TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG I: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.                                           π ≠ π, ∈ . ≠ π ∈ π = + ≠ π, ∈ . = + ¢ ¢ ¢ k k           ≠ π ∈¢ ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = − = − − = − π  !"!#$%!&'$(  )&*! +,-   -              )!,! +, -   ( ) ( ) ( ) ( ) π = π − = − π = − π − = −  -         -      Trang 1 .)/!!+,                         π − π π     − = − =  ÷  ÷     π π     − = − =  ÷  ÷     TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 4. Hai góc hơn kém π : x và π +x ( ) ( ) ( ) ( )                π + = − π + = − π + = π + = 5. Hai góc hơn kém π  : x và π  +x π   + =  ÷   π   + = −  ÷   π   + = −  ÷   π   + = −  ÷                   III. Các công thức lượng giác: 1. Công thức cộng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = − = +  0 0-0  -0 00  0 00  -0 0-0 0  0  0 -0  -0  0 Trang 2 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 2. Công thức nhân đôi: = ⇒ − = − = − =                               -  3. Công thức nhân ba: = − . .  . .-1  .1  . 4. Công thức hạ bậc: ( ) ( ) ( ) ( )   . .           2   2      .-. 1    .. 1 + = + = = = = = 5. Công thức tính sinx, cosx, tanx theo t=tan   . +        -      - IV. Công thức biến đổi tích thành tổng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   + +     −     + −    0   0  -0    0  -0  0    0   0   0   Trang 3 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI V. Công thức biến đổi tổng thành tích: 0 -0 0 -0 0  0       0 -0 0 -0 -0-  -0      VI. Các kết quả thường áp dụng: π π     + =  ÷  ÷     π π     − =  ÷  ÷          - 1 1 -      1 1 CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 1. Công thức nghiệm: π ∈  ⇔  = π − + π ∈  π ∈  ⇔  = − + π ∈  ⇔ π ∈ ⇔ π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0  0  0    0  0  0    0 0  0 0  2. Các phương trình đặc biệt: ⇔ π ∈ π ⇔ + π ∈ π ⇔ + π ∈ ¢ ¢ ¢ 3         - -     π ⇔ π ∈ ⇔ π ∈ ⇔ π+ π ∈ ¢ ¢ ¢ 3         -    Trang 4 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI                 1 π   ⇔ −  ÷   π π π ⇔ = − + π ⇔ = + π ⇔ = + π ∈¢        1  3         1  3      π ⇔ + π ∈ ⇔ π ∈ π ⇔ + π ∈ π ⇔ + π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ 3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác : a. Dạng: + + + +       3   3   3   3 b. Cách giải: Đặt t=sinx, cosx, tanx, cotx. c. Chú ý: Nếu đặt t=sinx hoặc t=cosx thì điều kiện là: − ≤ ≤   . 4. Phương trình bậc nhất theo sin cà cos có dạng: asinx+bcosx=c . Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.  Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ .  Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ .  Pt 2 2 2 2 2 2 b c sinx+ osx= a a a c a b b b ⇔ + + + .  Do 2 2 2 2 2 2 b 1 a a a b b     ⇔ + =  ÷  ÷ + +      Nên đặt 2 2 2 2 os sin a c a b b a b α α  =  +    =  +  (hoặc ngược lại).  Pt trở thành: 2 2 2 2 c c sinx.cos +cosx.sin = sin(x+ )= a ab b α α ⇔ α + +  Giải pt tìm x. Trang 5 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 5. Phương trình đối xứng đối với cosx và sinx .  Dạng: ( ) +    3 . Cách giải: Đặt ( )      "2   #!0   1  π   ≤ ≤ −  ÷   Đưa pt đã cho về pt theo ẩn t.  Dạng: ( ) +  -  3 t= ( ) π   ≤ ≤ −  ÷     -  - "-   #!0   1  .  Chú ý: π π     + =  ÷  ÷     π π     − =  ÷  ÷          - 1 1 -      1 1 6. Phương trình đẳng cấp thuần nhất đối với sinx và cosx Dạng: + =       3 "4# Cách giải:  Xét xem π = + ∈¢ " #  có phải là nghiệm không.  