Đang tải... (xem toàn văn)
: Hệ phương trình SaintVenant bài toán thuỷ lực một chiều trong kênh hở đã được lập theo nhiều cách khác nhau Để hiểu căn nguyên bài toán và bổ sung đầy đủ các thành phần trong bài báo này hệ phương trình SaintVenant được lập từ hệ Navier – Stokes với các toán tử trung bình theo thời gian và không gian với sự trợ giúp của hàm suy rộng Mục đích của chúng tôi là hướng tới việc hoàn thiện bài toán thủy lực 1D
MộT CáCH KHáC LậP PHƯƠNG TRìNH BàI TOáN Thủy LựC MộT CHIềU TRONG KÊNH Hở GS.TSKH. Nguyễn Ân Niên ThS. Tô Quang Toản Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam Tóm tắt: Hệ phơng trình Saint-Venant bài toán thuỷ lực một chiều trong kênh hở đã đợc lập theo nhiều cách khác nhau - Để hiểu căn nguyên bài toán và bổ sung đầy đủ các thành phần trong bài báo này hệ phơng trình Saint-Venant đợc lập từ hệ Navier Stokes với các toán tử trung bình theo thời gian và không gian với sự trợ giúp của hàm suy rộng - Mục đích của chúng tôi là hớng tới việc hoàn thiện bài toán thủy lực 1D. I - Mở đầu Hệ phơng trình bài toán thuỷ lực 1 chiều trong kênh hở đã đợc lập bằng các phơng pháp cân bằng chất và động lợng cho một đoạn dòng chảy dx trong một thời gian dt Có cách lập cổ điển [2, 3], có cách lập cải tiến hơn [4], hoặc theo lí thuyết bất biến thứ ba (bất biến theo số chiều không gian) [6] Năm 1970 chúng tôi cũng đã thử lập hệ phơng trình Saint - Venant qua hệ phơng trình Navier Stokes dới dạng hàm suy rộng [1] nhng cha hoàn chỉnh và cha thực hiện phép trung bình hoá theo thời gian. Để chuyển từ đạo hàm thờng sang đạo hàm của hàm suy rộng nhằm đạt đợc sự hoán vị giữa toán tử vi phân và toán tử trung bình hoá (tích phân) ta đa vào hàm đặc trng (hàm Hearry Sides) nh sau: Cho miền G trong không gian 3 chiều chứa chất lỏng G và thời đoạn T thì 1 ( , ) ( , ) (1) 0 ( , ) khi t x G T t x khi t x G T ì = ì Trong đó G là miền đóng của G (tức bao gồm cả biên G) - Bấy giờ đạo hàm của theo t và x khắp nơi bằng 0, trừ tại biên của G Tì , ở đây đạo hàm có giá trị hàm Dirac Ta có: ( ) (2) T i i G t t n x n = = Trong đó 1 2 3 ( , , )n n n n r là những véc tơ pháp tuyến ngoài với G Vì đạo hàm toàn phần d dt đồng nhất bằng 0 nên ta có d 0 (3) dt i i u n t n = + = với u i véc tơ tốc độ dịch chuyển của phần tử chất lỏng Biểu thức (3) có ý nghĩa rất quan trọng trong các phần tiếp theo. Ta kí hiệu đạo hàm thờng trong đấu móc còn đạo hàm suy rộng viết bình thờng, tức là với hàm (t,x) bất kì ta có 1 (4) i i i t t t n x x n = = và đạo hàm toàn phần của theo thời gian là bất biến trong việc chuyển đổi từ đạo hàm thờng sang đạo hàm theo nghĩa suy rộng. Thực vậy d (5) dt d dt i i i i i i i i u t x u u n t x t n = + = = + + = ữ với hàm theo nghĩa suy rộng đợc hiểu là II - Hệ phơng trình Navier-Stokes và trung bình hoá theo thời gian Hệ phơng trình Navier-Stokes đợc viết dới dạng [1,5] d 0 dt (6) d 0 dt i i i i j i j i i u t x p u u x x = + = + = Phơng trình thứ nhất là phơng trình