Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - I. Kiến thức cơ bản thường sử dụng: * ðịnh lý 1: ; , ( ) ( ) , a b a b P d P d a d b ∩ ⊂  ⇒ ⊥  ⊥ ⊥  * ðịnh lý 2: Nếu ( )d P⊥ ⇒ d vuông góc với mọi ñường thẳng nằm trong mp (P). * ðịnh lý 3: / / ' ' ( ) ( ) d d d P d P  ⇒ ⊥  ⊥  * ðịnh lý 4: ( ) ( ) ( ) ( ) d Q Q P d P ⊂  ⇒ ⊥  ⊥  * ðịnh lý 5: ( ) ( ) ( ) ( ), P Q d Q d P d ∩ = ∆  ⇒ ⊥  ⊂ ⊥ ∆  * ðịnh lý 6: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P R R Q R ∩ = ∆   ⊥ ⇒ ∆ ⊥   ⊥  II. Các ví dụ mẫu: 1. Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Bài 1. Cho chóp tam giác S.ABC có ABC∆ vuông tại C, mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng ñáy a. Chứng minh: BC vuông góc (SAC) b. E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE vuông góc với mặt phẳng (SBC). c. Mặt phẳng (P) qua AE và vuông góc mặt phẳng (SAB) cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB vuông góc mp (P). d. Gọi F là giao ñiểm của DE và BC. Chứng minh rằng: AF vuông góc mp (SAB). Bài 2 ( Trích ñề ðHKD-2012 ) Cho hình chóp tam giác ñều SABC, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh ( ) SC ABC⊥ . Bài 3. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB ñều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi I, J là trung ñiểm của AB, AD. Chứng minh rằng FC vuông góc với (SID). Nguồn: Hocmai.vn Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1 (Trích ðHKA-2007) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD ñều. Mặt phẳng (SAD) vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của SB, BC, CD. Chứng minh: AM vuông góc BP. Bài 2 (Trích ðHKB-2007) Cho tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông, E ñối xứng với D qua trung ñiểm của SA. Gọi M, N là trung ñiểm của AE và BC. Chứng minh MN vuông góc với BD. Bài 3 (Trích ðHKD-2007) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông, góc ABC bằng góc BAD = 90 0 , BA = BC = a ; AD = 2a. SA vuông góc với (ABCD). Chứng minh tam giác SCD vuông. Bài 4. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh tam giác SBD vuông. Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. www.VNMATH.com Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1. Cho chóp SABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D ñối xứng với A qua I, SD vuông góc với (ABC), 6 2 a SD = . Chứng minh a) (SAD) vuông góc với (SBC) b) (SAB) vuông góc (SAC) Bài 2 (Trích ðHKB-2006) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, 2 AD a = , SA vuông góc với ñáy, M là trung ñiểm của AD, gọi I là giao của BM và AC. Chứng minh (SAC) vuông góc (SMB). Bài 3. Cho chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thoi, SA = SC. Chứng minh rằng (SBD) vuông góc (ABCD) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 03) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK). b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh rằng: ( )SO ABCD⊥ b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD. c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P). Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc 0 60BAD∠ = , 3 AA' 2 a = . M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: ' ( ).AC BDMN⊥ Bài 5: Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK⊥ b. Chứng minh ( ) HK SBC ⊥ và ( ) ( ) .SBC BHK⊥ Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng minh rằng BM vuông góc với B’C. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. ( ) SA ABCD ⊥ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR: 1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( ); BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( ); SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; BC SB CD SD AH SC AK SC ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( ); SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( ); AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn QUAN HỆ VUÔNG GÓC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (phần 01+02+03). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) www.VNMATH.com Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - a a a a O A B D C S O A B D C S H K I Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD. Giải: + Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi nên O là trung ñiểm của AC và BD 0 1 2 90 ABC ASC SO BO BD BSD SB SD + ∆ = ∆ ⇒ = = ⇒ ∠ = ⇔ ⊥ Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK). b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI. Giải: a. Ta có: ( ) (1) AH SB AH SBC AH SC AH BC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  ( ) (2) AK SD AK SDC AK SC AK DC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Từ (1) và (2) ta suy ra ( ) SC AHK ⊥ b. Ta có: v v SAB SAD SH SK ∆ = ∆ ⇒ = / / SH SK HK BD SB SD ⇒ = ⇒ ( ðịnh lý Ta lét ñảo) ( ) BD AC BD SAC BD SA ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  QUAN HỆ VUÔNG GÓC ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (phần 01+02+03). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài liệu dùng chung bài 01+02+03) Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - N K I O D A C B S M / / ( ) ( ) HK BD HK SAC HK AI BD SAC  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh rằng: ( )SO ABCD⊥ b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD. c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P). Giải: a. Ta có: ( ) SO AC SO ABCD SO BD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  b. ( ) ( ) IK BD do AC BD IK SBD IK SD IK SO ⊥ ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P), N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P). / /( ), ( ) / / ( ) ( ) / / ( ) SO P SO SBD SO MN SBD P MN SO BD MN BD MN SO BD IK BD P BD MN ⊂  + ⇒  ∩ =  ⊥  + ⇒ ⊥   ⊥  + ⇒ ⊥  ⊥  Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc 0 60BAD∠ = , 3 AA' 2 a = . M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: ' ( ).AC BDMN⊥ Giải: + Gọi S BN DM= ∩ ⇒ M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA. + Gọi O = AC ∩ BD + ∆ BAD ñều 3 2 3 , ' 2 a AO AC AO a SA CC AO ⇒ = ⇒ = = = = + Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau AS 'O CAC ⇒ ∠ = ∠ . Mà 0 0 AS 90 ' 90 'O SOA CAC SOA AC SO ∠ + ∠ = ⇒ ∠ + ∠ = ⇒ ⊥ + ' ' ( ) ' AC BD AC BDMN AC SO ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Bài 5: Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK⊥ b. Chứng minh ( ) HK SBC ⊥ và ( ) ( ) .SBC BHK⊥ Giải: www.VNMATH.com Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - a. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC ∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết ( ) SA mp ABC BH SA ⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( ) BH mp SAC SC BH ⊥ ⇒ ⊥ Do K là trực tâm SBC BK SC ∆ ⇒ ⊥ Từ ñó suy ra ( ) ( ) ( ) SC mp BHK mp BHK mp SAC ⊥ ⇒ ⊥ (ñpcm) b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược: ( ) SB mp CHK SB HK ⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) SC mp BHK SC HK ⊥ ⇒ ⊥ . Do ñó: ( ) ( ) ( ) HK mp SBC mp SBC mp BHK ⊥ ⇒ ⊥ Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng minh rằng BM vuông góc với B’C. Giải: Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C. M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M ' ; ' ' ' . B C MI B C BC B C MB ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. ( ) SA ABCD ⊥ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR: 1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( ); BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( ); SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; BC SB CD SD AH SC AK SC ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( ); SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ B S C A H K A A’ B B’ C C’ M I Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - 17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Giải: 1. BC ⊥ AB (giả thiết ABCD là hình vuông) BC ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB). 2. CD ⊥ AD (giả thiết ABCD là hình vuông), CD ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ (SAD). 3. AH ⊥ SB (giả thiết), AH ⊥ BC (do theo câu 1 ta ñã có BC ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ (SBC) 4. AK ⊥ SD (giả thiết) AK ⊥ CD (do theo câu 2 ta ñã có CD ⊥ (SAD) mà AK ⊂ (SAD) ) ⇒ AK ⊥ (SCD) 5. AH ⊥ (SBC) (do theo câu 3) ⇒ AH ⊥ SC AK ⊥ (SCD) (do theo câu 4) ⇒ AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) 6. OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC ⊥ (SAB) (do theo câu 1) nên OM ⊥ (SAB) 7. ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD ⊥ (SAD) (do theo câu 2) nên ON ⊥ (SAD). 8. OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC ⊥ CD (giả thiết) nên BC ⊥ OP (*). OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA ⊥ (ABCD) nên OQ ⊥ (ABCD), ⇒ BC ⊥ OQ (**). Vậy từ (*) và (**) ta có BC ⊥ (OPQ) 9. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB. 10. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD. 11. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC. 12. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC. 13. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB). 14. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD). 15. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC). www.VNMATH.com Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - 16. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) mà AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SCD). 17. Theo câu 5: SC ⊥ (AHK) mà SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (AHK). 18. Theo câu 6: OM ⊥ (SAB) mà OM ⊂ (OMQ) ⇒ (OMQ) ⊥ (SAB). 19. Theo câu 7: ON ⊥ (SAD) mà ON ⊂ (ONQ) ⇒ (ONQ) ⊥ (SAD). 20. Theo câu 8: BC ⊥ (OPQ) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (OPQ). Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn Khóa h ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn ñề về góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - a b O b' a' b a O b' b a I. Góc giữa 2 ñường thẳng: 1. ðịnh nghĩa góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau: Cho 2 ñường thẳng a; b cắt nhau tại O. Khi ñó ta có 4 góc, góc có số ño bé nhất trong 4 góc ñó ñược gọi là góc giữa 2 ñường thẳng a, b. Kí hiệu: ( ) ,a b∠ * Chú ý: - Khi a và b trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 o - Khi a ⊥ b thì góc giữa chúng bằng 90 o Như vậy nếu gọi α là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau thì 0 0 ≤ α ≤ 90 0 ⇒ 0 ≤ cosα ≤ 1 2. Cách xác ñịnh góc giữa hai ñường thẳng bất kì trong không gian. Qui tắc 1: Góc giữa 2 ñường thẳng a, b bất kì trong không gian là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau a’, b’ lần lượt song song (hoặc trùng nhau) với a và b. Qui tắc 2: ðể xác ñịnh góc giữa 2 ñường thẳng a và b ta lấy ñiểm O thuộc ñường thẳng a rồi vẽ qua O ñường thẳng b’// b. Khi ñó ( , ) ( , ')a b a b∠ = ∠ * Chú ý : - Khi tính góc giữa 2 ñường thẳng ta thường sử dụng ñịnh lí hàm số cosin hoặc dùng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông. - ðịnh lí hàm số cosin: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − 3. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm BC và AD, MN = a 3 . Tính góc của AB và CD Bài 2: (ðH khối A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Các vấn ñề về góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này. www.VNMATH.com [...]... S.ABCD có ñáy là hình thang vuông t i A và D AB = AD = a CD = 2a SD vuông góc (ABCD) SD = a a Tính d(D,(ABC)) b Tính d(A,(SBC)) Bài 2: (Trích ðHKD-2007) Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang ∠ABC = ∠BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a SA vuông góc v i ñáy, SA = a 2 G i H là hình chi u c a A trên SB Ch ng minh tam giác SCD vuông và tính d(H, (SCD)) Bài 3: (Trích ðHKD-2011) Cho hình chóp S.ABC có... a, b I Q P 2 Bài t p m u: Bài 1: Cho hình l p phương ABCD.A’B’C’D’ c nh a Tính s ño góc gi a 2 m t ph ng (BA’C) và (DA’C) Bài 2: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa h c LTðH ñ m b o môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương www.VNMATH.com Chuyên ñ 01- Hình h c không gian Cho t giác ñ u SABCD, ñáy ABCD là hình vuông c nh a, SA = SB = SC = SD = a Tính... α 2a 3 SA 3 Tam giác SAB vuông t i A nên α là góc nh n, khi ñó tan α = = 3 = ⇒ α = 300 2a 3 AB V y ∠( DC , SB) = 300 b G i I là trung ñi m AB, khi ñó AI=a T giác ADCI là hình bình hành, l i có AI=AD=a nên là hình thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông c nh a ⇒ DI = a 2 T giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI Khi ñó ∠( SD, BC ) = ∠( SD, DI ) = β Tam giác SAI vuông t i A nên SI 2 = SA2 + AI... và SB a) Ch ng minh r ng các m t bên c a hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc h p b i các m t ph ng (SCD) và (ABCD) Gi i: a) Ch ng minh r ng các m t bên c a hình chóp là các tam giác vuông  SA ⊥ AB SA ⊥ ( ABCD ) ⇒  ⇒ các tam giác SAB, SAD vuông t i A  SA ⊥ AD Tương t :  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông t i B   BC ⊥ SA CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông t i D  CD ⊥ SA b) Tính góc h p b i các... Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông c nh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) , SA = SB, góc gi a 0 SC và (ABCD) b ng 45 Tính kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SCD) Bài 2 Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông c nh a, SA ⊥ ( ACBD ) , góc gi a m t bên (SBC) và m t ñáy (ABCD) b ng 600, G là tr ng tâm tam giác SAD Tính kho ng cách t G ñ n m t ph ng (SBC) Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông... trên SA, IK = Tính kho ng cách t 2 D ñ n m t ph ng (SBC) Bài 5 Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác SAB ñ u, tam giác SCD vuông cân t i S H là hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng (ABCD) Tính kho ng cách t H ñ n m t ph ng (SCD) Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2 , AB = 2a; AD = DC = a G i M là trung ñi m c a SD Tính kho... + 2 2 2 DH DS DI S a 3 2 Ta có ∆ vuông SDA ñ ng d ng v i ∆ vuông IHA (góc A chung) Mà DI = AI = K H SD DA SD a 3 a 6 = ⇔ = ⇒ SD = a 2 IK KA AI 2 − IK 2 2 1 1 1 2 a Do ñó: = + = 2 ⇒ DH = 2 2 2 DH a 2 a 6 a 3      2   2  ⇒ A C l D B a 2 Bài 5 Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông c nh a, tam giác SAB ñ u, tam giác SCD vuông cân t i S H là hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng (ABCD)... Hocmai.vn - Trang | 2 - Khóa h c LTðH môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương Chuyên ñ 01- Hình h c không gian BÀI GI NG 03 CÁC V N ð V GÓC ( Ph n II) TÀI LI U BÀI GI NG Góc gi a hai m t ph ng: 1 ð nh nghĩa: Gi s hai m t ph ng (P) và (Q) c t nhau theo giao tuy n ∆ T ñi m I b t kỳ trên ∆ ta d ng trong (P) ñư ng th ng a vuông góc v i ∆ và d ng trong mp (Q) ñư ng th ng b vuông góc ∆ Khi ñó góc gi a hai m t ph... BC, hình chi u vuông góc c a S lên m t ph ng (ABC) là ñi m H th a mãn I n m gi a AH Tính kho ng cách t trung ñi m K c a SB t i m t ph ng (SAH) Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñ u c nh a, I là trung ñi m c a BC, D là ñi m ñ i a x ng v i A qua I, SD ⊥ ( ABC ) , K là hình chi u vuông góc c a I trên SA, IK = Tính kho ng cách t 2 D ñ n m t ph ng (SBC) Bài 5 Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình. .. 3 - Khóa h c LTðH KIT-1: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Phương) Các v n ñ v kho ng cách www.VNMATH.com a 3 8 Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang vuông t i A và D, SA ⊥ ( ABCD ) , V y d ( H , SCD )) = SA = a 2 , AB = 2a; AD = DC = a G i M là trung ñi m c a SD Tính kho ng cách t M ñ n m t ph ng (SBC) Gi i: G i E là trung ñi m AB, N là trung ñi m SE, O là tâm hình vuông ADCE, I = SO ∩ MN Ta có: . Phương Chuyên ñề 01- Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Cho tứ giác ñều SABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a,. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. ( ) SA ABCD ⊥ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC ≤ 1 2. Cách xác ñịnh góc giữa hai ñường thẳng bất kì trong không gian. Qui tắc 1: Góc giữa 2 ñường thẳng a, b bất kì trong không gian là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau a’, b’ lần lượt song