Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 1 - VỀ HAI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN Trần Xuân Đáng (Giáo viên trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định) Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số :f → ℤ ℤ sao cho với tất cả các số nguyên , , a b c thỏa mãn 0 a b c + + = , đẳng thức sau là đúng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a + + = + + (Ở đây ℤ ký hiệu tập hợp các số nguyên) Bài toán 1 là bài toán 4 của đề thi IMO 2012 do Nam Phi đề nghị. Sau đây là lời giải bài toán 1 của tác giả bài viết này: Giả sử hàm :f → ℤ ℤ thỏa mãn điều kiện đề bài. Cho 0 a b c = = = , ta được (0) 0 f = . Cho , , 0 ( ) a n b n c n = = − = ∈ ℤ ta được ( ) ( ) f n f n − = . Đặt (1) ( ) f t t = ∈ ℤ . Cho 2, 1, 1 a b c = = − = − ta có (2) 0 f = hoặc (2) 4 f t = . * Trường hợp 1: (2) 0 f = (3) f t ⇒ = Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4) (2) (2) 2 (2) (4) 2 (2) (4) 2 (2) (2) (4) 0 f f f f f f f f f f + + = + + ⇒ = Giả sử (2 ) 0, (2 1) (1 ) f i f i t i k = + = ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (2 2) (2 ) (2) 0 (2 2) 0 f k f k f f k ⇒ + + + = ⇒ + = Ta có : BÀI VIẾT THAM KHẢO SỐ 1 Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 2 - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (2 3) (2 ) (3) 2 (3) (2 3) (2 3) (3) f k f k f f f k f k f t + + + = + ⇒ + = = V ậ y (2 ) 0, (2 1) , f i f i t i N = + = ∀ ∈ (2 ) 0, (2 1) ,f i f i t i ⇒ = + = ∀ ∈ ℤ * Tr ườ ng h ợ p 2: (2) 4 ( , 0) f t t t = ∈ ≠ ℤ Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (3) (2) (1) 2 (1) (2) 2 (1) (3) 2 (2) (3) f f f f f f f f f + + = + + Suy ra (3) f t = ho ặ c (3) 9 f t = a) (3) 9 f t = , (2) 4 f t = , (1) f t = . Ta ch ứ ng minh 2 * ( ) ,f n n t n = ∀ ∈ ℕ Th ậ t v ậ y m ệ nh đề đ úng v ớ i 1,2,3 n = . Gi ả s ử m ệ nh đề đ úng đế n 3 n ≥ Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( 1) ( ) (1) 2 (1) ( ) 2 (1) ( 1) 2 ( ) ( 1) f n f n f f f n f f n f n f n + + + = + + + + ( ) 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 f n t n f n t n ⇒ + − + + + − = 2 ( 1) ( 1) f n t n + ⇒ = + ho ặ c 2 ( 1) ( 1) f n t n + = − Gi ả s ử 2 ( 1) ( 1) ( 1) f n f n t n = − + = − Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (2) ( 1) 2 (2) ( 1) 2 (2) ( 1) 2 ( 1) ( 1) f f n f f n f f n f n f n + + + = − + + + − − ( ) ( ) 2 (2) 2 (2) ( 1) ( 1) f f f n f n ⇒ = − + + 2 2 2 2 2 16 8 .2( 1) 16 16 ( 1) t t n t t t n ⇒ = − ⇒ = − . Vô lý (vì 3 n ≥ ). V ậ y 2 * 2 ( ) ( ) , , f n f n n t n n t n ⇒ = = ∀ ∈ ∀ ∈ ℕ ℤ b) (3) , (0) 0, (1) , (2) 4 f t f f t f t = = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4) (2) (2) 2 (2) (2) 2 (2) (4) 2 (2) (4) f f f f f f f f f + + = + + (4) 0 f ⇒ = ho ặ c (4) 16 f t = Gi ả s ử (4) 16 f t = Ta có : Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 3 - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4) (3) (1) 2 (1) (4) 2 (3) (4) 2 (1) (3) f f f f f f f f f + + = + + 2 2 2 2 2 256 2 32 32 2 t t t t t ⇒ + = + + 2 192 0 t ⇒ = (vô lý). V ậ y (4) 0 f = Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (5) (4) (1) 2 (1) (5) f f f f f + + = (5) (1) f f t ⇒ = = , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (6) (4) (2) 2 (2) (6) f f f f f + + = (6) (2) 4 f f t ⇒ = = , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (7) (4) (3) 2 (3) (7) f f f f f + + = (7) (3) f f t ⇒ = = , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (8) (4) (4) 0 f f f + + = (8) 0 f ⇒ = B ằ ng ph ươ ng pháp quy n ạ p toán h ọ c ta ch ứ ng minh đượ c (4 1) f i t + = i N ∀ ∈ ; (4 3) f i t + = i ∀ ∈ ℕ (4 ) 0 f i = i N ∀ ∈ ; (4 2) 4 f i t + = i ∀ ∈ ℕ Th ậ t v ậ y gi ả s ử : (4 ) 0, (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) ( ) f k f k t f k t f k t k N = + = + = + = ∈ Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4 1) (4 ) (1) 2 (1) (4 ) 2 (4 ) (4 1) 2 (1) (4 1) f k f k f f f k f k f k f f k + + + = + + + + (4 1) (1) f k f ⇒ + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4 2) (4 ) (2) 2 (2) (4 ) 2 (4 ) (4 2) 2 (2) (4 2) f k f k f f f k f k f k f f k + + + = + + + + (4 2) (2) 4 f k f t ⇒ + = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4 3) (4 ) (3) 2 (3) (4 ) 2 (4 ) (4 3) 2 (3) (4 3) f k f k f f f k f k f k f f k + + + = + + + + (4 3) (3) f k f t ⇒ + = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (4 4) (4 ) (4) 2 (4) (4 ) 2 (4 ) (4 4) 2 (4) (4 4) f k f k f f f k f k f k f f k + + + = + + + + (4 4) (4) 0 f k f ⇒ + = = . Suy ra: Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 4 - (4 ) 0, (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) ( , 0)f i f i t f i t f i t t t i = + = + = + = ∈ ≠ ∀ ∈ ℤ ℤ Ng ượ c l ạ i, gi ả s ử hàm :f → ℤ ℤ th ỏ a mãn (2 ) 0, (2 1) ( ) f i f i t t = + = ∈ ℤ v ớ i m ọ i i ∈ ℤ Gi ả s ử , , , 0 a b c a b c ∈ + + = ℤ . Suy ra trong 3 s ố , , a b c có ít nh ấ t m ộ t s ố ch ẵ n. + N ế u , , a b c cùng ch ẵ n thì ( ) ( ) ( ) 0 f a f b f c = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + + N ế u a ch ẵ n và , b c l ẻ thì ( ) 0 f a = , ( ) ( ) f b f c t = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 f a f b f c t ⇒ + + = ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f a f b f a f c f b f c t + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + T ươ ng t ự n ế u b ch ẵ n , a c l ẻ ho ặ c c ch ẵ n , a b l ẻ thì ta c ũ ng có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a + + = + + V ậ y hàm : f → ℤ ℤ sao cho (2 ) 0 f i = , (2 1) ( ) f i t t + = ∈ ℤ v ớ i m ọ i i ∈ ℤ th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n đề bài. + Xét hàm s ố : f → ℤ ℤ th ỏ a mãn 2 ( ) ( , 0)f n n t t t n = ∈ ≠ ∀ ∈ ℤ ℤ Gi ả s ử , , a b c ∈ ℤ th ỏ a mãn 0 a b c + + = Ta có 2 2 2 ( ) , ( ) , ( ) f a a t f b b t f c c t = = = Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 2 ( ) ( ) ( ) f a f b f c a b c t + + = + + 2 2 2 0 2 2 2 a b c a b c ab bc ca + + = ⇒ + + = − − − Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 81 - kkfkfff 3399123)0()3())2(( − = ⇒ − = = hay 39893 = k (vô lý ), v ậ y .3)2( kf ≠ . N ế u Zkkf ∈+= ,13)2( thì 3988 2)1(33)1()13())2((2 = − = ⇒ − = + = = fkkfkfff (vô lý ), v ậ y .13)2( + ≠ kf Do đ ó Zkkf ∈+= ,23)2( (4). T ừ (1), (2), (3), (4) ta có      ≡∈−+ ≠− = ).3(mod2;,43 ).3(mod2,3991 )( nZknk nn nf Thử lại ta thấy )(nf xác định như trên thoả mãn đề bài. Bài tập tự luyện 1. Cho hàm f : RN → * thoả mãn các điều kiện sau a) 1998 2)1( =f b) ,))(()1()))((1( 22 nfnfnf =++ *Nn ∈ ∀ Chứng minh rằng 1)( ≤ nf , .1998 > ∀ n 2. Tìm tất cả các hàm f : NN → * thoả mãn các điều kiện sau a) ),()()( nfmfmnf + = *; Nnm ∈ ∀ b) 0)30( = f c) 0)( = nf nếu n có chữ số tận cùng bằng 7. Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 80 - Giải Viết lại điều kiện b) ta có ;))(( nnff = 3)3)(( − = + nnff , Zn ∈ ∀ suy ra Znnfnfffnf ∈ ∀ + = + = − ,3)())3)((()3( hay 3)3()( − − = nfnf , Zn ∈ ∀ Từ đó ta có 3)0()3( − = ff 3)3()6( − = ff . . . 3)33()3( − − = tftf suy ra tftf 3)0()3( − = , Zt ∈ ∀ Làm tương tự như trên ta có ;3)1()13( tftf − = + .3)2()23( tftf − = + Vì vậy ta được          ∈+=− ∈+=− ∈≡− = .;23,3)2( .;13,3)1( .;3,3)0( )( Zttntf Zttntf Zttntf nf (1) Do v ậ y để tính )( nf ta tính );0( f )1( f và ).2( f Vì 31995 ⋮ theo (1) ta có 3991)0(19961995)0()1995( = ⇒ = − = fff (2). T ừ (2) ⇒ .0)3991()3991())0(( = ⇒ = ffff Mà 11330.33991 + = do đ ó 3990)1(03990)1()3991( = ⇒ = − = fff (3) . N ế u Zkkf ∈= ,3)2( thì Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 5 - 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8 ( ) 2 2 2 4 4 abc a b c a b c a b b c a c a b b c a c = + + + ⇒ + + + + + + + 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c a c = ⇒ + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f a f b f c t t t a b b c a c ⇒ + + = + + ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( f a f b f b f c f c f a = + + V ậ y hàm : f → ℤ ℤ sao cho 2 ( ) ( , 0)f n n t t t n = ∈ ≠ ∀ ∈ ℤ ℤ th ỏ a mãn đề bài. + Xét hàm : f → ℤ ℤ th ỏ a mãn (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) , (4 ) 0 ( , 0)f i t f i t f i t f i t t i + = + = + = = ∈ ≠ ∀ ∈ ℤ ℤ Gi ả s ử , , a b c ∈ ℤ sao cho 0 a b c + + = - N ế u 4 ( ) 0 (mod 4) a i i b c = ∈ ⇒ + ≡ ℤ - N ế u , b c đề u chia h ế t cho 4 thì ( ) ( ) ( ) 0 f a f b f c = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 0) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + = -N ế u 2(mod 4) b ≡ và 2(mod 4) c ≡ thì ( ) 0, ( ) 4 , ( ) 4 f a f b t f c t = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 32 f a f b f c t =⇒ + + 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 32 f a f b f b f c f c f a t + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + - N ế u 1(mod 4) b ≡ và 3(mod 4) c ≡ thì ( ) , ( ) f b t f c t = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) f a f b f c t =⇒ + + 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 f a f b f b f c f c f a t + + = Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 6 - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + - N ế u 1(mod 4) a ≡ , 0(mod 4) b ≡ và 3(mod 4) c ≡ , t ươ ng t ự nh ư trên ta c ũ ng có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a + + = + + - N ế u 1(mod 4) a ≡ , 3(mod 4) b ≡ và 0(mod 4) c ≡ , t ươ ng t ự nh ư trên ta c ũ ng có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a + + = + + - N ế u 1(mod 4) a ≡ , 2(mod 4) b ≡ và 1(mod 4) c ≡ ( ) , ( ) 4 , ( ) f a t f b t f c t ⇒ = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 18 ( ) ( ) ( ) f a f b f c t = ⇒ + + 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 8 2 8 18 f a f b f b f c f c f a t t t t + + + + = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + - N ế u 1(mod 4) a ≡ , 1(mod 4) b ≡ và 2(mod 4) c ≡ , t ươ ng t ự nh ư trên ta c ũ ng có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a + + = + + - N ế u 2(mod 4) a ≡ , 0(mod 4) b ≡ và 2(mod 4) c ≡ ho ặ c 2(mod 4) a ≡ , 1(mod 4) b ≡ và 1(mod 4) c ≡ ; ho ặ c 3(mod 4) a ≡ , 0(mod 4) b ≡ và 1(mod 4) c ≡ ho ặ c 3(mod 4) a ≡ , 1(mod 4) b ≡ và 0(mod 4) c ≡ , t ươ ng t ự nh ư trên ta c ũ ng có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a + + = + + - N ế u 3(mod 4) a ≡ , 3(mod 4) b ≡ , 2(mod 4) c ≡ thì Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 79 - Ta ch ứ ng minh f tho ả mãn đ i ề u ki ệ n đề bài, ngh ĩ a là Df ∈ . Th ậ t v ậ y: 22 ))2(())1()2())((1())2(()3()1( +−+−+++=+−++ nfnfnfbanfnfnfnf 22 ))2(())1(()2()1()( +−+−+++= nfnfnfnfba 2 ))1(())2()1())((2( +−+−+++= nfnfnfbanf ,))1(()()2( 2 +−+= nfnfnf * Nn ∈ ∀ suy ra 22 ))1(()()2())2(()3()1( +−+=+−++ nfnfnfnfnfnf 22 ))2(()3())2(()1()3( fffff −=−= T ừ đ ó ta có 22 ))2(()3())1(()2()( ffnfnfnf −=+−+ 22 1)())2(()1()2()( aabafffba −−+=−−+= .1997119981 = − = − = ab V ậ y ta đượ c 1997))1(()1()( 2 ++=+ nfnfnf hay Df ∈ Ta có t ươ ng ứ ng, m ỗ i Df ∈ v ớ i m ộ t giá tr ị 1998|)2( f là m ộ t song ánh gi ữ a D và t ậ p các ướ c d ươ ng c ủ a 1998 . Do đ ó s ố ph ầ n t ử c ủ a D là: .16)11)(13)(11()37.3.2()1998(|| 3 =+++=== ddD Vì v ậ y có t ấ t c ả 16 hàm s ố tho ả mãn đề bài. Ví dụ 5.2 Xác đị nh t ấ t c ả các hàm ZZf → : tho ả đồ ng th ờ i các đ i ề u ki ệ n sau a) 1996)1995( = f b) V ớ i m ọ i Zn ∈ n ế u mnf = )( thì nmf = )( ; .3)3( − = + nmf Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 78 - ⇒ .*, )2( )3()1( )1( )2()( Nn nf nfnf nf nfnf ∈∀ + + + + = + + + Vì v ậ y ta có )1( )2()( )3( )4()2( )2( )3()1( = + + + == + = + nf nfnf f ff f ff Đặ t )2( )3()1( f ff c + = (1) suy ra *),()1()2( Nnnfncfnf ∈ ∀ − + = + (2) Ta ch ứ ng minh .* Nc ∈ Th ậ t v ậ y, n ế u q p c = v ớ i Nqp ∈ , và 1),( = qp thì t ừ (2) ta có *),1())2()(( Nnnpfnfnfq ∈ ∀ + = + + suy ra *),1(| Nnnfq ∈ ∀ + hay *),2()(| 2 Nnnfnfq ∈∀+ và .2 ≥ n Vì ( ) .))1(()2()(1997 22 qnfnfnf ⋮ +−+= Mà 1997 là s ố nguyên t ố nên 1 2 =q hay 1 = q suy ra * Nc ∈ G ọ i ,)2( af = do (1) ta có )3(1 fac + = suy ra 1997))2(()3()1()3(1 2 +===− ffffac ⇒ 19971 2 +=− aac ⇔ 1998)( = − aca Ta đượ c 1998| a , hay )2( f là m ộ t ướ c d ươ ng c ủ a 1998. Ng ượ c l ạ i v ớ i m ỗ i ướ c d ươ ng a c ủ a 1998 ta xây d ự ng hàm **: NNf → nh ư sau ;1)1( = f af = )2( * ),()1()()2( Nnnfnfbanf ∈∀−++=+ ; trong đ ó .* 1998 N a b ∈= Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 7 - ( ) ( ) , ( ) 4 f a f b t f c t = = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 18 f a f b f c t ⇒ + + = ; 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 18 f a f b f b f c f c f a t + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f a f b f c f a f b f b f c f c f a ⇒ + + = + + V ậ y t ấ t c ả các hàm : f → ℤ ℤ th ỏ a mãn đề bài là: : f → ℤ ℤ : (2 ) 0, (2 1) ( ) f i f i t t i = + = ∈ ∀ ∈ ℤ ℤ :f → ℤ ℤ : 2 ( ) ( , 0)f n n t t t n = ∈ ≠ ∀ ∈ ℤ ℤ :f → ℤ ℤ : (4 ) 0, (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) ( , 0) f i f i t f i t f i t t t i = + = + = + = ∈ ≠ ∀ ∈ ℤ ℤ Trong kỳ thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2012 của Việt Nam có bài toán sau: Bài toán 2: Tìm t ấ t c ả các hàm f xác đị nh trên t ậ p s ố th ự c ℝ , l ấ y giá tr ị trong ℝ và th ỏ a mãn đồ ng th ờ i các đ i ề u ki ệ n sau: 1) f là toàn ánh t ừ ℝ đế n ℝ . 2) f là hàm s ố t ă ng trên ℝ . 3) ( ) ( ) ( ) 12 f f x f x x = + v ớ i m ọ i s ố th ự c x (Bài toán 7 của đề thi VMO - 2012) Trong tạp chí Kvant tháng 11 năm 1986 có bài toán sau: Bài toán 3 : Tìm t ấ t c ả các hàm liên t ụ c : f → ℝ ℝ th ỏ a mãn ( ) ( ) ( ) f f x f x x = + v ớ i m ọ i s ố th ự c x . Sau đ ây là l ờ i gi ả i c ủ a bài toán 3: Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 8 - Gi ả s ử hàm : f → ℝ ℝ là hàm liên t ụ c trên ℝ và th ỏ a mãn ( ) ( ) ( ) f f x f x x = + v ớ i m ọ i s ố th ự c x . Tr ướ c h ế t ta ch ứ ng minh f đơ n ánh. Th ậ t v ậ y, gi ả s ử 2 1 ,x x ∈ ℝ sao cho 1 2 ( ) ( ) f x f x = Khi đ ó ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) f f x f f x = M ặ t khác ( ) 1 1 2 ( ) ( ) f f x f x x = + và ( ) 2 2 2 ( ) ( ) f f x f x x = + . T ừ đ ó suy ra 1 2 x x = Ta có ( ) (0) (0) f f f = . Vì f đơ n ánh nên (0) 0 f = Đặ t ( ) 0 1 1 ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) n n f x x f x f x f x f f x + = = = 1 ( ) ( ) n n n f x F x F f x − ⇒ = + v ớ i m ọ i * n ∈ ℕ trong đ ó ( ) n F là dãy Phibônaxi đượ c xác đị nh b ở i 0 1 2 1 0, 1, ( 0) n n n F F F F F n + + = = = + ≥ Th ậ t v ậ y m ệ nh đề đ úng v ớ i 1, 2 n n = = Gi ả s ử m ệ nh đề đ úng đế n 2 n k = ≥ Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k f x f f k f f f x f x f x + − − = = = + ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k x F F f x F x F f x F x F f x F F − − − − − − + + + = + + + = 1 ( ) k k F x F f x + = + V ậ y m ệ nh đề c ũ ng đ úng v ớ i 1 n k = + , t ứ c là 1 ( ) ( ) n n n f x F x F f x − = + v ớ i m ọ i * n ∈ ℕ Vì f liên t ụ c và đơ n ánh nên f đồ ng bi ế n ho ặ c f ngh ị ch bi ế n. Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 77 - M ặ t khác v ớ i p nguyên t ố mà ppf = )( thì )())(( pfpff = nên pp = 3 suy ra 1 = p mâu thu ẫ n v ớ i p là s ố nguyên t ố . Còn n ế u 3 )( ppf = thì 9333 ))(()())(( ppfpfpffp ==== suy ra 1 = p m ẫ u thu ẫ n v ớ i p nguyên t ố . V ậ y ppf ≠ )( và 3 )( ppf ≠ . Khi đ ó ta xây d ự ng hàm f nh ư sau Chia t ậ p s ố nguyên t ố thành vô h ạ n các c ặ p );( qp )( qp ≠ r ờ i nhau, đặ t pqfqpf == )(;)( 3 ho ặ c 3 )(;)( pqfqpf == thì f luôn tho ả mãn đề bài ( để ý r ằ ng có vô s ố hàm f tho ả mãn đề bài, ch ẳ ng h ạ n theo cách xác đị nh trên). V. Sử dụng một số tính chất của số học Trong phần này, ta xét một số phương trình hàm giải được bằng cách áp dụng các tính chất của số học như: tính chia hết, nguyên tố, quan hệ đồng dư, phần nguyên Ví dụ 5.1 Có bao nhiêu hàm : f ** NN → tho ả mãn đồ ng th ờ i các đ i ề u ki ệ n sau a) 1)1( = f b) ,1997))1(9)2()( 2 ++=+ nfnfnf .* Nn ∈ ∀ Giải G ọ i D là t ậ p h ợ p t ấ t c ả các hàm s ố f tho ả mãn đ i ề u ki ệ n bài toán. Theo gi ả thi ế t b) ta có 1997))1(()2()( 2 ++=+ nfnfnf ; 1997))2(()3()1( 2 ++=++ nfnfnf suy ra 1997))2(()3()1())1(()2()( 22 =+−++=+−+ nfnfnfnfnfnf Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 76 - ⇒ 21 nn = t ứ c f là đơ n ánh. V ớ i 1 = n thay vào (1) và do f là đơ n ánh ta có )().( mfamf = m am = ⇔ suy ra 1 = a thay vào (2) có ;))(( 3 nnff = * Nn ∈∀ ))(())(())()(( 333 mnffmnmffnnfmff === ⇒ )()()( mnfnfmf = T ừ đ ó ta đượ c f là hàm hoàn toàn nhân tính. Vì v ậ y ta ch ỉ c ầ n xét các giá tr ị c ủ a f t ạ i các đ i ể m nguyên t ố . G ọ i p là s ố nguyên t ố , gi ả s ử ,)( abpf = 1 ≥ ≥ ba , ta có ).()()())(( 3 bfafabfpffp === X ả y ra các tr ườ ng h ợ p sau . 3 )( paf = ; 1)( = bf ⇒ .1 = b . 3 )( pbf = ; 1)( = af ⇒ .1 = b . 2 )(;)( pbfbaf == ho ặ c 2 )( paf = ; pbf = )( Xét tr ườ ng h ợ p paf = )( ; 2 )( pbf = , còn tr ườ ng h ợ p ng ượ c l ạ i làm t ươ ng t ự . Ta có )())(( bfaff = ⇒ )( 3 pfa = và )())(( 2 pfbff = ⇒ 223 ))(().()( pfppfpfb === suy ra 6233 )( aab == hay 2 ab = . V ậ y 3 )( abf = N ế u mn a = thì )()()()( nfmfmnfafp = = = suy ra 1 = m ho ặ c 1 = n nên a là s ố nguyên t ố . Do đ ó ta có v ớ i m ỗ i s ố nguyên t ố p thì )( pf ho ặ c là s ố nguyên t ố ho ặ c là l ậ p ph ươ ng c ủ a m ộ t s ố nguyên t ố . Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 9 - Gi ả s ử f ngh ị ch bi ế n trên ℝ . Pt đặ c tr ư ng c ủ a dãy ( ) n F là: 2 1 5 2 1 0 1 5 2 t t t t       + = − − = ⇔ − = Đặ t 1 2 1 5 1 5 , 2 2 t t + − = = T ồ n t ạ i các h ằ ng s ố A và B sao cho 1 2 , n n n n F At Bt ∀ ∈ = + ℕ . Vì 0 1 0, 1 F F = = nên 1 2 1 2 0 ( ) 1 1 A B B A A t t At Bt         + = = − ⇒ − = + = 1 1 1 1 5 1 1 5 , 2 2 5 5 5 5 n n n A B F                 + − ⇒ = = − ⇒ = − Gi ả s ử f là hàm ngh ị ch bi ế n. V ớ i 0 x > ta có ( ) 0 f x < ( ) ( ) 0 f f x ⇒ > ( ) 0 0 ( ) ( ) x f x f x x f x x ⇒ + > ⇒ > > − ⇒ < V ớ i 0 x < ta có ( ) 0 f x > ( ) ( ) 0 f f x ⇒ < ( ) 0 0 ( ) ( ) x f x f x x f x x ⇒ + < ⇒ < < − ⇒ < Trong c ả 2 tr ườ ng h ợ p ta đề u có ( ) f x x < v ớ i m ọ i 0 x ≠ . Suy ra ( ) f x x ≤ v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . V ậ y n ế u x là m ộ t s ố th ự c b ấ t k ỳ và n là m ộ t s ố nguyên d ươ ng thì ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x f f x f x f x x − − = ≤ ≤ ≤ ≤ . Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 10 - C ố đị nh x ∈ ℝ Ta có 1 ( ) ( ) n n n f x F x F f x − = + 1 ( ) ( ) n n n n F f x x f x F F − ⇒ + = Ta có lim n n F →+∞ = +∞ và ( ) n f x b ị ch ặ n. ( ) lim 0 n n n f x F →+∞ ⇒ = M ặ t khác 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 5 5 1 1 5 5 n n n n n n n n n n n n t t t t t t F t t F t t t t t t − − − − − −         −     − − − = = = − − Vì 1 2 lim 0 n n t t →+∞       = 1 2 1 2 5 1 1 5 lim ( ) 2 2 5 1 n n