Chuyên đề lượng giác luyện thi đại học môn toán (2)

13 652 0
  • Loading ...
1/13 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 08/09/2014, 20:39

Đây là bộ tài liệu luyện thi đại học cực hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 12 củng cố và nâng cao kiến thức, phục vụ tốt việc luyện thi đại học của bộ môn. Bên cạnh phần lí thuyết được hệ thống hóa một cách khoa học và dễ hiểu là phần bài tập thực hành với lời giải chi tiết cụ thể, không những giúp các thầy cô có căn cứ để hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh mà còn giúp cho các em tự học, tự kiểm tra và so sánh đối chiếu kết quả làm bài của mình khi không có sự trợ giúp của các thầy cô giáo.Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các em học sinh lớp 12 trong việc luyện thi đại học. 33 Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Đơn vò đo góc và cung: 1. Độ: bẹtgóc 0 1 Góc 180 1 = 2. Radian: (rad) ra d 0 180 π = 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Radian 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Đònh nghóa: 2. Đường tròn lượng giác : Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 DB, k , 2 2 - D 2k 2 2 B 2k x y (tia gốc) Z)(k 2),( ∈+= π α kOyOx + t (tia ngọn) O α . y x o 180 O + − x y O C A B D x y B α M α (điểm gốc) + t O A (điểm ngọn) π α 2kAB + = 34 III. Đònh nghóa hàm số lượng giác: 1. Đường tròn lượng giác: • A: điểm gốc • x ' Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y ' Oy : trục sin ( trục tung ) • t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác: a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x ' Ox vàø y ' Oy T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t ' At và u ' Bu Ta đònh nghóa: cos sin tg cot OP OQ A T gBU α α α α = = = = b. Các tính chất : • Với mọi α ta có : 1 sin 1 hay sin 1 αα −≤ ≤ ≤ 1 cos 1 hay cos 1 αα −≤ ≤ ≤ • tg xác đònh 2 k π α απ ∀≠ + • cotg xác đònh k α απ ∀≠ c. Tính tuần hoàn sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot k k tg k tg gk g α πα α πα α πα α πα += += += += )( Zk ∈ + − x y O C A B D 1 1 1 = R 1 − 1 − 'x 'u u t 't 'y y t 'u 't t x u 'y 'xO t 1− Q B T α M α A P U Trục cosin Trục tang Trục sin Trục cotang + − 35 IV. Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò đặc biệt -3 -1 -3 / 3 (Điểm gốc) t t' y y' x x' u u' -3 -1 -3 / 3 1 1 -1 -1 - π / 2 π 5 π /6 3 π / 4 2 π /3 - π / 6 - π / 4 - π / 3 -1/2 -2 / 2 -3 / 2 -1/2-2 / 2-3 / 2 3 / 2 2 / 2 1/2 3 / 2 2 / 2 1/2 A π /3 π / 4 π /6 3 / 3 3 B π / 2 3 / 3 1 3 O 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 360 0 Góc Hslg 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π π 2 sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 0 cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 1 tg α 0 3 3 1 3 kxđ 3− -1 3 3 − 0 0 cotg α kxđ 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3− kxđ kxđ + − 36 V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : va ø - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 π π − ,…) 2. Cung bù nhau : va ø - α πα ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 π π ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 π π ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 π π ,…) 5. Cung hơn kém π : và α πα + (Vd: 6 7 & 6 π π ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg α α α α αα α α −= −=− −=− −=− cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg π αα π αα πα α π αα − =− −= −=− −=− 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg gg π α α π α α π α α π α α −= −= −= −= cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg gg π α α π α α π α α π α α +=− += +=− +=− 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg gg π αα π αα πα α π αα +=− +=− += += Đối cos Bù sin Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang 37 Ví dụ 1: Tính ) 4 11 cos( π − , 4 21 π tg Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos() 2 cos( xxxA ++−++= ππ π VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: 22 cos sin 1 sin tg = cos cos cotg = sin αα α α α α α α += 2 2 2 2 1 1 tg = cos 1 1 cotg = sin tg . cotg = 1 α α α α αα + + Ví dụ: Chứng minh rằng: 1. 44 22 cos sin 1 2sin cos x xxx+=− 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ 2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos tg +tg tg( + ) = 1. tg tg tg( ) = 1. tg tg tg tg α βαβαβ α βαβαβ α βαββα α βαββα αβ αβ αβ αβ αβ αβ += − −= + += + −= − − − − + Ví dụ: Chứng minh rằng: π αα α π αα α += − −= + 1.cos sin 2 cos( ) 4 2.cos sin 2 cos( ) 4 3. Công thức nhân đôi: α αα α α α α α αα α α α =− =− =− =− = = − 22 2 2 44 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos sin sin2 2sin .cos 2 2 1 tg tg tg 2 2cos1 cos 2 α α + = 2 2cos1 sin 2 α α − = ααα 2sin 2 1 cossin = 38 4 Công thức nhân ba: 3 3 cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin α αα α αα =− =− 5. Công thức hạ bậc: α α α α α α α 2cos1 2cos1 ; 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos 222 + − = − = + = tg 6.Công thức tính sin ,cos ,tg α αα theo 2 ttg α = 2 222 21 2 sin ; cos ; 111 ttt tg ttt ααα − === + +− 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : [] [] [] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 α βαβαβ α βαβαβ αβ αβ αβ =++− =−−+ =++− Ví dụ: 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos = 2. Tính giá trò của biểu thức: 12 7 sin 12 5 cos π π =B 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos 22 cos cos 2sin .sin 22 sin sin 2sin .cos 22 sin sin 2cos .sin 22 sin( ) cos cos sin( ) cos cos tg tg tg tg α βαβ αβ α βαβ αβ α βαβ αβ α βαβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ + − += + − −=− +− += +− −= + += − −= 4 cos33cos cos 3 α α α + = 4 3sinsin3 sin 3 α α α − = 39 Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin + + = xA 9. Các công thức thường dùng khác: cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 44 cos sin 2 cos( ) 2sin( ) 44 π π αα α α π π αα α α += −= + −= +=− − 8 4cos35 sincos 4 4cos3 sincos 66 44 α αα α αα + =+ + =+ B. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có) Bước 4: Kết luận I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng ) u = v+k2 sinu=sinv u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v ) 2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k ) k π ππ π π π π π ππ ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ ⇔≠+ ⇔≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) Ví dụ : Giải phương trình: 1. sin3 sin( 2 ) 4 x x π =− 2. 4 3 cos) 4 cos( π π =−x 3. xx 2sin3cos = 4. 44 1 sin cos (3 cos6 ) 4 x xx+=− II. Các phương trình lượng giác cơ bản: 1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm ∈ ∀ ) * Gpt : sinx = m (1) • Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sin α và ta có x = +k2 (1) sinx=sin x = ( - )+k2 απ α π απ ⎡ ⇔⇔ ⎢ ⎣ * Gpt : cosx = m (2) 40 • Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm • Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có x = +k2 (2) cosx=cos x = +k2 β π β β π ⎡ ⇔⇔ ⎢ − ⎣ * Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈ ∀ ) • Đặt m = tg γ thì (3) tgx = tg x = +k γ γπ ⇔⇔ * Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm ∈ ∀ ) • Đặt m = cotg δ thì (4) cotgx = cotg x = +k δ δπ ⇔⇔ Các trường hợp đặc biệt: sin 1 x = 2 2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2 2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k 2 cos 1 x = 2 x k xk xk x k π π π π π π π π π π =− ⇔ − + ⇔ =⇔ + =− ⇔ + ⇔ =⇔ Ví dụ: 1) Giải các phương trình : a) = 1 sin2 2 x b) 2 cos( ) 42 x π −=− c) 03) 6 2sin(2 =+− π x d) 03) 3 cos(2 =−+ π x e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 2) Giải các phương trình: a) 44 1cos sin 2cos2 x xx+−= c) 024sin)cos(sin4 44 =−++ xxx b) 66 sin cos cos4 x xx+= d) 33 1 sin .cos cos .sin 4 xx xx − = e) 4) 2 .1(sincot =++ x tgtgxxgx 41 2. Dạng 2: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 0 cot cot 0 axbxc axbxc atg x btgx c agxbgxc ++= ++= ++= + += ( 0a ≠ ) Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta được phương trình : 2 0at bt c + += (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví dụ : a) 2 2cos 5sin 4 0xx+−= b) 5 cos2 4cos 0 2 xx − += c) 2 2sin 4 5cos x x=+ d) 2cos cos2 1 cos2 cos3 x xxx=+ + e) 44 1 sin cos sin2 2 xxx +=− f) 0)2 2 cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π g) 44 sin cos 1 2sin 22 x x x +=− h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx k) 0 sin22 cos.sin)sin(cos2 66 = − −+ x xxxx l) 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 3. Dạng 3: cos sin (1) ( a;b 0) axbxc+= ≠ Cách giải: • Chia hai vế của phương trình cho 22 ab + thì pt 22 22 22 (1) cos sin abc xx ab ab ab ⇔+= +++ (2) • Đặt 22 22 b cos và sin a a ab b α α == ++ với [ ) 0;2 α π ∈ thì : 22 22 c (2) cosx.cos + sinx.sin = a c cos(x- ) = (3) a b b αα α ⇔ + ⇔ + Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. 