Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số

33 419 0
  • Loading ...
1/33 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 02/10/2014, 14:20

Đây là bộ tài liệu hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 12 củng cố và nâng cao kiến thức, phục vụ tốt việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi đại học của bộ môn. Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các em học sinh lớp 12 trong việc học tập và luyện thi đại học. Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x 2 − 6x + 6 > 0. b) −4x 2 + x − 2 ≥ 0. c) x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 8x − 10 ≤ 0. d) x 4 + x 2 + 4x − 3 ≥ 0. Lời giải. a) Ta có x 2 − 6x + 6 > 0 ⇔  x > 3 + √ 3 x < 3 − √ 3 . Vậy tập nghiệm S =  −∞; 3 − √ 3  ∪  3 + √ 3; +∞  . b) Ta có ∆ = −31 < 0 ⇒ −4x 2 + x − 2 < 0, ∀x ∈ R. Vậy bất phương trình vô nghiệm. c) Bất phương trình tương đương với x 4 + 3x 2 − 10 − 4x 3 + 8x ≤ 0 ⇔  x 2 − 2  x 2 + 5  − 4x  x 2 − 2  ≤ 0 ⇔  x 2 − 2  x 2 − 4x + 5  ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 ≤ 0 ⇔ − √ 2 ≤ x ≤ √ 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  − √ 2; √ 2  . d) Bất phương trình tương đương với x 4 + 2x 2 + 1 ≥ x 2 − 4x + 4 ⇔  x 2 + 1  2 ≥ (x −2) 2 ⇔  x 2 + x − 1  x 2 − x + 3  ≥ 0 ⇔ x 2 + x − 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ −1+ √ 5 2 x ≤ −1− √ 5 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  −∞; −1− √ 5 2  ∪  −1+ √ 5 2 ; +∞  . Bài tập 2.2. Giải các bất phương trình sau a) x − 2 x 2 − 9x + 8 ≥ 0. b) x 2 − 3x − 2 x − 1 ≥ 2x + 2. c) x + 5 2x − 1 + 2x − 1 x + 5 > 2. d) 1 x 2 − 5x + 4 < 1 x 2 − 7x + 10 . Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 8 +∞ x − 2 − | − 0 + | + x 2 − 9x + 8 + 0 − | − 0 + VT − || + 0 − || + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞). b) Bất phương trình tương đương với x 2 − 3x − 2 − (x − 1) (2x + 2) x − 1 ≥ 0 ⇔ −x 2 − 3x x − 1 ≥ 0. Ta có bảng xét dấu 1 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −∞ −3 0 1 +∞ −x 2 − 3x − 0 + 0 − | − x − 1 − | − | − 0 + VT + 0 − 0 + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1). c) Bất phương trình tương đương với (x + 5) 2 + (2x − 1) 2 − 2 (x + 5) (2x − 1) (2x − 1) (x + 5) > 0 ⇔ x 2 − 12x + 36 2x 2 + 9x − 5 > 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ −5 1 2 6 +∞ x 2 − 12x + 36 + | + | + 0 + 2x 2 + 9x − 5 + 0 − 0 + | + VT + || − || + 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪  1 2 ; 6  ∪ (6; +∞). d) Bất phương trình tương đương với x 2 − 7x + 10 − x 2 + 5x − 4 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0 ⇔ −2x + 6 (x 2 − 5x + 4) (x 2 − 7x + 10) < 0. Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 4 5 +∞ −2x + 6 + | + | + 0 − | − | − x 2 − 5x + 4 + 0 − | − | − 0 + | + x 2 − 7x + 10 + | + 0 − | − | − 0 + VT + || − || + 0 − || + || − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2) ∪ (3; 4) ∪ (5; +∞). Bài tập 2.3. Giải các phương trình sau a) x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0. b) x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0. c) x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0. d) (x − 3) 3 + (2x + 3) 3 = 18x 3 . e)  x 2 + 1  3 + (1 − 3x) 3 =  x 2 − 3x + 2  3 . f) (4 + x) 2 − (x − 1) 3 = (1 − x)  x 2 − 2x + 17  . Lời giải. a) Ta có x 3 − 5x 2 + 5x − 1 = 0 ⇔ (x −1)  x 2 − 4x + 1  = 0 ⇔  x = 1 x = 2 ± √ 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 2 ± √ 3. b) Ta có x 3 − 3 √ 3x 2 + 7x − √ 3 = 0 ⇔  x − √ 3  x 2 − 2 √ 3x + 1  = 0 ⇔  x = √ 3 x = √ 3 ± √ 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = √ 3, x = √ 3 ± √ 2. c) Ta có x 4 − 4x 