Xét π ≠ + ∈¢ " #  , chia hai vế phương trình (*) cho cos 2 x, đưa phương trình đã cho về pt bậc hai đối với tanx. Chú ý:  Phương trình (*) có thể đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x bằng cách thay: ( ) ( )                   = + = − .  Pt dạng + =       5 có thể đưa về dạng (*) bằng cách thay d= ( )   5 5    = = + Trang 6 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI CHƯƠNG IV: CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải các phưong trình sau: 1/  .- Giải  . -  - .  .   -  .     . . .    -   -  . . . .    . .    . .       . π ⇔ π ⇔ π π π π ⇔ + = − π π π π     ⇔ = = π =  ÷  ÷     π π  − = + π  ⇔  π π  − = − + π   = π+ π   ⇔ ∈ π  = − + π  ¢ 2/ - . Giải - . -  .  . -    .    . . .      . .  . 6   . 6   .     7    6 π ⇔ π ⇔ = π π π π ⇔ − = π π π π π     ⇔ − = = − =  ÷  ÷     π π  − = + π  ⇔  π π  − = π− + π  6  π  = + π  ⇔ ∈  π  + π   ¢ Bài 2: Giải các pt sau: 1/ . .  .   .  1 + = .Đại học mở Hà Nội năm 2000. Giải ( ) ( ) ( ) ( ) . .  .   .   1    . ..  . .  -. 1 1 1 . ..  . .  -.  + = ⇔ + = ⇔ + = Trang 7 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI ( ) ( )     . . . . . .. . .  .  - .  . .- .    .- .  . .- .  .6  ..  .1  .    1       1   ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + ⇔ ⇔ ⇔ −   ⇔ = ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷   ⇔          1 8 π π ⇔ 2 = ± + π ⇔ = ± + π ∈¢ 2/ . .  1 .1 1− . Đại học Địa Chất. Giải . . .  1 .1 1 .  1 1  1 . .1- . - .  .           . . 6 − ⇔ − − ⇔ ⇔ ⇔ − π π π ⇔ −    . . 6    . 6     . 6 1 6   7     . 6 7 6 π π π ⇔ − π π   ⇔ − =  ÷   π π π π   − = + π = +   ⇔ ⇔ ∈   π π π π   − = π − + π = +     ¢ Trang 8 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 3/ .     .   + . Đại học ngoại thương. Giải Điều kiện:   3≠ (*). ( )   .     .   .     .     .      .       .      .    .     .    .     .    .     .   .   .   + ⇔ = + ⇔ + = + + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ ⇔  6     6 π π ⇔ = + π ∈¢ Nhận xét: 9    6 π = + π ∈m ¢ thỏa mãn điều kiện (*). Trang 9 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 4/    . 1 -  = . Cao đẳng hải quan. Điều kiện:  3   3  3 ≠  ⇔ ≠  ≠  (*). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    . 1   -      .         .    -        -     - .    .    .   ⇔ = +  ÷   + ⇔ = + − ⇔ = + ⇔ 3 = + ⇔ 3 = + ⇔ = − ⇔ = − ⇔    -  - 6  - 6 9 9     6 6 = − ⇔ π ⇔ π   ⇔ π  ÷   π π ⇔ ⇔ = + π ∈m ¢ Nhận xét: 9    6 π = + π ∈m ¢ thỏa mãn điều kiện (*). Trang 10 [...]... LIỆU THAM KHẢO ÔN THI ⇔ 2 s inxcosx+2cos 2 x − s inx­cosx=1 ⇔ sin2x+1+cos2x­ ( sinx+cosx ) = 1 ⇔ sin 2x + cos2x=sinx+cosx π π   ⇔ 2 sin  2x + ÷ = 2 sin  x + ÷ 4 4   π π   ⇔ sin  2x + ÷ = sin  x + ÷ 4 4   π π  2x + = x + + k2 π  4 4 ⇔  2x + π = π­  x + π  + k2 π   4 4÷     x = k2 π ⇔ ,k∈¢ x = π + k 2π 6 3  2 2 2 16/ sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 2 6x (Đại học – Cao đẳng...  x = k 9  π ⇔  sin9x=0 ⇔  9x = kπ ⇔  x = k ⇔ ,k∈¢   9 x = k π  2x = kπ  sin2x=0      2 x = k π   2  Trang 16 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 17/ s inx+ s in2x+ s in3x+ s in4x+ s in5x+ s in6x=0 Đại học sư phạm vinh 97 Giải s inx+ s in2x+ s in3x+ s in4x+ s in5x+ s in6x=0 ⇔ ( sin6x+sinx ) + ( sin 5x + sin 2x ) + ( sin 4x + sin 3x ) = 0 7x 5x 7x 3x 7x x cos + 2 sin cos... kiện (*) 3 3 1 3 7/ Cao Đẳng Hàng Hải + = 8 s inx s inx cosx Giải Điều kiện: sin 2x ≠ 0 Pt ⇔ cosx+ 3 s inx =8.sinx sinx.cosx ⇔ cosx+ 3 s inx=8sinxsinxcosx Trang 12 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI ⇔ cosx+ 3 s inx=4.sinx.2.sinx.cosx ⇔ cosx+ 3 s inx=4sinx.sin2x=4.sin2x.sinx 1 ⇔ cosx+ 3 s inx=4 ( cos(2x-x)-cos(2x+x) ) 2 ⇔ cosx+ 3 s inx=2 ( cosx-cos3x ) = 2cox-2cos3x ⇔ cosx­ 3 s inx=2cos3x 1 3... 0  x =  sin4x = 0 ⇔ sin 4x ( sin 4x − 1 ) = 0 ⇔  ⇔ sin4x = 1  x =   Trang 13 kπ 4 ,k∈¢ π kπ + 8 2 TRƯỜNG THPT TÂN AN 9/ 5s inx-2=3tan 2 x(1 − s inx) Khối B năm 2004 Giải TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 10/ (2cosx-1)(2s inx+cosx) = sin 2 x − s inx KD- 2004 Giải Pt ⇔ (2cosx-1)(2s inx+cosx) = 2s inx.cosx − s inx ⇔ (2cosx-1)(2s inx+cosx)=sinx(2cosx-1) ⇔ (2cosx-1)(2s inx+cosx)-sinx(2cosx-1)=0 2 sin... 2 x + 4 + 3cosx-4=0 ⇔ 4cos3 x − 8cos 2 x=0 ⇔ 4cos 2 x ( cosx-2 ) = 0  4cos 2 x=0 cosx=0 ⇔ ⇔ cosx=2 (loai) cosx-2=0 π ⇔ cosx=0 ⇔ x= + k π., k ∈ ¢ 2 Trang 14 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 2 2 12/ ( 1 − s inx ) sin x = ( 1 + cosx ) cos x Khối D - 2003 sin 2 x = 12 − cos 2 x = ( 1 − cosx ) ( 1 + cosx )  - HD:  2 2 2 cos x = 1 − sin x = ( 1 − s inx ) ( 1 + s inx )  ( 1 − s inx...TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI cos 2x = 3 + sin 4x  π Điều kiện: cos  x+ ÷ ≠ 0 (*) π 2 cos  x + ÷  4 4  cos 3 2x = 3 + sin 4x π  cos 2  x + ÷ 4  3 5/ ⇔ ( cos2x ) 3  π   cos  x + ÷  4    ( cos x-sin x... 3 + sin 4x 3 π ⇔ cos2x=cos 2 6 π π ⇔ 2x = ± + k2 π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ ¢ 6 12 π Nhận xét: x = ± + kπ, k ∈ ¢ thỏa mãn điều kiện (*) 12 ⇔ 2cos2x= 3 ⇔ cos2x= Trang 11 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 6/ s in2x ( cotx+tan2x ) = −1 Cao đẳng sư phạm TPHCM Giải cos2x ≠ 0 (*) sinx ≠ 0  Điề kiện:  s in2x ( cotx+tan2x ) = −1  cosx sin 2x  ⇔ sin 2x  + ÷ = −1  sinx cos2x  cos2x.cosx+sin2x.sinx...   x π  cos x = 0 ⇔ ⇔  = + kπ ⇔  x = π + k2 π , k ∈ ¢  2 2 2  π   1 2π 2π  x = ± + kπ  cos2x=­ = cos  2x = ± + k2 π 3    2 3 3   ⇔ 2 sin 18/ sin 3 x.cos3x+cos 3 x sin 3x = sin 3 4x Đại học nghoại thương TPHCM 1999 Giải 3 sin x.cos3x+cos 3 x sin 3x = sin 3 4x ( ) ( ) ⇔ sin 3 x 4cos 3 x − 3cosx + cos 3 x 3 s inx-4sin 3 x = sin 3 4x ⇔ 4 sin 3 x.cos 3 x − 3 sin 3 xcosx+3cos 3 x s inx-4sin... inx.cosx.cos2x=sin 3 4x 2 3 ⇔ sin 2x.cos2x=sin 3 4x 2 3 ⇔ sin 4x = sin 3 4x 4 ⇔ 3 sin 4x − 4 sin 3 4x = 0 ⇔ sin 3.4x = 0 ⇔ sin12x = 0 ⇔ 12x = kπ π ⇔x=k 12 Trang 17 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI Trang 18 ... 3  π ⇔ cos  x+ ÷ = cos3x  3 π  3x=x+ + k2 π  3 ⇔  3x = −  x+ π  + k2 π  3÷     ⇔ π   x = 6 + kπ ⇔ , k ∈ ¢ , thoa (*) π π x = − + k   12 2 5 5 8/ 4cos x s inx­4sin x.cosx=sin 2 x Đại hoc huế Giải ( ) ⇔ 4 sin xcosx ( cos x ) − ( sin x )  = sin 4x     ⇔ 2.2 sin xcosx ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x )  = sin   Pt ⇔ 4 s inxcossx cos 4 x − sin 4 x = sin 2 4x 2 2 2 2 2 2 . TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG I: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.         .  π   + = −  ÷                   III. Các công thức lượng giác: 1. Công thức cộng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = − = +  0 0-0 . = π − + π = +     ¢ Trang 8 TRƯỜNG THPT TÂN AN TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI 3/ .     .   + . Đại học ngoại thương. Giải Điều kiện:   3≠ (*). ( )   .     .