Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN MÔN ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ VỚI MINH HỌA CỤ THỂ Tôpô đại số là ngành học dùng công cụ đại số để nghiên cứu tôpô. Tiểu luận này đề cập đến nhóm đồng điều kì dị, được xây dựng dựa trên các kiến thức về Đại số đồng điều nhằm khảo sát các tính chất của không gian tôpô. Nhằm cho việc tiếp cận vấn đề một cách dễ dàng, tác giả chia tiểu luận này làm 3 phần nhỏ mắt xích chặt chẽ với nhau: Đơn hình chuẩn và ánh xạ tuyến tính, Đơn hình kì dị và phức xích kì dị, Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể.
[...]...3 Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể Xét phức xích kì dị của không gian tôpô X (SX, ∂ ) : ∂n+1 ∂ n · · · −→ Sn+1 X −→ Sn X −→ Sn−1 X −→ · · · Ta đã có ∂n ◦ ∂n+1 = 0, suy ra Im ∂n+1 ⊂ Ker ∂n , ∀n ∈ Z Từ đó, ta có nhóm thương Ker ∂n /Im ∂n+1 Định nghĩa 18 Cho phức xích kì dị (SX, ∂ ) của không gian tôpô X Nhóm thương Hn X := Ker ∂n /Im ∂n+1 được gọi là nhóm đồng điều kì dị thứ n của không gian tôpô. .. xích kì dị (SX, ∂ ) Nhận xét 19 Ta đã quy ước Sn X = 0 nếu n < 0, do đó Hn X = 0 nếu n < 0 Sau đây là một số minh họa cụ thể của nhóm đồng điều kì dị trong trường hợp không gian tôpô X chỉ gồm một phần tử hay X là không gian liên thông đường Mệnh đề 20 Nếu không gian tôpô X được phân tích thành hợp rời rạc của các thành phần liên thông đường Xα của X thì với mỗi n ≥ 0, ta có Hn X = ⊕α Hn Xα Chứng minh. .. /Im ∂1 = S0 X/Im ∂1 (3.1) Xét đồng cấu ε: −→ S0 X i −→ i∈I ni σ Z , i∈I ni với ni ∈ Z, I là tập hữu hạn và các 0-đơn hình kì dị σ i : ∆0 −→ X e0 −→ xi Rõ ràng, ε là toàn ánh hay Im ε = Z Vì ε là một đồng cấu nên ∼ S0 X/Ker ε = Im ε = Z Từ (3.1) và (3.2), ta chỉ cần chứng minh Im ∂1 = Ker ε 11 (3.2) • Ta có Im ∂1 ⊂ Ker ε hay ε ◦ ∂1 = 0 Thật vậy, với mọi 1-đơn hình kì dị σ : ∆1 −→ X trong S1 X, ta có... Topology, Northwestern University [3] A Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 [4] N.X Tuyến, Bài giảng Tôpô Đại số, Đại học Sư phạm Huế, 2012 [5] A Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 2nd Edition, 1980 [6] N.V Đoàn, T Mân, Nhập môn tôpô đại số, Đại học Sư phạm, 2007 Email address: ngocthangpro@gmail.com Tel: +841695377526 Typed by TEX 14 ... phần liên thông đường Xα của X thì với mỗi n ≥ 0, ta có Hn X = ⊕α Hn Xα Chứng minh Một n-đơn hình kì dị σn : ∆n −→ X là liên tục nên ảnh của nó chứa trong một thành phần liên thông Xα nào đó của X Sn X là nhóm Abel tự do có cơ sở là tập các n-đơn hình kì dị nên ta có thể đồng nhất Sn X = ⊕α Sn Xα 9 Các đồng cấu biên ∂n : Sn X −→ Sn−1 X bảo toàn tổng trực tiếp nên ta có Ker ∂n = Zn X = ⊕α Zn Xα Im ∂n+1... ∼ H0 X := Ker ∂0 /Im ∂1 = Zσ0 = Z 10 • Với n > 0, ta có Zσn Ker ∂n = 0 Im ∂n+1 nếu n lẻ , nếu n chẵn (vì ∂n là một đẳng cấu) Zσn = 0 nếu n lẻ (vì ∂n+1 là một đẳng cấu) nếu n chẵn Suy ra Hn X := Ker ∂n /Im ∂n+1 = 0, ∀n > 0 Định lí 22 Cho X là một không gian tôpô liên thông đường Khi đó ∼ H0 X = Z Chứng minh Nhắc lại phức xích kì dị của không gian tôpô X ∂ ∂ ∂ 2 1 0 · · · −→ S1 X −→ S0 X... nên ta có Ker ∂n = Zn X = ⊕α Zn Xα Im ∂n+1 = Bn X = ⊕α Bn Xα và Hn X = ⊕α Hn Xα Định lí 21 (The Dimension Axiom) Cho X là một không gian tôpô chỉ gồm một phần tử Khi đó ∼ H0 X = Z, Hn X = 0 nếu n > 0 Chứng minh Với mỗi n = 0, nhóm Sn X có duy nhất một n-đơn hình kì dị σn : ∆n −→ X Suy ra Sn X = Zσn Ta có n (−1)j σn ◦ ∂n (σn ) = j n j=0 0 = σ nếu n lẻ n−1 nếu n chẵn Do đó, ta có phức xích ∂ =0... 1-đơn hình kì dị σ : ∆1 −→ X trong S1 X, ta có ε ◦ ∂1 (σ ) = ε(σ ◦ 0 1 −σ◦ 1 1) = ε(σ ◦ 0 ) − ε(σ ◦ 1 ) 1 1 =1−1 = 0 • Chứng minh Im ∂1 ⊃ Ker ε Xét n i∈I ni σ i ∈ Ker ε, khi đó ni σ i ε = i∈I ni = 0 i∈I Vì không gian tôpô X là liên thông đường nên chọn được các 1-đơn hình kì dị trong S1 X là τ i : ∆1 −→ X e0 −→ x0 e1 thỏa mãn −→ xi Ở đây, τ i là con đường nối hai phần tử x0 và xi của X Ta có ∂1 (τ . e 1 e 1 −→ e 2 . • Ánh xạ mặt thứ 1 1 2 : ∆ 1 −→ ∆ 2 thỏa mãn e 0 −→ e 0 e 1 −→ e 2 . • Ánh xạ mặt thứ 2 2 2 : ∆ 1 −→ ∆ 2 thỏa mãn e 0 −→ e 0 e 1 −→ e 1 . Dễ thấy 0 2 (∆ 1 ) = [e 1 , e 2 ],. phạm Huế, 20 12. [5] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 2 nd Edition, 1980. [6] N.V. Đoàn, T. Mân, Nhập môn tôpô đại số, Đại học Sư phạm, 20 07. Email address: ngocthangpro@gmail.com Tel:. Algebra, Springer, 2 nd Edition, 20 09. [2] L. Evens, R. Thompson, Algebraic Topology, Northwestern University. [3] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 20 02. [4] N.X. Tuyến,