Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A. Phương pháp: Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm của mỗi hạng tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biển đổi đơn giản đã biết, sau đó áp dụng định nghĩa. B. Ví dụ: VD1: Tính tích phân 1 2x x 0 dx I e e = - ò . Giải : Biến đổi I về dạng 1 1 x x x x x x 0 0 [(e 1) e ]dx dx I e (e 1) e (e 1) + - = = + + ò ò = 1 x x 0 1 1 ( )dx e e 1 - + ò = 1 x x x x 0 1 e 1 e ( )dx e e 1 + - - + ò = 1 x x x 0 e (e 1 )dx e 1 - - + + ò = x x 1 0 ( e x ln e 1 ) - - - + + = VD2 : Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 2 3 1 x 2x I dx; x − = ∫ b/ x 4 4 0 J (3x e )dx.= − ∫ Giaûi: a/ Ta coù: 2 2 2 1 1 1 2 2 I dx ln | x | (ln2 1) (ln1 2) ln2 1. x x x = − = + = + − + = − ÷ ÷ ∫ 1 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH b/ Ta có: 4 x 2 4 0 3 J x 4e (24 4e) (0 4) 28 4e. 2 = − = − − − = − ÷ VD3 : Tính tích phân: 1 5 2 0 x I dx. x 1 = + ∫ Giải: Từ 5 3 2 2 x x (x 1) x(x 1) x.= + − + + Ta được: 1 1 3 4 2 2 2 0 0 x 1 1 1 1 1 I x x dx x x ln(x 1)] ln2 . 4 2 2 2 4 x 1 = − + = − + + = − ÷ + ∫ VD4 : Tính / 2 0 sinx dx. cosx sinx π + ∫ Giải: Ta có: sinx cosx sinx (A B)cosx (A B)sinx A B cosx sinx cosx sinx cosx sinx − + + − = + = ÷ + + + Đồng nhất đẳng thức, ta được: A B 0 1 A B . A B 1 2 + = ⇔ = = − − = Vậy: / 2 / 2 / 2 0 0 0 sinx 1 cosx sinx 1 1 dx dx x ln(cosx sinx) . cosx sinx 2 2(cosx sinx 2 2 4 π π π − π = − − = − − + = − + + ∫ ∫ C.Bài tập : Tính: 1) 2 4 2 4 2 sin tg x x π π − ∫ dx 2) 3 0 π ∫ ( cosxcos3x + sin4xsin3x) dx 3) 3 6 π π ∫ tg 2 x dx 4) 4 0 ∫ | x-2 | dx 5) 4 2 ∫ 2 6 9x x− + dx 6) 3 4− ∫ | x 2 -4 | dx 7) 3 4 4 π π ∫ cos2 1x + dx II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 2 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH 1) DẠNG 1 : Tính ( ) b a I f x dx= ∫ với giả thiết hàm số f(x) liên tục trên [a;b] A. Phương pháp: +) Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= (t=u(x) có đạo hàm liên tục, f(t) liên tục trên tập xđ của t) +)Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = +) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1 , ln x) x thì đặt t = lnx. +, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x). +, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu. Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý. B. Ví dụ: VD1 Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ò . Giải Đặt dx t ln x dt x = =Þ 2 x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t = = =Þ ò . Vậy I ln 2= . VD2 : Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) p = + ò . Hướng dẫn: 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (t an x 1) cos x p p = = + + ò ò . Đặt t tan x 1= + ĐS: 3 I 8 = . VD3 : Tính tích phân: 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ò . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3= + ĐS: 3 I ln 2 = . 3 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH VD4. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò . Hướng dẫn: Đặt 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1) - = Þ + + ò L ; đặt t t an u= L ĐS: I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. VD5 : : Tính tích phân : 7 3 3 2 0 x dx I 1 x = + ∫ Giải: Đặt 3 2 3 2 t x 1 t x 1,= + ⇒ = + khi đó: 2 2 3t dt 3t dt 2xdx dx . 2x = ⇒ = Đổi cận: x= 0 t = 1 x= 7 t 2 ⇒ ⇒ = Ta có: 3 3 2 3 4 3 2 x dx x .3t dt 3t(t 1)dt 3(t t)dt. 2xt 1 x = = − = − + Khi đó: 2 2 5 2 4 1 1 t t 141 I 3 (t t)dt 3 . 5 2 10 = − = − = ÷ ∫ C.Bài tập : Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ ; 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ ; 3) 4 2 0 sin4x dx 1 cos x π + ∫ ; 4) 1 3 2 0 x 1 x dx− ∫ . 5) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ ; 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ ; 7) e 1 1 ln x dx x + ∫ ; 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ . 9) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ ; 10) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ ; 11) 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π − + ∫ ; 12). 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫ ; 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x ; 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx . 4 TRN TH NHUNG TRNG CHUYấN LNG TH VINH 16) + 2 0 2 )sin2( 2sin dx x x ; 17) 3 4 2sin )ln( dx x tgx ; 18) 4 0 8 )1( dxxtg ; 19) + 2 4 2sin1 cossin dx x xx . 20) + + 2 0 cos31 sin2sin dx x xx ; 21) + 2 0 cos1 cos2sin dx x xx ; 22) + 2 0 sin cos)cos( xdxxe x ; 23) + 2 1 11 dx x x ; 24) + e dx x xx 1 lnln31 ; 25) + 4 0 2 2sin1 sin21 dx x x . 2) DNG 2: A. Phng phỏp: ( ) b a I f x dx= vi gi thit hm s f(x) liờn tc trờn [a;b] Cỏch thc hin: +) t dttdxtx )()( ' == ( trong ú ( )t l hm s c la chn thớch hp: nh ca ( )t nm trong tp xỏc nh ca f v ' ( )t liờn tc.) +) i cn : = = = = t t ax bx +) Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c [ ] = = dtttfdxxfI b a )(')()( (tip tc tớnh tớch phõn mi) Chỳ ý: * Nu f(x) cú cha: +, 2 2 n (a x )- thỡ t x a . sin t= vi t ẻ ; 2 2 - pp ộ ự ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ , hoc x a . cos t= vi [ ] t 0;ẻ p . +, 2 2 n (a x )+ thỡ t x a . tan t= vi t ; 2 2 - pp ổ ử ữ ỗ ẻ ữ ỗ ữ ố ứ , hoc x a . cot t= vi ( ) t 0;ẻ p . +, ( ) n 2 2 x a- thỡ t a x sin t = hoc a x cos t = . +, a x a x ; a x a x + - - + thỡ t x a cos2t= +, (x a)(b x)- - thỡ t x=a+(b-a)sin 2 t B. Vớ d VD1 :Tớnh tớch phõn 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ũ . Gii t x sin t, t ; dx cos tdt 2 2 p p ộ ự = - =ẻ ị ờ ỳ ở ỷ 5 TRN TH NHUNG TRNG CHUYấN LNG TH VINH 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = = = =ị ị 6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t p p = =ị - ũ ũ 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ũ . Vy I 6 p = . VD2: Tớnh tớch phõn 2 2 0 I 4 x dx= - ũ . Hng dn: t x 2 sin t= S: I = p . VD3:Tớnh tớch phõn 1 2 0 dx I 1 x = + ũ . Hng dn: t 2 x tan t, t ; dx (t an x 1)dt 2 2 ổ ử p p ữ ỗ = - = +ẻ ị ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =ị ị 4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 t an t p p + p = = =ị + ũ ũ . Vy I 4 p = . VD4:Tớnh tớch phõn 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ũ . Hng dn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ũ ũ . t x 1 t an t+ = S: I 12 p = . VD5 : Tớnh tớch phaõn : = 2 2 2 0 2 x I dx. 1 x Giaỷi: 6 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt .Đổi cận: với x= 0 t = 0 2 x= t 2 4 ⇒ π ⇒ = Lại có: 2 2 2 2 2 2 x dx sin t.costdt sin t.costdt sin t costdt 1 (1 cos2t)dt. cost cost 2 1 x 1 sin t = = = = − − − Khi đó: / 4 / 4 0 0 1 1 1 1 I (1 cos2t)dt t sin2t . 2 2 2 8 4 π π π = − = − = − ÷ ∫ VD6 : Tính tích phân : 2/ 3 2 2 dx I x x 1 = − ∫ Giải: Đặt 2 1 cost x , khi đó: dx dt sint sin t = = − Đổi cận: x= 1 t = 2 2 x= t 3 3 π ⇒ π ⇒ = Khi đó: / 2 / 2 2 / 2 / 3 / 3 / 3 2 1 costdt sin t dt t 1 6 1 sint 1 sin t π π π π π π − π = = = − ∫ ∫ VD7 : Tính tích phân : 0 a a x I dx, (a 0) a x + = > − ∫ Giải: Đặt x a.cos2t, khi đó: dx 2a.sin2tdt.= = − Đổi cận: x= -a t = 2 x=0 t 4 π ⇒ π ⇒ = Lại có: a x a a.cos2t dx ( 2a.sin2tdt) cott ( 2a.sin2tdt) a x a a.cos2t + + = − = − − − 2 4a.cos t.dt 2a(1 cos2t)dt.= − = − + 7 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Do đó: / 2 / 2 / 4 / 4 1 I 2a (1 cos2t)dt 2a t sin2t a 1 2 4 π π π π π = − + = − − = − ÷ ÷ ∫ . VD8 : Tính tích phân : / 3 2 / 6 cosdx I sin x 5sinx 6 π π = − + ∫ Giải: Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx Đổi cận: 1 x= t = 6 2 3 x= t 3 2 π ⇒ π ⇒ = Ta có: 2 2 cosdx dt dt (t 2)(t 3) sin x 5sinx 6 t 5t 6 = = − − − + − + A B [(A B)t 2A 3B]dt dt t 3 t 2 (t 2)(t 3) + − − = + = ÷ − − − − Từ đó: A B 0 A 1 2A 3B 1 B 1 + = = ⇔ − − = = − Suy ra: 2 cosxdx 1 1 dt. t 3 t 2 sin x 5sinx 6 = − ÷ − − − + Khi đó: 3 / 2 3 / 2 1/ 2 1/ 2 1 1 t 3 3(6 3) I dt ln ln t 3 t 2 t 2 5(4 3) − − = − = = ÷ − − − − ∫ C.Bài tập : Tính các tích phân sau: 1) 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 2) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 3) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 4) 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 5) 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 6) 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 7)) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 8) 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 9) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 10) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 11) 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 12) ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx 13) ∫ ++ 1 0 311 x dx 14) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx . III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: 8 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH A. Phương pháp: * Kiến thức: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu: dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx. * Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau: +, d(a.x b) d(a.x b) a.dx dx (a 0) a + + = =Û ¹ . +, x x x x d(ae b) d(ae b) ae .dx dx a.e + + = =Û . +, d(sinx) d(sin x) cos x.dx dx cos x = =Û ; d(cos x) d(cos x) sin x.dx dx sin x = - =Û - . +, dx d(ln x) . x = dx 1 d(a.x b) 1 ln(a.x b) a.x b a a.x b a + = = + + + . +, 2 2 2 2 x.dx d( x a ) x a + = + . B. Ví dụ 1 : Tính các tích phân sau: 1) 1 0 dx 2007.x 2008+ ò ; 2) 4 2 0 sin x.cos xdx; p ò 3) e x 2x 1 e .dx 4 3e- ò ; 4) 4 6 cot x.dx p p ò . C. Bài tập Tính các tích phân sau: 1) 1 2 3 0 2 1 x x+ ∫ ; 2) 1 2 3 0 ( ) 2 x x− ∫ dx; 3) 1 2 3 0 2 1 x x+ ∫ dx ; 4) 2 1 0 x xe dx ∫ ; 5) 3 1 2 1 x x e − − ∫ dx . 6) 1 2 ln e x x + ∫ dx ; 7) 2 1 ln e e dx x x+ ∫ ; 8) 3 3 0 sin cos x x π ∫ dx ; 9) 3 cos 0 sin x x e π ∫ dx ; 10) 1 x 0 dx 2e 3+ ò . IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: A. Phương pháp: Công thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: +) Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = +) Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Chú ý: 9 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH +)Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx= không quá phức tạp. +)Hơn nữa, tích phân b a vdu ò phải tính được. +)Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx ò thì đặt u ln x= . iii/ Nếu gặp b x a e .sin axdx a ò , b x a e .cos axdx a ò thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt x u e a = . B. Ví dụ: VD1:Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î (chọn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ ò ò . VD2Tính tích phân e 1 I x ln xdx= ò . Giải Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 ì ï = ï = ì ï ï ï ï Þ í í ï ï = ï ï î = ï ï î e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 + = - =Þ ò ò . VD3Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx p = ò . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx v e = = ì ì ïï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï î î 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J p p p p = = - = -Þ ò ò . 10 [...]... x) 2 VD5: Tính các tích phân 2p a) I = ò ln(sin x + 1 + sin 2 x )dx; 0 2008 p b) J = ò sin 2007 x.dx 0 VD6: Tính các tích phân sau: 1 x4 dx a) ∫ x 2 +1 −1 1 b) ∫ −1 π 1− x2 dx 1 + 2x c) sin 2 x ∫ 3x + 1 dx −π PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1 Dạng bậc lẻ với hàm sin Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân theo... dt a 1 ∫ td t 2 + 1 = 2(t 2 + 1) − 2 ∫ t 3 + 1 (Tích phân này dễ dàng tính được) 2 = BÀI TẬP Bài:1 Tính các tích phân sau: e2 A= ∫ 1 2 2 x + 5 - 7x dx x 2 B= ∫ x 2 -1 dx x C= ∫ 2 ln 2dx 0 -2 Bài2: Tính các tích phân sau: π 3 e A= ∫ e3 cos x sin xdx 0 2 3 ln 4 x dx x 1 B= ∫ C= ∫ 5 dx x x +4 2 2 x dx x -1 1 1+ D= ∫ Bài3: tính các tích phân sau: π 4 e sin(ln x) dx I= ∫ x 1 π 6 π 2 ln 5 dx L=... THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH 6 .Tích phân dạng: ∫ ax + b dx cx + d Với ( a.c ≠ 0) ax + b cx + d Cách 2: Đặt t = cx + d Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn 1 1+ x dx Ví dụ :Tính J = ∫ 3− x 0 dx Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t = 3 − x ⇒ dt = − 2 3− x dx ⇒ = −2dt 3− x Khi đó x = −t 2 + 3 ⇒ 1 + x = 4 − t 2 Cách làm: Cách 1: Đặt t = 1 Vậy J = ∫ 0 2 1+ x dx... THẾ VINH VD1: Tính tích phân I= 1/ 2 ∫ cos x.ln( −1/ 2 1− x )dx 1+ x Giải: nhận xét hs f(x) = cos x.ln( * Liên tục trên [-1/2;1/2] * f(x) +f(-x) = = 0 Theo tc 1 ta được I=0 1− x ) thỏa: 1+ x VD2 :Tính tích phân p 2 ò cos x ln(x + I= x 2 + 1)dx - p 2 VD3 Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = 2 - 2 cos 2x 3p 2 Tính tích phân I = ò f(x).dx - 3p 2 VD4: Tính tích phân p 2 p a)... 1 3 Tính L bằng cách đặt t − = tgu Ta có đáp số là: I = ln − 3 3 3 2 2 2 2 2 r p q 8 .Tích phân dạng: ∫ x (a + bx ) dx (p,q,r là các phân số) a)Nếu q ngun đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p r +1 b)Nếu ngun đặt a + bx p = t s với s là mẫu của phân số q p r +1 c) Nếu +q ngun đặt ax − p + b = t s với s là mẫu số của phân số q p dx Ví dụ1 :Tính I = ∫ 4 x ( x − 1) 3 −3 1 Viết tích phân cần tính. .. 2x 2 −2 1 − 2 x 2 2 −2 −2 ( Ax + B) dx 2 .Tích phân dạng: ∫ Với a.A ≠ 0 ax 2 + bx + c Cách làm: Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax 2 + bx + c ,một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số ( Ax + B )dx 2ax + b M dx dx + ∫ Tức là tách: ∫ = ∫ ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ( x + 4)dx Ví dụ 1 :Tính I = ∫ x 2 + 2x − 3 6dx 1 (2 x +... Ví dụ 1 :Tính I = 0 1 chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a) t dx x 2 + 2x + 2 1 Khi t Đặt x + 1 = x = 0⇒ t = 1 x = 1 ⇒t = dt Và dx = - 2 Ta có: I = t 3 Ví dụ 2 :Tính J = 1 ∫ 1 2 dt t +1 2 1 2 2 = ln t + t + 1 1 1 2 = ln 2(1 + 2) 1+ 5 dx ∫ ( x − 1) x2 +1 1 t +1 Đặt x-1 = ⇔ x = t t Khi 2 x = 2 thì t=1 1 x = 3 thì t = 2 dt và dx = - 2 t 1 dt − 2 1 2 1 dt t ∫ ∫ t2 + t + 1 Tích phân cần tính là:... Vậy I = 1 0 2 ỉ x2 ư ÷ = 2 + 5 + ç4x ÷ ç ÷ è 2 ø1 ln 3 2 2 5 + ln 3 2 III TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VƠ TỈ 1 .Tích phân dạng: ∫ dx ax + bx + c 2 (với a ≠ 0) Cách làm: 26 TRẦN THỊ NHUNG TRƯỜNG CHUN LƯƠNG THẾ VINH Biến đổi ax 2 + bx + c về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ ỉ p pư a) a 2 + t 2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với... et 0 1 = e − (e − 1) = 1 0 Vậy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e π 2x 2 VD 9 :Tính tích phân: I = ∫ e sin xdx 0 Giải: π 1 π 2x Biến đổi I về dạng: I = ∫ e sin xdx = ∫ e (1 − cos2x)dx 20 0 2x π • 2 (1) π 1 2x e2 π 1 = − Xét tích phân: I1 = ∫ e dx = e 2 2 2 0 0 2x (2) π • 2x Xét tích phân: I 2 = ∫ e cos2xdx 0 du = −2sin 2xdx u = cos2x ⇒ Đặt: 1 2x 2x dv =... Vậy I = 2 C Bài tập Tính tích phân 1) π 3 x + sin x ∫ cos2 x dx 0 1 2 2x 5) ∫ (x + 1) e dx 0 1 9)) ∫ xtg xdx 0 2 π 2 2) ∫ x sin x cos xdx 0 π 4 2 3) x(2 cos2 x − 1)dx ∫ 4) 0 2 6) ∫ (x ln x) dx 1 e π 2 e ln(1 + x) dx x2 1 ∫ 7)) cos x.ln(1 + cos x)dx 8) ∫ 0 ln x ∫ ( x + 1) 1 e 2 dx 1 2x 10) ∫ ( x − 2)e dx 0 IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp: a -Dạng 1:Nếu . VINH CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I.TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: A. Phương pháp: Phương pháp phân tích là việc sử dụng các đồng nhất thức để. BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT