http://tailieuonthi.vn http://tailieuonthi.vn http://tailieuonthi.vn MỤC LỤC Phần 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) 4 Bài 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) 5 Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG 15 Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN 38 Bài 4. ELIP 58 Bài 5. HYPERBOL 66 Bài 6. PARABOL 71 Phần 2: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 78 Bài 1. QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC 79 Bài 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 82 Bài 3. CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH 99 Phần 3: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (Oxyz) 155 Bài 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 156 Bài 2. MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 175 Bài 3. MẶT CẦU 191 Bài 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 198 BÀI TẬP ÔN TỔNG HP 254 http://tailieuonthi.vn PHAÀN 1 HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) http://tailieuonthi.vn BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy gồm hai trục vuông góc nhau x’Ox và y’Oy với hai vectơ đơn vò lần lượt là i và j mà: i = (1, 0), j = (0, 1) Gọi x’Ox: trục hoành y’Oy: trục tung O: gốc tọa độ I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ: 12 u (u ; u ) và 12 v (v ; v ) . Ta có: 1. 11 22 u v . uv u v .       2. 1 1 2 2 u v (u v ; u v )    3. 12 k.u (k.u ; k.u ). (k R) u và v cùng phương  k  R: u kv  12 12 u u v v = 0 4. Tích vô hướng u.v u v cos(u,v) . . . . 1 1 2 2 u v u v u v Hệ quả: u v u.v 0   Độ dài vectơ: 22 12 |u| u u II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M tùy ý. Tọa độ (x; y) của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M và ký hiệu là: M(x; y). x: hoành độ, y: tung độ. Cho hai điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ). y M 2 u u 1 x x' y' i i O y Q x x' y' i i O M P http://tailieuonthi.vn ( ; B A B A AB x x y y )   ( 22 B A B A AB (x x ) y y )   Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A B A B II x x y y x ; y 22   G trọng tâm ABC: A B C G A B C G x x x x 3 y y y y 3            B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho tam giác ABC với: A(1; 0), B(5; 0), C(2; 3). Tìm các điểm sau của tam giác: a) Trọng tâm G. b) Trực tâm H. c) Chân A’ của đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. d) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp. Giải a) G là trọng tâm tam giác ABC nên: A B C G x x x 8 x; 33   A B C G y y y y1 3   Vậy: G( 8 ; 1 3 ) b) H(x, y) là trực tâm tam giác ABC:  AH.BC 0 BH.AC 0        Mà: AH (x 1; y) ; BC ( 3; 3) ; BH (x 5; y) ; AC (1; 3) Nên điều kiện trên thành: 3(x 1) 3y 0 1(x 5) 3y 0           3x 3y 3 x 3y 5        x2 y1      Vậy: H(2; 1) c) A'(x, y) là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC http://tailieuonthi.vn  AA '.BC 0 BA ' và BC cùng phương       Mà: AA' (x 1; y); BC ( 3; 3); BA' (x 5; y) Nên điều kiện trên thành: 3(x 1) 3y 0 3(x 5) 3y 0           x y 1 x y 5        x3 y2      Vậy: A’(3; 2) d) I(x, y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 22 22 IA IB IA IC         2 2 2 2 2 2 2 2 (x 1) y (x 5) y (x 1) y (x 2) (y 3)                  8x 24 0 x 3y 6        x3 y1      Vậy: I(3; 1). Bài 2. Cho ba điểm: A(–3; 3), B(–5; 2), C(1; 1) a) Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Chứng tỏ ˆ BAC là góc tù. c) Tính diện tích tam giác ABC. d) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giải a) Ta có: AB ( 2; 1), AC (4; 2)     2 1 4 2   = ( 2).( 2) ( 1).4 8 0.      Nên AB và AC không cùng phương, tức là ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Ta có:  2 2 2 2 ˆ ( 2).(4) ( 1).( 2) 3 cosBAC cos AB, AC) 0. 5 ( 2) ( 1) . (4) ( 2)               Nên ˆ BAC là góc tù. b) Diện tích tam giác ABC: ˆ 1 S AB.AC.sinBAC 2  2 ˆ 1 AB.AC. 1 cos BAC 2  19 5. 20. 1 4(đvdt) 2 25    c) Ta có: S = pr http://tailieuonthi.vn Mà: 1 1 1 p (AB BC CA) ( 5 37 2 5) (3 5 37) 2 2 2          r = S 3 5 37 p  . Bài 3. Tuyển sinh Đại Học khối B/2011 Cho : x – y – 4 = 0, d: 2x – y – 2 = 0 Tìm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt  tại M thỏa OM.ON = 8. Giải Gọi M(m, m – 4)   N(n, 2n – 2)  d Ta có: O, M, N thẳng hàng  m m 4 n 2n 2   = 0  m(2n – 2) = n(m – 4)  mn – 2m = –4n  (4 + m)n = 2m  n = 2m 4m Ta có: OM 2 .ON 2 = 64  [m 2 + (m – 4) 2 ] 22 22 4m 4(m 4) (4 m) (m 4)       = 64  [m 2 + (m – 4) 2 ][m 2 + (m – 4) 2 ] = 16(m + 4) 2  (2m 2 – 8m + 16) 2 = [4(m + 4)] 2  2 2 2m 8m 16 4(m 4) 2m 8m 16 4(m 4)               2 2 2m 12m 0 2m 4m 32 0 (vô nghiệm)          m = 0  m = 6 Vậy M 1 (0; –4), N 1 (0, –2) hay M 1 (6, 2) N 2 62 , 55    . Bài 4. Tuyển sinh Đại Học khối B/2007 Cho A(2, 2). Tìm B trên d 1 : x + y – 2 = 0 4 4 -4 O d N M  y x http://tailieuonthi.vn C trên d 2 : x + y – 8 = 0 sao cho ABC vuông cân tại A. Giải Gọi B(b, 2 – b)  d 1 C(c, 8 – c)  d 2 Ta có: ABC  cân tại A  AB (b 2, b) AC (c 2, 6 c) AB AC               2 2 2 2 (b 2)(c 2) b(6 c) 0 (b 2) b (c 2) (6 c)               Đặt X = b – 1 và Y = c – 4 ta được hệ                2 2 2 2 (X 1)(Y 2) (X 1)(2 Y) (X 1) (X 1) (Y 2) (2 Y)  22 XY 2 2X 2 2Y 8         22 2 Y X X Y 3         2 2 2 Y X 4 X3 X           42 2 Y X X 3X 4 0           22 2 Y X X 1 (loại) X 4            X2 Y1      X2 Y1       Do b X 1 c Y 4      nên b 3 b 1 c 5 c 3         Vậy B 1 (3, –1), C 1 (5, 3) và B 2 (–1, 3), C 2 (3, 5). Bài 5. Cho ABC có trọng tâm G(0, 4), C(–2, –4). Biết trung điểm M của BC nằm trên d: x + y – 2 = 0. Tìm M để độ dài AB ngắn nhất. Giải http://tailieuonthi.vn Gọi M(m, 2 – m)  d Do M trung điểm BC nên B M C B M C x 2x x 2m 2 y 2y y 2(2 m) 4             Vậy B(2m + 2, 8 – 2m) Do G là trọng tâm ABC nên A G B C A G B C x 3x x x 2m y 3y y y 8 2m              Vậy A(-2m, 8 + 2m) Ta có AB 2 = (4m + 2) 2 + (–4m) 2 = 32m 2 + 16m + 4 = 32 2 1 mm 2     + 4 = 32 22 1 1 1 m 4 32 m 2 2 4 16 4                        Vậy AB min = 2  m = 1 4   M 19 , 44     . Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức: a)        2 2 2 2 2 2 4cos x.cos y sin (x y) 4sin x.sin y sin (x y) 2, x, y b) 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z , x, y, z         Giải a/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với mọi x, y xét hai vectơ: a (2cosx.cosy; sin(x y)); b (2sinx.siny; sin(x y)) Ta có: a b (2cos(x y); 2sin(x y))    Và: |a| |b|  |a b| Nên: 2 2 2 2 2 2 4cos xcos y sin (x y) 4sin xsin y sin (x y) 2; x, y.       b/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với mọi x, y, z, xét hai vectơ: y y 3 a (x ; ); 22  z z 3 b x ; 22        Ta có: y z y 3 z 3 a b ( ; ) 2 2 2 2     [...]...  2)  0(y  5)  0  x  2  0 Đường trung trực của cạnh AB là đường thẳng vuông góc với cạnh AB tại trung điểm I của AB, nên chính là đường thẳng đi qua I(0; 3) nhận AB  (4; 4) làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình của đường trung trực cạnh AB là: 4(x  0)  4(y  3)  0  x  y  3  0 Bài 2 Tuyển sinh Đại Học khối B/09 Cho ABC có M(2, 0) là trung điểm AB, trung tuyến: AI: 7x – 2y – 3 = 0, đường... D sao cho: a) CD  2.AB  3.AC b) AD  2.BD  4.CD  0 c) ABCD là hình bình hành d) D  Ox và ABCD là hình thang đáy là AB  10  Đáp số: D(–5, –2) (11, 2) (4, –4)  , 0   3  BT2 Cho điểm A(3; 1) Tìm các điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc tọa độ thứ nhất Đáp số: B(2, 4); C(–1, 3) BT3 Cho một tam giác có trung điểm các cạnh là: M(1; 4), N(3; 0), P(–1; 1) Tìm tọa độ các... ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1 a) Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết trung điểm ba cạnh AB, BC, AC lần lượt là: M(2; 1), N(5; 3), P(3; -4) b) Cho tam giác ABC biết A(-2; 1), B(2; 5), C(4; 1) Viết phương trình của: đường cao BH và đường trung trực của cạnh AB Giải a/ Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có: NP // AB Cạnh AB chính là đường thẳng đi qua M(2; 1) nhận NP... đỉnh ABC Đáp số: A(2 3 + 2, 0); C(2 3 – 2, 0) BT12 Cho hình thang ABCD có AB // CD A(0, 1); B(2, 0); C(3, 2) và diện  31 33  tích (ABCD) bằng 14 Tìm tọa độ D Đáp số:   ,  5   5 BT13 Cho ABC có A trên trục tung, BC đi qua O, trung điểm AB; AC lần lượt là M(–1, 1); N(3, –1) Tìm A, B, C Đáp số: A(0, 1); B(–2, 1); C(6, –3) BT14 Tìm các đỉnh hình vuông ABCD, biết A trên d1: y = x, B trên d2: y =... Vậy A(1, 2) Do M là trung điểm AB nên xB  2x M  x A  4  1  3  y B  2y M  y A  0  2  2 Vậy B(3; –2) A M B H I C BC vuông góc AH nên có PVT(1, 6) Phương trình BC: 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0  x + 6y + 9 = 0 Tọa độ I trung điểm BC là nghiệm hệ phương trình x  0 x  6y  9    3  7x  2y  3  y   2  3 n Vậy I(0; – ) 2 i.v th xC  2xIun B  0  3  3 ox Do I là trung điểm BC nên... Đại Học khối A/2010 Cho ABC cân tại A(6, 6) đường thẳng qua trung điểm của AB, AC là d: x + y – 4 = 0 Tìm B, C biết E(1; –3) nằm trên đường cao CH Giải Vẽ đường cao AK A AK qua A,  d nên có phương trình 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0  x – y = 0 x  y  0 x  2 phương trình    Vậy I(2, 2) x  y  4 y  2 d I Tọa độ giao điểm I của d và AK là nghiệm hệ H B E K C xK  2xI  x A  4  6  2 I là trung. .. 1].[(m  2)  2m  1]  0 t  [2(m  2)  3(m  1)  2m ht  (7m  8)(3m  3)  0 8 1m 7 Bài 11 Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông, biết tâm I(–2, 0) phương trình một cạnh hình vuông là d: x + 3y – 3 = 0 Giải  Gọi M(3 – 3m; m)  d: x + 3y – 3 = 0 là đỉnh của hình vuông Ta có: d(I, d) = (2)  3.0  3 1 3 2  IM = d(I, d) 2  2  5 10 5 2 = 10 5 Ta có: IM2 = 5  (3 – 3m + 2)2 + (m – 0)2... x2 y x2  D:   2  0 3  2 2 1 Trường hợp 2: D qua I(–2; 0) và M(0; 1) là D: x y   1 2 1 Bài 12 Cho hình bình hành ABCD có A(1; 0); B(2; 0); diện tích bằng 2 tâm I nằm trên d: y = x Tìm tọa độ hai điểm C và D Giải Gọi I(m; m)  d d D Vì I là trung điểm AC nên: C(2m – 1; 2m) Vì I là trung điểm BD nên: B(2m – 2; 2m) C I Ta có: SABCD = AB.DH = AB.(2IK) Ta có: AB = 1 AB: y = 0 (vì yA = yB = 0)... Vậy : 7x + 2y – 22 = 0 a= Bài 14 Tìm tọa độ bốn đỉnh hình vuông ABCD biết độ dài mỗi cạnh 2 10 ; phương trình AB: x – 3y + 1 = 0 Tâm I trên trục tung và yI < 0 Giải Gọi A(3a – 1; a)  AB B(3b – 1; b)  AB I(0, m) với m < 0 Vì I là trung điểm AC nên: xC  2xI  x A  3a  1  y C  2y I  y A  2m  a y C D I Vậy C(1 – 3a; 2m – a) B K A Vì I là trung điểm BD nên D(1 – 3b; 2m – b) Ta có:  AD = 2 10... tâm G( ; 3) Tìm B và C uon 3 ie Gọi M là trung điểm BC ail //tGiải tp: ht Ta có AG  2GM 5 5 5  xG  x A  2(x A  xG ) 5   2(x M  ) x M   3   3   2 Vậy M( ; 3) 2 y G  y A  2(y M  y G ) 0  2(y M  3) y M  3   BC  AH nên BC: 4x – 3y + C = 0 Mà M  BC nên: 4 5 – 3.3 + C = 0  C = –1 2 Vậy BC: 4x – 3y – 1 = 0 gọi B(b; 4b  1 )  BC 3 Do M là trung điểm BC nên xC  5  b xC  2x . Bài 6. PARABOL 71 Phần 2: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 78 Bài 1. QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC 79 Bài 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 82 Bài 3. CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH 99 Phần 3: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG. Vậy phương trình của đường trung trực cạnh AB là: 4(x 0) 4(y 3) 0 x y 3 0        Bài 2. Tuyển sinh Đại Học khối B/09 Cho ABC có M(2, 0) là trung điểm AB, trung tuyến: AI: 7x –. c) ABCD là hình bình hành d) D  Ox và ABCD là hình thang đáy là AB. Đáp số: D(–5, –2) (11, 2) (4, –4) 10 ,0 3    BT2. Cho điểm A(3; 1). Tìm các điểm B và C sao cho OABC là hình vuông