liên tục (qui luật bảo toàn vật chất), các phơng trình thứ 2 (i = 1, 2, 3) là phơng trình chuyển động (bảo toàn động lợng). Trong đó: - mật độ chất lỏng u i - véctơ vận tốc p - áp suất - tenxơ ứng suất tiếp u i - véctơ tốc độ của nguồn/hút - cờng độ (thể tích) của nguồn/hút Từ (6) sử dụng các biểu thức (4) và (5) ta viết dới dạng đạo hàm suy rộng 0 (7) 0 i i i i j i j i i i j j i j j j j i j u t x p u u u pn n u t x x x n n + = + + + = Trong trờng hợp chất lỏng đồng nhất và không nén ( const), từ (6) ta có 2 0 (8) 1 1 0 i i i i j i j j i j i i i j j j j i j u t x n u p p u u n u t x x x n n + = + + + = Bây giờ ta áp dụng phép trung bình hoá theo thời gian liên tiếp với các toán tử [4,5] e t1 trung bình hoá ở thang chuyển động nhiệt (Borwn) e t2 trung bình hoá ở thang độ nhạy của đầu đo e t3 trung bình hoá chuyển động rối Nh trong [5] đã chứng minh áp dụng phép trung bình hoá e t1, e t2, e t3 cho phơng trình (8) ta đợc 0 (9) 1 1 1 0 i i i i j i i j i j i i i j j i j j j j j i j j j u t x u u p p u u D n n u t x x x x x n n + = + + + = Dấu ngang chỉ đặc trng đã đợc trung bình hoá. Trong (9) xuất hiện hệ số phân tán D ij mà trong tr- ờng hợp đơn giản (không ảnh hởng tới việc lập bài toán 1D) cho là 1 tenxơ cầu (vô hớng), tức i j D D= và nhiet dau do roi roi D D D D D= + + Các đạo hàm trong (9) là đạo hàm theo nghĩa suy rộng. III - Thiết lập hệ phơng trình bài toán thuỷ lực một chiều Trong không gian 3 chiều với các trục x 1 , x 2 , x 3 ta sử dụng phép tích phân (từ - đến +) e 2 , e 3 theo trục x 2 và x 3 cũng có nghĩa là cho toàn mặt cắt (x 2 , x 3 ) còn x 1 là trục chuyển động; đó cũng là phép tích phân theo mặt cắt ớt (Hình 1). Hình 1 A x 1 = x x 2 x 3 B z 3 Ta có ( ) 2 3 e e A = - diện tích mặt cắt ớt ( ) 1 2 3 e e u Av Q= = với Q lu lợng v lu tốc trung bình mặt cắt ( ) 2 3 e e q = - lu lợng bổ sung ngang 2 2 ' 2 ' 1 2 3 2 3 1 ( ) ( ) v e e u Av e e u Qv AD x = + = + với ' 1 1 u u v= '' D - hệ số tiêu tán do phân bố lu tốc không đều trên mặt cắt 2 3 ( )e e p P= - áp lực thuỷ động lên mặt cắt 1 2 3 ( ) 0 j j e e = ứng suất tiếp trong lòng mặt cắt từng cặp lên cân bằng 2 3 onst ( ) x z c p e e pn n x = = - phản lực lòng dẫn với áp lực thuỷ động 2 3 w ( ) x o e e B n = + - lực cản trên chu vi mặt cắt với z - mực nớc tại mặt cắt o - ứng suất đáy trung bình w - ứng suất tác động của gió trên bề mặt chu vi ớt của mặt cắt B - chiều rộng mặt thoáng 1x j j j n = - ứng suất tiếp theo chiều x 1 2 3 ( ) q e e u qv = với v q lu tốc dòng đổ sang ngang chiếu theo chiều chuyển động ' 2 3 ( )e e D AD= và ' '' D D D= + với D - hệ số phân tán trung bình mặt cắt Từ (9) ta đợc hệ phơng trình Saint Venant bài toán 1D 0 (10) 1 1 0 o w q Z const A Q q t x B Q Qv p v p AD qv t x x x x x = + = + + + = ữ Đây là hệ phơng trình dới dạng bảo tồn với đạo hàm suy rộng và đã bao gồm cả các gián đoạn (sóng gián đoạn) và khác với hệ phơng trình truyền thống ở thành phần phân tán Có thể tính đến thành phần