Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu này thuộc bản quyền của trường Đại học Công nghệ thông tin ĐHQG HCM Giáo viên trình bày: Đặng Lệ Thúy Nội dung: gồm 5 chương: Chương 1 : Phép tính vi phân hàm một biến Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến Chương 3 : Lý thuyết chuỗi Chương 4 : Phép tính vi phân của hàm nhiều biến Chương 5 : Ứng dụng của hàm nhiều biến
( 45 tit ) Chng 1 : Phép tính vi phân hàm mt bin Chng 2 : Phép tính tích phân hàm mt bin Chng 3 : Lý thuyt chui Chng 4 : Phép tính vi phân hàm nhiu bin Chng 5 : ng dng ca hàm nhiu bin TÀI LIU THAM KHO [1] Toán hc cao cp, tp 2&3, Nguyn ình Trí (ch biên), NXB Giáo dc, 2009 [2] Toán cao cp, Gii tích hàm mt bin & Gii tích hàm nhiu bin, Công Khanh (ch biên), NXB HQG TP.HCM, 2010 Chng 1. Phép tính vi phân hàm mt bin 1.1. Các khái nim c bn v hàm s mt bin 1.1.1. nh ngha. Cho X và Y là các tp hp khác rng. Mt ánh x t tp X vào tp Y là mt quy tc t tng ng mi phn t ca X vi duy nht mt phn t ca Y. Ký hiu là trong ó: y c gi là nh ca x qua ánh x f x c gi là to nh ca y qua ánh x f VD. là ánh x; không là ánh x (vì s 0 không có nh) 2 f : x x f : 1 x x f : X Y x y f x Nu ta có tp hp có không quá mt phn t (hoc ) thì f là n ánh. Nu ta có tp hp (hoc ) thì f là toàn ánh. Nu f va n ánh va toàn ánh thì f là song ánh . Tc vi mi , tn ti duy nht mt phn t sao cho f(x) = y. VD. là song ánh không n ánh, không toàn ánh 1 2 1 2 f x f x x x f X Y 3 f : x x 2 f : x x 1 f y y Y 1 f y x X f x y y Y y Y x X Cho là song ánh. Khi ó, vi mi , tn ti duy nht mt phn t sao cho f(x) = y. Ánh x t tng ng phn t y vi ngh ch nh x ca nó c gi là ánh x ngc ca f. Vy: (Ánh x ngc ca f c!ng là song ánh) Cho hai tp khác rng . Ánh x c gi là mt hàm s. Ký hiu y = f(x). Tp X c gi là tp xác nh ca f, ký hiu D f . Tp c gi là min giá tr ca f. X , Y f : X Y Y y f x x X f : X Y y Y x X 1 f : Y X 1 y Y , f y x f x y 1 f 1.1.2. Hàm s ngc nh ngha. Cho song ánh . Ánh x ngc ca f là gi là hàm s ngc ca hàm y = f(x), và vit là Nu là hàm s ngc ca hàm y = f(x) thì th ca chúng i xng qua "ng th#ng y = x. VD. f : X Y 1 f x y ; y Y 1 y f x x 1 2 f x 2 f x log x; x 0 > 1.1.3. Hàm s lng giác ngc Hàm s có hàm ngc là y sin x; x ; 1 y 1 2 2 y arcsin x; 1 x 1; y 2 2 Hàm s có hàm ngc là Hàm s có hàm ngc là Quy c: y cosx; 0 x ; 1 y 1 y arccosx; 1 x 1; 0 y y tan x; x ; ; y 2 2 y arctan x; x ; y ; 2 2 arctan 2 arctan 2 Hàm s có hàm ngc là Quy c: y cot x; x 0; ; y y arc cot x; x ; y 0; arctan arctan 0 1.2. Gii hn ca hàm s mt bin 1.1.1. nh ngha. Cho là tp s th$c. i%m x o c gi là im gii hn (hay im t) ca tp D nu trong mi khong u cha vô s các phn t ca tp D. VD. i%m t ca D là [0, 1] D có duy nht mt i%m t là 0 D có 2 i%m t là 1 và –1 o o x , x D D 0,1 1 D ; n n ! " # # # # $ % # # # # & ' n n 1 D 1 ; n n 2 ! " # # # # $ % # # # # & ' nh ngha 1. (theo ngôn ng “ ”) Cho hàm s y = f(x) xác nh trên tp và x o là i%m gii hn ca tp X. S c gi là gii hn ca hàm s f khi x dn n x o nu mà Khi ó ký hiu: hay khi Chú ý. Trong nh ngh&a không òi h'i hàm f phi xác nh ti x o . VD. mc dù hàm không xác nh ti x = 2. ( X l 0, 0 : x X )( o 0 x x f x l ( o x x lim f x l f x l o x x 2 x 2 x 4 lim 4 x 2 [...]... b 1f ng t$ 1f x dx a b lim F b F a thì F x dx a T , khi ó F x a F F a i v i các tích phân còn l i VD 1 Tính I 1 0 VD 2 Tính I 1 0 VD 3 Tính I dx 1 x2 arctan x 1 x 2 3/ 2 dx 1 e 1 dx ; (a > 0, x 2x cos xdx 0 VD4 Tính I a K t qu I 1 a ) c s d ng % kh o sát s$ h i t : dx ; (a > 0, x ) h i t n u > 1 và phân k1 n u 1 1 .1. 2 Các tiêu chu n h i t 1 Tr ng h p hàm không âm nh lý (Tiêu chu n so sánh 1) ... sin x log a 1 x sin x x2 Ch ng 2 Phép tính tích phân hàm m t bi n 1 TÍCH PHÂN SUY R0NG 1. 1 Tích phân suy r ng lo i m t (Tích phân v i c n vô t n) 1. 1 .1 nh trên /a, nh ngh a Cho hàm f xác , kh tích trên b m i o n /a, b 0, a 1f b Gi i h n lim b x dx (n u có) a tích phân suy r ng lo i m t c a hàm f trên /a, 1f a b x dx b lim c g i là 1f a x dx và ký hi u là: nh ngh&a t ng t$, ta c!ng có các tích phân... n) 1. 4 o hàm và vi phân hàm m t bi n (Xem giáo trình) M t s công th c 1) 2) 3) a * x o hàm c b n x a ln a 1 x ln a 1 * arcsin x 1 x2 loga x * 4) 5) arctan x * 6) arc cot x * 1 arccos x * 1 x2 1 x2 1 1 1 x2 1. 5 Công th c Taylor nh lý N u hàm f có o hàm n c p n + 1 trong lân c n c a i%m Khi ó ta có công th c Taylor c a hàm f * Trong ó: Rn(x – xo) nc pnt i là: ** c g i là ph n d th n, ta có: - 0 < - . nh. x x x 0 1 x x 0 x 0 1 x x 0 x 0 x 0 x 0 ln 1 x 1 1) lim 1 e 6) lim 1 x x tan x 2) lim 1 x e 7) lim 1 x 1 arcsin x 3) lim 1 x 8) lim 1 e x sin x arctan x 4) lim 1 9) lim x x , . 2 1 x 2 2 x 0 x 1 x 1 2 3 x 0 x 1 si 2 x 0 x 0 1 e cos x x 1) I lim 5) I lim x sin x arctan x sin e 1 ln 1 x tan x 2) I lim 6) I lim x sin x ln x ln cos x e 3) I lim 7) I lim ln 1 x . ca D là [0, 1] D có duy nht mt i%m t là 0 D có 2 i%m t là 1 và 1 o o x , x D D 0 ,1 1 D ; n n ! " # # # # $ % # # # # & ' n n 1 D 1 ; n n 2 !