42 Chú ý : 222 Pt acosx + bsinx = c có nghiệm a bc ⇔ +≥ Ví dụ : Giải các phương trình : a) +=−cos 3sin 1xx b) 2sin3cos =+ xx c) 44 4(sin cos ) 3sin4 2xx x++ = d) x tgx cos 1 3 =− e) 3 1sincos2 2sincos 2 = −− − x x xx d. Dạng 4: 22 sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠ (1) Cách giải 1: p dụng công thức hạ bậc : 22 1cos2 1cos2 sin và cos 22 x x xx − + == và công thức nhân đôi : 1 sin .cos sin2 2 x xx= thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3 Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang ) Chia hai vế của pt (1) cho 2 cos x ta được pt: 2 0atg x btgx c++= Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem xk 2 π = +π có phải là nghiệm của (1) không? Ví dụ : Giải phương trình: 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx d. Dạng 5: (cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ += (1) Cách giải : • Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2 4 txx x t π =+= − ≤≤ Do 2 2 t1 (cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx= 2 xx xx − +=+ ⇒ • Thay vào (1) ta được phương trình : 2 1 0 2 t at b c − ++= (2) [...]... x + cos x) − 1 43 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau • Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản • Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số • Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau π 7x 3x x 5x 1) sin 2 x + 2 2 cos x + 2 sin( x + ) +... cos x.(2tg2 x − 1) = 2 DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số Sử dụng phương pháp sau • Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) • Chuyển phương trình về phương trình đại số • Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn • Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:...• Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: π 2 cos( x − ) = t tìm x 4 Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0 Chú ý : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1:... một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví dụ : Giải các phương trình : a cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 1 c 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = cos x 4 2 d sin x + cos 2 x = 2 * Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx 3 Ví dụ : Giải phương trình : a 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x 2 3 3 b sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 1 43 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG... sin 4 2 2 = 4) sin 2 x π 2 ) + cos 2 (3x − π 2 ) = 3 cos 1 + sin 2 x 2 sin ( x + 2 6) 2 sin x + cos x = sin 2 x + 1 π 4 π 6 5) cos 7 x + sin 8 x = cos 3 x − sin 2 x ) Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau x π x 8 sin 2 ( − ).tg2 x − cos2 = 0 2 4 2 2 cos x (cos x − 1) = 2(1 + sin x ) 9 sin x + cos x 1 10 tg2 x − tgx = cos x.sin 3 x 3 1 11 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = cos x cos 2 x 1 12 cot gx − 1... pt có dạng : Ví dụ : Giải phương trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết Ví dụ: Giải phương trình: 3 sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x − = 0 2 b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: ⎡ A=0 A.B . 4 3 π 6 5 π π π 2 II. Góc lượng giác & cung lượng giác: 1. Đònh nghóa: 2. Đường tròn lượng giác : Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: π π π π π ππ π π π k CA k C k A +→ → +→ +→ +→ → 2 . 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx 44 BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau • Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản • Biến đổi phương. t ' At : trục tang • u ' Bu : trục cotang 2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác: a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α . Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
- Xem thêm -

Xem thêm: Chuyên đề lượng giác luyện thi đại học môn toán (2), Chuyên đề lượng giác luyện thi đại học môn toán (2), Chuyên đề lượng giác luyện thi đại học môn toán (2)

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay