SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức

29 2.2K 6
SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Toán học là một môn khoa học tự nhiên , toán học có một vai trò rất quan trọng trong các lình vực khoa học , toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú , trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí .

Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức A: ĐẶT VẤN ĐỀ   !"# #$ %% &'% () *+ %% &%",-',./%) 0% &#)- *+#*/##% &1 2#*/## (% &#)3 450 6%78!9#*/###5+#1:6%% & (#!9 *+#*/##);%#)#< +##*/##+#.1 =% & *+>!9!"% )%,>#*/%#*/,#*/ 4%,? @A0%(111 *+78!9># "111B>C7DE#)- *+'E/%)% &1 E)!"CF*GH2I74#3) %% &%% & *G)JK#*/## ?7 L ? *+*@)%1:4>07H2I "E)3*!C*<! 7$$ %E>!9E)!"%>#1 !0 L *+>#@,7<#*/##C *+78!9% &*M!5 ?N%E O*/ */!5% & P%E#*/###)1111117<%># >!9Q$#7%@$$4#%C >!9% &$#7( ?*@ *+#*/## $/% &%1 R (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng củabất đẳng thức )<$#77<#*/## % & S! TCA '"E *+7#S0C (  *+, /LU)/ V Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN I: ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU W)!"C@#4#7<%>#% &C7 $$,%>#C ?*@ 4%,7 F % ,,(%>#! C *@  C,DE#)*@!J77<#*/## % &!90% &,DE 7 ($#7E% & ,7 %>#% & PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU X*/##  X*/## < X*/##, PHẦN III: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức YA/%.,Z% Y@/%.,[% YA/4%Q%.,Z% Y@/4%Q%.,[% 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : .\M[%Z][%Z I<*+7^(A^(^(%^(CE^( _`aabV\`V c Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức %.dM[%%[][[ .`M[%Z][Y[%Y H,)M[%Z][e[%e Y[%Z][[%e !.fM[%[!][Y[%Y! [%Z!][e[%e! K.bM[%[a][[%! [%Za][Z%! g.VM[%[ah[![a][[%! .cM[%[a][  [%  [%Z][  [%  @i1 .jM[%h%[a][ 3, Một số bất đẳng thức thông dụngM = &27M B@d7<!*/%M  ab ba ≥ + d  k &L)CM]% %= &=#LM B@7<h%hLhCMlLY%Cm d  ≤ l d Y% d mlL d YC d m k &L)CZ][ y b x a =  = &?C, <M  baba +≥+ k &L)CM% ≥ a II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa j Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức eWEM^(n[=L_,ne=one=[ a1 ep*SMn d  ≥ a@nh!qq]qqL)Cn]a1 eB.!9M Bài 1.1 : B@7<MLCrQML d YC d Yr d Y` ≥ dlLYCYrm Giải : L_,MH]L d YC d Yr d Y`edlLYCYrm ]L d YC d Yr d Y`edLedCedr ]lL d edLY\mYlC d edCY\mYlr d edrY\m ]lLe\m d YlCe\m d Ylre\m d klLe\m d  ≥ a@L lCe\m d  ≥ a@C lre\m d  ≥ a@r  ][H ≥ a@LCr HCL d YC d Yr d Y` ≥ dlLYCYrm@LCr1 k%QL)CZ][L]C]r]\1 Bài 1.2M 2%!K7<M 2QM d Y% d Y d Y! d YK d  ≥ l%YY!YKm Giải : s_,MH] d Y% d Y d Y! d YK d el%YY!YKm ]l b a − d m d Yl c a − d m d Yl d a − d m d Yl e a − d m d kl b a − d m d  ≥ a@% kl c a − d m d  ≥ a@ kl d a − d m d  ≥ a@! kl e a − d m d ≥ a@K ][H ≥ a@%!K kqq]qqL)CZ][%]]!]K] d a Bài 1.3 :2% &M t Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức  d dd dd       + ≥ + baba Giải : s_,MH] d dd dd       + − + baba ] f mdlmld dddd bababa ++−+ ] aml f \ mdddl f \ ddddd ≥−=−−−+ baabbaba 1B@%1 kqq]qqL)C]%1 2. Phương pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tương đương . eWEM=E O% &D*/ */@% &  $4% & P *+ $1 e:7<% &*G!5M lnY=m d ]n d Ydn=Y= d lne=m d ]n d edn=Y= d lnY=Y2m d ]n d Y= d Y2 d Ydn=Ydn2Yd=2 lnY=m ` ]n ` Y`n d =Y`n= d Y= ` lne=m ` ]n ` e`n d =Y`n= d e= ` uuuuuuuuuuu1 B.!9M Bài 2. 1M2%7<!*/O%Q\12QM  ` f \ \ \ \ ≥ + + + ba Giải: k5#_#%E O*/ */h `lY\Y%Y\m ≥ flY\ml%Y\m t ≥ fl%YY%Y\mlY%]\m t ≥ f%Yj\ ≥ f%lY%m d  ≥ f%  = &< $1IC #)1 Bài 2. 