này sẽ khắc phục đợc sự lệch pha nhỏ và sai khác phần đỉnh và chân triều trong tính thuỷ lực vùng triều theo phơng trình Saint - Venant cổ điển 4 Nếu thay 2 o w w a x c v v g C R C W W p gh A = = = với C - hệ số Chézy C W - hệ số ứng suất của gió R bán kính thuỷ lực a - mật độ không khí h c - chiều sâu trọng tâm mặt cắt W x , W hình chiếu của tốc độ gió W theo phơng x Ta có thể biến đổi hệ (10) thành dạng không bảo tồn 2 0 1 1 ( ) 0 w x x q A Q q t x v v C W W v v v z v q AD v v g t g x x C R g gA x x gA + = + + + = ữ IV Trung bình hoá phơng trình bài toán 1D cho một con nớc triều Trong 1 tuần trăng (30 ngày) ở cửa sông có giai đoạn triều cờng và giai đoạn triều kém, mỗi giai đoạn kéo dài khoảng 15 ngày và với vùng bán nhật triều các giai đoạn bao gồm 30 lần triều lên và 30 lần triều rút. Ta có thể thiết lập hệ phơng trình tính đặc trng trung bình của mỗi giai đoạn (con n- ớc) đó với tơng tác triều và nguồn. Để làm đợc điều này ta giả sử dòng chảy là thuần nhất một chiều (theo chiều x với thành phần lu tốc ngang bằng 0) và lu tốc phân bố đều trên mặt cắt - Bấy giờ ta có thể viết phơng trình (9) dới dạng 2 0 (11) 1 1 0 x x i v t x v p v p v D n v t x x x x n n + = + + + = Ta sẽ áp dụng toán tử trung bình hoá (11) theo phơng x 2 (e 2 ) sau đó trung bình hoá theo thời gian 1 con triều (~15 ngày) với toán tử e T và cuối cùng trung bình hoá theo chiều đứng x 3 với toán tử e 3 Ta có đồ thị các đặc trng tơng ứng sau phép trung bình hoá e T e 2 nh hình vẽ 2 ( ) r c b b bv bp p m m Db x + Hình 2. Đồ thị các đặc trng sau phép trung bình hoá e T e 2 5 z z z z zz max z min x 3 =z Mặt cắt b z 3 =z Sau phép trung bình hoá e 2 ta có 2 ( )e b = - chiều rộng mặt cắt ứng với toạ độ x 3 =z 2 ( )e v bv= 2 ( )e p bp= 2 ( ) x b e pn p n x = 2 ( ) ( ) x r l x e m m n = + - ứng suất tiếp thành bên với mái dốc phải m r , trái m l (giả thiết x đều trên chu vi ớt), m - độ 2 ( )e D Db= Tiếp tục lấy trung bình e T ta đợc các đặc trng trên với dấu gạch ngang và đồ thị phân bố nh hình 2. Bây giờ ta lấy trung bình e 3 , tức là tích phân các đồ thị ở hình 2 theo trục z ta đợc các đặc trng trung bình kí hiệu với chỉ số f (flow cho toàn con nớc) - Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 ( ) f f f f f f r l x f f f e b A e bv Q A v e bp p b e p N x e m m T e Db D A = = = = = ữ + = = và tính chung 3 2 ( ) T f qf e e e v q v = Cuối cùng ta đợc hệ phơng trình cho các đại lợng trung bình hoá cho 1 con nớc (nửa tuần trăng) 0 (12) 1 1 1 1 0 f f f f f f f f f f f f wf f qf A Q q t x Q p v Q v D A N T T q v t x x x x + = + + + = ữ Từ diện tích mặt cắt A f ta có thể suy ra mực nớc z f (từ quan hệ A=A(z 1 ); tiếp theo cũng đồng thời suy ra B f -chiều rộng mặt thoáng ứng với z f Do ứng với một trạng thái mặt cắt luôn có phản lực đáy z const p N x = = Nên khi trung bình hoá quan hệ này vẫn bảo tồn, do đó f f f z const p N x = = 6 - phản lực đáy - lực ma sát thành bên Ta giả thiết trong suốt thời gian con nớc (nửa tuần trăng) tốc độ và hớng gió không đổi nên w =const; cũng có thể lấy trung bình ( ) wf T w e = Với các giả thiết trên cùng với các giả thiết phân bố áp suất trên mặt cắt theo qui luật thuỷ tĩnh và có thể viết (12) thành dạng 0 (13) 1 1 0 f f f f f f f f f f f f wf f qf A Q q t x Q z v Q v gA D A T T q v t x x x x + = + + + = ữ Trong đó wf wf f T B = (lấy gần đúng) trong lúc T f có sự khác biệt chút ít - ứng với v f và A f ta có lực cản lòng dẫn là ' 2 f f f f f v v T g A C R = còn T f sai khác với lợng này một hệ số nào đó (xác định từ thực nghiệm hoặc giải hệ (11)) - vậy ' 2 (14) f f f f f f v v T T g A C R = = Giống nh khi biến đổi nhận đợc hệ (11) ta có thể biến đổi hệ (13) thành 2 0 (15) 1 1 ( ) 0 f f f f f f f f f f f f w x f f qf f f f A Q q t x v v v v v z v D A W W q v v g t g x x gA x x C R + = + + + + = ữ Trong đó w a w f C g h = - hệ số cản của gió f f f A h B = ữ ữ Hệ phơng trình (15) chỉ khác hệ (12) ở hệ số trớc thành phần cản của lòng dẫn và viết cho đặc trng trung bình một con nớc - Hệ số thờng nhỏ hơn 1 có nghĩa là dòng triều trung bình ít bị cản hơn và do đó độ dốc mặt nớc trung bình nhỏ - Hệ (12); (15) khác với hệ Saint Venant thông th- ờng ở thành phần phân tán động lợng - Có thể thấy đạo hàm theo thời gian trong phơng trình chuyển động (13), (15) có bậc nhỏ hơn các thành phần khác nhiều lần. Trờng hợp riêng về mùa khô khi lu lợng nguồn cho các con nớc liên tiếp biến đổi rất ít (Q f =const) và không làm thay đổi tính tổng quát giả sử q=0 và tạm thời bỏ qua lực tảo động của gió từ (13) ta có 0 ( ); ( ) f f f f f A A A x z z x t = = = 7 2 1 0 (16) f f f f f f f f f f f v v v v z v D A g x x gA x x C R + + = ữ Trong đó ( ) f f f v Q A z= Để tìm phân bố mực nớc theo khoảng cách x từ của sông ta chỉ việc giải phơng trình dòng ổn định (16) từ đó cũng đánh giá đợc vai trò của thành phần phân tán động lợng. V - Thảo luận - Hệ phơng trình bài toán thuỷ lực một chiều Saint Venant có thể đợc thành lập từ hệ Navier- Stokes với việc biến đổi sang dạng đạo hàm suy rộng và các toán tử trung bình hoá theo không gian và thời gian. Khi chuyển sang dạng hàm suy rộng toán tử vi phân và toán tử tích phân (trung bình hoá) là hoán vị đợc cho nhau. - Xuất hiện thành phần phân tán động lợng với hệ số phân tán D và với vùng ảnh hởng triều thành phần này có thể cho phép tính toán mực nớc, lu lợng chính xác hơn. - Các toán tử trung bình hoá theo không gian là toán tử tích phân hoàn toàn còn trung bình hoá theo thời gian T của một đặc trng (x,t) bất kì đợc hiểu theo nghĩa 2 2 1 ( , ) ( , )d T T x t x t T = + và có nhiều thang bậc thời gian trung bình hoá - Trờng hợp riêng khi T 15 ngày - thời gian của một con nớc (nửa tuần trăng) thì phơng trình nhận đợc gần với hệ Saint-Venant (có bổ sung thành phần phân tán) nhng trị số đạo hàm các đặc trng theo thời gian có bậc nhỏ hơn các thành phần khác trong phơng trình nhiều lần và với mùa khô các đạo hàm này có thể bỏ qua hoàn toàn so với các thành phần kia và ta có bài toán tựa ổn định cho các đặc trng trung bình của một con nớc. VI - Kết luận Việc lập hệ phơng trình Saint-Venant cho bài toán thuỷ lực 1D có thể xuất phát từ hệ Navier- Stokes dới dạng suy rộng với các toán tử trung bình không gian và thời gian và xuất hiện thành phần phân tán động lợng Có thể phát triển việc trung bình hoá theo thang bậc thời gian lớn hơn nh cho một pha triều (lên hoặc rút), cho 1 chu kì triều hoặc lớn hơn một con nớc (triều cờng, triều kém). Với thang bậc thời gian lớn hơn bài toán dòng không ổn định trở thành bài toán tựa ổn định và cho phép giải đơn giản hơn. 8 TàI LIệU THAM KHảO [1] Nguyễn Ân Niên, 1970, Lập hệ phơng trình Saint-Venant từ hệ phơng trình Navier-Stokes - Báo cáo Hội thảo Cơ học; [2] Nguyễn Ân Niên, 1997, Một đề nghị thành lập phơng trình Saint-Venant cho dòng không ổn định một chiều trong kênh hở - Báo cáo Hội nghị khoa học Cơ thuỷ khí toàn quốc; [3] Nguyễn Cảnh Cầm, 1998, Thuỷ lực dòng chảy hở - Nhà xuất bản Nông nghiệp; [4] Nguyễn Ân Niên, Tăng Đức Thắng, 2006, Một cách khác lập hệ phơng trình truyền chất bài toán 1 chiều Báo cáo Hội nghị khoa học Cơ học thuỷ khí toàn quốc; [5] Nguyễn Ân Niên, Nguyễn Anh Đức, 2006, Các phơng pháp trung bình hoá đặc trng thuỷ lực và nồng độ chất của bài toán xâm nhập mặn 1D và khả năng ứng dụng cho các vùng cửa sông - Báo cáo Hội nghị khoa học Cơ học Thuỷ khí toàn quốc; [6] Nguyễn Ân Niên, 1998, The third invariant form of the fluid dynamic equations and its application for solving hydraulic and mass transfer problem. Proceeding of the 1 st Vietnam Japan Symposium on Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics Tokyo. Summary A drivation of partial differential governing equations for one dimensional hydraulic problem in open channels Prof. Dr. NGUYEN AN NIEN ME. TO QUANG TOAN The system of 1D Saint Venant equations for open channels has been derived in different ways For a basic understanding of the problem and adding completely all components to the equations, in this paper the system of Saint-Venant equations will be directly drived from Navier- Stokes equations by application of average operators with respect to time and space with the help of generalized functions. Our goal is to make a step toward improvement of 1D hydraulic problem. Ngời phản biện: PGS. TS. Nguyễn Tất Đắc 9 . MộT CáCH KHáC LậP PHƯƠNG TRìNH BàI TOáN Thủy LựC MộT CHIềU TRONG KÊNH Hở GS.TSKH. Nguyễn Ân Niên ThS. Tô Quang Toản Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam Tóm tắt: Hệ phơng. thiện bài toán thủy lực 1D. I - Mở đầu Hệ phơng trình bài toán thuỷ lực 1 chiều trong kênh hở đã đợc lập bằng các phơng pháp cân bằng chất và động lợng cho một đoạn dòng chảy dx trong một thời gian. (9) là đạo hàm theo nghĩa suy rộng. III - Thiết lập hệ phơng trình bài toán thuỷ lực một chiều Trong không gian 3 chiều với các trục x 1 , x 2 , x 3 ta sử dụng phép tích phân (từ - đến +) e 2 ,