ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN NGỌC DIỄM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GALERKIN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2005 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN NGỌC DIỄM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GALERKIN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 1. 01. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. 2. GS.TS. Alain Phạm Ngọc Đònh Đại học Tổng hợp Orléans, Pháp. Thành phố Hồ Chí Minh - 2005 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Trần Ngọc Diễm LÔØI CAÛM ÔN MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 0 PHẦN MỞ ĐẦU 1 Chương 0: Một số công cụ chuẩn bò 15 Chương 1: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng: ),,,,( txxxtt uuutxfuu =− 19 1.1. Giới thiệu. 1.2. Các ký hiệu và giả thiết. 1.3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến. 1.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất. 1.5. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên không thuần nhất. 1.6. Giới thiệu. 1.7. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé ε đến cấp 1. 1.8. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé ε đến cấp N+1. Chương 2: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng: ),(),( txfuuFuu txxtt =+− 49 2.1. Giới thiệu. 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. 2.3. Sự tuỳ thuộc tính trơn của nghiệm theo các dữ kiện. 2.4. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số. Chương 3: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier 74 3.1. Giới thiệu. 3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. 3.3. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé ε đến cấp 1. 3.4. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé ε đến cấp 2. Chương 5: Kết luận 95 Danh mục các công trình của tác giả 99 Tài liệu tham khảo 100 1 PHẦN MỞ ĐẦU Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng không nhỏ đến việc chọn lựa các phương pháp toán học để giải quyết. Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó. Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghóa lý luận và thực tiển. Trong luận án nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Trong luận án nầy chúng tôi trình bày 3 nội dung tương ứng với 3 bài toán và sẽ được phân bố theo 3 chương chính. Sau đây là phần giới thiệu lần lượt 3 bài toán nói trên. 2 Bài toán thứ nhất đề cập đến phương trình sóng phi tuyến ở một dạng tương đối tổng quát: ),,,,,( txxxtt uuutxfuu =− ,0),1,0( Ttx < < = Ω ∈ (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất ⎩ ⎨ ⎧ =+ =− ),(),1(),1( ),(),0(),0( 11 00 tgtuhtu tgtuhtu x x (0.2) và điều kiện đầu ),( ~ )0,(),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t = = (0.3) Bài toán nầy có nhiều ý nghóa trong Cơ học, Vật lý học, đã được đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và trong các tài liệu tham khảo trong đó. (xem [1, 2, 8, 9, 11-13, 16, 19, 21, 25, 32, 37, 41, D2]). Phương trình (0.1) với số hạng phi tuyến ),,,,( tx uuutxf có các dạng khác nhau và các dạng điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn, chúng tôi có thể nêu ra như sau: Ficken và Fleishman [16] đã thiết lập kết quả tồn tại, duy nhất và ổn đònh nghiệm của phương trình ,2 3 21 buuuuu txxtt +=−+− εαα 0> ε là tham số bé. (0.4) Rabinowitz [41] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình ),,,,,(2 1 txtxxtt uuutxfuuu ε α = + − (0.5) 0> ε là tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian. Trong [8], Caughey và Ellison đã hợp nhất các trường hợp trước đó để bàn về tồn tại, duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực liên tục phi tuyến. Alain P.N. Đònh [11] và Ortiz, Alain P.N. Đònh [37] đã nghiên cứu sự tồn 3 tại và dáng điệu tiệm cận khi 0→ ε của nghiệm yếu bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất ,0),1(),0( = = tutu (0.6) trong đó số hạng phi tuyến có dạng ).,( 1 utff ε = (0.7) Bằng sự tổng quát hóa của [11, 37], trong [12] đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng ).,,( 1 t uutff ε = (0.8) Nếu )),0[( 2 1 IRCf N ×∞∈ thỏa 0)0,0,( 1 = tf ,0≥ ∀ t các tác giả trong [12] đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp 1+N theo , ε với ε đủ nhỏ. Kết quả nầy đã nới rộng kết quả từ phương trình vi phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]). Đối với bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng khác nhau tương ứng với các dạng của số hạng phi tuyến ),,,,( tx uuutxf . Thậm chí điều kiện biên (0.2) có thể được thay thế bởi các dạng điều kiện biên khác phức tạp hơn. Chẳng hạn, chúng tôi có thể kể ra một số trường hợp như sau: Trong [2], Đ.Đ. Áng, Alain P.N. Đònh đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với ,)( 1 ttt uuuff − −== α ,10 < < α (0.9) và điều kiện biên .0),1(),(),0( 0 = = tutgtu x (0.10) Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động của một thanh đàn hồi nhớt. Trong [21], N.T. Long, Alain P.N. Đònh đã nới rộng nghiên cứu [2] bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với 4 ),,( t uuff = (0.11) và điều kiện biên ),(),0(),0( 00 tgtuhtu x = − ,0),1( = tu (0.12) mà (0.9) là một trường hợp riêng. Alain P.N. Đònh, N.T. Long trong [13], bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3) với và điều kiện biên phi tuyến ),()),0((),0( 0 tgtuHtu x =− ,0),1( = tu (0.13) tương ứng với f có dạng (0.9) hoặc (0.11). Bài toán (0.1), (0.3), (0.11) cũng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác nhau tương ứng với nhiều loại điều kiện biên khác nhau có ý nghóa cơ học nhất đònh, chẳng hạn như Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [23] N.T. Long, Alain P.N. Dinh đã xét bài toán (0.1), (0.3) với ),( t uuff = liên kết với điều kiện biên ,0),1(),(),0( = = tutPtu x (0.14) trong đó ẩn hàm ),( txu và giá trò biên chưa biết )(tP thỏa bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường như sau ),,0()()( 0 2// tuhtPtP tt =+ ω ,0 Tt < < (0.15) ,)0(,)0( 1 / 0 PPPP == (0.16) trong đó 10 ,,0,0 PPh ≥> ω là các hằng số cho trước.[1, 23]. Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.1), (0.3), (0.14)-(0.16) với 0 ~ ~ 010 = == Puu và ,),( tt uKuuuf λ += (0.17) trong đó λ ,K là các hằng số cho trước. Trong trường hợp nầy bài toán (0.1), (0.3), [...]... bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Các kết quả của phần nầy tổng quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2] Ta cũng lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được cho [13, 14, 21, 22] Phần 2: Trong phần này chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận theo tham số bé ε của nghiệm bài toán. .. trở đi Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) – (1.1.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Các kết quả của chương nầy tổng quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2] Ta cũng lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được... (1.2.8) trong đó thỏa 21 Như vậy từ bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất (1.1.1)-(1.1.3) với phép biến đổi (1.2.3) sẽ tương đương với bài toán biên hỗn hợp thuần nhất (1.2.4)-(1.2.6) Do đó, không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng (H 5 ) g 0 = g1 = 0 Trên H 1 ta sử dụng một chuẩn tương đương sau: 1 v H1 1 ⎛ ⎞ 2 2 = ⎜ v 2 (0) + ∫ v / ( x) dx ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ (1.2.9) Trong chương này, ta sử dụng. .. Voltera phi tuyến liên kết với một nhân không giảm [20] Tuy nhiên trong luận án này chúng tôi chỉ cần đưa về đánh giá (1.3.35), từ đó nhận được (1.3.36) nhờ bổ đề Gronwall Cách làm này theo chúng tôi đánh giá thì đơn giản hơn [9] 1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất Đònh lý 1.2 Giả sử ( H 1 ) − ( H 3 ), ( H 5 ) đúng Khi đó tồn tại M > 0, T > 0 sao cho bài toán (1.1.1)-(1.1.3)... tích phân (0.56) (0.57) (0.58) 14 ∇u (t ) 2 N = ∫ ∇u ( x, t ) dx = ∫ ∑ 2 Ω Ω i =1 2 ∂u ( x, t ) dx ∂xi (0.59) Trong chương này, bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu, chúng tôi thu được đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.56)–(0.59), sau đó, nếu B0 ∈ C 2 ( IR+ ), B1 ∈ C 1 ( IR+ ), B0 ≥ b0 > 0, B1 ≥ 0, f 0 ∈ C 2 ( [0,1] × [0,... (0.1)-(0.3) với g 0 (t ) = g1 (t ) = 0, (0.23) và f ∈ C 1 ([0,1] × [0,+∞) × IR 3 ) Trong trường hợp nầy, chúng tôi sử dụng một sơ đồ xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin và compact để thiết lập 6 nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3), (0.23) Nếu số hạng phi tuyến f ( x, t , u , u x , u t ) trong vế phải của (0.1) được thay bởi (0.24) f ( x, t , u , u x , u t ) = f 0 ( x, t , u , u x , u t ) +... chứa đựng các kết quả trong [1, 2, 5, 25] như là trường hợp riêng Kết quả nầy đã được công bố trong [D3] 8 Bài toán thứ ba mà chúng tôi muốn đề cập là phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier 2 (0.33) u tt − B ( ∇u ) Δu = f ( x, t , u , ∇u , u t ), x ∈ Ω, 0 < t < T , u = 0 trên ∂Ω, (0.34) ~ ~ u ( x,0) = u 0 ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), (0.35) 2 trong đó, số hạng phi tuyến B ( ∇u ) là... bố trong [D1] Mặt khác kết quả nầy cũng được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem[27-30, 32, 33, 39, 40, 43] Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, chương bổ túc công cụ (chương 0), 3 chương chính (chương 1-3), chương kết luận, cuối cùng là danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo Phần mở đầu nhằm giới thiệu tổng quát về các bài toán trong luận án và... u t ) = K u α −2 u + λ ut β −2 ut , (0.28) trong đó α ≥ 2, β ≥ 2, K , λ là các hằng số không âm cho trước Trong trường hợp 7 nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn hồi nhớt[1] Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán Kết quả nầy đã mở rộng kết quả của Bergounioux,... lựa M và T thích hợp, ta xây dựng một dãy {u m } trong W ( M , T ) bằng qui nạp Dãy {u m } sẽ được chứng minh hội tụ về nghiệm của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với g 0 = g1 = 0 Chọn số hạng ban đầu u 0 ∈ W ( M , T ) Giả sử rằng u m −1 ∈ W ( M , T ) (1.3.1) 23 Ta liên kết bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với g 0 = g1 = 0 với bài toán biến phân tuyến tính sau: Tìm u m ∈ W ( M , T ) thỏa && 〈u . GS.TS. Alain Phạm Ngọc Đònh Đại học Tổng hợp Orléans, Pháp. Thành phố Hồ Chí Minh - 2 005 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số. từ phương trình vi phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]). Đối với bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng khác. khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và 0 P lực căng lúc ban đầu. Xem[18, Kirchhoff]. Về nguồn gốc của phương trình (0.37), chúng