2M2%7<!*/)PMY%Y]f 2QMlY%ml%YmlYm ≥  ` % `  `  Giải: \a Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức  vMlY%m d  ≥ f%lY%Ym d ] [ ] cbacba mlfml d +≥++ ][\V ≥ flY%m][\VlY%m ≥ flY%m d  ≥ \V% ][Y% ≥ % */M%Y ≥ % Y ≥ % ][lY%ml%YmlYm ≥  ` % `  `  Bài 2.3M2% &M  ` `` dd       + ≥ + baba h [ah%[a Giải : k5#_#%E O*/ */MB@[ah%[a][Y%[a  ` `` dd       + ≥ + baba         + ≥+−       + d m1l d dd ba baba ba 1 d d       + ba  d e%Y% d  ≥  d d       + ba f d ef%Yf% d  ≥  d Yd%Y% d  ` d eV%Y`% d  ≥ `l d ed%Y% d m ≥ a = &<5 $h7CM ` `` dd       + ≥ + baba Bài 2.4: 2d7<%)PY%]\12:w ` Y% ` Y% ≥  d \ Giải : M ` Y% ` Y% ≥  d \ Z][ ` Y% ` Y%e d \  ≥ a Z][lY%ml d e%Y% d mY%e d \  ≥ a Z][ d Y% d e d \ ≥ a1BY%]\ Z][d d Yd% d e\ ≥ a Z][d d Ydl\em d e\ ≥ al%]e\m Z][f d efY\ ≥ a Z][lde\m d  ≥ a = &<5 $1B>C ` Y% ` Y% ≥  d \ \\ Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức kqq]qqL)C]%] d \ Bài 2.5 :2% &M ` `` dd       + ≥ + baba   M[a%[a1 Giải : B@[a%[a][Y%[a M ` `` dd       + ≥ + baba Z][ ( ) d dd dd 1 d       +       + ≥+−       + baba baba ba Z][ d dd d       + ≥+− ba baba Z][f d ef%Yf% d  ≥  d Yd%Y% d  Z][`l d ed%Y% d m ≥ a Z][`le%m d  ≥ a1= &C $ ][ ` `` dd       + ≥ + baba kqq]qqL)C]%1 Bài 2.6MB@[a%[a12% &M  a b a −  ≥  a b b − Giải : k5#_#%E O*/ */M  a b a −  ≥  a b b − l mlm baabbbaa +−+ ≥ a  [ ] amlmlml `` ≥+−+ baabba  amlmmll ≥+−+−+ baabbababa  amdmll ≥+−+ bababa  ammll ≥−+ baba = &< $h7CM a b a −  ≥  a b b −  3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . \d Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức eWEMk5% &K*M27=#L% &!?C, < (%E O :7<,)v% &ML d YC d  ≥ dLC B@%[a d≥+ a b b a 2.!9M Bài 3.1Mx)78%7<!*/QM  d> + + + + + ba c ac b cb a  Giải #!9=^2CM Yl%Ym mld cba +≥  cba a cb a ++ ≥ + d */ *+M  cba b ac b ++ ≥ + d  cba c ba c ++ ≥ + d k%Q0%=^( oGL)C M ]%Y%]Y]Y%Y%Y]al@)E% 7< !*/m1 v 7CM d> + + + + + ba c ac b cb a Bài 3.2: 2LCd7<)PM  L d YC d ] dd \\ xyyx −+−  2QM`LYfC ≤ b Giải : y#!9% &=#LM lL d YC d m d ]l dd \\ xyyx −+− m d l \≤x h \≤y m  ≤ lL d YC d ml\eC d Y\eL d m ][L d YC d  ≤ \ "Ml`LYfCm d  ≤ l` d Yf d mlL d YC d m ≤ db ][`LYfC ≤ b \` Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ^&L)C        = >> =+ f` aa \ dd yx yx yx       = = b f b ` y x ^,M d b d ` ≤≤ x Bài 3. 3:2% ≥ ahY%Y]\12QM  V≤+++++ accbba % b`\\\ <+++++ cba Giải y#!9%!&=#L@d%`7<M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       +++++++≤+++++ ddd \\\\1\1\1 accbbaaccbba ][ ( ) Vmdd1l` d =++≤+++++ acbaaccbba ][ V≤+++++ accbba 1 kqq]qqL)CM]%]] ` \ %y#!9% &27M  \ dd \m\l \ += ++ ≤+ aa a */M \ d \ +≤+ b b h \ d \ +≤+ c c 2vE0`% & *+M  b`` d \\\ =+ ++ ≤+++++ cba cba k &L)C]%]]a@)EMY%Y] \ B>CM b`\\\ <+++++ cba Bài 3.4M27<!*/%)PMY%Y]\1 2QM t \\\ ≥++ cba Giải : M a>+ a b b a %[a M =++ cba \\\ m \\\ l cba ++ 1\] m \\\ l cba ++ 1lY%Ym ] \\\ ++++++++ b c a c c b a b c a b a \f Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ] ≥++++++ mlmlml` c a a c b c c b a b b a `YdYdYd]t ][ t \\\ ≥++ cba kqq]qqL)CM]%]] ` \ Bài 3.5 2LC[a12QM yxyx + ≥+ f\\   Giải y#!9% &27M xyyx d≥+   yx \\ +  ≥  xy d ][lLYCml yx \\ + m ≥ f ][ yx \\ +  ≥  yx + f 4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : eWEMk5. P *+ (>!9)%>#1 2.!9M Bài 4.1 :2d7<LC)P ,MLYC]d1 2QML f YC f  ≥ d Giải K.%-DMlL d eC d m ≥ aL f YC f  ≥ dL d C d dlL f YC f m ≥ lL d YC d m d l\m MlLeCm d  ≥ aL d YC d  ≥ dLC dlL d YC d m ≥ lLYCm d dlL d YC d m ≥ fBMLYC]d L d YC d  ≥ dldm vl\mldmML f YC f  ≥ d kqq]qqL)CL]C]\1 Bài 4.2: 2aZ%!Z\12QM \b [...]... thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : 2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình 27 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị... y + z ≤ 1 21 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Cứng minh rằng : 1 1 1 + + ≥9 x y z 1 1 1 Ta chứng minh được : (x + y + z)( x + y + z ) ≥ 9 Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z ≤ 1 nên suy ra 1 1 1 + + ≥9 x y z 9 .Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học... pháp đó III : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) ≥ m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m Nếu f(x) ≤ M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 24 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Kiểm tra... đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngược nhau + Phủ định rồi suy ra kết luận Các ví dụ : 18 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Bài 7 1 : Cho 0 < a,b,c,d n ⇔ ( )m > ( )n m b b b b (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên a > 1 và m>n vậy bất đẳng thức (1) luôn b đúng a m − bm a n − bn > vối a>b>0 và m>n nên khi m=1996, a m + bm a n + bn a1996 − b1996 a1995 − b1995 n=1995 thì bất đẳng thức phảI chứng minh luôn đúng > a1996 + b1996 a1995 + b1995 Áp dụng. .. z 1 3 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 x - 2 = 0 x = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 4 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi... c 2 ⇔ (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên a+b-c>0 b+c-a>0 c+a-b>0 và abc>0 Vậy bất đẳng thức dẫ được chứng minh 7 Phương pháp 7 : Chứng minh phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là trái... một nghiệm của phương trình Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2) IV:BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : 1 2 1 ≥ 8 a) x2 +y2 ≥ b) x4+y4 Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) 31 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Bài 3: Cho hai số dương x,y và. .. vào (2) ta có : y = 1 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc 29 Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Bài 2 : Giải hệ phương trình :  x + y + z =1  4 4 4  x + y + z = xyz Giải : Áp dụng : BĐT : A2 + B2 ≥ 2AB... giỏi C: KẾT LUẬN Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài ( (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn Đồng thời ứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự . &L)CM% ≥ a II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 .Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa j Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức eWEM^(n[=L_,ne=one=[ a1 ep*SMn d  ≥ a@nh!qq]qqL)Cn]a1 eB.!9M Bài. $h7CM a b a −  ≥  a b b −  3. Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . d Đề tài: một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức eWEMk5%. Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp

Ngày đăng: 27/08/2014, 21:32

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

    • Bài 3.5

    • Giải

  • Giải

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan