Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ VÀNH HOÀN CHỈNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Một số tính chất cơ bản về vành hoàn chỉnh. Chương này tôi dành cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận: khái niệm, một số bổ đề về Tluỹ linh và định lý Bass
[...]... giao hoàn toàn của vành R R hoàn chỉnh trái (hoàn chỉnh phải) (nửa nguyên thuỷ) ⇔ ei Rei hoàn chỉnh trái (hoàn chỉnh phải) (nửa nguyên thuỷ) Phan Ngọc Chiêu An 3 Một vài nhận xét về vành Artin 18 KẾT LUẬN Nội dung tiểu luận này trình bày về khái niệm T-luỹ linh cùng với một số bổ đề, hệ quả của nó Đồng thời một định lý quan trọng được nhắc đến là định lý Bass Đó là những tính chất rất cơ bản của vành. .. ảnh là hoàn chỉnh trái Đặc biệt với vành Morita bất kì tương đương với R là hoàn chỉnh trái 2.4 Hệ quả [28.7] Nếu R hoàn chỉnh thì mỗi vành thương của R cũng hoàn chỉnh Chứng minh Giả sử R hoàn chỉnh trái Từ R/J(R) nửa đơn, nếu I là iđêan của R thì theo bài tập [9.9] J(R/I) = (J(R) + I)/I là T-luỹ linh trái 3 MỘT VÀI NHẬN XÉT VỀ VÀNH ARTIN Lớp vành hoàn chỉnh có một điều đặc biệt quan trọng Vành R... có cơ sở tự do x1 , x2 , = ∞ R(xi − ai xi+1 ) Cho a1 , a2 , là dãy thuộc J và G = i=1 Phan Ngọc Chiêu An 2 Định lý Bass 13 Khi đó G + JF = F Theo giả thiết (iv) ta suy ra G = F Vì vậy theo (28.1) ta có a1 an = 0, ∀n 2 ĐỊNH LÝ BASS Một vành hoàn chỉnh trái (hoàn chỉnh phải) nếu với mỗi môđun trái (phải) của nó có một phủ xạ ảnh Theo [27.6] thì vành hoàn chỉnh trái và vành hoàn chỉnh phải đều là vành. .. vành nửa hoàn chỉnh Tuy nhiên vành hoàn chỉnh phải không cần hoàn chỉnh trái Người đi tiên phong về vành hoàn chỉnh là H.Bass 2.1 Định lý Bass [28.4] Cho R là vành với Rad J = J(R) Các điều sau là tương đương 1 R hoàn chỉnh trái 2 R/J nửa đơn và J là T- luỹ linh trái 3 R/J nửa đơn và mọi R- môđun trái khác không có 1 môđun con cực đại 4 Mọi R- môđun trái phẳng là xạ ảnh 5 R thoả mãn điều kiện tối tiểu. .. tính chất rất cơ bản của vành hoàn chỉnh và đây sẽ là những kiến thức cơ sở giúp chúng ta tìm hiểu sâu hơn về vành hoàn chỉnh Rất mong sự đóng góp ý kiến của Thầy và bạn đọc Huế tháng 02 năm 2009 Phan Ngọc Chiêu An Tài liệu tham khảo [1] Frank W.Anderson and Kent R.Fuller, Rings and Categories of Modules [2] Nguyễn Xuân Tuyến - Lê Văn Thuyết, Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXB Giáo Dục,(2001) [3]... xét về vành Artin 16 1 Nếu mọi R-môđun trái có một môđun con cực đại thì J(R) là T-luỹ linh trái 2 Nếu mọi R-môđun phải có một môđun con tối tiểu thì J(R) là T-luỹ linh trái Với Z-môđun Zp∞ và Z chỉ ra chiều ngược lại của (1) và (2) là sai 3 Nếu R là vành hoàn chỉnh trái với J = J(R) thì với mọi môđun R M và NR RadM = JM R M và SocN = lN (J) NN 2.3 Hệ quả [28.6] Nếu R là vành hoàn chỉnh trái thì vành. .. nếu R là vành Noether trái Vành Artin phải là hoàn chỉnh trái và dính phải 3.2 Hệ quả [28.9] Phan Ngọc Chiêu An 3 Một vài nhận xét về vành Artin 17 Nếu R là vành Artin phải thì với mỗi tích trực tiếp của R- môđun trái xạ ảnh là xạ ảnh Chú ý Mọi tích trực tiếp của R- môđun trái xạ ảnh là xạ ảnh nếu và chỉ nếu R là vành hoàn chỉnh trái và dính phải 3.3 Bổ đề [28.10] Giả sử e1 , e2 , , en là một hệ luỹ... trường hợp R/J nửa đơn và J luỹ linh Vành nửa nguyên thuỷ là một lớp của vành chứa vành Artin trái và phải Tuy nhiên, vành R của ma trận số thực tam giác trên 2 x 2 với đường chéo là các giá trị hữu tỷ R= Q R 0 Q là vành nửa nguyên thuỷ không là Artin trái cũng không Artin phải 3.1 Hệ quả [28.8] Mọi vành nửa nguyên thuỷ, do đó mọi vành Artin trái hoặc phải đều hoàn chỉnh Xem lại [18.13] ta thấy tổng... iđêan phải chính 6 R không chứa một tập vô hạn các luỹ đẳng trực giao và mọi R- môđun phải không chứa một môđun con cực tiểu Chứng minh + (1) ⇒ (3) Giả sử R là vành hoàn chỉnh trái Khi đó R/J nửa đơn theo [27.6] Hơn nữa, nếu R M = 0 thì có một môđun P xạ ảnh với môđun con K P sao ∼ P/K khi P xạ ảnh, P có môđun con cực đại L và K cho M = P ⇒K⊆L Do đó L/K là môđun con cực đại trong P/K ∼ M = + (3) ⇒ (2)... có một hệ trực giao e1 , , en của luỹ đẳng nguyên thuỷ Do luỹ đẳng nâng lên thành môđun J, do đó phải là môđun nguyên thuỷ J Theo (6), mỗi (ei R + J)/J chứa một iđêan tối tiểu của R/J Vì vậy iđêan phải tối tiểu của vành R với rad 0 là hạng tử trực tiếp và (ei R + J)/J phải đơn Do đó R/J nửa đơn 2.2 Chú ý Từ [28.3] và chứng minh (6) ⇒ (2) của [28.4] ta thấy rằng với một vành R Phan Ngọc Chiêu An 3 Một . nếu U là hệ sinh và độc lập tuyến tính trong A. Khi đó A được gọi là R-môđun tự do với cơ sở U. Ta cũng nói U là tập sinh tự do của A. 1.2 Mệnh đề R-môđun A là tự do với cơ sở U khi và chỉ khi. những thay đổi của cơ sở trong một môđun tự do. 1.1 Bổ đề [28.1] Cho a 1 , a 2 , là một dãy thuộc vành R và F là R- môđun trái tự do với cơ sở tự do x 1 , x 2 , Giả sử y n = x n −a n x n+1 (n. môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun có độ dài hữu hạn, vành nửa đơn, vành nguyên thuỷ, vành nửa nguyên thuỷ, để thuận tiện cho việc trình bày nội dung chính của tiểu luận ở chương 2. 1 MÔĐUN TỰ DO 1.1