Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là bộ tài liệu hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 12 củng cố và nâng cao kiến thức, phục vụ tốt việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi đại học của bộ môn. Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các em học sinh lớp 12 trong việc học tập và luyện thi đại học.
[...]... hai số dương a và b Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = a n + bn , bn+1 = 2 2 1 an+1 1 + bn Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau Hướng dẫn Đặt 1 1 = xn , = yn Ta đươc an bn xn+1 = xn+1 + yn 2 , yn+1 = 1 1 2 + xn yn Sau đó sử dụng kết quả bài toán 14 www.mathvn.com 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình. .. Vậy ba dãy số (un ), (vn ), (wn ) hội tụ và lim un = lim vn = lim wn n→∞ n→∞ n→∞ Bài toán 27 Cho ba dãy số (un ) , (vn ) , (wn ) như sau: u0 > 0, v0 > 0, w0 > 0 và wn+1 = u n v n + v n wn + wn u n u n + v n + wn 3un vn wn , vn+1 = , un+1 = u n v n + v n wn + wn u n u n + v n + wn 3 Hãy tìm giới hạn của ba dãy số đã cho www.mathvn.com 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 28... a+b+c+d 4 Bài toán 23 Cho a, b, c, d ∈ (0; +∞) Lập bốn dãy số (un )+∞ , (vn )+∞ , (wn )+∞ , (tn )+∞ n=1 n=1 n=1 n=1 theo quy luật sau: u1 = a, v1 = b, w1 = c, t1 = d và un+1 = √ √ √ √ 3 vn wn tn , vn+1 = 3 wn tn un , wn+1 = 3 tn un vn , tn+1 = 3 un vn wn Chứng minh các dãy số này hội tụ và tìm giới hạn của chúng www.mathvn.com 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 25 www.MATHVN.com... (với sinh x = 0), ta có 2 sinh x α α α sinh n−2 sinh n−1 b sinh α sinh α sinh 2 2 2 bn = b α α ··· α α = n α 2 sinh 2 sinh 2 2 sinh n−1 2 sinh n 2 sinh n 2 2 2 2 2 Do đó α sinh α b sinh α 2n = b sinh α lim lim bn = lim α = b α n→∞ α n→∞ n→∞ n α 2 sinh n sinh n 2 2 α Từ an = bn cosh n ta có 2 α sinh α lim an = lim bn lim cosh n = b n→∞ n→∞ n→∞ 2 α Bài toán 10 (Đề thi Ôlympic 30/04/2004) Cho hai số. .. 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Do đó an+1 = a n bn < √ an an = an , bn+1 = bn+1 + bn an+1 + bn > ⇒ bn+1 > bn 2 2 Vậy b = b1 < b2 < · · · < bn < bn+1 < an+1 < an < · · · < a2 < a1 = a Suy ra dãy (an ) giảm và bị chặn dưới bởi số b, dãy (bn ) tăng và bị chặn trên bởi số a,... ra dãy (an ) tăng và bị chặn trên bởi số b, dãy (bn ) giảm và bị chặn dưới bởi số a, do đó an+1 + bn , ∀n = 1, 2, , hai dãy số này hội tụ Đặt lim an = x, lim bn = y Từ bn+1 = n→+∞ n→+∞ 2 cho n → +∞ ta được y= x+y ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn n→+∞ n→+∞ 2 Kết luận : Trong mọi trường hợp ta đều có hai dãy số (an ), (bn ) có giới hạn hữu hạn và lim an = lim bn n→+∞ n→+∞ 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh. .. n v n wn Chứng minh rằng ba dãy số đã cho hội tụ và chúng có cùng một giới hạn Giải Dễ thấy với mọi n ∈ N thì un > 0, vn > 0, wn > 0 Theo các bất đẳng thức √ a1 + a2 + · · · + an n ≥ n a1 a2 an ≥ , ∀a1, a2, , an > 0 1 1 1 n + + ··· + a1 a2 an www.mathvn.com 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình 27 www.MATHVN.com Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia... 2 2 2 2 sinh 2x (với sinh x = 0), ta có 2 sinh x α α α sinh n−2 sinh n−1 sinh α sinh 2 br sinh α 2 2 br = br ··· = n α α α α α 2 sinh 2 sinh 2 2 sinh n−1 2 sinh n 2n sinh n 2 2 2 2 2 Theo công thức cosh x = Do đó α br sinh α sinh α r 2n = br sinh α lim br = lim lim n α = b α n→∞ α n→∞ n→∞ n α 2 sinh n sinh n 2 2 α Từ ar = br cosh n ta có n n 2 lim ar = lim br lim cosh n n n→∞ n→∞ n→∞ α sinh α =... Bài toán 19 Cho 3 số dương a, b, c Lập 3 dãy (un )+∞ , (vn )+∞ ,(wn )+∞ theo quy luật sau: n=1 n=1 n=1 u1 = a, v1 = b, w1 = c và un+1 = √ √ √ vn wn , vn = wn un , wn+1 = un vn , ∀n = 1, 2, 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 22 www.MATHVN.com Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Tìm lim un , lim vn , lim wn n→∞ n→∞ n→∞ Hướng dẫn Cách... hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com Chương 0 Nguyễn Tài Chung GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai Bài toán 14 (Điều hoà cùng-cộng lệch) Cho trước hai số dương a và b Xét hai dãy số (an ) và (bn ) như sau: a1 = a, b1 = b, an+1 = 2 1 1 + a n bn , bn+1 = an+1 + bn 2 Chứng minh rằng hai dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và hai giới hạn đó bằng nhau Giải . Mục lục Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . 2 0.1 Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai. GIỚI HẠN CỦA CÁC DÃY SỐ SINH BỞI CÁC ĐẠI L ƯỢN G TRUNG BÌNH NGUYỄN TÀI CHUNG GV TH PT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai. Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng. quá trình so sánh các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình. Nhận xét 4. Đối với các dãy số được thành lập từ các đại lượng trung bình thì giới hạn của các dã y số thường là bằng