PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 11 / 2012 Bài 1. a) Rút gọn biểu thức: 3 1 3 3 10 6 3 A 2 + + + + = b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 − = − − + − Bài 2. a) Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 2 2012 2012 x 1 2x x 4x 4 1 2012 2013 2013 + − + − + = + + + . 1 6 5 2− = − − − −x x x b) Tìm x, y thỏa mãn: 2 2 x 6x 6y y 9 2xy + =   + =  Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: 2 M 2x 5 x = + − Bài 4. Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H ( H O≠ ). Biết AH = a; CD = 2b. a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau b) Tính R theo a và b c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 5. Cho , , (0,1]∈x y z Chứng minh rằng : 3 1 1 1 + + ≤ + + + + + + + + x y z y xz z xy x yz x y z ==HẾT== Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Nội dung Điểm Bài 1 3,5đ a) 2,0đ 3 3 3 1 3 3 (1 3) 1 3 3 10 6 3 A 2 2 + + + + + + + + = = 0,5 2 1 (1 3) 1 4 2 3 2 2 + + + + = = 0,5 2 3 4 2 3 2 2 + + = = 2 (1 3) 1 3 2 2 + + = = 1,0 b) 1,5đ ĐK: a b 5≠ ± (*) 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) − = − − + − ⇔ − − + = − + + − 0,25 2 2 2 2 9a 45b a 5( 20a 100b 5b)⇔ − − = − + + (*) 0,25 Ta thấy (*) có dạng A B 5= nếu A B 0 thi 5 Z B ≠ = ∈ vô lí vậy B = 0 => A= 0. 0,25 Do đó (*) 2 2 2 2 9a 45b a 0 20a 100b 5b 0  − − =  ⇔  − + + =   0,25 2 2 2 2 2 2 9a 45b a 0 9a 45b a 0 9 9 9a 45b b 0 a b 4 4   − − = − − =   ⇔ ⇔   − + + = =     2 9 a b a 9 a 0 hoac 4 b 4 b 0 b 4b 0  = = =    ⇔ ⇔    = =    − =  (Loại vì không thỏa mãn ĐK (*)) ⇒ a = 9; b = 4 0,5 Bài 2 6,0đ a) 5,0đ * Biến đổi vế phải ta có 2 2 2 2013 (2012 1) 2012 2.2012 1= + = + + 2 2 1 2012 2013 2.2012⇔ + = − 2 2 2 2 2 2 2012 2012 2012 2012 1 2012 2013 2.2012 2013 2013 2013 2013 ⇒ + + + = − + + 2 2012 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013   = − + = − + =  ÷   0,75 Phương trình trở thành: 1 2 2013− + − =x x (*) 0,5 Xét 3 trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu 1 ì (*) 3 2 2013 1005< ⇔ − = ⇔ = −x th x x (thỏa mãn) 0,5 - Trường hợp 2: Nếu 1 2 (*) 0 1 2013≤ < ⇔ + =x thi x (Phương trình vô nghiệm) 0,25 - Trường hợp 3: Nếu 2 (*) 2 3 2013 1008≥ ⇔ − = ⇔ =x thi x x (thỏa mãn) 0,25 Kết luận: Phương trình (*) có 2 nghiệm: 1 1005= −x và 2 1008=x 0,25 * ĐK x 2,5≤ − (*) Phương trình đã cho trương đương với: 1 5 2 6x x x− + − − = − 0,25 0,25 ⇔ 1 ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6x x x x x− + − − + − − − = − 0,25 ⇔ (1 )( 5 2 ) 5x x x− − − = + ĐK: x ≥ - 5 (**) 0,5 ⇔ (1 –x)(- 5 – 2x) = (x +5) 2 0,25 ⇔ x 2 – 7x – 30 = 0 0,25 ⇔ x 1 = - 3 (thoả mãn ĐK (*) và (**)) hoặc x 2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**)) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x = - 3. 0,25 b) 1,0đ Cộng vế theo vế ta được 2 2 2 x 6x 6y x 2xy y 6(x y) 9 0  + =   − + − − + =   2 2 x 6x 6y (x y 3) 0  + =  ⇔  − + =   0,25 2 x 6x 6(x 3) x 3 2 y x 3 y x 3   + = + = ±  ⇔ ⇔   = + = +    0,5 Vậy (x; y) = (3 2;3 3 2), ( 3 2;3 3 2)+ − − 0,25 Bài 3 3,0đ Điều kiện: 5 5− ≤ ≤x (*) 0,25 * Tìm giá trị lớn nhất: Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a 1 ; a 2 ); (b 1 ; b 2 ) ta có: (a 1 b 1 +a 2 b 2 ) 2 ≤(a 1 2 +a 2 2 )(b 1 2 +b 2 2 )(**) Đẳng thức xẩy ra 1 2 1 2 a a b b ⇔ = 0,25 Áp dụng (**) ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1. 5 (2 1 )( 5 ) 25= + − ≤ + + − =M x x x x 0,5 Đẳng thức xẩy ra khi 2 2 2 0 0 5 2 2 2 2 4(5 ) ≥ ≥   = − ⇔ ⇔ ⇔ =   = = − = −   x x x x x x hoac x x x (TMĐK(*)) 0,5 Vậy với x = 2 thì GTLN của M = 5 0,5 * Tìm giá trị nhỏ nhất Từ điều kiện (*) tá có 2 2 5≥ −x (1) 0,25 Mặt khác 2 5 0− ≥x (2) Từ (1) và (2) ta có 2 2 5 2 5= + − ≥ −M x x 0,25 Đẳng thức xẩy ra khi 2 2 2 5 5 5 0  = −  ⇔ = −  − =   x x x 0,25 Vậy khi 5= −x thì M đạt GTNN là 2 5− 0,25 Bài 4 6,5đ Vẽ hình 0,25đ 0,25 1,0 1,0 a) 2,0đ Ta có OA OB OC= = nên ACBV vuông tại C nên · · 0 BCH ACH 90+ = (1) Vì AB ⊥ CD nên · · 0 CAH ACH 90+ = (2) Từ (1) và (2) suy ra · · CAH BCH= . Mặt khác AB ⊥ CD HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân giác góc A => · · CAH DAH= · · BCH DAH⇒ = => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau b) (2,0đ) Áp dụng định lí Pitago ta có 2 2 2 2 AC AH HC a b= + = + Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có 2 2 2 2 AC a b AC AB.AH AB AH a + = ⇔ = = 2 2 AB a b R 2 2a + ⇔ = = 0,5 1,5 c) 2,25đ Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ. Đặt OK = x; OL = y; Đặt OH = d Ta có 2 2 2 2 x y OH d+ = = không đổi 0,25 Đặt T MN PQ= + Xét 2 2 2 T MN PQ 2MN.PQ= + + 0,25 2 2 2 T MN PQ 2MN.PQ⇒ = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 4(R x ) 4(R y ) 8 (R x )(R y ) = − + − + − − 2 2 2 4 2 2 2 2 2 8R 4(x y ) 8 R R (x y ) x y = − + + − + + 2 2 4 2 2 2 2 8R 4.d 8 (R R .d ) x y = − + − + 0,5 * T đạt GTLN khi T 2 đạt GTLN 2 2 x y⇔ đạt GTLN xy⇔ đạt GTLN 0,25 Áp dụng BĐT Cosy ta có 2 2 2 x y d xy 2 2 + ≤ = 0,25 Dấu “=” xẩy ra khi x y= <=> OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây cung. 0,25 * T đạt GTNN khi T 2 đạt GTNN 2 2 x y⇔ đạt GTNN xy⇔ đạt GTNN 0,25 Mặt khác do x, y 0≥ nên xy 0≥ , dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở thành đường kính. 0,25 Bài 5 1,0đ Vì x, y (0,1]∈ nên (1 )(1 ) 0 1− − ≥ ⇔ + ≥ +x y xy x y 1⇔ + + ≥ + +z xy x y z (1) 1 ⇔ ≤ + + + + y y z xy x y z 0,5 Tương tự ta có (2) ; (3) 1 1 ≤ ≤ + + + + + + + + x x z z y xz x y z x xy x y z Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được 3 1 1 1 + + + + ≤ ≤ + + + + + + + + + + x y z x y z y xz z xy x yz x y z x y z Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1 0,25 0,25 Tổng 20,0 Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa; - Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ . z ==HẾT== Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Nội dung Điểm Bài. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 11 / 2012 Bài 1. a) Rút gọn biểu thức:. mãn) 0,5 - Trường hợp 2: Nếu 1 2 (*) 0 1 2013≤ < ⇔ + =x thi x (Phương trình vô nghiệm) 0,25 - Trường hợp 3: Nếu 2 (*) 2 3 2013 1008≥ ⇔ − = ⇔ =x thi x x (thỏa mãn) 0,25 Kết luận: Phương trình (*)