Đang tải... (xem toàn văn)
kì thi học sinh giỏi môn toán 6 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...
thi hc sinh gii cp trng- Nm hc 2013-2014 PHềNG GIO DC V O TO PH Lí TRNG THCS KIM BèNH Kè THI HC SINH GII MễN TON 6 Ngy thi: 04 thỏng 3 nm 2014 Thi gian lm bi: 120 phỳt Cõu 1. (4 im) a) Tớnh N = 2 2 9 2 6 2 14 6 28 19 29 18 5.(2 .3 ) .(2 ) 2.(2 .3) .3 5.2 .3 7.2 .3 b) So sỏnh 2011.2012 1 2011.2012 v 2012.2013 1 2012.2013 ; 45 22 v 103 51 ; 2 225 v 3 151 Cõu 2. (4 im) a)Cho biu thc : 2 1 3 5 4 5 3 3 3 n n n A n n n + = + . Tỡm giỏ tr ca n A l mt s nguyờn b) Chứng tỏ rằng 230 112 + + n n là phân số tối giản. c) Chứng minh rằng : 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 100 1 <1 Cõu 3. (3 im) a)Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 + 2 11 + 2 12 - Chng t rng: A chia ht cho 7. - Tỡm ch s tn cựng ca A. b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, hỏi p 2 +2003 là số nguyên tố hay hợp số. Cõu 4 (2 im) : Tỡm s t nhiờn x,y bit : a) 1 1 1 1 1 2. 9.10 10.11 11.12 x(x 1) 9 + + + + = ữ + b) 2 x + 624 = 5 y Cõu 5 (4 im) a) Tỡm s t nhiờn cú 3 ch s, bit rng khi chia s ú cho cỏc s 25 ; 28 ; 35 thỡ c cỏc s d ln lt l 5 ; 8 ; 15. b) Vit thờm ch s y vo bờn phi ca mt s cú 5 ch s thỡ c s ln gp 3 ln s cú c do vit thờm ch s y vo bờn trỏi s ú. Tỡm ch s y v s cú 5 ch s ú ? Cõu 6. (1 im) Cho 101 đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Cõu 7. (2 im) Cho gúc AOB = 144 0 . Tia OC l phõn giỏc ca gúc AOB, v tia OM trong gúc AOB sao cho gúc BOM = 35 0 . a) Tớnh gúc MOC. b) Gi OB l tia i ca tia OB, ON l tia phõn giỏc ca gúc AOC. Chng minh OA l phõn giỏc ca gúc NOB. ====================================== GV: Phm Qunh Anh- THCS Kim Bỡnh Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1. Nội dung cần đạt Thang điểm 1a N = 18 18 12 28 14 6 28 19 29 18 5.2 .3 .2 2.2 .3 .3 5.2 .3 7.2 .3 − − 30 18 29 20 29 18 2 28 18 28 18 5.2 .3 2 .3 2 .3 (5.2 3 ) 2 2 2 .3 (5.3 7.2) 2 .3 (15 14) 1 − − = = = = − − 1b ViÕt ®îc: 2011.2012 1 1 1 2011.2012 2011.2012 − = − vµ 2012.2013 1 1 1 2012.2013 2012.2013 − = − V×: 1 1 2011.2012 2012.2013 > nªn 1 1 1 1 2011.2012 2012.2013 − < − hay 2011.2012 1 2011.2012 − < 2012.2013 1 2012.2013 − 101 51 45 22 101 51 45 22 101 51 102 51 2 1 44 22 45 22 − > − ⇒<⇒<==< 2 225 và 3 151 Câu 2. Nội dung cần đạt Thang điểm a/ 2 1 3 5 4 5 (2 1) (3 5) (4 5) 2 1 3 5 4 5 1 3 3 3 3 3 3 n n n n n n n n n n A n n n n n n + − − + + − − − + + − − + + = + − = = = − − − − − − A là phân số khi: n + 1 ∈ Z , n - 3 ∈ Z ⇔ n ∈ Z và n - 3 ≠ 0 ⇔ n ≠ 3 Vậy A là phân số khi ⇔ n ∈ Z và n ≠ 3 + − + = = = + − − − 1 ( 3) 4 4 1 3 3 3 n n A n n n A là số nguyên khi n – 3 ∈Ư(4) = { } 1;2;4; 1; 2; 4− − − => n ∈ { } 4;5;7;2;1; 1− b) Chøng tá r»ng 12 1 30 2 n n + + lµ ph©n sè tèi gi¶n. GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014 Gọi ƯCLN(12n+1,30n+2)=d Ta có ( ) ( ) 12 1 ;30 2 5. 12 1 2. 30 2 60 5 60 4 1 1 n d n d n n d n n d d d + + ⇒ + − + ⇔ + − − ⇔ ⇒ = M M M M M c) Chøng minh r»ng : 2 2 1 + 2 3 1 + 2 4 1 + + 2 100 1 <1 Câu 3. Nội dung cần đạt Thang điểm A = (2 + 2 2 + 2 3 ) +(2 4 + 2 5 + 2 6 ) + (2 7 + 2 8 + 2 9 ) + (2 10 + 2 11 +2 12 ) A = 2.(1+2+2 2 ) + 2 4 .(1+2+2 2 ) + 2 7 .(1+2+2 2 ) + 2 10 .(1+2+2 2 ) A = 2.7 + 2 4 .7 + 2 7 .7 + 2 10 .7 A = 7.( 2 + 2 4 + 2 7 + 2 10 ) Suy ra A chia hết cho 7 - Tìm chữ số tận cùng của A. 2A= 2 0 + 2+ 2 2 + … + 2 12 +2 13 13 4 3 2 2 1 (2 ) .2 1 ( 6).2 1 ( 2) 1 ( 1) A A A⇒ − = = − = − = − = − = Vậy CSTC của A là 1 b) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p 2 +2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè. Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 Nên p không chia hết cho 3 3 1; 3 2p k p k⇒ = + = + • Nếu p=3k+1 thì ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 . 3 1 1. 3 1p k k k k= + = + + + Vì ( ) ( ) 3 . 3 1 3;1. 3 1k k k+ +M không chia hết cho 3 nên p 2 không chia hết cho 3 Nên p 2 có dạng 2 2 3 1 2003 3 1 2003 3 2004 3.( 668) 3 p m p m m m = + ⇒ + = + + = + = + ⇒M p 2 +2003 Là hợp số • Nếu p=3k+2 thì GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 . 3 2 2. 3 2 3 . 3 2 2.3 4 :3(1) 3 1 p k k k k k k k p p m = + = + + + = + + + ⇒ ⇒ = + 2 2 3 1 2003 3 1 2003 3 2004 3.( 668) 3 p m p m m m = + ⇒ + = + + = + = + ⇒M p 2 +2003 Là hợp số Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 thì p 2 +2003 Là hợp số Câu 4 (3 điểm) : Câu Nội dung cần đạt Thang điểm 4a 1 1 1 1 1 2. 9.10 10.11 11.12 x(x 1) 9 1 1 1 2. 9 x 1 9 2 2 1 9 x 1 9 2 1 x 1 18 x 17 x 1 9 + + + + = ÷ + − = ÷ + − = + = ⇒ + = ⇒ = + b) Nếu x = 0 thì 5 y = 2 0 + 624 = 1 + 624 = 625 = 5 4 ⇒ y = 4 ( y ∈ N) (0,5 đ) Nếu x ≠ 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y ∈ N : vô lý (0,25 đ) Vậy: x = 0, y = 4 (0,25 đ) 5 Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra (x 20) 25 + M và (x 20) 28 + M và (x 20) 35 + ⇒ M x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (0,5 đ) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 ( ) k N∈ . (0,5 đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 ≤ ⇒ + ≤ ⇒ k = 1 (0,5 đ) ⇒ x + 20 = 700 ⇒ x = 680. (0,5 đ) b) Gọi số có 5 chữ số phải tìm là abcde ( 9;;;;;;;;;;0 ≤∈≠ edcbaNedcbaa ) Ta có yabcdeabcdey .3= Đặt xabcde = ta có 10x + y = 3. ( 100 000 y + x ) GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014 7x + y = 300 000y 7x = 299 999y x = 42 857y Vì x là số có 5 chữ số nên y chỉ nhận 2 giá trị : y = 1 và y = 2 Nếu y = 1 thì x = 42 857 Nếu y = 2 thì x = 85 714 Nội dung cần đạt Câu6 qua 1 điểm bao giờ cũng vẽ được 1 đường thẳng nên +chọn 1 điểm trong n điểm cho trước( trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng) thì ta sẽ vẽ được n đường thẳng + n-1 điểm thì ta sẽ vẽ được n-1 đường thẳng. Nhưng số điểm đã được tính 2 lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là ( ) . 1 2 n n − Nếu có 108 đường thẳng thì ta có ( ) ( ) . 1 108 2 . 1 2.108 14.13 14 n n n n n − = − = = ⇒ = Vậy có 15 điểm Thang điểm Câu 7 a, Vì OC là tia phân giác của góc AOB nên · · · 0 0 144 72 2 2 AOB AOC BOC= = = = Lập luận để có tia OM nằm giữa hai tia OB, OC. Từ đó · MOC = 72 0 -35 0 = 37 0 b, Ta có · 'AOB = 180 0 - · AOB = 180 0 – 144 0 = 36 0 · AON = · 0 0 72 36 2 2 = = AOC Tia OA nằm giữa hai tia ON và OB’. Vậy tia OA là tia phân giác của góc NOB’ GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình A B’ O B M CN . THCS Kim Bỡnh Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1. Nội dung cần đạt Thang điểm 1a N = 18 18 12 28 14 6 28 19 29 18 5.2. thi hc sinh gii cp trng- Nm hc 2013-2014 PHềNG GIO DC V O TO PH Lí TRNG THCS KIM BèNH Kè THI HC SINH GII MễN TON 6 Ngy thi: 04 thỏng 3 nm 2014 Thi gian lm bi: 120 phỳt. gi¶n. GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014 Gọi ƯCLN(12n+1,30n+2)=d Ta có ( ) ( ) 12 1 ;30 2 5. 12 1 2. 30 2 60 5 60 4 1 1 n d n d n n d n n d d d + + ⇒