, nếu có thêm giả thiết (A4... cmj (t )w j , j =1 trong đó cmj (t ) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến // 〈um (t ), w j 〉 + µ〈∆um (t ), ∆w j 〉 + B / +λ〈 um (t ) β −2 ( ∇um (t ) 2 )〈 ∇u (t ), ∇w 〉 m j / um (t ), w j 〉 = 〈F (t ), w j 〉, 1 ≤ j ≤ m, (2.8) với điều kiện đầu: um (0) = u 0m , trong đó Học viên Trần Đình Giáp / um (0) = u1m , (2.9) Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 17 m 2 u 0m = ∑ αmj w j ⎯⎯... [0,T ] và thỏa bất đẳng thức t f (t ) ≤C 1 + C 2 ∫ f (s )ds , với hầu hết t ∈ [0,T ], 0 trong đó C 1, C 2 là các hàm số không âm Khi đó f (t ) ≤C 1eC 2t , với hầu hết t ∈ [0,T ] Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 14 CHƯƠNG 2 Nghiên cứu phương trình với f (ut ) = λ ut β −2 ut 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và điều kiện... chúng ta có đánh giá tiệm cận ˆ uλ − u W1 (T ) ≤ C λ, (2.82) trong đó C là một hằng số độc lập với λ chỉ phụ thuộc vào β, µ, C 1, D0,T Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 31 Chứng minh của định lý 2.2 i ) Trường hợp λ = 0 Ta chứng minh tương tự như (2.8) – (2.22) rằng / um (t ) 2 + µ ∆um (t ) 2 ≤ CTeT , ∀t ∈ [0,T ], ∀T > 0, (2.83) trong đó hằng số CT xác... D (0,T ) 0 Ta có thể nghiệm lại rằng Tv ∈ D/ (0,T ; X ) Thật vậy, j ) Ánh xạ Tv : D (0,T ) → X là tuyến tính jj ) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D (0,T ) → X là liên tục Giả sử {ϕj } ⊂ D (0,T ), sao cho ϕj → 0 trong D (0,T ) Ta có Học viên Trần Đình Giáp (1.11) Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff T Tv , ϕj X ∫ = Trang 9 t ≤ ∫ v(t )ϕ j (t ) X dt v(t )ϕ j (t )dt 0 0 X 1 1 ⎛T ⎞p ⎛ T ⎞p/... hiệu ⋅ , ⋅ để chỉ tích vô hướng trong L2 hay cặp tích đối ngẫu giữa một phi m hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn trong L2 và ký hiệu X để chỉ chuẩn trong không gian Banach X Ta ký hiệu X / là không gian đối ngẫu của X Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 15 Chúng ta thiết lập các giả thiết sau: (A1 ) 2 u 0... có dH dϕ d ϕ(t ) ,ϕ = − H, dt = −∫ H (t ) dt dt dt G Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 10 T ⎛ t T T ⎞ d ϕ(t ) d ϕ(t ) ⎟ ⎜ = −∫ ⎜ ∫ f / (s )ds ⎟ dt = −∫ f / (s ) ∫ ds dt ⎟ ⎜ ⎟ dt ⎜0 dt ⎝ ⎠ 0 0 s T = ∫f / (s )ϕ(s )ds = f /, ϕ (1.13) 0 Vậy dH df = = f / trong D/ (0,T ; X ) dt dt Bước 2: Ta suy ra rằng f = H + C theo nghĩa phân bố (trong đó C là hằng số) ... Điều này có được là do ánh xạ w Tw từ L1(0,T ; X ) vào D/ (0,T ; X ) là đơn ánh (tính chất ii ) ở trên) Từ các bước 1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng f = H + C , theo nghĩa phân bố Tương tự ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.9 (Lions [12]) Nếu f ∈ Lp (0,T ; X ) và f / ∈ Lp (0,T ; X ), thì f bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [0,T ] → X Học viên Trần Đình Giáp Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff. .. dụng bổ đề 2.1 và kết hợp với (2.17) ta được ∇u0 m ∫ 2 ∇um (t ) B(s ) ds − 0 Học viên Trần Đình Giáp ∫ 0 2 B(s )ds ≤ D0 + D1 + D2 = D0 , (2.19) Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 19 trong đó hằng số D0 độc lập với m Ở tích phân sau cùng ta có t 2 T ∫ F (s ), u (s ) ds ≤ / m ∫ t 2 F (s ) ds + 0 0 ∫ 2 / um (s ) ds (2.20) 0 Từ (2.13), (2.14), (2.16) , (2.19) và (2.20), ta suy ra rằng . u x= , 1 (,0) () t ux ux= , (0.17) trong đó 03 ([0, 1 [0, ) ),fC∈×∞× 2 0 (0,1),uH∈ 1 1 (0,1),uH∈ 1 (),BC + ∈ 0 0,Bb≥> thỏa điều kiện 03 ,, , ([0,1[0,) ) x ffff C xuu u ∂∂∂∂ ∈×∞× ∂∂∂. tập, nghiên cứu lòng tri ân cao cả nhất. TP. HCM Xuân Mậu Tý. L MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Chương 0 : Phần mở đầu 1 Chương 1 : Một số công cụ chuẩn bị 5 Chương. Tài liệu tham khảo. Phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Kirchhoff Trang 1 Học viên Trần Đình Giáp CHƯƠNG 0 Phần mở đầu Trong luận văn này, chúng tôi xét hai