Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN môn Cơ Sở Đại Số Hiện Đại MÔĐUN HỮU HẠN SINH Có thể nói rằng ngành toán học của chúng ta hiện nay trong quá trình phát triển không thể không nói đến cấu trúc đại số và tất nhiên không thể tách rời sự hiểu biết sâu sắc về các cấu trúc đại số. Cấu trúc Mođun xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó là cơ sở để phát triển một số cấu trúc đại số khác.
[...]... nên N Kerg Do N hữu hạn sinh nên Kerg cũng hữu hạn sinh Mặt khác, vì g là toàn cấu nên theo định lý đồng cấu ta có P M Kerg Vì P là hữu hạn sinh nên M Kerg cũng hữu hạn sinh Nên theo bổ đề trên suy ra M hữu hạn sinh 2.5 Tích Tenxơ của các môđun hữu hạn sinh Mệnh đề 6 Nếu M, N là các R -môđun hữu hạn sinh, thì M N cũng là một môđun hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử M và N có hệ sinh tương ứng là... là một hệ sinh của M Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của S Định lý được chứng minh Hệ quả Các hệ sinh cực tiểu của môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương có cùng số phần tử 2.8 Môđun tự do hữu hạn sinh Định lý 5 Giả sử vành R giao hoán Khi đó các cơ sở của cùng một R -môđun tự do hữu hạn sinh M có cùng số phần tử Bổ đề Các hệ sinh cực tiểu của một môđun hữu hạn sinh chỉ có hữu hạn phần tử... Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành giao hoán R N là một môđun con của M và ideal I J ( R) Khi đó: M IM N kéo theo M N Chứng minh Ta có môđun thương M N là một R -môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có M N 0 nên M N 12 2.7 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Định lý 4 Giả sử ( R, m) là một vành địa phương và M là một R môđun hữu hạn sinh Khi đó S là một hệ sinh cực tiểu của M nếu... sử R môđun M có hệ sinh cực tiểu S xi | i F Do M là hữu hạn sinh nên M có hệ sinh hữu hạn y1 , , yn Khi đó y1 i xi , , yn i xi , trong đó iF iF i , , i R và i xi 0, , i xi 0, i F hầu hết trừ một số hữu hạn Gọi S ' là tập con của S gồm hữu hạn phần tử xuất hiện trong biểu diễn y1 , , yn theo S Suy ra S ' sinh ra M , mà S là cực tiểu nên S ' S Vậy S có hữu hạn. .. mỗi cơ sở của một môđun tự do là một hệ sinh cực tiểu của nó Áp dụng bổ đề trên ta có các cơ sở của R -môđun tự do hữu hạn sinh M đều có hữu hạn phần tử Giả sử S1 e1 , , en và S 2 f1 , , f m là hai cơ sở hữu hạn khác nhau bất kỳ b11 b của M Cần chứng minh n m Thật vậy, ta gọi B 21 bn1 13 b12 b1m b22 b2 m là ma bn 2 bnm c11 c trận chuyển từ cơ sở S1... trình đại số (sau đại học), nhà xuất bản giáo dục, 1985 [3] S.Lang, Đại số( Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ dịch), nhà xuất bản Đại học Trung học Chuyên Nghiệp, 1978 [4] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ Sở lý Môđun và vành, Nhà xuất bản giáo dục, 2001 [5] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Môđun và nhóm Aben, Nhà xuất bản Đại học sư phạm,2008 [6] Dương Quốc VIệt, Cơ Sở Lý thuyết Môđun, Nhà xuất bản Đại học... môđun và một số tính chất của nó Các kiến thức này là cần thiết cho việc theo dõi các chương tiếp theo Trong Chương 2, chúng tôi tổng quan một số khái niệm cũng như kết quả liên quan đến môđun hữu hạn sinh, đi sâu vào tìm hiểu những vấn đề liên quan đến môđun hữu hạn sinh Trong Chương 3, chúng tôi dựa trên kiến thức cơ bản của Chương 1 và Chương 2 để giải chi tiết hai bài toán liên quan đến môđun hữu. .. xi iI là tập sinh cực tiểu của R -môđun M, với lực lượng I vô hạn Chứng minh rằng M không thể được sinh bởi ít hơn I phần tử Giải Ta có xi iI là tập sinh cực tiểu của R -môđun M, do đó với S là hệ sinh cực tiểu của R -môđun M thoả S S thì S M Nên M có nhiều hơn I phần tử Vậy M không thể được sinh bởi ít hơn I phần tử Câu 2 Vành R được gọi là thoả mãn điều kiện hạng nếu mọi số nguyên dương... đến môđun hữu hạn sinh Dù đã rất cố gắng tìm hiểu và trình bày theo cách hiểu của mình nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên tiểu luận không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả rất mong quý thầy cô và bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để tiểu luận hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại Học Quốc... của M nếu và chỉ nếu ảnh S * của S trong M * M mM là một cơ sở của k R m - không gian vectơ M * Chứng minh Nếu S * là một cơ sở của M * thì S * là một hệ sinh cực tiểu của M * , do đó S phải là một hệ sinh cực tiểu của M , khi đó S * là một hệ sinh của M * Nếu S * không cực tiểu thì tồn tại tập con thật sự N của S để N * là một hệ sinh cực tiểu của M * Khi đó ta có RN mM M Vì Vành đã cho là . dạng ma trận : 11 12 11 1 21 22 2 2 1 2 0 n nn n nn a a a x a a a x xa a a Đặt 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a. không. Giả sử 1 2 , , , n x x x là một hệ sinh của M. Khi đó do ( ) i x IM , nên tồn tại các , 1 , ij a I i j n sao cho 11 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) (. chuyển từ cơ sở 1 S sang cơ sở 2 S , và 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn c c c c c c C c c c là ma trận chuyển từ cơ sở 2 S sang 1 S , thì do BC là ma trận