3 − x 2 + 16x − 12 = 0 ⇔ (x −1)  x 3 − 3x 2 − 4x + 12  = 0 ⇔   x = 1 x = 3 x = ±2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = ±2. d) Phương trình tương đương với (x − 3 + 2x + 3) 3 − 3(x − 3)(2x + 3)(x − 3 + 2x + 3) = 18x 3 ⇔ 9x 3 − 9x  2x 2 − 3x − 9  = 0 ⇔ 9x  7x 2 + 3x + 9  = 0 ⇔ x = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. e) Phương trình tương đương với  x 2 + 1 + 1 − 3x  3 − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 + 1 + 1 − 3x) =  x 2 − 3x + 2  3 ⇔ − 3(x 2 + 1)(1 − 3x)(x 2 − 3x + 2) = 0 ⇔   x = 1 3 x = 1 x = 2 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1 3 , x = 1, x = 2. f) Phương trình tương đương với (4 + x) 2 = (x − 1) 3 − (x − 1)  x 2 − 2x + 17  ⇔ (4 + x) 2 = (x − 1)  x 2 − 2x + 1 − x 2 + 2x − 17  = 0 ⇔ x 2 + 8x + 16 = −16x + 16 ⇔ x 2 + 24x = 0 ⇔  x = 0 x = −24 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −24. 2 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.4. Giải các phương trình sau a)  x 2 − 4x + 3  2 −  x 2 − 6x + 5  2 = 0. b) x 4 = (2x − 5) 2 . c) x 4 + 3x 2 + 3 = 2x. d) x 4 − 4x − 1 = 0. e) x 4 = 6x 2 − 12x + 8. f) x 4 = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 1. Lời giải. a) Ta có  x 2 − 4x + 3  2 −  x 2 − 6x + 5  2 = 0 ⇔  2x 2 − 10x + 8  (2x − 2) = 0 ⇔  x = 1 x = 4 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 4. b) Ta có x 4 = (2x − 5) 2 ⇔  x 2 + 2x − 5  x 2 − 2x + 5  = 0 ⇔ x = −1 ± √ 6. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 6. c) Ta có x 4 + 3x 2 + 3 = 2x ⇔  x 2 + 2  2 = (x + 1) 2 ⇔  x 2 + x + 3  x 2 − x + 1  = 0. Vậy phương trình vô nghiệm. d) Ta có x 4 − 4x − 1 = 0 ⇔  x 2 + 1  2 = 2(x + 1) 2 ⇔  x 2 + √ 2x + 1 + √ 2  x 2 − √ 2x + 1 − √ 2  = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm x = √ 2 ±  4 √ 2 − 2 2 . e) Ta có x 4 = 6x 2 − 12x + 8 ⇔  x 2 − 1  2 = (2x − 3) 2 ⇔  x 2 + 2x − 4  x 2 − 2x + 2  = 0 ⇔ x = −1 ± √ 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 5. f) Ta có x 4 = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 1 ⇔  x 2 − x  2 = (2x − 1) 2 ⇔  x 2 + x − 1  x 2 − 3x + 1  = 0 ⇔  x = −1± √ 5 2 x = 3± √ 5 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −1 ± √ 5 2 , x = 3 ± √ 5 2 . Bài tập 2.5. Giải các phương trình sau a) (x + 3) 4 + (x + 5) 4 = 2. b) (x + 1) 4 + (x + 3) 4 = 16. c) (x + 3) 4 + (x − 1) 4 = 82. d) x 4 + (x − 1) 4 = 41 8 . Lời giải. a) Đặt x + 4 = t. Phương trình trở thành (t − 1) 4 + (t + 1) 4 = 2 ⇔ 2t 4 + 12t 2 = 0 ⇔  t 2 = 0 t 2 = −6 (loại) ⇔ t = 0 Với t = 0 ⇒ x = −4. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −4. b) Đặt x + 2 = t. Phương trình trở thành (t − 1) 4 + (t + 1) 4 = 16 ⇔ 2t 4 + 12t 2 − 14 = 0 ⇔  t 2 = 1 t 2 = −7 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = −1; t = −1 ⇒ x = −3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = −3. c) Đặt x + 1 = t. Phương trình trở thành (t + 2) 4 + (t − 2) 4 = 16 ⇔ 2t 4 + 48t 2 − 50 = 0 ⇔  t 2 = 1 t 2 = −25 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = 0; t = −1 ⇒ x = −2. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = −2. d) Đặt x − 1 2 = t. Phương trình trở thành  t + 1 2  4 +  t − 1 2  4 = 41 8 ⇔ 2t 4 + 3t 2 − 5 = 0 ⇔  t 2 = 1 t 2 = − 5 2 (loại) ⇔ t = ±1 Với t = 1 ⇒ x = 3 2 ; t = −1 ⇒ x = − 1 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 2 , x = − 1 2 . Bài tập 2.6. Giải các phương trình sau a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. b)  x 2 − 1  (x + 3) (x + 5) + 16 = 0. c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x 2 . d)  x 2 − 2x + 4  x 2 + 3x + 4  = 14x 2 . Lời giải. a) Phương trình tương đương với (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) = 3 ⇔  x 2 + 5x + 4  x 2 + 5x + 6  = 3 Đặt x 2 + 5x + 4 = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔  t = 1 t = −3 . 3 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Với t = 1 ⇒ x 2 + 5x + 4 = 1 ⇔ x = −5 ± √ 13 2 ; t = −3 ⇒ x 2 + 5x + 4 = −3 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −5 ± √ 13 2 . b) Phương trình tương đương với (x − 1) (x + 5) (x + 1) (x + 3) + 16 = 0 ⇔  x 2 + 4x − 5  x 2 + 4x + 3  + 16 = 0 Đặt x 2 + 4x − 5 = t. Phương trình trở thành t (t + 8) + 16 = 0 ⇔ t = −4. Với t = −4 ⇒ x 2 + 4x − 5 = −4 ⇔ x = −2 ± √ 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 ± √ 5. c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với (x − 1) (x − 6) (x − 2) (x − 3) = 3x 2 ⇔  x 2 − 7x + 6  x 2 − 5x + 6  = 3x 2 ⇔  x − 7 + 6 x  x − 5 + 6 x  = 3 Đặt x − 7 + 6 x = t. Phương trình trở thành t (t + 2) = 3 ⇔  t = 1 t = −3 . Với t = 1 ⇒ x −7 + 6 x = 1 ⇔ x 2 − 8x + 6 = 0 ⇔ x = 4 ± √ 10; t = −3 ⇒ x − 7 + 6 x = −3 ⇔ x 2 − 4x + 6 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4 ± √ 10. d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với  x − 2 + 4 x  x + 3 + 4 x  = 14 Đặt x − 2 + 4 x = t. Phương trình trở thành t (t + 5) = 14 ⇔  t = 2 t = −7 . Với t = 2 ⇒ x −2 + 4 x = 2 ⇔ x 2 −4x + 4 = 0 ⇔ x = 2; t = −7 ⇒ x −2 + 4 x = −7 ⇔ x 2 + 5x + 4 ⇔  x = −1 x = −4 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 2, x = −1, x = −4. Bài tập 2.7. Giải các phương trình sau a) x 4 − 4x 3 + 6x 2 − 4x + 1 = 0. b) 2x 4 + 3x 3 − 9x 2 − 3x + 2 = 0. c) 2x 4 + 3x 3 − 27x 2 + 6x + 8 = 0. d) x 4 − 5x 3 + 8x 2 − 10x + 4 = 0. Lời giải. a) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với x 2 − 4x + 6 − 4 x + 1 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 1 x 2 − 4  x + 1 x  + 6 = 0 Đặt x + 1 x = t ⇒ x 2 + 1 x 2 = t 2 − 2. Phương trình trở thành t 2 − 2 − 4t + 6 = 0 ⇔ t = 2. Với t = 2 ⇒ x + 1 x = 2 ⇔ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 2x 2 + 3x − 9 − 3 x + 2 x 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 1 x 2  + 3  x − 1 x  − 9 = 0 Đặt x − 1 x = t ⇒ x 2 + 1 x 2 = t 2 + 2. Phương trình trở thành 2  t 2 + 2  + 3t − 9 = 0 ⇔  t = 1 t = − 5 2 . Với t = 1 ⇒ x − 1 x = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 5 2 . Với t = − 5 2 ⇒ x − 1 x = − 5 2 ⇔ 2x 2 + 5x − 2 = 0 ⇔ x = −5 ± √ 41 4 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 1 ± √ 5 2 , x = −5 ± √ 41 4 . c) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 2x 2 + 3x − 27 + 6 x + 8 x 2 = 0 ⇔ 2  x 2 + 4 x 2  + 3  x + 2 x  − 27 = 0 4 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Đặt x + 2 x = t ⇒ x 2 + 4 x 2 = t 2 − 4. Phương trình trở thành 2  t 2 − 4  + 3t − 27 = 0 ⇔  t = −5 t = 7 2 . Với t = −5 ⇒ x + 2 x = −5 ⇔ x 2 + 5x + 2 = 0 ⇔ x = −5 ± √ 17 2 . Với t = 7 2 ⇒ x + 2 x = 7 2 ⇔ 2x 2 − 7x + 4 = 0 ⇔ x = 7 ± √ 17 4 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −5 ± √ 17 2 , x = 7 ± √ 17 4 . d) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với x 2 − 5x + 8 − 10 x + 4 x 2 = 0 ⇔ x 2 + 4 x 2 − 5  x + 2 x  + 8 = 0 Đặt x + 2 x = t ⇒ x 2 + 4 x 2 = t 2 − 4. Phương trình trở thành t 2 − 4 − 5t + 8 = 0 ⇔  t = 4 t = 1 . Với t = 4 ⇒ x + 2 x = 4 ⇔ x 2 − 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ± √ 2. Với t = 1 ⇒ x + 2 x = 1 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ± √ 2. Bài tập 2.8. Giải các phương trình sau a)  x 2 + 5x  2 − 2  x 2 + 5x  − 24 = 0. b)  x 2 + x + 1  x 2 + x + 2  = 12. c)  x 2 − 2x − 2  2 − 2x 2 + 3x + 2 = 0. d) (4x + 3) 2 (x + 1) (2x + 1) = 810. Lời giải. a) Đặt x 2 + 5x = t. Phương trình trở thành t 2 − 2t − 24 = 0 ⇔  t = 6 t = −4 . Với t = 6 ⇒ x 2 + 5x = 6 ⇔  x = 1 x = −6 . Với t = −4 ⇒ x 2 + 5x = −4 ⇔  x = −1 x = −4 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ±1, x = −4, x = −6. b) Đặt x 2 + x + 1 = t. Phương trình trở thành t(t + 1) = 12 ⇔  t = 3 t = −4 . Với t = 3 ⇒ x 2 + x + 1 = 3 ⇔  x = 1 x = −2 . Với t = −4 ⇒ x 2 + x + 1 = −4 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = −2. c) Phương trình tương đương với (x 2 − 2x − 2) 2 − (x 2 − 2x − 2) − x 2 + x = 0. Đặt x 2 − 2x − 2 = t. Phương trình trở thành t 2 − t − x 2 + x = 0 ⇔ (t − x)(t + x) − (t − x) = 0 ⇔ (t −x)(t + x −1) = 0 ⇔  t = x t = 1 −x Với t = x ⇒ x 2 − 2x − 2 = x ⇔ x = 3 ± √ 17 2 ; t = 1 −x ⇒ x 2 − 2x − 2 = 1 − x ⇔ x = 1 ± √ 13 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 3 ± √ 17 2 , x = 1 ± √ 13 2 . d) Phương trình tương đương với  16x 2 + 24x + 9  2x 2 + 3x + 1  = 810 ⇔  8(2x 2 + 3x + 1) + 1  2x 2 + 3x + 1  = 810 Đặt 2x 2 + 3x + 1 = t. Phương trình trở thành (8t + 1) t = 810 ⇔  t = 10 t = − 81 8 . Với t = 10 ⇒ 2x 2 + 3x + 1 = 10 ⇔  x = −3 x = 3 2 . Với t = − 81 8 ⇒ 2x 2 + 3x + 1 = − 81 8 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3, x = 3 2 . Bài tập 2.9. Giải các phương trình sau a) 1 2x 2 − x + 1 + 1 2x 2 − x + 3 = 6 2x 2 − x + 7 . b) 4x 4x 2 − 8x + 7 + 3x 4x 2 − 10x + 7 = 1. c) x 2 + 1 x + x x 2 + 1 = − 5 2 . d)  x − 1 x + 2  2 + x − 3 x + 2 − 2  x − 3 x − 1  2 = 0. e) x 2 +  x x + 1  2 = 3. f)  1 x 2 + x + 1  2 +  1 x 2 + x + 2  2 = 13 36 . 5 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. a) Đặt 2x 2 − x + 1 = t (t > 0). Phương trình trở thành 1 t + 1 t + 2 = 6 t + 6 ⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t 2 − 2t − 12 = 0 ⇔  t = 2 t = − 3 2 (loại) Với t = 2 ⇒ 2x 2 − x + 1 = 2 ⇔  x = 1 x = − 1 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = − 1 2 . b) Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Với x = 0, phương trình tương đương với 4 4x − 8 + 7 x + 3 4x − 10 + 7 x = 1 Đặt 4x − 8 + 7 x = t. Phương trình trở thành 4 t + 3 t − 2 = 1 ⇔ 4 (t −2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t 2 − 9t + 8 = 0 ⇔  t = 1 t = 8 Với t = 1 ⇒ 4x −8 + 7 x = 1 ⇔ 4x 2 − 9x + 7 = 0 (vô nghiệm). Với t = 8 ⇒ 4x −8 + 7 x = 8 ⇔ 4x 2 − 16x + 7 = 0 ⇔  x = 1 2 x = 7 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 2 , x = 7 2 . c) Điều kiện: x = 0. Đặt x 2 + 1 x = t. Phương trình trở thành t + 1 t = − 5 2 ⇔  t = −2 t = − 1 2 . Với t = −2 ⇒ x 2 + 1 x = −2 ⇔ x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1. Với t = − 1 2 ⇒ x 2 + 1 x = − 1 2 ⇔ 2x 2 + x + 2 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có nghiệm x = −1. d) Điều kiện: x = 1, x = −2. Đặt x − 1 x + 2 = u, x − 3 x − 1 = v. Phương trình trở thành u 2 + uv −2v 2 = 0 ⇔  u = v u = −2v . Với u = v ⇒ x − 1 x + 2 = x − 3 x − 1 ⇔ x 2 − 2x + 1 = x 2 − x − 6 ⇔ x = 7. Với u = −2v ⇒ x − 1 x + 2 = −2. x − 3 x − 1 ⇔ x 2 − 2x + 1 = −2x 2 + 2x + 12 ⇔ 3x 2 − 4x − 11 = 0 ⇔ x = 2 ± √ 37 3 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = 2 ± √ 37 3 . e) Điều kiện: x = −1. Phương trình tương đương với  x − x x + 1  2 + 2x. x x + 1 = 3 ⇔  x 2 x + 1  2 + 2 x 2 x + 1 − 3 = 0 Đặt x 2 x + 1 = t. Phương trình trở thành t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔  t = 1 t = −3 . Với t = 1 ⇒ x 2 x + 1 = 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √ 5 2 . Với t = −3 ⇒ x 2 x + 1 = −3 ⇔ x 2 + 3x + 3 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 ± √ 5 2 . f) Phương trình tương đương với  1 x 2 + x + 1 − 1 x 2 + x + 2  2 + 2. 1 x 2 + x + 1 . 1 x 2 + x + 2 = 13 36 ⇔  1 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2)  2 + 2 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) − 13 36 = 0 Đặt 1 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) = t (t > 0). Phương trình trở thành t 2 + 2t − 13 36 = 0 ⇔  t = 1 6 t = − 13 6 (loại) . 6 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với t = 1 6 ⇒ 1 (x 2 + x + 1) (x 2 + x + 2) = 1 6 ⇔  x 2 + x + 1  x 2 + x + 2  = 6. Đặt x 2 + x + 1 = u (u > 0). Phương trình trở thành u (u + 1) = 6 ⇔  u = 2 u = −3 (loại) . Với u = 2 ⇒ x 2 + x + 1 = 2 ⇔ x = −1 ± √ 5 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ± √ 5 2 . Bài tập 2.10. Giải các phương trình sau a) |x − 1| =   x 2 − 3x + 1   . b)   x 2 + 4x − 5   =   x 2 + 5   . c)   x 2 − 5x + 4   − x = 4. d) √ x 2 + 4x + 4 = 5 − x 2 . e)   x 2 − 5x + 4   = x 2 + 6x + 5. f)   x 2 − 5x + 5   = −2x 2 + 10x − 11. Lời giải. a) Ta có |x − 1| =   x 2 − 3x + 1   ⇔  x − 1 = x 2 − 3x + 1 x − 1 = −x 2 + 3x − 1 ⇔   x = 2 ± √ 2 x = 0 x = 2 . Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 2 ± √ 2, x = 0, x = 2. b) Ta có   x 2 + 4x − 5   =   x 2 + 5   ⇔  x 2 + 4x − 5 = x 2 + 5 x 2 + 4x − 5 = −x 2 − 5 ⇔   x = 5 2 x = 0 x = −2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x = 5 2 , x = 0, x = −2. c) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔  x ≥ 4 x ≤ 1 , phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 − x = 4 ⇔  x = 0 x = 6 (thỏa mãn). Với x 2 −5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 −x = 4 ⇔ x 2 −4x + 8 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 6. d) Phương trình tương đương với |x + 2| = 5 −x 2 . Với x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + 2 = 5 − x 2 ⇔ x 2 + x − 3 = 0 ⇔  x = −1+ √ 13 2 x = −1− √ 13 2 (loại) Với x + 2 < 0 ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − 2 = 5 − x 2 ⇔ x 2 − x − 7 = 0 ⇔  x = 1+ √ 29 2 (loại) x = 1− √ 29 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 + √ 13 2 , x = 1 − √ 29 2 . e) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔  x ≥ 4 x ≤ 1 , phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 = x 2 + 6x + 5 ⇔ x = − 1 11 (thỏa mãn). Với x 2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, PT trở thành −x 2 + 5x − 4 = x 2 + 6x + 5 ⇔ 2x 2 + x + 9 = 0 (vô nghiệm). Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 1 11 . f) Với x 2 −5x + 5 ≥ 0 ⇔  x ≥ 5+ √ 5 2 x ≤ 5− √ 5 2 , PT trở thành x 2 −5x + 5 = −2x 2 + 10x −11 ⇔ x = 15± √ 33 2 (thỏa mãn). Với x 2 − 5x + 5 < 0 ⇔ 5− √ 5 2 < x < 5+ √ 5 2 , PT trở thành −x 2 + 5x − 5 = −2x 2 + 10x − 11 ⇔  x = 2 x = 3 (TM). Vậy phương trình có bốn nghiệm x = 15 ± √ 33 2 , x = 2, x = 3. Bài tập 2.11. Giải các phương trình sau a)  x 2 − x  2 +   x 2 − x   − 6 = 0. b) 3  2x − 1 x + 1  2 −     x + 1 2x − 1     − 2 = 0. c)   x 2 + 3x − 10   +   x 2 − 4   = 0. d)   x 2 + 3x − 4   +   x 2011 + 2011x − 2012   = 0. Lời giải. a) Đặt |x 2 − x| = t (t ≥ 0). Phương trình trở thành t 2 + t − 6 = 0 ⇔  t = 2 t = −3 (loại) . Với t = 2 ⇒   x 2 − x   = 2 ⇔  x 2 − x = 2 x 2 − x = −2 (vô nghiệm) ⇔  x = 2 x = −1 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = −1. b) Điều kiện: x = −1, x = 1 2 . Đặt | x + 1 2x − 1 | = t (t > 0). Phương trình trở thành 3 t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1. Với t = 1 ⇒     x + 1 2x − 1     = 1 ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔  x + 1 = 2x − 1 x + 1 = −2x + 1 ⇔  x = 2 x = 0 . 7 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 0. c) Ta có   x 2 + 3x − 10   +   x 2 − 4   = 0 ⇔  x 2 + 3x − 10 = 0 x 2 − 4 = 0 ⇔     x = 2 x − 5 x = ±2 ⇔ x = 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. d) Ta có   x 2 + 3x − 4   +   x 2011 + 2011x − 2012   = 0 ⇔  x 2 + 3x − 4 = 0 x 2011 + 2011x − 2012 = 0 ⇔     x = 1 (thỏa mãn) x = −4 (loại) x 2011 + 2011x − 2012 = 0 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Bài tập 2.12. Giải các bất phương trình sau a) |x − 2| < |2x + 1|. b)     2x − 3 x − 3     ≤ 1. c)   x 2 − 5x + 4   ≤ x 2 + 6x + 5. d)   x 2 − 2x   + x 2 − 4 > 0. Lời giải. a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2) 2 < (2x + 1) 2 ⇔ 3x 2 + 8x − 3 > 0 ⇔  x > 1 3 x < −3 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪  1 3 ; +∞  . b) Điều kiện: x = 3. Bất phương trình tương đương với |2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x −3) 2 ≤ (x −3) 2 ⇔ 3x 2 − 6x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2]. c) Với x 2 − 5x + 4 ≥ 0 ⇔  x ≥ 4 x ≤ 1 , bất phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5 ⇔ x ≥ − 1 11 ⇒ S 1 =  − 1 11 ; 1  ∪ [4; +∞) Với x 2 − 5x + 4 < 0 ⇔ 1 < x < 4, bất phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 ≤ x 2 + 6x + 5 ⇔ 2x 2 + x + 9 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S 2 = (1; 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S 1 ∪ S 2 =  − 1 11 ; +∞  . d) Với x 2 − 2x ≥ 0 ⇔  x ≥ 2 x ≤ 0 , bất phương trình trở thành x 2 − 2x + x 2 − 4 > 0 ⇔  x > 2 x < −1 (thỏa mãn) ⇒ S 1 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Với x 2 − 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2, bất phương trình trở thành −x 2 + 2x + x 2 − 4 > 0 ⇔ x > 2 (loại) ⇒ S 2 = ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S 1 ∪ S 2 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞). Bài tập 2.13. Giải các phương trình sau a) |9 − x| = |6 −5x|+ |4x + 3|. b)   x 2 − 5x + 4   +   x 2 − 5x   = 4. c) |7 − 2x| = |5 −3x|+ |x + 2|. d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4. e) √ x 2 − 2x + 1 + √ x 2 + 4x + 4 = 5. f)  x + 2 √ x − 1 +  x − 2 √ x − 1 = 2. Lời giải. a) Ta có bảng xét dấu x −∞ − 3 4 6 5 9 +∞ 9 − x + | + | + 0 − 6 − 5x + | + 0 − | − 4x + 3 − 0 + | + | + Với x ∈  −∞; − 3 4  , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x − 4x − 3 ⇔ x = − 3 4 (thỏa mãn). Với x ∈  − 3 4 ; 6 5  , phương trình trở thành 9 − x = 6 − 5x + 4x + 3 ⇔ 9 = 9 (đúng , ∀x ∈  − 3 4 ; 6 5  ). Với x ∈  6 5 ; 9  , phương trình trở thành 9 − x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = 6 5 (loại). Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + 3 ⇔ x = − 3 4 (loại). Vậy phương trình có tập nghiệm S =  − 3 4 ; 6 5  . b) Ta có bảng xét dấu 8 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x −∞ 0 1 4 5 +∞ x 2 − 5x + 4 + | + 0 − 0 + | + x 2 − 5x + 0 − | − | − 0 + Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4 ⇔  x = 0 (thỏa mãn) x = 5 (loại) . Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 − x 2 + 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (0; 1]). Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x 2 + 5x − 4 − x 2 + 5x = 4 ⇔  x = 4 (thỏa mãn) x = 1 (loại) . Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 − x 2 + 5x = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (4; 5]). Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x 2 − 5x + 4 + x 2 − 5x = 4 ⇔  x = 0 (loại) x = 5 (loại) . Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0;1] ∪ [4; 5]. c) Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 5 3 7 2 +∞ 7 − 2x + | + | + 0 − 5 − 3x + | + 0 − | − x + 2 − 0 + | + | + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành 7 − 2x = 5 −3x −x −2 ⇔ x = −2 (thỏa mãn). Với x ∈  −2; 5 3  , phương trình trở thành 7 − 2x = 5 − 3x + x + 2 ⇔ 7 = 7 (đúng , ∀x ∈  −2; 5 3  ). Với x ∈  5 3 ; 7 2  , phương trình trở thành 7 − 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = 5 3 (loại). Với x ∈  7 2 ; +∞  , phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + 2 ⇔ x = −2 (loại). Vậy phương trình có tập nghiệm S =  −2; 5 3  . d) Ta có bảng xét dấu x −∞ 1 2 3 +∞ x − 1 − 0 + | + | + x − 2 − | − 0 + | + x − 3 − | − | − 0 + Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 1 (thỏa mãn). Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − 1 − 2 (−x + 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ 4 = 4 (đúng , ∀x ∈ (1; 2]). Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (−x + 3) = 4 ⇔ x = 2 (loại). Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − 1 − 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 4 ⇔ x = 5 (thỏa mãn). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1;2] ∪ {5}. e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = 5. Ta có bảng xét dấu x −∞ −2 1 +∞ x − 1 − | − 0 + x + 2 − 0 + | + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + 1 − x − 2 = 5 ⇔ x = 3 (loại). Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + 1 + x + 2 = 5 ⇔ 3 = 5 (vô lý). Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − 1 + x + 2 = 5 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm x = 2. f) Phương trình tương đương với √ x − 1 + 1 +   √ x − 1 − 1   = 2. Với   √ x − 1 − 1   ≥ 0 ⇔ x ≥ 2, PT trở thành √ x − 1 + 1 + √ x − 1 − 1 = 2 ⇔ √ x − 1 = 1 ⇔ x = 2 (thỏa mãn). Với   √ x − 1 − 1   < 0 ⇔ 1 ≤ x < 2, PT trở thành √ x − 1 + 1 − √ x − 1 + 1 = 2 ⇔ 2 = 2 (đúng ∀x ∈ [1; 2)). Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1;2]. §2. Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn Bài tập 2.14. Giải các phương trình sau a) x − √ x − 1 − 7 = 0. b) √ 2x + 9 = √ 4 − x + √ 3x + 1. c) √ 3x − 3 − √ 5 − x = √ 2x − 4. d)  2x + √ 6x 2 + 1 = x + 1. e) 3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1 = 3 √ 3x + 1. f) 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 + 3 √ x + 3 = 0. 9 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải. a) Phương trình tương đương với √ x − 1 = x − 7 ⇔  x ≥ 7 x − 1 = x 2 − 14x + 49 ⇔    x ≥ 7  x = 5 (loại) x = 10 ⇔ x = 10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. b) Điều kiện: − 1 3 ≤ x ≤ 4. Phương trình tương đương với 2x + 9 = 4 − x + 3x + 1 + 2  (4 − x) (3x + 1) ⇔ 4 = 2  −3x 2 + 11x + 4 ⇔ − 3x 2 + 11x + 4 = 4 ⇔  x = 0 x = 11 3 (thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 11 3 . c) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 5. Phương trình tương đương với √ 3x − 3 = √ 5 − x + √ 2x − 4 ⇔ 3x −3 = 5 −x + 2x −4 + 2  (5 − x) (2x − 4) ⇔ 2x − 4 = 2  (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x −4) 2 = 4 (5 − x) (2x − 4) ⇔(2x − 4) (2x − 4 − 20 + 4x) = 0 ⇔  x = 2 x = 4 (thỏa mãn). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 4. d) Phương trình tương đương với  x + 1 ≥ 0 2x + √ 6x 2 + 1 = x 2 + 2x + 1 ⇔  x ≥ −1 6x 2 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 ⇔        x ≥ −1   x = 0 x = 2 x = −2 (loại) ⇔  x = 0 x = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 2. e) Phương trình tương đương với 2x − 1 + x − 1 + 3 3  (2x − 1) (x − 1)  3 √ 2x − 1 + 3 √ x − 1  = 3x + 1 ⇒ 3  (2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = 1 ⇒ 6x 3 − 7x 2 = 0 ⇒  x = 0 x = 7 6 Thử lại ta thấy x = 0 không phải là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7 6 . f) Phương trình tương đương với 3 √ x + 1 + 3 √ x + 2 = − 3 √ x + 3 ⇔ x + 1 + x + 2 + 3 3  (x + 1) (x + 2)  3 √ x + 1 + 3 √ x + 2  = −x − 3 ⇒ 3  (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + 2 ⇒ x = −2 Thử lại ta thấy x = −2 là nghiệm phương trình. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2. Bài tập 2.15. Giải các bất phương trình sau a) √ x 2 − 4x − 12 > 2x + 3. b) √ x 2 − 4x − 12 ≤ x −4. c) 3 √ 6x − 9x 2 < 3x. d) √ x 3 + 1 ≥ x + 1. Lời giải. a) Bất phương trình tương đương với      2x + 3 < 0 x 2 − 4x − 12 ≥ 0  2x + 3 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 > 4x 2 + 12x + 9 ⇔          x < − 3 2  x ≥ 6 x ≤ −2  x ≥ − 3 2 −3 < x < − 7 3 ⇔ x ≤ −2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2]. b) Bất phương trình tương đương với    x − 4 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 ≥ 0 x 2 − 4x − 12 ≤ x 2 − 8x + 16 ⇔        x ≥ 4  x ≥ 6 x ≤ −2 x ≤ 7 ⇔ 6 ≤ x ≤ 7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7]. c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x 2 < 27x 3 ⇔ 27x 3 + 9x 2 − 6x > 0. Ta có bảng xét dấu 10 www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Do đó phương trình đã cho vô nghiệm 1 d) Phương trình tương đương với (5x − 2) (x2 + x + 1) = 2 x2 + 6x − 1 1 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (5x − 2) (x2 + x + 1) ≤ 2 x2 + 6x − 1 √ √ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 5x − 2 = x2 + x + 1 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x=1 x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 3 §3 Hệ Phương Trình Đại Số Bài... www.MATHVN.com Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số √ Vậy hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ 2−2 3 √ √ Bài tập 2.57 Tìm m để hệ 1 − x2 + 2 3 1 − x2 = m có nghiệm duy nhất Lời giải Nhận thấy nếu x0 là nghiệm phương trình thì −x0 cũng là nghiệm phương trình Do đó giả sử phương trình có nghiệm duy nhất √ nghiệm đó bằng 0 ⇒ m = 3 thì √ Với m = 3 phương trình trở thành 1 −... ta thấy x = 2 là nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Bài tập 2.20 Giải các bất phương trình sau √ 1 − 1 − 4x2 a) < 3 x 2x c) √ > 2x + 2 2x + 1 − 1 √ 21 − 4x + x2 ≥ 0 x+1 x2 d) √ 2 > x − 4 1+ 1+x b) 1− www.MATHVN.com 14 www.MATHVN.com Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Lời giải 1 a) Điều kiện x ∈ − 2 ; 1 \ {0} Phương trình tương đương với 2... ⇔ www.MATHVN.com 16 www.MATHVN.com Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số √ t≥2 t ≤ −8 (loại) 8 + 2x − x2 = t (t ≥ 0) Bất phương trình trở thành 8 − t2 + 8 − 6t ≤ 0 ⇔ √ √ Với t ≥ 2 ⇒ 8 + 2x − x2 ≥ 4 ⇔ 1 − 5 < x < 1√ 5 √ + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 1 − 5; 1 + 5 x+1 x>0 e) Điều kiện: Đặt = t (t > 0) Bất phương trình trở thành x < −1 x Đặt 1 1 2 − 2t > 3 ⇔...www.MATHVN.com Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x VT −∞ − 2 −3 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = − 2 ; 0 3 d) Bất phương trình tương đương với   x+12 √− 2 > 0   x2 + 4 < x2 + 4x + 4 x2 + 4 < x + 2 x>2 ⇔ ⇔ ⇔   x−2 x − 4 và x − 3 > x √ 4 nên √ phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ √ +∞) √ √ √ √ Với x < 1, bất phương trình trở thành 1 − x 2 − x + 3 − x − 2 4 − x ≥ 0 ⇔ 2 − x+ 3 − x ≥ 2 4 − x √ √ √ √ Vì 2 − x < 4 − x và 3 − x > 4 − x nên bất phương trình vô . Chuyên đề 2 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1. Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau a) x 2 − 6x +. đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x −∞ − 2 3 0 1 3 +∞ VT − 0 + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  − 2 3 ; 0  ∪  1 3 ; +∞  . d) Bất phương trình. 0 12 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞). d) Bất phương trình tương đương với (x + 2)  9
- Xem thêm -

Xem thêm: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay