CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Bài Tính tích phân sau : ∫(x a 2 + x + 1) dx d x ∫1 x + dx − g ∫( −1 )( ∫ e (x ) ∫( x h + 4) x −2 x + x − x + dx  3 x +1  ∫  x + x + e ÷dx  1 b 2 ∫ c e  + x ÷dx  ) + x x + x dx i ∫( ) x + x − 4 x dx e2 x2 − 2x k ∫ dx x3 1 1  ∫ x + x + x  f dx x −1 dx x2 x + − 7x l ∫ dx x m  ∫  4x −   ÷dx x2  GIẢI ∫(x a 1 2   1  19 + x + 1) dx =  x + x + x ÷ =  + + ÷−  + + 1÷ = 3 1   3  2 1  1 e7 − 3e4   1  8  b ∫  x + + e3 x +1 ÷dx =  x + 3ln x + e3 x +1 ÷ =  + 3ln + e7 ÷−  + e ÷ = + 3ln + x 3  3  3 1   1 2 x −1 1 1 1   c ∫ dx = ∫  − ÷dx =  ln x + ÷ = ln + − = ln − x x x  x 1 2  1 2 x d ( x + 2) 1 1 d ∫ dx = ∫ = ln ( x + ) = ln − ln = ln 2 −1 x +2 −1 x + 2 2 −1 −1 e ∫ (x + 4) x2 −2 −1 −1 −1 x8 + x + 16 16   1  dx = ∫ dx = ∫  x + x + ÷dx =  x + x + 16 ln x ÷ = x x  7  −2 −2 −2  e e 1 1  e3    x + + + x ÷dx =  x + ln x − + x ÷ = e + − + ∫ x x x 1 e   1 f g ∫( )( h ∫( i ∫( ) x + x − x + dx = ∫ 2 ( ) 2  +3 x + dx =  x + x ÷ = 5 1 3   1  71 3 3 x + x x + x dx = ∫  x + x + x ÷dx =  x + x + x ÷ = + + 1 60  3 1 2 ) 1   2 3 16  x + x − x dx = ∫  x + x − x ÷dx =  x + x − x ÷ =  3 1 1 ) x2 − 2x 2 1   k ∫ dx = ∫  − ÷dx =  ln x + ÷ = ln − 3 x x x  x  11  Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH e2 e e x + − 7x   dx = ∫  + − ÷dx = x + 5ln x − x = e − 7e + x x x  1 8    1  −2  m ∫  x − ÷dx = ∫  x − x ÷dx =  x − x ÷ = 125 3  3 x2    1 1 l ∫ ( ) Bài Tính tích phân sau a ∫ x + 1dx ∫ xdx d 2 1− x ∫ e x2 x ( x + 1) 3 2 dx x+2 − x−2 ∫ b c ) + x x + x dx dx ∫( x ∫x f x + 9dx GIẢI 2 ∫ x + 1dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = a dx =∫ x+2 − x−2 b ∫ 2 c ∫( ∫ ) ( ) ) ) ( ) 1+ x ∫ x x + 9dx = ∫ ( x + ) d ( x + ) = ( x + ) ∫ ( 2 ) x2 3 dx = ∫ + x d f ) 3 2  x + 2) + ( x − 2)  = 7 + 3 − ( 43  2   1 4 7 33 x + x x + x dx = ∫  x + x + x ÷dx =  x + x + x ÷ = − + + 1 20   1 1 xdx = −∫ d − x2 = − − x2 = 1− x e ) x + + x − dx = ( d ( ( 3−2 = ( + x3 = + x3 22 = 2 2 34 −1 = Bài Tính tích phân sau π π π  a ∫ sin  x + ÷dx 6  π d ∫ π g t anx dx cos x dx ∫ + s inx π k ∫ ( t anx-cotx ) dx − π b ∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx π π e h c ∫ ( sin 3x + cos2x ) dx ∫ tan π π π π xdx − cosx ∫ 1+cosx dx π π i π  sin  − x ÷ 4  dx l ∫ π  π + x÷ − sin  4  ∫ sin 2 x + ) dx x cos xdx π Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 ∫ ( cot f π m ∫ cos xdx CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIẢI π π a π π   ∫ sin  x + ÷dx = − cos  x + ÷0 = −     ( ) 3− =0 π π 2 3 π2  b ∫ ( 2sin x + 3cos x + x ) dx =  −2 cos x + 3sin x + x ÷ = − + π 18  π 3 π π  6 + c ∫ ( sin 3x + cos2x ) dx =  − cos3x+ sin x ÷ =  0 π d ∫ π e π 3π t anx 2 dx = ∫ ( t anx ) d ( t anx ) = ( t anx ) 04 = cos x 3 π π π   3 tan xdx = 3∫  − 1÷dx = ( t anx-x ) π = 3 − − ∫  π π  cos x 4 π π π ∫ ( cot f π π   −2  π    x + ) dx = ∫   − 1÷+ ÷dx = ∫  − ÷dx = ( x − cot x ) π = + − sin x    π   sin x π  π  2  ÷ dx x  g ∫ =∫ d  tan ÷ = −  =1 x÷ + s inx  2 x   + t an ÷ 1 + t an ÷  0 2  π π π π   x π 2sin  ÷ − cosx x  2 −π dx = h ∫ dx = ∫ ∫  x − 1÷dx =  tan − x ÷0 = 1+cosx x   0 cos  cos ÷   π π π π π 1  − cos4x  1 2  π  i ∫ sin x cos xdx = ∫ sin 2 xdx = ∫  dx =  x − sin x ÷ =  + ÷ ÷ 40 0 8  0   2 π k π 2cos2x ∫π ( t anx-cotx ) dx = ∫π − sin x dx = − − 6 π ∫ − π π − d ( sin x ) = − ln sin x 3π =0 − sin x π π π  sin  − x ÷ π 2 d ( cosx+sinx ) cosx-sinx  4  dx =  l ∫ dx = ∫ = ln cosx+sinx 2π = − ln ∫π  cosx+sinx ÷ − cosx+sinx π    π π + x÷ − sin  − − 2 4  π π π π 14 1 1   3π m ∫ cos xdx = ∫ ( + cos x + cos4x ) dx =  x + 2sin x + sin x ÷ =  + − ÷ = ( 3π + ) 80 8 4  32 0  Bài Tính tích phân sau : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH d ( e + e− x ) e −e e2 + x −x a ∫ x − x dx = ∫ x − x = ln e + e = ln e +e e +e 2e 0 −x x x x +1 2 x +1 x dx = d ( x + ln x ) = ln x + ln x = ln ( + ln ) b ∫ dx = ∫ ∫ x + ln x x + x ln x x + ln x 1 1 2 ( e x − ) ( e x + ) dx = e x − dx = e x − x = e − e2 x − c ∫ x dx = ∫ ) ( )0 ∫( e +2 ex + 0 ln ex dx = ex + ∫ d  e− x e x 1 − ∫  x ∫ e +1 x = ln e x + ln = ln − ln 2  1  dx = ∫  e x − ÷dx = ( e x − ln x ) = e − e − ln ÷ x  1 e d ( e x + 1) ln x  e  x  ex e e f ∫ x dx = ∫  ÷ dx =  ÷  = − 2    0   π π 0 π cosx cosx cosx ∫ e s inxdx=-∫ e d ( cosx ) = − ( e ) = e − g ∫ h e x x ( ) = 2( e ) dx = ∫ 2d e x x = ( e2 − e ) e ∫ i e e + ln x 2 e dx = ∫ ( + ln x ) d ( ln x + 1) = ( + ln x ) 21 = 2 − x 3 ( ) e e ln x 1 k ∫ dx = ∫ ln xd ( ln x ) = ( ln x ) = x 2 1 x ∫ xe dx = l ( ) x2 e = ( e − 1) ( + e x − e x ) dx = 1 − e x  dx = x − ln + e x =1 − ln + e + ln = + ln m ∫ dx = ∫ ( ) ∫  1+ ex ÷ + ex + ex 1+ e  0 0 II TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng 1.( Đặt ẩn phụ ) Bài Tính tích phân sau 1 b ∫ 1 1 19  20 21  19 ∫ x ( − x ) dx = ∫ x ( − x ) dx =  20 x − 21 x ÷0 = 20 − 21 = 420   0 a x3 (1+ x ) dx Đặt : t = + x ⇒ dt = xdx ⇔ ∫ x xdx (1+ x ) ( t − 1) 1  = ∫ dt =  + ÷ = − 21 t  t 2t 1 16 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH c x ∫ 1+ x d x xdx 2 Đặt : ( t − 1) dt =  t − +  dt =  t − 2t + ln t 2 = ln − x +1 ⇔∫ ÷  ÷ ∫ 2 2t t 22  1 1 dx = ∫ x + = t ⇒ dt = xdx; x = t − xdx t −1 dx ∨ x = x = → t = 1; x = → t = Đặt : t = x + ⇒ dt = 2x +1 2x +1 ∫ ∫ Do : d xdx = 2x +1 ∫ (t − 1) 11  dt =  t − t ÷ = 23 1 e ∫x − x dx Đặt : t = − x ⇒ x = − t ⇔ xdx = −tdt ; x = → t = 1; x = → t = 0 1 1 3 2 ∫ x − x dx = −∫ t dt = ∫ t dt =  t ÷0 =   Do : e ∫x f − x dx Đặt : t = − x ⇒ x = − t ⇔ xdx = −tdt ; x = → t = 1; x = → t = Vậy : ∫ g 1 1 4 2 2 ∫ x − x dx = ∫ x − x xdx = −∫ ( − t ) tdt = ∫ ( t − t ) dt =  t − t ÷0 =   0 dx x x2 + xdx ∫ = x2 x2 + Đặt : t = x + ⇒ x = t − 4; ⇔ xdx = tdt ; x = → t = 3; x = → t = ∫ Vậy : h x5 + x3 ∫ + x2 ∫ Vậy : ln i ∫ ∫ ( e x + 1) e dx = ln ∫ d ( 1+ ex ) 1+ ex ∫ (e ∫ x ( x + ) xdx x + 1) − + x2 =∫ = ln + e x ln (t − 1) ( t + 1) t 2 1  1  15 dt = ∫  t − ÷dt =  t − ln t ÷ = − ln t 4 1 1 = ln − ln ln   x d ( e + 1) =  ( e + 1)  = − 2  0 x + ln x dx dx Đặt : t = + ln x → t − = ln x; ⇒ 2tdt = ; x = → t = 2, x = e → t = 2x x ∫ e Vậy : ∫ e m ln e x dx l + x2 ex dx =¬ + ex ln k dx Đặt : t = + x → x = t − 1; ∨ xdx = tdt.x = → t = 1; x = → t = x5 + x3 4 tdt 1 1  t −1 1 2 =∫  − =  ln − ln ÷ = ln ÷dt = ln 2  t −1 t +1  t +1   10 ( t − 1) t =∫ x2 x2 + xdx ∫ + ln x dx = 2x 3 3−2 1 3 ∫ t.tdt =  t ÷ =   + 3ln x 3dx ln xdx Đặt : t = + 3ln x ↔ t − = 3ln x; 2tdt = ; x = → t = 1; x = e → t = x x Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH e Vậy : e ∫ π n ∫ Vậy : 2 + 3ln x dx t −1 2 21  116 ln xdx = ∫ ln x + 3ln x = ∫ t tdt = ∫ ( t − t ) dt =  t − t ÷ = x x 3 91 95 1 135 t = cos x + 4sin x ⇒ t = cos x + 4sin x; ⇔ 2tdt = 3sin xdx; x = sin x dx Đặt : π → x = 0; x = → t = cos x + 4sin x π 2 2 2 2  dx = ∫ tdt = ∫ dt =  t ÷ = t 31  0 cos x + 4sin x sin x ∫ π cosxsin x Đặt : t = + sin x ⇒ dt = sin xdx;sin x = t − 1; x = → t = 1; x = π → t = o ∫ dx + sin x π π 2 Vậy : ∫ cosxsin x dx = ∫ sin x.sin22 xdx = ∫ ( t − 1) dt = ∫ 1 −  dt = ( t − ln t ) = − ln  ÷ + sin x + sin x 21 t 21 t 2 2 π π sin xdx Đặt : t = 2sin x + cos x ⇒ dt = sin xdx; x = → t = 1; x = → t = ∫ 2sin x + cos x p Vậy : π 5 sin xdx dt = ∫ = ln t 14 = ln ∫ 2sin x + cos2 x t 2.Dạng Bài Tính tích phân sau phương pháp dổi biến số dạng 2 a ∫ dx − x2 π Đặt : x = sin t ⇒ dx = costdt;x=0 → t=0;x= → t = ; − x = − sin t = cost ( Do π π π dx costdt π  π t ∈ 0;  ⇔ ∫ =∫ = ∫ dt = ( t ) 06 =  6 − x cost 0 x3 b ∫ dx − x2 π Đặt : x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt ; x = → t = 0; x = → t = ; − x = cos t ⇔∫ π π π π ( 2sin t ) cos tdt = sin t sin tdt = − cos 2t d −cost =  cos3t − cos t  = − 3 x dx = ∫ )  ) ( ÷ ∫ ∫( cos t 3 0 − x2 0 3 c ∫x − x dx π π 2 • Đặt : x = 2sin t ⇒ dx = cos tdt ; x = → t = ; x = → t = ; − x = cos t Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Vậy : ∫x π π d ∫x π   2π − x dx = ∫ 4sin t.2 cos t.2 cos tdt = ∫ 4sin 2tdt = ∫ ( − cos4t ) dt =  2t − sin 4t ÷ = −  π π π π 2 π 2 6 dx +3 • Đặt : x = tan t ⇒ dx = π dt; x = → t = 0; x = → t = ; x + = ( + tan t ) cos t π π π   dx 3dt π =∫ =∫ dt =  2  t÷ = ÷ + cos t ( + tan t )  0 1 dx   e ∫ = ∫ − ÷dx = I − J ( 1) x +1 x +  ( x + 1) ( x + ) 0 • ∫x dx Đặt : x +1 π x = tan t ⇒ dx = dt ; x = → t = 0, x = → t = ;1 + x = + tan t cos t • Tính : I = ∫ π π π dt π dt = ∫ dt = ( t ) 04 = 2 cos t ( + tan t ) ⇒J =∫ dx dt π • Tính : J = ∫ x + Đặt : x = tan t ⇒ dx = x = → t = 0; x = → t = cos t π π 3 π  3 π dx 3dt • Vậy : I = ∫ = ∫ =∫ dt =   t÷ = ÷ x + cos t ( + tan t )  0 • Do : I-J= f ∫x π π − xdx + x2 + 1 xdx dt • Đặt : x = t ⇒ dt = xdx; x = → t = 0; x = → t = ⇒ ∫ x + x + = ∫ t + t + = I 0 • Tính : I =∫  1  3 ÷ t + ÷ +   2   dt Đặt : t + = 3 tan u ⇒ dt = du 2cos 2u • π π  1  3 ⇔ t + ÷ +   ÷ = ( + tan u ) ; t = → u = ; t = → u = ÷  2   Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π • ∫ g π π  3 π 3 I=∫ du = du =  ∫  u ÷π = ÷ 3 π π 2cos u   ( + tan u ) 6 dx x2 + 2x + −1 • Ta có : x + x + = ( x + 1) + ⇒ x + = tan t → dx = dx ∫ • Vậy : π −1 x2 + 2x + =∫ dt cos 2t + tan t π dt π ; x = −1 → t = 0; x = → t = cos t π 1 dt = ∫ cost 0  − tan   =∫ dt t t ÷ cos 2 π π t   tan + tan +  ÷  1 t π ⇔ −2 ∫  − = ln = ln tan = ÷d  tan ÷ = ln t t t π 2  tan − tan + ÷  tan − tan −  2  π • x2 − dx x3 ∫ h π  x =1 → t = cost cost π π  ; x2 −1 = • Đặt : x = sin t ⇒ dx = − sin 2t dt →  t ∈  ;  ⇒ sin t , cost>0 sint   x = → t = π   ∫ • Vậy : i π π dx ∫ ( 1+ x ) x = → t = dt ; • Đặt : x = tan t → dx = cos 2t →  x = → t = π  • ⇒∫ k π x −1 cost cost + cos2t 1 2 π + dx = ∫ − dt = − ∫ dt = −  t − sin 2t ÷ = 3 x sin t 2 π π sint   π  ÷ 4  sin t  ∫x π dx ( 1+ x ) (1+ x ) = cos 3t π π dt =∫ = ∫ costdt = ( sin t ) 04 = cos t 0 cos3t dx x2 −1 π  x = → t = cost cost ; x2 −1 = • Đặt : x = sin t → dx = − sin 2t dt ; →  sint x = → t = π  3  Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ∫ • Vậy : 2 l x2 ∫ 1− x 2 π π π cost π π π  =∫ − dt = − ∫ dt = ( −t ) π = −  − ÷ = − 3 6 x x − π cost sin t π 6 sin t sint dx dx  x=0 → t=0  • Đặt : x = sin t ⇒ dx = costdt ⇔  π; x= →t =   2 • Vậy : ∫ m π − x = cost π π sin t − cos2t 1 4 π − dx = ∫ costdt= ∫ dt =  t − sin 2t ÷ = cost 2 0 − x2 0 x 2 2 x − x dx = ∫ x − ( x − 1) dx ∫x 2 0 π  x = → t = −  x = + sin t → x − x = cost • Đặt : x − = sin t ⇒  dx = costdt ; ⇔   x = → t = π   • π π π 2  + cos2t  1    ∫ x − ( x − 1) dx = ∫π ( + sin t ) cost.costdt= ∫  − cos td ( cost ) ÷  t + sin 2t − cos t ÷ −π =   π  − 2 2 III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài Tính tích phân sau π a ∫ x sin xdx π b ∫ xcos x dx e ∫ xe dx h π k ∫e 3x sin xdx o ∫x ∫ x tan xdx l ln xdx p 2x dx i ∫e m ∫ ln ( x 2 − x ) dx e cosx sin xdx ln x ∫ x dx e Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 ∫ ln xdx e ∫ ( x − 2) e f 2 ∫ x ln xdx π e ∫ x cosxdx π e ln x c 0 g π π2 d ∫ ( x + sin x ) cosxdx 2π q ∫ x( e −1 2x ) + x + dx CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIẢI π ∫ x sin xdx a • Đặt : π π π u = x → du = dx π 1 1  → ∫ x sin xdx = − xcos2x + ∫ cos2xdx= sin x 04 =  dv = sin xdx → v = − cos2x 2 4 0  π π π π b ∫ ( x + sin x ) cosxdx = ∫ x cos xdx + ∫ sin xcosxdx=I+ sin x = I + ( 1) 3 0 0 π 2 π π π π π π Ta có : I = ∫ x cos xdx = ∫ xd ( s inx ) = x sin x − ∫ s inxdx= + cosx = − 2 0 0 Thay vào (1) : π π π ∫ ( x + sin x ) cosxdx = − + = − 2π ∫ x cosxdx c 2π ∫ x cosxdx = 2π ∫ 2π   2π 2π 2π 2π − ∫ x sin xdx = ∫ xd ( cosx ) =  x cos x − ∫ cosxdx  0 0     x d ( sinx ) = x s inx  2π  =  2π − s inx  = [ 2π − ] = 4π 0  π2 d ∫ xcos x dx • Đặt : t = x → dt = x dx → 2tdt = dx.x = → t = 0; x = π2 π →t = • Vậy : π2 ∫ π π π π π2 π π2 2 xcos x dx = ∫ 2t costdt= ∫ 2t d ( sin t ) = 2t sin t − ∫ 4t sin tdt = sin − J = − J (1) 2 0 0 π   π  π  π     0 + sin t  = −4 • Tính : J = ∫ 4t sin tdt = −4  ∫ td ( cost )  = −4 t cos t + ∫ costdt  = −4     0 0 0         π • Vậy thay vào (1) ta có : π2 ∫ 10 xcos x dx = π2 +4 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Vậy : ⇒ I = J + K = d ) ( ) ( ) ( 2 ∫ ln x + + x dx = ∫ ln x + + x dx + ∫ ln x + + x dx = J + K −1 −1 ) ( 0 • Tính : J = ∫ ln x + + x dx Đặt : t = -x , suy : dt = - dx Cho nên : −1 • ( J = ∫ ln x + + x −1 ) dx = −∫ ln(−t + ( 1 + t )dt = ∫ − ln t + + t ) dt = −∫ ln ( x + ) + x dx = − K • Vậy : I = J + K = e x dx x dx x dx =∫ +∫ ∫1 x − x + −1 x − x + x − x + = J + K − x dx ∫ x − x + Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Cho nên : −1 0 1 x dx −t dt t dt x dx J=∫ = −∫ =∫ =∫ =K x − x +1 t − t + t − t + x − x2 + −1 • Tính : J = • x dx • Vậy : I=J+K=2K= 2∫ x − x + Đặt : 1  du = xdx du du u = x2 ⇒  ⇔K =∫ = ∫ 2 2 u − u +1   x = → u = 0; x = → u = 1  3 ÷ u − ÷  2     π dt  du = 2cos t ⇔K= ∫ dt = • Đặt : u − = tan t ⇒  π 2cos 2t + tan t π π  − ( ) u = → t = − ; u = → t =  π 12 3 π π • Vậy : K = ∫ dt = t π = Do : I = K = π − − 6 1 4 x + s inx x + s inx x + s inx f ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K 2 x +1 x +1 x2 + −1 −1 π • Tính : J = x + s inx ∫1 x + dx Đặt : t = -x , suy : dt = -dx − • Do : J = • 48 x + s inx t − s int x − s inx dx = − ∫ dt = ∫ dx ∫1 x + t +1 x4 +1 − 1 1 x − s inx x + s inx 2x dx dt ⇒J +K =∫ dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫ =∫ =H 4 x +1 x +1 x +1 x +1 t +1 0 0 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π du π π  π 4  dt = cos 2u du π ⇔H =∫ = ∫ du = u = • Đặt : t = tan u ⇒  2 t = → u = 0; t = → u = π cos u ( + tan u ) 0   π • Vậy : I = Bài Tính tích phân sau : π sin x dx + cosx ∫ a − π π b d x4 ∫ x + dx −1 π e xdx ∫ − sin − ∫ −1 π 2 c x ∫ − − x2 dx + 2x f π x + cosx dx 4-sin x ∫ (e −1 x dx + 1) ( x + 1) GIẢI π a ∫ − π sin x sin x sin x dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K + cosx + cosx + cosx π − • Tính : K= π − sin x dx Đặt : t = -x suy : dt = -dx + cosx b π − π 2 • Tính : xdx ∫ − sin π sin ( −t ) sin x sin t sin x dx = − ∫ dt = − ∫ dt = − ∫ dx = − K + cosx + cost + cosx + cos ( −t ) π 0 • Vậy : I=J+K =0 π π 5 ∫ − ∫ K= • π x = xdx ∫ − sin − π π 2 xdx ∫ − sin J= − x π π −tdt +∫ xdx =J +K − sin x x Đặt t = -x suy : dt = -dx , π −tdt xdx • J = − ∫ − sin t = ∫ − sin t = − ∫ − sin x = − K ⇒ I = J + K = π 0 π c ∫ − π x + cosx dx = 4-sin x ∫ − π • Tính : J= ∫ − π π x + cosx x + cosx dx + ∫ dx = J + K 4-sin x 4-sin x x + cosx dx Đặt t = -x suy : dt = -dx , 4-sin x Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 49 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π −t + cos(-t) −t + cost π − x + cosx • J = ∫ − sin (−t ) (−dt ) = ∫ 4-sin 2t dt = ∫ 4-sin x dx π 0 π π π π π − x + cosx x + cosx 2cosx  d ( s inx ) d (s inx  + x dx + ∫ dx = ∫ dx = ∫  − ã J +K = ữ = ln 