Nội dung chính: 1. Khái niệm biến ngẫu nhiên. 2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất. 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị, mốt, Chương 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất §1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 1. Khái niệm • Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với xác suất tương ứng nào đấy gọi là biến ngẫu nhiên. • Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi các chữ X, Y, Z, Các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận thường viết bằng chữ nhỏ: x, y, z, Ví dụ 1: Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ trong kho để kiểm tra. Gọi X = “số phế phẩm lấy được”  là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là  Ví dụ 2: Một xạ thủ bắn từng viên đạn vào bia cho đến khi trúng thì dừng. Gọi Y = “số viên đạn phải dùng”  là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là  Ví dụ 3: Một người bắn một viên đạn vào bia. Gọi T = “khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia” T là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là một số thực không âm. Ví dụ 4: Gọi U = “thời gian chờ xe buýt” U là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể nhận là một số thực nằm trong khoảng [0; 15] (phút). 2. Phân loại biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được. Ví dụ 5: Các biến ngẫu nhiên X, Y ở trên là các biến ngẫu nhiên rời rạc. • Biến ngẫu nhiên  được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy toàn bộ trục số và  . Ví dụ 6: Các biến ngẫu nhiên T, U ở trên là các biến ngẫu nhiên liên tục. §2 Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 1. Định nghĩa Có ba phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên gồm: Bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất. Quy luật phân phối xác suất là một cách biễu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị đó. 2. Bảng phân phối xác suất Giả sử biễn ngẫu nhiên rời rạc  nhận các giá trị        và      Bảng phân phối xác suất của biễn ngẫu nhiên  có dạng sau: Nhận xét:                                  Ví dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính . Ví dụ 2: Một người bắn súng vào bia với xác suất bắn trúng là 0,7. Xạ thủ này bắn cho đến khi trúng thì dừng. Lập bảng phân phối xác suất của số viên đạn phải dùng. 3. Hàm mật độ xác suất Định nghĩa Hàm  được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: i)    ii)     iii)        [...]... Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất như sau: 𝒇 𝒙 = 𝟎 𝒄 𝒙𝟐 nếu nếu 𝒙< 𝟏 𝒙≥ 𝟏 Hãy xác định hằng số 𝑐 và tính 𝑃 2 < 𝑋 < 3 4 Hàm phân phối xác suất a) Định nghĩa Ta gọi hàm 𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 < 𝒙) là hàm phân phối xác suất của biễn ngẫu nhiên 𝑋 Nhận xét: Nếu 𝑋 là biến ngẫu nhiên rời rạc có 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑖 = 𝑝 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … thì 𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 = 𝒙𝒊 𝒙 𝒊 1 4 5𝑥 Tìm hàm phân phối xác suất 𝐹 𝑥 §3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1 Kỳ vọng (expectation) a) Định nghĩa Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝐸(𝑋), được xác định như sau: Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất như sau 𝑋 𝑃 Tìm 𝐸(𝑋)? -1 0,2 0 0,2 1 0,5 2 0,1 Ví dụ 2: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất 3 2 𝑥 + 2𝑥 , với 𝑥 ∈ (0; 1) 𝑓 𝑥... Với 𝑋 là biến ngẫu nhiên rời rạc thì 𝒎 = 𝒙 𝒊 nếu 𝟏 𝑭(𝒙 𝒊 ) ≤ ≤ 𝑭(𝒙 𝒊+𝟏 ) 𝟐  Với 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục thì 𝒎 là giá trị thoả mãn: 𝒎 𝑭 𝒎 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟎, 𝟓 −∞ 4 Mốt (mode) Định nghĩa: Mốt, kí hiệu là 𝑚0 , là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với:  Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc  Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋... nhiên liên tục 𝑿 có hàm mật 𝒙 độ xác suất 𝒇(𝒙) thì 𝑭 𝒙 = −∞ 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 vii) 𝑭′ 𝒙 = 𝒇(𝒙) viii) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì 𝑭(𝒙) là hàm số liên tục Ví dụ 5: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có dạng 0 với 𝑥 ≤ 0 𝐹 𝑥 = 𝑎𝑥 2 với 0 < 𝑥 ≤ 1 1 với 𝑥 > 1 a) Tìm hệ số 𝑎 b) Tìm hàm mật độ xác suất 𝑓(𝑥) c) Tìm 𝑃(0,25 < 𝑋 < 0,75) Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ 0... có bảng phân phối xác suất như sau: 𝑋 𝑃 1 0,3 Đáp số: 𝐹 𝑥 = 0, nếu 𝑥 ≤ 1 0,3, nếu 1 < 𝑥 ≤ 3 0,8, nếu 3 < 𝑥 ≤ 4 1, nếu 𝑥 > 4 3 0,5 4 0,2 b) Tính chất của hàm phân phối xác suất i) Hàm phân phối xác định với ∀𝒙 ∈ ℝ 𝒊𝒊) 𝟎 ≤ 𝑭 𝒙 ≤ 𝟏, ∀𝒙 iii) Hàm phân phối là hàm không giảm Tức là, nếu 𝑥1 < 𝑥2 thì 𝐹 𝑥1 ≤ 𝐹(𝑥2 ) iv) 𝑷 𝒂 ≤ 𝑿 < 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) v) 𝐥𝐢𝐦 𝑭(𝒙) = 𝟎; 𝒙→−∞ 𝐥𝐢𝐦 𝑭 𝒙 = 𝟏 𝒙→+∞ vi) Nếu biến ngẫu nhiên liên... Phương sai của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝑉(𝑋), được xác định như sau: 𝑽 𝑿 = 𝑬 𝑿 − 𝑬(𝑿) Ta có: 𝟐 Nhận xét: Có thể tính phương sai của biến ngẫu nhiên X theo công thức sau 𝑽 𝑿 = 𝑬 𝑿 𝟐 − 𝑬(𝑿) 𝟐 trong đó: Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu 𝝈 𝑿 , được gọi là độ lệch chuẩn của 𝑿 𝝈𝑿 = 𝑽(𝑿) Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất như sau 𝑋 -1 0 1 2 𝑃 0,2 0,1 0,4 0,3 Tìm phương sai và độ lệch... biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 có hàm mật độ xác suất như sau 2𝑥, 𝑓 𝑥 = 0, với 𝑥 ∈ 0; 1 với 𝑥 ∉ 0; 1 Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋 b) Tính chất của phương sai +) 𝑉 𝐶 = 0, (𝐶 là hằng số); +) 𝑉 𝐶𝑋 = 𝐶 2 𝑉 𝑋 , (𝐶 là hằng số); +) Nếu 𝑋 và 𝑌 độc lập thì 𝑉 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉(𝑌) c) Ý nghĩa và ứng dụng của phương sai - Ý nghĩa: Phương sai của một biến ngẫu nhiên phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến. .. suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có bảng phân phối xác suất 𝑋 𝑃 Tìm 𝑚, 𝑚0 và 𝑃 −1 0 0,25 0,15 1 0,3 𝑋 − 𝐸(𝑋) < 1 ? 2 0,3 Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên 𝑋 có hàm mật độ xác suất 𝑐𝑥 3 với 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑓 𝑥 = 0 với 𝑥 ∉ 0; 3 Hãy tìm: a) Hằng số 𝑐; b) Kỳ vọng, phương sai và độ lệch tiêu chuẩn; c) Trung vị và mốt ... trị của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình của nó là kì vọng - Ứng dụng thực tế: Trong kĩ thuật phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của kích thước các chi tiết gia công hay sai số của thiết bị, trong quản lí và kinh doanh nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định 3 Trung vị (median) Định nghĩa: Trung vị của biến ngẫu nhiên 𝑋 hay của phân phối của 𝑋, kí hiệu 𝑚, được xác định như . Khái niệm biến ngẫu nhiên. 2. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất. 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên: . phương pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên gồm: Bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất. Quy luật phân phối xác suất là một cách biễu diễn. 2 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất §1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 1. Khái niệm • Một biến nhận các giá trị có thể có của nó với xác suất tương ứng nào đấy gọi là biến ngẫu