Thông tin tài liệu
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 LÝ THUYẾT KHẢO SÁT HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x ) Hàm số f nghịch biến K ⇔ ∀x1, x ∈ K , x1 < x ⇒ f (x1 ) > f (x ) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f '(x ) = f khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục Điều kiện hàm số ln đồng biến miền xác định Cho hàm số y = f (x , m ) , m tham số, có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ D Từ suy điều kiện m Chú ý: ● y ' = xảy số hữu hạn điểm ●Nếu y ' = ax + bx + c thì: a = b = c ≥ • y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ a > ∆ ≤ a = b = c ≤ • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ a < ∆ ≤ ●Định lí dấu tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c : ♣ Nếu ∆ < g (x ) ln dấu với a b ) 2a ♣ Nếu ∆ > g (x ) có hai nghiệm x1, x khoảng hai nghiệm g (x ) khác dấu với a , ngồi khoảng hai nghiệm g (x ) dấu với a ♣ Nếu ∆ = g (x ) ln dấu với a (trừ x = − ●So sánh nghiệm x1, x tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c với số 0: ∆ > ♣ x < x < ⇔ P > S < ∆ > ♣ < x1 < x ⇔ P > S > ♣ x1 < < x ⇔ P < ●Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2 ) d BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ta thực bước sau: Bước 1: Tính y ' Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a ≠ ∆ > (1) Bước 3: Biến đổi x − x = d thành (x + x ) − 4x 1x = d (2) Bước 4: Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R) x ∈ D a) x – điểm cực đại f tồn khoảng (a ;b ) ∈ D x ∈ (a;b) cho f (x ) < f (x ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} Khi f (x ) gọi giá trị cực đại (cực đại) f b) x – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a ;b ) ∈ D x ∈ (a;b) cho f (x ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b) \ {x 0} Khi f (x ) gọi giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x điểm cực trị f điểm (x ; f (x )) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trị điểm f '(x ) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a ;b ) chứa điểm x có đạo hàm (a;b) \ {x 0} a) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x f đạt cực tiểu x b) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x f đạt cực đại x Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x , f '(x ) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x a) Nếu f ''(x ) < f đạt cực đại x b) Nếu f ''(x ) > f đạt cực tiểu x Quy tắc tìm cực trị Qui tắc 1: Dùng định lí BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tìm f '(x ) • Tìm điểm x i (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f '(x ) Nếu f '(x ) đổi dấu x qua x i hàm số đạt cực trị x i Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f '(x ) • Giải phương trình f '(x ) = tìm nghiệm x i (i = 1, 2, …) • Tính f ''(x ) f ''(xi ) (i = 1, 2, …) Nếu f ''(x i ) < hàm số đạt cực đại x i Nếu f ''(x i ) > hàm số đạt cực tiểu x i III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị (C ) : y = f (x ) (C ) : y = g(x ) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình: f (x ) = g (x ) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ Phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt ⇔ Hàm số y = ax + bx + cx + d có cực đại, cực tiểu yCÑ yCT < IV TỐN TIẾP TUYẾN Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) : y = f (x ) điểm M (x ; y ) : • Nếu cho x tìm y0 = f (x ) Nếu cho y0 tìm x nghiệm phương trình f (x ) = y0 • Tính y ' = f '(x ) Suy y '(x ) = f '(x ) • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y − y0 = f '(x ).