4-sin x 4-sin x − sin x  − s inx 2+sinx  2 − x 0 0 4+π • Vậy : I= = ln −π 1 x x4 x4 d ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = J + K +1 +1 +1 −1 −1 0 • Tính : J = x4 ∫1 2x + dx Đặt : t = -x suy : dt = -dx , − J= • 1 x4 (−t ) 2t t 2x x4 dx = ∫ − t − dt = ∫ t dt = ∫ x dx ∫1 2x + 1 + +1 +1 − 0 1 2x x4 x4 1 I = J +K =∫ x dx + ∫ x dx = ∫ x dx = x5 = +1 +1 5 0 • e ∫ −1 1 − x2 − x2 − x2 dx = ∫ dx + ∫ dx = J + K + 2x + 2x + 2x −1 0 • Tính : J = ∫ −1 • J=∫ −1 − x2 dx Đặt t = -x , suy : dt = -dx Cho nên + 2x 0 1 − (−t ) − x2 2x − x2 dx = ∫ J = − ∫ dt = ∫ J = ∫ dx + 2x + 2− t + 2x −1 −1 1 2x − x2 − x2 ⇒I =J +K =∫ dx + ∫ = ∫ − x dx x x 1+ 1+ 0 • ∫ * Ta tính : − x dx cách : π π  dx = costdt;1-x = − sin t = cos 2t 12 x = sin t ⇒  ⇔ I = ∫ cos 2tdt = ∫ ( + cos2t ) dt • Đặt :  x=0 → t=;x=1 → t= π 20   π 1 π  • Vậy : I =  t + sin 2t ÷ =   1 dx dx dx f ∫ x =∫ x +∫ x = J +K 2 −1 ( e + 1) ( x + 1) −1 ( e + 1) ( x + 1) ( e + 1) ( x + 1) dx • Tính : J = ∫ e x + x + Đặt : t = -x ,suy : dt = -dx Cho nên )( ) −1 ( 50 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 −dt et dt e x dx J = ∫ −t =∫ t =∫ x 2 ( e + 1) ( t + 1) ( e + 1) ( t + 1) ( e + 1) ( x + 1) •   ex dx x ữdx = + x ã Vậy : J + K = ∫  2 ( e + 1) ( x + 1) ÷ x +  ( e + 1) ( x + 1)  π   dx = cos 2t dt dx dt x = tan t ⇒  ⇒I =∫ = • Tính : ∫ x + Đặt : cos t ( + tan t )  x = → t = 0; x = → t = π   π π π • Vậy : I= ∫ dt = t = 0 Bài Tính tích phân sau : π π d ∫ − π 1 x2 + b ∫ dx + 2x −1 sin x a ∫ x dx +1 −π π s inxsin3xcos5x dx + ex e ∫ − π c −1 sin x + cos x dx 6x + ∫(4 π f ∫ − π x dx + 1) ( x + 1) x s inx dx 1+2x GIẢI π a π 2 sin x sin x sin x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = J + K x +1 +1 +1 −π −π ∫3 Nếu áp dụng toán dạng ( Như tập : 1-2 ) Thì ta viết gọn lại sau : π a π π sin x ∫π 3x + dx = ∫ sin xdx = ∫ ( − cos2x ) dx = − 0 1 π π  x − sin x ÷ = 2 2  1 x2 + 1 1 b ∫ dx = ∫ ( x + 1) dx =  x + x ÷ = + = x 1+ 3 0 −1 1 dx dx c ∫ x =∫ 2 x + Đặt : −1 ( + 1) ( x + 1) • π   dx = cos 2t dt dt x = tan t ⇒  ⇒I =∫ = cos 2t ( + tan t )  x = → t = 0; x = → t = π   π d ∫ − π π π π π Vậy : I= ∫ dt = t = 0 π 2 s inxsin3xcos5x 1 1  dx = ∫ s inxsin3xcos5xdx= ∫  cos3x+ cos7x- cosx- cos9x ÷dx x 1+ e 4 4  0 π 1 1 1 146 1  ⇔ I =  sin x + sin x − s inx- sin x ÷ = − − − = 28 36  12  12 28 36 369 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 51 CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π π π π sin x + cos x 5π − 5  5  6 e ∫ dx = ∫ ( sin x + cos x ) dx = ∫  + cos4x ÷dx =  x + sin x ÷ = x +1 8 32 32  8  π 0 − π ∫ f − π π   π x s inx   dx = ∫ x s inxdx=- ∫ x d ( cosx ) = −  x cosx − ∫ x cos xdx  = − ( − K ) = K x 1+2 0   0   π 2 π π π π π π π π - Tính : K = ∫ x.cosxdx= ∫ x.d (s inx)=x.sinx − ∫ s inxdx= + cosx = − 2 0 0 π 2   - Vậy : I = K =  − 1÷ = π −  Bài Tính tích phân sau : π a ∫ cos cos x dx ( n ∈ N * ) x + sin n x b n π d π n π sin x ∫ cos x + sin 7 π 2010 sin x ∫ sin 2010 x + cos2010 x dx e x dx c ∫ s inx dx sinx + cosx π cos x ∫ sin x + cos x dx f sin x ∫ sin x + cos6 x dx GIẢI  dt = − dx π cos n x  a ∫ dx ( n ∈ N * ) Đặt : t = − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = n n cos x + sin x  2 π π π π  cos n  − t ÷ 2 sin n t sin n x 2  ⇔ I = −∫ =∫ n dt = ∫ n dx ⇒ sin t + cos n t sin x + cos n x   n π n π π sin  − t ÷+ cos  − t ÷dt 2  2  π π π π I = ∫ dx = x = ⇔ I = 0 Tương tự cách làm phần a Các phần sau có kết π π π sin x π b ∫ dx ⇒ I = ∫ dx = x = 7 cos x + sin x 0 π c ∫ 52 π ⇔I= π s inx π dx ⇒ I = ∫ dx = x = sinx + cosx 0 π ⇔I= π Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π π π sin x π d ∫ 2010 dx ⇒ I = ∫ dx = x = 2010 sin x + cos x 0 2010 π π π cos x π e ∫ dx ⇒ I = ∫ dx = x = sin x + cos x 0 π ⇔I= π sin x π f ∫ dx ⇒ I = ∫ dx = x = sin x + cos x 0 π π ⇔I= π ⇔I= π Bài Tính tích phân sau : π x + cosx b ∫ dx 4-sin x π d π π x.s inx a ∫ dx 4-cos x c 2π ∫ x.cos xdx e ∫ ln ( + t anx ) dx π f 0  + s inx  ∫ ln  1+cosx ÷dx   ∫ x.sin xdx GIẢI π a x.s inx ∫ 4-cos x dx 0  dx = − dt ( π − t ) sin ( π − t ) • Đặt : t = π − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = ⇒ I = − ∫ − cos π − t dt = ( )  π π π s inx x.s inx π ⇔ I =π∫ dx − ∫ dx = π J − I ⇒ I = π J ; ⇔ I = J • 2 4-cos x 4-cos x 0 π π s inx d (cosx)  d (cosx d (cosx  cosx-2 π =∫ = ∫ − = ln ÷ = ln 2 4-cos x cos x − 4  cosx-2 cosx+2  cosx+2 π π • Vậy : I = ln = ln 2 π x + cosx b ∫ dx ( Sai đề ) 4-sin x π • Tính : J = ∫ π c  + s inx  ∫ ln  1+cosx ÷dx    π   dx = − dt 1 + sin  − t ÷ π    −dt ⇒ I = ∫ ln  ( ) • Đặt : t = − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = π   1+cos  − t π  ÷  2      • π π −1  + cost   + s inx  ⇔ I = ∫ ln  dt = ∫ ln  ÷ ÷ dx = − I ⇒ I = 0; I =  1+sint   1+cosx  0 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 53 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π d ∫ ln ( + t anx ) dx  dx = − dt π  π  t = −x⇒ ⇒ I = ∫ ln 1 + tan t ữữ( dt ) ã t : x = → t = ; x = → t =    π  4 π π π π  ÷dx = ∫ ln 2.dx − ∫ ln ( + t anx ) dx = ln − I  + t anx  0 • ⇒ I = ∫ ln 1 + − t anx  dx = ∫ ln      1+tanx  π π π • Vậy : I = ln ⇒ I = ln 2π e ∫ x.cos xdx 0  dx = − dt • Đặt : t = 2π − x ⇒  x = → t = 2π ; x = 2π → t = ⇔ I = ∫ ( 2π − t ) cos ( 2π − t ) ( −dt ) =  2π 2π 2π 2π 3 • ⇔ I = 2π ∫ cos xdx − ∫ x.cos xdx = 2π ∫ ( cos3x+3cosx ) dx − I 0 • Vậy : I = π 2π π 1  2π ∫ ( cos3x+3cosx ) dx =  sin 3x + 3sin x ÷ =   π f ∫ x.sin xdx 0  dx = −dt • Đặt : t = π − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = ⇔ I = ∫ ( π − t ) sin ( π − t ) ( − dt )  π π π π ππ ⇔ I = ∫ ( π − x ) sin xdx = π ∫ sin xdx − ∫ x sin xdx = ∫ ( 3sin x − sin x ) dx − I • 40 0 • Vậy : I = ππ π π π ∫ ( 3sin x − sin 3x ) dx =  −3cos x + cos3x ÷ = 80   Bài Tính tích phân sau : π a π d π xdx ∫ + s inx b x.s inx ∫ 2+cos x dx ∫ sin x.ln(1 + t anx)dx e x.s inx ∫ 9+4cos2 x dx GIẢI a xdx ∫ + s inx 0  dx = − dt ( π − t ) ( −dt ) t =π −x⇒  ⇔I =∫ • Đặt : x = → t = π , x = π → t = π + sin ( π − t ) 54 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 x.s inx ∫ 1+cos x dx π π π c π f ∫ x.s inx.cos xdx CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π • π b π π dx xdx I =π∫ −∫ =π∫ + s inx + s inx 0 π x π π π dx − I ⇒ I = tan  − ÷ = + x π 2 4 cos  − ÷ 2 4 x.s inx ∫ 2+cos x dx 0  dx = − dt ( π − t ) sin ( π − t ) ( −dt ) • Đặt : t = 2π − x ⇒  x = → t = π , x = π → t = ⇔ I = ∫ + cos ( π − t )  2π π π π π d ( cosx ) s inx x sin x π I = −π ∫ dx − ∫ dx = π ∫ − I ⇒ I = ln ( + cos x ) = • 2 2-cosx + cos x + cos x 0 π c x.s inx ∫ 1+cos x dx Giống cách giải câu b.(Học sinh tự giải ) π d ∫ sin x.ln(1 + t anx)dx  dx = − dt π π   π   • Đặt : t = − x ⇒  x = → t = π ; x = π → t = ⇔ I = ∫ sin  − t ÷ln  tan  − t ÷ ( − dt )      π  4 • π π π ln I = ∫ sin x ( ln − ln(1 + t anx ) dx = ln ∫ sin xdx − I ⇒ I = sin xdx ∫ 0 π ln ln • Vậy : I = − cos4x = π e x.s inx ∫ 9+4cos x dx 0  dx = −dt ( π − t ) sin ( π − t ) ( −dt ) t =π −x⇒  ⇔I =∫ • Đặt : + cos ( π − t ) x = → t = π ; x = π → t = π π π π π s inxdx x.s inx d (cosx) π • ⇔ I = π ∫ 9+4cos x − ∫ 9+4cos x dx = −π ∫ + cos x − I ⇒ I = − ln ( + cos x ) = 0 0 π f ∫ x.s inx.cos xdx 0  dx = − dt t =π −x⇒  ⇔ I = ∫ ( π − t ) sin ( π − t ) cos ( π − t ) ( − dt ) • Đặt : x = → t = π ; x = π → t = π π π π 0 • ⇔ I = π ∫ s inx.cos xdx − ∫ x.s inx.cos xdx = −π ∫ cos x.d ( cosx ) − I • π 1 π π ⇒ I = −  cos5 x ÷ = 5 0 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 55 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài Tính tích phân sau π a s inx ∫ sinx-cosx dx b ∫ cos e π d π π s inx ∫ sinx+cosx dx c x.sin xdx x.sin xdx e− x ∫ e x − e− x dx −1 ex ∫ e x − e− x dx −1 2 ∫ 2sin f GIẢI π a s inx ∫ sinx-cosx dx π π π π 2 −cosx π s inx+cosx J =∫ dx ⇒I + J = ∫ dx = x = ; I − J = ∫ dx • Chọn : sinx-cosx s inx-cosx 0 0 π π d ( s inx-cosx ) = ln s inx-cosx = • ⇔ I −J =∫ s inx-cosx 0 π  π I + J = 2⇒I= • Vậy :  I − J =  π π s inx cosx dx Chọn : J = ∫ dx sinx+cosx sinx+cosx 0 b I = ∫ π π π π d ( s inx+cosx ) π = ln cosx+sinx = • I + J = ∫ dx = x = ; J − I = ∫ s inx+cosx 0 0 π  π I + J = ⇒I= • Vậy :  J − I =  π π c I = ∫ 2sin x.sin xdx Chọn : J = ∫ cos x sin xdx • • π π π I + J = ∫ ( sin x + cos x ) sin xdx = ∫ sin xdx = −cos2x = 0 π 2 π π π J − I = ∫ ( cos x − sin x ) sin xdx = ∫ cos2x.sin2xdx= ∫ sin xdx = − cos4x = 0 0 2 • Vậy : I=1 56 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π d ∫ cos x.sin xdx Giải giống 6-c Ta có kết : I = ex e− x dx Chọn : J = ∫ − x − x dx ∫ e x − e− x e −e −1 −1 e 1 x d ( e x − e− x ) 1 e + e− x I + J = ∫ dx = x = I − J = ∫ x − x dx = ∫ = ln e x − e − x =0 x −x −1 −1 e −e e −e −1 −1 −1 • • Vậy : I=1 e− x f ∫ x − x dx ( Cách giải giống câu e ) e −e −1 BÀI TẬP ƠN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau a ∫ x − x dx b 2 x7 ∫ + x8 − x4 dx c − x + dx  x −1  d ∫  ÷ dx x+2 −1  ∫x dx e ∫ x + 2x + −1 f x3 + x + x + dx ∫ x2 + GIẢI a ∫x − x dx Bằng cách xét dấu ta thấy : f ( x ) = x − x > 0, ∀x ∈ [ 1; 2] ; f ( x ) < 0∀x ∈ [ 0;1] 2   4 2 Vậy : I = ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx =  x − x ÷ +  x − x ÷ =  4 1 2 1 1 3 x7 x x3 dx x d ( x ) b ∫ dx = ∫ = ∫ + x8 − x 4 ( x − 1) 2 ( x − 1) 81 81 81 t = x → dt = x 3dx tdt  dt dt  ⇔I= ∫ = ∫ +∫  • Đặt :  16 ( t − 1) 16 t − 16 ( t − 1)   x = → t = 16, x = → t = 81   1  81  1 • I = ln t − − t −  16 =  ln 80 − ln15 − 80 + 15 ÷     3 3 c ∫ x − x + dx = ∫ ( x − 1) dx = ( x − 1) = 3 1 d  x −1  ∫1  x + ÷ dx  −  2   x −1   • Nhận xét : f ( x) =  x + ÷ = 1 − x + ÷ = − x + +     ( x + 2) Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 57 CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH   • Vậy : I =  x − ln x + − x + ÷ −1 = − ln   39 dx dx e ∫ =∫ x + x + −1 ( x + 1) + −1 ( 3)  π π dt  dx = dt 36 cos t ⇒ I = 3∫ = dt • Đặt : x + = tan t ⇒  cos 2t.3(1 + tan t ) ∫ π  0  x = −1 → t = 0, x = → t =  π π • Vậy : I = = 18 2 x + 2x + 4x +   f ∫ dx = ∫  x + + ÷dx x +4 x +4  0 • dx 16 1 2 I =  x + 2x ÷ + ∫ = +J 2  0 x +4 π π  4  dx = cos 2t dt dt ⇒ J = 2∫ = ∫ dt • Đặt : x = tan t →  2  x = → t = 0, x = → t = π cos t.2 ( + tan t )   π π 16 π • Vậy : J = t = ; ⇒ I = + Bài Tính tích phân sau : a ∫ ( x + − x − ) dx −1 d b xdx ∫ ( x + 1) dx ∫ x2 + 5x + e x3 ∫ x + dx xdx ∫ ( x + 1) c f xdx ∫ 1+ x GIẢI a ∫ ( x + − x − ) dx Bằng cách xét dấu : f ( x ) = x∀x ∈ [ −1; 2] ; f ( x ) = 4∀x ∈ [ 2;5] −1 −1 2 - Vậy : I = ∫ xdx + ∫ 4dx = x + x = − + 20 − = 15 −1   x+  ÷ dx 1 = ln b ∫ = ∫ − ÷dx = ln x + 5x + 2  x + x + ÷ x+2 2   1 x x d(x ) c ∫ dx = ∫ x +1 x +1 58 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 tdt   • Đặt : t = x ⇒ x = → t = 0; x = → t = ⇔ I = ∫ t + = ∫ 1 − t + ÷dt  0 • Vậy : I = ( t − ln t + ) = − ln   1  1 1 = ∫ − + ÷dx =  − ∫ ( x + 1)  ( x + 1) ( x + 1) ÷  x + ( x + 1)  =      1  xdx 1  1  e ∫ = ∫ − dx =  ln x + + = ln − 2 x + 1   ( x + 1)   x + ( x + 1)   1 1 xdx d ( 1+ x ) f ∫ = ∫ = ln ( + x ) = ln 2 2 1+ x 1+ x 1 xdx d Bài Tính tích phân sau : d ∫ x5 + x3 x +1 x a ∫ dx x −1 x+ ∫x b 2dx x+5 +4 + x dx c e ∫ −1 − xdx dx ∫x f ∫ x4 x5 + dx GIẢI a ∫ x+ x dx x −1 1  dx = 2tdt t −1  1 t = x −1 ⇒ x = t −1 ↔  ⇔I =∫ 2tdt = t ữdt ã t : t 1+1 t  x = → t = 0, x = → t = 0 1 1 • Vậy : I =  t − ln t ÷ =1   b ∫ x + x dx = ∫x + x xdx  xdx = tdt ⇔ I = ∫ ( t − 1) t dt • Đặt : t = + x ⇒ x = t − ↔  x = → t = 1, x = → t =    58 • Vậy : I = ∫ ( t − t ) dt =  t − t ÷ = 15   2 c ∫x − xdx −2  dx = −2tdt t = 1− x ⇒ x = 1− t2 ↔  ⇔ I = ∫ ( − t ) t ( −2tdt ) • Đặt :  x = → t = 0, x = → t = −2 0 112 1 5 • Vậy : I = ∫ ( t − t ) dt =2  t − t ÷ −2 = − 15   −2 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 59 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH d ∫ x + 2x x2 + ∫ dx = x ( x + ) xdx 2 x2 +  x = t − 1; xdx = tdt ( t − 1) ( t + 1) t.2tdt = 2 t − tdt ⇔I =∫ • Đặt : t = x + ⇒  ∫( ) t  x = → t = 1, x = → t = 1    59 • Vậy : I =  t − t ÷ =   e 2dx x+5 +4 ∫ −1 3  x = t − 5, dx = 2tdt 2.2tdt   t = x+5 ⇒  ⇔I =∫ = 4∫ dt ữ ã t : t+4 t+4  x = −1 → t = 2, x = → t = 2 • Vậy : I = ( t − ln t + ) = + ( ln − ln ) = + ln 2 d ( x + 1) dx = ∫ = x +1 = 5 x5 + x5 + f x4 ∫ ( ) 33 − Bài Tính tích phân sau : b d ∫ ∫ x − x dx a ∫ + x x dx c e ∫x − x dx ∫x x + 3dx 0 xdx 2+ x + 2− x ∫x + xdx −1 f GIẢI a ∫x − x dx = ∫ x − x xdx 0  x = − t ; xdx = −tdt 2 ⇔ I = ∫ ( − t ) t ( −tdt ) = ∫ t ( t − 2t + 1) dt • Đặt : t = − x ⇒  x = → t = 1, x = → t =  1 31 • Vậy : I =  t − t + t ÷ = 105   b ∫ + x x dx = ∫x + x xdx 2  x = t − 1; xdx = tdt t = + x2 ⇒  ⇔ I = ∫ ( t − 1) t.tdt = ∫ ( t − t ) dt • Đặt :  x = → t = 1, x = → t = 1    58 • Vậy : I =  t − t ÷ = 15   c ∫x − x dx 60 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π π  dx = 2costdt ; − x − cost 2 x = 2sin t ⇒  ⇔ I = ∫ 4sin t.2 cos t.2 cos tdt = ∫ 4sin 2tdt • Đặt :  x=0 → t=0.x=2 → t= π 0   π π π   • Vậy : I = ∫ ( − cos4t ) dt =  t − sin 4t ÷ =   2 d ∫ xdx = ∫ 2+ x + 2− x - Vậy : I = ( ) + x − − x dx = 1 1 ( + x ) − ( − x )  dx  ∫  3 2  22 + x) + ( − x)  = − 3 ( 2 1 e ∫x + xdx −1 1  x = t − 1; dx = 2tdt ⇔ I = ∫ ( t − 1) t.2tdt = ∫ ( t − t ) dt • Đặt : t = + x ⇒   x = −1 → t = 0, x = → t = 0 1 3 1 1 • Vậy : I =  t − t ÷ =  − ÷ = − 15     f ∫x x + 3dx = ∫ x x + 3.xdx 0  x = t − 3; xdx = tdt ⇔I= • Đặt : t = x + ⇒   x = → t = 3, x = → t =    56 − 12 • Vậy : I =  t − t ÷ = 15   2 ∫ (t − 1) t.tdt = ∫ (t − t ) dt Bài Tính tích phân sau : 7/3 x−3 a ∫ dx −1 x + + x + d ∫ x +x b ( x + 1) ∫ 10 x +1 dx 3x + c x + 1x dx f dx e ∫ dx x −1 ∫ x−2 3 ∫x − x dx GIẢI a ∫3 −1 x−3 dx x +1 + x +  dx = 2tdt • Đặt : t = x + ⇒ x = t − ⇔  x = −1 → t = 0; x = → t = • Vậy :  2 t ( t − 2) ( t − 2) t2 −   1 2 I =∫ 2tdt = ∫ dt = ∫  t − + ÷dt =  t − 3t + 3ln t + ÷ t + 3t + t + 1) ( t + ) t+2 2  0 ( 0 • Do : I = ln − Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 61 CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 62 Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 02403833608 ... K Giống ,ta có : 2 K = ∫ 2t dt = −2∫ t dt = − t = − ⇒ I = J + K = 5 V TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỶ * Trước làm tập , tổng hợp cho HS phương pháp phân tích hướng dẫn Bài Tính tích phân sau a ∫... )dx Vì tính chất khơng có SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau : a Bước 1: Phân tích I = ∫ f ( x )dx = −a ∫ −a a f ( x )dx + ∫ f ( x)dx = J + K 0 Bước Tính tích phân J = ∫ f ( x )dx... : TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VII TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ MŨ -LOGARIT * Nhắc nhở HS : a ax ax x • Thuộc cơng thức ngun hàm sau : ∫ e dx = e + C ; ∫ a dx = x a +C ln a • Sử dụng thành thạo cách tính tích phân