n F f x x F t − →+∞ − − ⇒ = = = ⇒ = + Gi ả s ử f đồ ng bi ế n trên ℝ . Vì f không b ị ch ặ n và f liên t ụ c nên Im f = ℝ . M ặ t khác f đơ n ánh nên t ồ n t ạ i hàm : g → ℝ ℝ sao cho ( ) ( )g f x x x = ∀ ∈ ℝ và ( ) ( )f g x x x = ∀ ∈ ℝ ( g là hàm ng ượ c c ủ a f ), g đồ ng bi ế n trên ℝ V ớ i x ∈ ℝ ta có ( ) ( ) ( ) x g g x g x = + Th ậ t v ậ y, đặ t ( ) , ( ) g x y g y t = = ta có ( ) ( ) ( ) ( ) g g x g y t y f t = = ⇒ = Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 75 - Theo ch ứ ng minh trên f là hàm đơ n ánh và là hàm hoàn toàn nhân tính. V ớ i p nguyên t ố mà mnpf = )( ; *, Nnm ∈ ∀ thì ta có )()()())(( nfmfmnfpff = = )()( nfmfp = Suy ra 1)( = mf ho ặ c ,1)( = nf ngh ĩ a là 1 = m ho ặ c 1 = n . Vì v ậ y )( pf là s ố nguyên t ố . Do đ ó f nh ậ n các giá tr ị nguyên t ố phân bi ệ t t ạ i các đ i ể m nguyên t ố phân bi ệ t. V ớ i f tho ả mãn trên thì 63.2)401()5()401.5()2005( = ≥ = = ffff . Ta ch ỉ ra t ồ n t ạ i m ộ t hàm s ố tho ả mãn đề bài có 1)1( = f và 6)2005( = f đượ c xác đị nh nh ư sau 1)1( = f ; 2)5( = f ; 5)2( = f ; 3)401( = f ; ,401)3( = f ,)( ppf = p ∀ nguyên t ố { } ,401,5,3,2 ∉ p do v ậ y giá tr ị nh ỏ nh ấ t có th ể có )2005( f là 6. Nhận xét : Theo cách chứng minh trên ta có thể xác định giá trị nhỏ nhất có thể có của )( nf với mỗi giá trị cụ thể của n và hàm f thoả mãn đề bài. Ví dụ 4.3 Tìm t ấ t c ả các hàm : f ** NN → tho ả mãn đ i ề u ki ệ n )())(( 3 mfnnmff = ; *, Nnm ∈ ∀ (1). Giải Đặ t af = )1( . T ừ (1) cho 1 = m ta có 33 )1())(( anfnnff == (2) N ế u *, 21 Nnn ∈ mà )()( 21 nfnf = suy ra ⇒ = ))(())(( 21 nffnff 3 2 3 1 anan = do (2) [...]... (8) ta được 2 Giải phương trình đặc 0 1 U n = U n + U n , trong đó Chuyên đề: Phương trình hàm 2 0 U n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất dạng 1 a = 1, b = 0 Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là f ( x ) = x, ∀x ∈ ℝ f ( f ( 0) ) = ( f ( 0) ) Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 - 55 - Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Tài liệu tham khảo... liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Xét phương trình đặc trưng λ − 2λ + 1 = 0 có nghiệm kép λ = 1 Ta tìm được nghiệm dưới dạng f (k ) = f 0 (k ) + f 1 (k ), trong đó 2 1 k f (k ) = A + B.k và f (k ) = a.2 1 Thay a2 k +1 vào f (k ) k − 2a 2 + a 2 k −1 phương trình được (2) k = 3.2 , ∀k ∈ N nên a = 6 Chuyên đề: Phương trình hàm b Thế y = − f ( x ) ta được 2 f ( 0 )... liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Vì g n ( x) bị chặn và lim Fn = +∞ Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Ví dụ 4.2 n →+∞ F 1 1 2 5 −1 5 −1 lim n −1 = = = = ⇒0= x − g ( x) n→+∞ F 2 2 t2 1 + 5 1 + 5 n 2 5 −1 2 5 +1 ⇒ g ( x) = x ⇒ f ( x) = x= x 2 2 5 −1 Vậy có 2 hàm f thỏa mãn đề bài Đó là hàm f ( x) = 5 +1 1− 5 x, ∀x ∈ ℝ và f ( x)... Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Ví dụ 14 Tìm hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện: f ( x − f ( y ) ) = 2 f ( x ) + x + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 2 Chuyên đề: Phương trình hàm 2 (n + 1) (a (n + 1) + b) − 2n (an + b) + (n − 1) (a (n − 1) + b) = n + 1, ∀n ∈ N * (6) Giải Nhận thấy hàm f ( x ) ≡ 0 không thỏa mãn yêu cầu Xét f... ≠ 0 - 22 - f (4, n + 1) = f (3, f (4, n)) = f (3,22 2 − 3) với ( n + 3) số 2 - 63 - Ta chứng Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Ví dụ 2.2 Hint: Cho hàm f ( m, n) với m, n ∈ Z thoả mãn đồng thời các điều kiện sau 1 Tính f ( 0 ) , f ( −1) a) f (0, n) = n + 1 1   x +1   2 Tính a + 1 với... Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm 1.1 Thế ẩn tạo PTH mới: Ví dụ 1: Tìm f : ℝ \ {2} → ℝ thỏa mãn Lời giải: Đặt t =  2 x + 1  ⇒ MGT t = ℝ \ {2} (tập xác định của f) Ta   x ≠1 được: t +1 3t 2 − 3 x= thế vào (1): f ( t ) = ∀t ≠ 2 Thử lại thấy đúng 2 t−x (t − x ) Vậy hàm số cần tìm có dạng f ( t ) = Nhận xét: + Khi đặt t, cần kiểm tra giả thiết 3t 2 − 3 (t − x ) Chuyên đề: Phương trình hàm g (n1... hợp hàm f được xác định như sau f ( n) = 1, nếu n ≡ 0 (mod 4) f ( n) = −1, nếu n ≡ 2 (mod 4) f ( n) = 0 trong các trường hợp còn lại của n Kết luận: Vậy có 4 hàm số thoả mãn đề bài đó là f (n) = 0, ∀n ∈ Z f (n) = 1, ∀n ∈ Z f (n) = (−1) n nếu n > 0, n ∈ Z f ( n) = 1 nếu n = 0 - 18 - Chuyên đề: Phương trình hàm f ( 2) = − f (0) = −1 - 67 - Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương. .. chỉ cần xét hàm số trên tập N * Với n = 1 từ a) ta có f ( k + 1) + f ( k − 1) = 2 f (1) f ( k ) , ∀k ∈ N * (1) Ta đi xác định f (1) - 65 - Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 = 2( 2 đó là điều phải chứng minh Từ đó ta được f (4,1981) = 22 Chuyên đề: Phương trình hàm 2 − 3) + 3 − 3 = 22 2 − 3 với ( n + 4) số 2, Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Ví dụ... , có đạ hàm trên (a,b) Khi đó f ' (x ) = 0∀x ∈ (a, b ) ⇔ f ( x ) = c∀x ∈ [a, b] (c: hằng số) 3 Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b) Khi đó - 36 - vô lý do f (1) = 4 f (2) = 6 f (2) = 2 + Với r = 2 thì  PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI I Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa đạo hàm -Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) và x0 là một điểm thuộc khoảng đó Khi đó, đạo hàm của hàm số tại... cos y, ∀x, y ∈ ℝ Giả sử (1) đúng với n ∈ {− 2k ;−2k + 1; ;0;1; ;2k ;2k + 1} Hint: - 64 - - 21 - Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 1 Thế y → Chuyên đề: Phương trình hàm Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm Thật vậy có f ( 2, n + 1) = f (1, f (2, n)) = f (1,2n + 3) = 2n + 5, đó là điều phải chứng minh π 2 1 Thế y → y + Tính f (3, n) π 2 f (3,0) = f ( 2,1) . lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 1 - VỀ HAI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN Trần Xuân Đáng (Giáo viên trường THPT chuyên Lê Hồng Phong. Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 70 - Nhận xét : Một số phương trình hàm được giải bằng cách kết hợp nguyên lý quy nạp và nguyên lý thứ tự cùng với một số tính chất của hàm số, ta. Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm - 71 - L ạ i có nnbbnf == 2 )( nên 1 = b và .)( nnf = Hàm s ố tho ả mãn đề bài là ,)( nnf = .Nn ∈ ∀ IV. Sử dụng tính chất của hàm hoàn toàn