(x − x ) Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C ) : y = f (x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Tính f '(x ) • ∆ có hệ số góc k ⇒ f '(x ) = k (1) • Giải phương trình (1), tìm x tính y0 = f (x ) Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f (x ) = kx + m f '(x ) = k • Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình ∆ Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến ∆ cho gián tiếp sau: + ∆ tạo với chiều dương trục hồnh góc α k = tan α + ∆ song song với đường thẳng d : y = ax + b k = a BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN (*) Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + ∆ vng góc với đường thẳng d : y = ax + b (a ≠ 0) k = − a k −a = tan α + ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x ) , biết ∆ qua điểm A(x A; yA ) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Khi đó: y0 = f (x ); y '0 f '(x ) + ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b góc α • Phương trình tiếp tuyến ∆ M : y − y0 = f '(x )(x − x ) • ∆ qua A(x A; yA ) nên: yA = −y = f '(x )(x A − x ) (2) • Giải phương trình (2), tìm x Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ qua A(x A; yA ) có hệ số góc k : y − yA = k (x − x A ) • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm: f (x ) = k (x − x ) + y A A f '(x ) = k (*) • Giải hệ (*), tìm x (suy k ) Từ viết phương trình tiếp tuyến ∆ V ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC Điều kiện cần đủ để hai đường (C ) : y = f (x ) (C ) : y = g(x ) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm: f (x ) = g(x ) f '(x ) = g '(x ) Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường Nếu (C ) : y = px + q (C ) : y = ax + bx + c (*) (C1) (C2) tiếp xúc ⇔ phương trình ax + bx + c = px + q có nghiệm kép VI KHOẢNG CÁCH Khoảng cách hai điểm A, B: AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = d(M, ∆) = ax + by + c a + b2 VII ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị • Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối • Chia miền xác định thành nhiều khoảng, khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Vẽ đồ thị hàm số tương ứng khoảng miền xác định Cách 2: Thực phép biến đổi đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x ) Đồ thị (C′) hàm số y = f (x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trục hồnh + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía trục hoành qua trục hoành + Đồ thị (C′) hợp hai phần Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) Đồ thị (C′) hàm số y = f ( x ) suy từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung + Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung + Đồ thị (C′) hợp hai phần BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HT Cho hàm số y = (m − 1)x + mx + (3m − 2)x (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định Giải • Tập xác định: D = R y ′= (m − 1)x + 2mx + 3m − (1) đồng biến R ⇔ y ′≥ 0, ∀x ⇔ (m − 1)x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x m − = 2m = m > 3m − ≥ m > ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ ⇔ m ≥ −2m + 5m − ≤ m − > m ≥2 m − (m − 1)(3m − 2) ≤ HT Cho hàm số y = x + 3x − mx − (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; 0) Giải • Tập xác định: D = ℝ ; y ' = 3x + 6x − m , (1) đồng biến khoảng (-∞;0) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ (-∞;0) ⇔ 3x + 6x − m ≥ ∀x ∈ (-∞;0) x -∞ -1 f’(x) - + x + f(x) -3 ⇔ 3x + 6x ≥ m ∀x ∈ (-∞;0) Xét hàm số f(x) = 3x + 6x − m (-∞;0] +∞ Có f’(x) = 6x + 6; f’(x) = ⇔ x = -1 Từ bảng biến thiên: ⇒ m ≤ −3 HT Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 • Tập xác định: D = ℝ y ' = 6x − 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) có ∆ = (2m + 1)2 − 4(m + m ) = > x = m y ' = ⇔ x = m + Ta có: y’ ≥ 0, ∀x (-∞;m) (m + 1; +∞) Do đó: hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ HT Cho hàm số y = x + (1 − 2m )x + (2 − m )x + m + Tìm m để hàm đồng biến (0;+∞) Giải • Tập xác định: D = ℝ y ′= 3x + 2(1 − 2m )x + (2 − m ) Hàm đồng biến (0; +∞) ⇔ y ′= 3x + 2(1 − 2m )x + (2 − m ) ≥ với ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ f (x ) = Ta có: f ′(x ) = 2(2x + x − 1) (4x + 1)2 3x + 2x + ≥ m với ∀x ∈ (0; +∞) 4x + x = − = ⇔ 2x + x − = ⇔ x = 2 Lập bảng biến thiên hàm f (x ) (0; +∞) , từ ta đến kết luận: 1 f ≥m ⇔ ≥m 2 HT Cho hàm số y = x − 2mx − 3m + (1), (m tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2) Giải • Tập xác định: D = ℝ Ta có y ' = 4x − 4mx = 4x (x − m) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 + m ≤ , y ′≥ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇒ m ≤ thoả mãn + m > , y ′= có nghiệm phân biệt: − m , 0, m Hàm số (1) đồng biến (1; 2) khi m ≤ ⇔ < m ≤ HT Cho hàm số y = mx + x +m Vậy m ∈ (−∞;1 (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) Giải • Tập xác định: D = R \ {–m} m2 − y ′= (x + m )2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y ′< ⇔ −2 < m < (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) ta phải có −m ≥ ⇔ m ≤ −1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m ≤ −1 π HT Chứng minh rằng, hàm số y = sin2 x + cos x đồng biến đoạn 0; nghịch biến 3 π đoạn ; π 3 Giải Hàm số cho xác định 0; π Ta có: y ' = sin x (2 cos x − 1), x ∈ (0; π) Vì x ∈ (0; π) ⇒ sin x > nên (0; π) : y ' = ⇔ cos x = π ⇔x = π + Trên khoảng 0; : y ' > nên hàm số đồng biến đoạn 3 π 0; 3 π + Trên khoảng ; π : y ' < nên hàm số nghịch biến đoạn 3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN π ; π 3 Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT Cho hàm số y = x + 3x + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài Giải Hàm số cho xác định ℝ Ta có: y ' = 3x + 6x + m có ∆ ' = − 3m + Nếu m ≥ y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , hàm số đồng biến ℝ , m ≥ khơng thỏa mãn + Nếu m < 3, đó: y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 , x (x1 < x ) hàm số nghịch biến đoạn: x ; x với độ dài l = x − x Theo Vi-ét ta có: x + x = −2, x1x = m Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ l = ⇔ (x − x1 ) = ⇔ (x1 + x )2 − 4x1x = ⇔ − m = ⇔ m = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HT Cho hàm số y = x + (1 – 2m )x + (2 – m )x + m + (m tham số) (1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Giải • Tập xác định: D = ℝ y ′= 3x + 2(1 − 2m )x + − m = g(x ) YCBT ⇔ phương trình y ′= có hai nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn: x1 < x < ′ ∆ = 4m − m − > ⇔ g(1) = −5m + > ⇔ xCD BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Giải Gọi M (x ; y0 ) điểm cần tìm Khi phương trình sau với m ẩn: y = x − m 3x + 2mx + m − (1) vô nghiệm Ta viết lại: m 3x − m − 2mx + y + − x = (2) vô nghiệm Nếu x ≠ m (2) phương trình bậc Ta biết phương trình bậc có nghiệm Vì để (2) vơ nghiệm x = Với x = (2) trở thành: −m + y + = ⇔ m = y + (3) Để (3) vô nghiệm y + < ⇔ y < −1 Vậy tập hợp điểm nửa đường thẳng: x = với y < −1 HT 172 Cho hàm số y = x + 2(m − 1)x + (m − 4m + 1)x − 2(m + 1) Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho đồ thị không qua với m Giải Gọi M (x ; y0 ) điểm cần tìm Khi phương trình sau với m ẩn: y = x + 2(m − 1)x + (m − 4m + 1)x − 2(m + 1) (1) vô nghiệm Viết lại (1) thành: (x − 2)m + 2x (x − 2)m + x − 2x + x − − y = (2) Xét khả sau: Trường hợp 1: x ≠ Khi (2) vơ nghiệm khi: ∆ ' = x (x − 2)2 − (x − 2x + x − − y )(x − 2) < 3 ⇔ (x − 2)(x − 2x − x + 2x − x + + y ) < x − < x + y + > − 0 ⇔ (x − 2)(−x + y + 2) < ⇔ x − > −x + y + < BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 108 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 173 Cho hàm số y = 2x − (C ) Tìm đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt cho ba điểm x −1 A, B, I (0; −1) thẳng hàng đồng thời thỏa mãn: IA.IB = Giải Do A, B, I (0; −1) thẳng hàng nên A, B nằm đường thẳng ∆ qua I (0; −1) Do A, B thuộc đồ thị hàm số (C) nên A, B giao điểm đồ thị hàm số (C) với đường thẳng ∆ : y = kx − Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) ∆ ta có: 2x − = kx − ⇔ kx − (k + 3)x + = (*);(x ≠ 1) x −1 ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác k ≠ ⇔ ∆ = k − 2k + > ⇔ k ≠ k − (k + 3) + ≠ Gọi A(x1; y1 ); B(x ; y2 ) A, B thuộc ∆ nên y1 = kx1 − 1; y2 = kx − 2 2 Ta có: IA.IB = ⇔ x1 + kx1 x + kx = ⇔ Theo Viet ta có: x 1x = x 1x (k + 1) = 2 thay vào ta được: (k + 1) = ⇔ k = ±1 k k ( ) ( Với k = ta được: A − 2;1 − ; B + 2;1 + ( ) ( ) Với k = −1 ta được: A − 3; −2 + ; B + 3; −2 − ) 2x − (C ) Tìm đồ thị (C ) hai điểm A, B đối xứng qua đường x +1 thẳng MN, biêt M (−3; 0), N (−1; −1) HT 174 Cho hàm số y = Giải Phương trình đường thẳng MN: x + 2y + = Xét hai điểm A, B đồ thị (C), ta có: A a;2 − , B b;2 − , a, b ≠ −1 a + 1 b + 1 a + b 3 trung điểm đoạn AB ;2 − − a + b + 1 Gọi I Theo u cầu tốn ta có: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 109 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 b − a − + = AB ⊥ MN AB.MN = a +1 b +1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ I ∈ MN I ∈ MN b + a 6 − − = −7 a +1 b +1 a = b = a = b = Vậy, A(2; 0); B(0; −4) B(2; 0); A(0; −4) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 110 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 CÁC BÀI TỔNG HỢP HT 175 Cho hàm số y = 2x + (C ) Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị hai điểm x −2 phân biệt cho tiếp tuyến hai điểm đồ thị hàm số song song với Giải Phương trình hồnh độ giao điểm d với đồ thị (C) là: 2x + = 2x + m ⇔ 2x + (m − 6)x − 2m − = 0(1) (x = không nghiệm phương trình) x −2 d cắt (C) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song với ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn: y '(x ) = y '(x ) hay x + x = ∆ = (m − 6) + 8(2m + 3) > ⇔ 6 − m ⇔ m = −2 =4 HT 176 Cho hàm số y = x − (2m + 1)x + (m + 2)x + (C m ) Gọi A giao điểm (C m ) với 3 trục tung Tìm m cho tiếp tuyến (C m ) A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải 1 Ta có: A 0; y ' = 4x − 2(2m + 1)x + m + Suy y '(0) = m + 3 −1 ; 0 Tiếp tuyến đồ thị A d : y = (m + 2)x + Đường thẳng d cắt Ox B 3m + Khi đó, diện tích tam giác tạo d với hai trục tọa độ là: 1 −1 S = OAOB = = 2 3m + 18 m + m = − 13 1 Theo giả thiết ta có: = ⇔ m +2 = ⇔ 11 18 m + m = − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 111 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 177 Cho hàm số y = x − 2mx + 2mx − (C ) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành điểm phân biệt A(1; 0), B C cho k1 + k2 = BC k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến B, C đồ thị hàm số (C) Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với Ox : x + (1 − 2m )x + 1 = ⇔ x = x − 2mx + 2mx − = ⇔ (x − 1) x + (1 − 2m)x + = (*) Đề đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt khác Tức phương trình: x + (1 − 2m)x + = có nghiệm phân biệt khác m ≤ − m ≤ − ∆ = 4m − 4m − > ⇔ ⇔ m ≥ ⇔ 1 + (1 − 2m ) + ≠ m ≥ m ≠ Giả sử B(x1; 0),C (x ; 0) Vì x1, x nghiệm phân biệt phương trình (*) nên theo định lý Viet ta có: x + x = 2m − x 1.x = Ta có: BC = (x − x1 )2 = (x + x )2 − 4x1.x = 4m − 4m − 2 Mặt khác: k1 + k2 = 3x − 4mx + 2m + 3x − 4mx + 2m = 3(x + x )2 − 6x 1x − 4m(x + x ) + 4m = 4m − 4m − Theo giả thiết ta có: k1 + k2 = BC ⇔ 4m − 4m − = 5(4m − 4m − 3) ⇒ 4m − 4m − = Vì 4m − 4m − > m = −1 (t / m ) ⇔ m − m − = ⇔ m = (t / m ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 112 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 m = −1 KL: m = HT 178 Cho hàm số y = x − 3x + mx + − m (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hồnh điểm phân biệt A, B,C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến (C m ) A, B,C Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) với trục hoành là: x = x − 3x + mx + − m = (1) ⇔ (x − 1)(x − 2x + m − 2) = ⇔ x − 2x + m − = (2) (C m ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt ∆ > 3 − m > ⇔ m < 3(*) ⇔ khác ⇔ f (1) ≠ 0, f (x ) = x − 2x + m − m ≠ x + x = Khi đó, gọi x1, x hai nghiệm (2) Theo Viet ta có: (**), f '(x ) = 3x − 6x + m x1x = m − ⇔ −3m = −6 ⇔ m = (thỏa mãn (*)) KL: m = x +3 (C ) Lập phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) biết tiếp x −1 tuyến cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB 17π , với I giao điểm hai đường tiệm cận Giải x + 3 ∈ (C ) tiếp điểm Gọi M x ; x0 − HT 179 Cho hàm số y = Phương trình tiếp tuyến d M y = x +3 (x − x ) + x0 − (x − 1)2 −4 x + 7 Tiếp tuyến d cắt với tiệm cận đứng A 1; x −1 Tiếp tuyến d cắt với tiệm cận ngang B (2x − 1;1) Vì tam giác IAB vng I nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB: R= AB 16 = (x − 1)2 + (x − 1)2 Theo giả thiết ta có: S = 17 π ⇔ R 2π = 17 π ⇔ (x − 1)4 − 17(x − 1)2 + 16 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 113 GV.Lưu Huy Thưởng x x ⇔ x x 0968.393.899 y y =0 ⇒ tiếp tuyến: =2 y y =3 = −1 HT 180 Cho hàm số y = = −x − = −4x − = −4x + 13 = −x + x +m (m ≠ 1) (1) Gọi k1 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm x +1 đồ thị hàm số (1) với trục hồnh Gọi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ x = Tìm tất giá trị tham số m cho k1 + k2 đạt giá trị nhỏ Giải Ta có: y ' = 1−m (x + 1)2 Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với trục hoành x = −m Hệ số góc tiếp tuyến: Tại điểm có hồnh độ x = −m k = Tại điểm có hồnh độ x = k2 = Ta có: k1 + k2 = 1−m 1−m 1−m 1−m + = + ≥ 1, ∀m ≠ 1−m 1−m Đẳng thức xảy khi: 1−m = 1−m 1 − m = ⇔ ⇔ − m = −2 m = −1 m = Vậy: k1 + k2 đạt giá trị nhỏ m ∈ { − 1; 3} Cho hàm số y = − x + x − (C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ x = 3 Tìm giá trị tham số m để tiếp tuyến với (C) M song song với đường thẳng HT 181 d : y = (m − 4)x + 9m + Giải Ta có y(2) = − 4 ⇒ M 2; − 3 Tiếp tuyến ∆ với (C) M có phương trình: y = y '(2)(x − 2) − 4 14 ⇔ y = −3(x − 2) − ⇔ y = −3x + 3 m − = −3 m = Ta có: ∆ / /d ⇔ 9m + 14 ⇔ ⇔ m = −1 m ≠ ≠ 3 Kết luận: m = −1 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 114 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x +2 (C ) Viết phương trình đường thẳng d1; d2 qua giao điểm I x −1 hai tiệm cận cắt đồ thị (C) điểm phân biệt đỉnh hình chữ nhật biết HT 182 Cho hàm số: y = đường chéo hình chữ nhật có độ dài 30 Giải Do I (1;1) tâm đối xứng đồ thị hàm số Giả sử d1 cắt (C) A, B; d2 cắt (C) Tại C D I trung điểm AB CD Do đó, ACBD hình bình hành Để ACBD hình chữ nhật thỏa mãn đề AB = CD = 30 Gọi d1 đường thẳng qua I có hệ số góc k Phương trình đường thẳng d1 : y = k (x − 1) + ⇔ y = kx − k + Phương trình hồnh độ giao điểm d1 (C) là: x +2 = kx − k + x −1 ⇔ kx − 2kx + k − = (1) Để d1 cắt (C) hai điểm phân biệt A(x 1; y1 ), B(x ; y2 ) (1) có nghiệm phân biệt ≠ ⇔ k > x + x = Áp dụng định lý Viet ta có: x x = k − k y = kx − k + y1 + y2 = ⇒ Do đó: y2 = kx − k + y1y2 = k 2x1x − k(k − 1)(x1 + x ) + (k − 1)2 = − 3k Để AB = 30 thì: (x1 − x )2 + (y1 − y2 )2 = 30 ⇔ (x1 + x )2 + (y1 + y2 )2 − 4x 1x − 4y1y2 = 30 Vậy, d1 : 2x − y − = 0; d2 : x − 2y + = ngược lại ⇔ 12k − 30k + 12 = ⇔ k = ∨ k = HT 183 Cho hàm số y = x − mx + m − (1), m tham số Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) M có hồnh độ x = −1, cắt đường trịn (C) tâm I (2; 3) bán kính R = theo dây cung AB có độ dài nhỏ Giải Ta có: y '(−1) = − m Phương trình tiếp tuyến M (−1;2m − 2) là: ∆ : y = (3 − m )(x + 1) + 2m − = (3 − m )x + m + ⇔ (3 − m )x − y + m + = Để ∆ ∩ (C ) d(I , ∆) < Nhận thấy dây cung AB nhỏ d(I , ∆) lớn d(I , ∆) = −m (3 − m )2 + Ta có: d(I , ∆) = −m (3 − m )2 + = (3 − m ) + (3 − m )2 + ≤ (3 − m )2 + (3 − m )2 + d(I , ∆) ≤ < R BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 115 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Ta có tiếp tuyến ln cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt AB ⇔ d (I , ∆) = ⇔ m = Kết luận: m = x +2 (C ) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng 2x − d : y = x + m cắt đồ thị (C) điểm A, B phân biệt cho trọng tâm G tam giác OAB cách HT 184 Cho hàm số y = đường thẳng d khoảng (với O gốc tọa độ) Giải x +2 = x + m ⇔ g(x ) = 2x + 2(m − 1)x − m − = 0, x ≠ 2x − Đường thẳng d cắt (C) A, B phân biệt phương trình g (x ) = có hai nghiệm phân Phương trình hồnh độ giao điểm: ∆ ' > (m − 1)2 + 2(m + 2) = m + > biệt khác ⇔ ⇔ 1 ∀m ∈ ℝ g ( ) ≠ + m −1−m −2 ≠ 2 Gọi x 1, x nghiệm g(x ) = ⇒ A(x1; x1 + m ) B(x ; x + m ) 1 − m + m ; Điều kiện O ∉ d ⇒ m ≠ ⇒ trọng tâm G Ta có: d(G, d ) = 1−m 1+m − +m 3 = m = = ⇔ m = −6 m HT 185 Cho hàm số y = x − 3x + (m + 1)x + 1(1) Tìm m để đường thẳng d : y = x + cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt P (0;1), M , N cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN với O(0; 0) Giải (C) có hai điểm cực trị A(1;1), B(2; 0) ⇒ AB = Phương trình đường thẳng AB : x + y − = S ∆ABN = d (N , AB ).AB = ⇔ d (N , AB ) = 2 Gọi d đường thẳng qua N d / /AB Phương trình đường thẳng d có dạng: x + y + c = ⇒ d (A, d ) = d (N , AB ) ⇔ c +2 c = = ⇔ ⇒ c = −8 N (0; −4)(l ) N (3; 5) Với N (3;5) giả sử M (x ; y ) Phương trình tiếp tuyến với (C) M là: y = y '(x )(x − x ) + y0 Do tiếp tuyến qua N nên ta có: = (6x − 18x + 12)(3 − x ) + 2x − 9x + 12x − x = 3(loai, vi N ≠ M ) 25 Vậy, M ; ⇔ (x − 3) (4x − 3) = ⇔ 32 x = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 116 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009 HT 186 (ĐH A – 2009) Cho hàm số y = x +2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm 2x + số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân gốc tọa độ O Giải Ta có, ∆OAB vng cân O suy hệ số góc tiếp tuyến ±1 Gọi tọa độ tiếp điểm M (xo ; yo ) , ta có: x = −2 = ±1 ⇔ (2xo + 3)2 x = −1 −1 TH1: Với x = −1, y = Phương trình tiếp tuyến y = −x (loại qua gốc tọa độ O nên khơng tồn ∆OAB ) TH2: x = −2; y0 = Phương trình tiếp tuyến y = −x − 2(t / m ) KL: y = −x − HT 187 (ĐH B – 2009) Cho hàm số: y = 2x − 4x (1) Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt Đ/s: < m < HT 188 (ĐH D – 2009) Cho hàm số y = x − (3m + 2)x + 3m có đồ thị (C m ) với m tham số Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C m ) đường thẳng y = −1; x − (3m + 2)x + 3m = −1 Đặt t = x 2, t ≥ Phương trình trở thành: t − (3m + 2)t + 3m + = ⇔ t = t = 3m + 0 < 3m + < Yêu cầu toán tương đương với: ⇔ − < m < 1, m ≠ 3m + ≠ HT 189 (ĐH A – 2010) Cho hàm số y = x − 2x + (1 − m)x + m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x 2, x thỏa mãn điều kiện: BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x1 + x2 + x < Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x − 2x + (1 − m)x + m = x = ⇔ (x − 1)(x − x − m ) = ⇔ x − x − m = 0(*) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt, khác Kí hiệu, g (x ) = x − x − m; x1 = 1; x x nghiệm (*) Yêu cầu toán khi: HT 190 >0 ∆ g (1) ≠ x + x < 1 + 4m > −m ≠ ⇔ ⇔ − < m < m ≠ 1 + 2m < (ĐH B – 2010) Cho hàm số y = 2x + (C ) Tìm m để đường thẳng y = −2x + m x +1 cắt đồ thị (C ) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + = −2x + m x +1 ⇔ 2x + = (x + 1)(−2x + m ) (do x = −1 khơng nghiệm phương trình) ⇔ 2x + (4 − m )x + − m = (1) ∆ = m + > với m, suy đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m Gọi A(x1; y2 ), B(x ; y ) x1, x nghiệm (1): y1 = −2x1 + m y2 = −2x + m Ta có: d(O ,AB ) = S ∆OAB HT 191 m AB = (x1 − x )2 + (y1 − y2 )2 = 5(x1 + x )2 − 20x1x = m = AB.d(O ,AB ) = m2 + , suy ra: m m2 + 5(m + 8) = ⇔ m = ±2 (D – 2010) Cho hàm số y = −x − x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Đ/s: y = −6x + 10 Page 118 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 −x + (C ) Chứng minh với m đường thẳng 2x − y = x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp HT 192 (A – 2011) Cho hàm số y = tuyến với (C ) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Giải Hoành độ giao điểm d : y = x + m (C) nghiệm phương trình: x + m = ⇔ (x + m )(2x − 1) = −x + (vì x = −x + 2x − khơng nghiệm phương trình) ⇔ 2x + 2mx − m − = (*) ∆ ' = m + 2m + > 0, ∀m Suy d cắt (C) hai điểm phân biệt với m Gọi x1, x nghiệm (*), ta có: k1 + k2 = − (2x − 1)2 − (2x − 1)2 =− 4(x1 + x )2 − 8x 1x − 4(x1 + x ) + 4x x − 2(x + x ) + 1 Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = −4m − 8m − = −4(m + 1)2 − ≤ −2 Suy ra: k1 + k2 lớn −2 , m = −1 HT 193 (B – 2011) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + m (1) (với m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC; O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Giải y '(x ) = 4x − 4(m + 1)x = 4x (x − m − 1) x = y '(x ) = ⇔ x = m + (1) Đồ thị hàm số có điểm cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m > −1 (*) ( ) ( Khi đó: A(0; m ), B − m + 1; −m − m − ,C ) m + 1; −m − m − Suy ra: OA = BC ⇔ m = 4(m + 1) ⇔ m − 4m − = ⇔ m = ± 2 (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị cần tìm: m = ± 2 2x + (C ) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị x +1 (C ) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành HT 194 (D – 2011) Cho hàm số y = Giải Gọi d : y = kx + 2k + 1, suy hoành độ giao điểm d với (C) nghiệm phương trình: kx + 2k + = 2x + ⇔ 2x + = (x + 1)(kx + 2k + 1) x +1 (do x = −1 không nghiệm) ⇔ kx + (3k − 1)x + 2k = (1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119 GV.Lưu Huy Thưởng d 0968.393.899 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B, (1) có hai nghiệm phân biệt k ≠ k ≠ k ≠ ⇔ ⇔ ⇔ k < − 2 ∆ > k − 6k + > (*) k > + 2 Khi đó, A(x1; kx1 + 2k + 1) B(x ; kx + 2k + 1) , x1, x nghiệm (1) d(A,Ox ) = d(B,Ox ) ⇔ kx1 + 2k + = kx + 2k + ⇔ k (x1 + x ) + 4k + = (do x1 ≠ x ) Áp dụng định lý Viet (1), suy ra: (1 − 3k ) + 4k + = ⇔ k = −3 (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị cần tìm: k = −3 HT 195 (A,A1 – 2012) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + m (1) , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông Giải Ta có: y ' = 4x − 4(m + 1)x = 4x (x − m − 1) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m + > ⇔ m > −1 (*) ( Suy ra: AB = (− m + 1; −(m + 1) ) AC = ( ) ( m + 1; −(m + 1) ) Các điểm cực trị đồ thị hàm số A(0; m ), B − m + 1; −2m − ,C ) m + 1; −2m − Ta có: AB = AC nên tam giác ABC vng khi: AB.AC = ⇔ (m + 1)4 − (m + 1) = Kết hợp (*), ta m = Đ/s: m = HT 196 (B – 2012) Cho hàm số y = x − 3mx + 3m (1), m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có: y ' = 3x − 6mx ; y ' = ⇔ x = ∨ x = 2m Đồ thị hàm số có điểm cực trị m ≠ ( ) ( Các điểm cực trị đồ thị hàm số: A 0; 3m ; B 2m; −m ) Suy ra: OA = m d(B,OA) = m S ∆OAB = 48 ⇔ 3m = 48 ⇔ m = ±2(t / m (*)) Đ/s: m = ±2 x − mx − 2(3m − 1)x + (1), m tham số thực Tìm m 3 để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1; x cho: x 1x + 2(x1 + x ) = HT 197 (D – 2012) Cho hàm số y = Giải Ta có: y ' = 2x − 2mx − 2(3m − 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 120 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt ⇔ 13m − > ⇔ m > 13 13 ∨m ⇔ m ≤ x − 2x , ∀x > Xét: f (x ) = x − 2x với x > Ta có: f '(x ) = 2x − 2; f '(x ) = ⇔ x = Lập bảng biến thiên (nhớ lập nhé) ta giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán: m ≤ −1 Đ/s: m ≤ −1 HT 199 (B – 2013) Cho hàm số y = 2x − 3(m + 1)x + 6mx (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + Giải Ta có: y ' = 6x − 6(m + 1)x + 6m; y ' = ⇔ x = ∨ x = m Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m ≠ Ta có: điểm cực trị đồ thị hàm số A(1; 3m − 1); B(m; −m + 3m ) Hệ số góc đường thẳng AB k = −(m − 1)2 Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + k = −1 ⇔ m = ∨ m = Vậy giá trị m cần tìm m = 0; m = HT 200 (D – 2013) Cho hàm số y = 2x − 3mx + (m − 1)x + (1), với m tham số thực Tìm m để đường thẳng y = −x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = −x + là: x = 2x − 3mx + (m − 1)x + = −x + ⇔ 2x − 3mx + m = (*) u cầu tốn ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 121 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 m < 9m − 8m > ⇔ ⇔ m ≠ m > Đ/s: m < 0; m > UPDATING……………… BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 122 ... đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x đạt cực trị điểm f ''(x ) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm Điểu kiện đủ để hàm số có... 0968.393.899 PHẦN I: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HT Cho hàm số y = (m − 1)x + mx + (3m − 2)x (1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định Giải • Tập xác định: D = R y ′= (m − 1)x... Cho hàm số y = (m + 2)x + 3x + mx − , m tham số Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương Giải • Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số
Ngày đăng: 28/09/2014, 10:53
Xem thêm: Lý thuyết và bài tập khảo sát hàm số, Lý thuyết và bài tập khảo sát hàm số