Đang tải... (xem toàn văn)
ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN 20142015 HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN 20142015 HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN 20142015 HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN 20142015 HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN 20142015 HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ÔN THI ĐẠI HỌC TOÁN 20142015 HÌNH GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN u ur uu r r r Tọa độ điểm: M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk O(0; 0; 0) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y; ) M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) đặcbiệt: M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z ) M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y ;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z ) M ∈ Oz ⇒ M ( 0; 0; z ) r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Toạ độ vectơ: r r r i = (1;0;0); j = (0;1;0); k = (0;0;1) Các cơng thức tính toạ độ vectơ: uu ur AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) r u r Cho u = ( x; y; z ) u ' = ( x '; y '; z ' ) r u r u = u ' ⇔ {x = x '; y = y '; z = z '} r u r u ± u ' = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ' ) ru r Tích vơ hướng: u.u ' = x.x '+ y y '+ z.z ' Các cơng thức tính độ dài góc rr r r u.v = ⇔ u ⊥ v r u = x2 + y2 + z (x AB = ru r r u r u.u ' cos u; u ' = r u = r u u' ( r ku = ( kx; ky; kz ) ) B − xA ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) xx '+ yy '+ zz ' x + y + z x '2 + y '2 + z '2 2 Đặc biệt M trung điểm AB ta có : xM = xA + xB y + yB z + zB ; yM = A ; zM = A 2 x + xB + xC xG = A yA + y B + yC G trọng tâm tam giác ABC ⇔ y G = zA + zB + zC zG = Bài tập: Xét toán hệ trục tọa độ Oxyz r r r u r r r r ur u r r r Cho u = i − j , v = 3i + 5( j − k ), w = 2i + j − k a) Tìm tọa độ vecto rr r r ( r r ) r(u r)u r r b) Tìm cosin góc u; i , v; j c) Tính tích vơ hướng u.v, u.w, v.w Cho M(a, b, c) a) Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục tọa độ b) Tìm tọa độ hình chiếu M lên mp tọa độ rr Tính tích vơ hướng a.b , biết r r a) a = ( 3;0; −6 ) ; b = ( 2; −4;0 ) r r Tìm góc hai vecto u; v r r a) u = ( 1;1;1) ; v = ( 2;1; −1) r r b) a = ( 1; −5; ) ; b = ( 4;3; −5 ) r r r u r r r b) u = 3i + j , v = −2 j + 3k Tìm M Ox cho M cách A(1; 2; 3) B(-3; -3; 2) 10 Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; ; 2), C(1 ; ; 1) a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tính độ dài đường trung tuyến AM Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5) Tính tọa độ đỉnh cịn lại (TN 07 - 08)Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D cho tứ giác ABCD hình bình hành (TN 01-02)Trong không gian cho điểm A, B, C, D có toạ độ xác định hệ thức: A(2; 4; -1), uu r r r ur uu ur r r r OB = i + 4j − k , C(2; 4; 3), OD = 2i + 2j − k Chứng minh :AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3) a)Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật.Tính diện tích b)Tính cos góc tam giác ABC c)Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB Bài 2: MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Mặt cầu có tâm I(a; b; c) bán kính R : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d >0 Tâm I(a; b; c) bán kính R= a + b + c − d Chú ý: a) Mặt cầu có tâm I qua A R = IA = b) Mặt cầu có đường kính AB R = ( x A − xI ) 2 (2) + ( y A − yI ) + ( z A − zI ) 2 AB tâm I trung điểm AB c) Mặt cầu qua điểm A, B,C, D viết phương trình mặt cầu dạng (2) thay tọa độ điểm vào phương trình giải hệ để tìm a, b, c, d Bài 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu: d) x2 + y2 + z2 -6x +4y -2z – 86 = f) (x - 1)2 +(y +3 )2 +(z – 2)2 = 49 2 e) x +y +z +3x + 4y – 5z +6 = g) x2 +y2 +z2 –2x +2z – = x + y + z + x − y − 12 z − 100 = Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết: a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3) b) mặt cầu qua điểm A(5; -2; 1) có tâm C(3; -3; 1) c) mặt cầu qua điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1) d) mặt cầu qua điểm A(1 ; ; -1), B(3 ; ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; ; 3) Bài Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau a Có tâm I(1 ;0 ;-1) , đường kính b Dường kính AB với A(-1 ;2 ;1 ) , B(0 ;2 ;3) c Có tâm O(0 ;0 ;0 ) tiếp xsc với mặt cầu (S) có tâm (3 ;-2 ;4) kính d Có tâm I(3 ;-2 ;4) qua A(7 ;2 ;1) e Có tâm I(2 ;-1 ;3) tiếp xúc với mp(0xy) f Có tâm I(2 ;-1 ;3) tiếp xúc với mp(0xz) g Có tâm I(2 ;-1 ;3) tiếp xúc với mp(0yz Bài 3: ( TN03-04)Trong khoâng gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ hình chiếu A lên Oxy Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D Bài 4: Lập pt mặt cầu qua điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) có tâm nằm mp Oxy Bài 5: Chứng tỏ phương trình x + y + z + 4mx − 2my + z + m + 4m = ln phương trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ Bài 6: Chứng tỏ phương trình x + y + z + 2cosα x − 2sin α y + z − − 4sin α = phương trình mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu lớn Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ Cơng thức tích có hướng r r u r u r y z z x x y ; ; y' z' z' x' x' y' Cho u = ( x; y; z ) u ' = ( x '; y '; z ' ) ; u ∧ u ' = Nhận xét: r r r r r u; v phương u ∧ v = = ( 0;0;0 ) r r r r u ∧ v = −v ∧ u r r r r r r u ⊥ (u ∧ v ); v ⊥ (u ∧ v) uu uu r ur ur Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB ∧ AC = ÷ = ( yz '− zy '; zx '− xz '; xy '− yx ') uu uu uu ur ur ur A, B, C , D không đồng phẳng hay lập thành tứ diện AB; AC AD ≠ Ứng dụng để tính diện tích ur ur uu uu AB; AC 2 ur ur ur uu uu uu Thể tích tứ diện VABCD = AB; AC AD 6 uu uu uu ur ur ur Thể tích khối hộp VABCD ABCD = AB; AC AD Diện tích tam giác S ABC = Bài tập: Bài a Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ;1 ;0) , B(0 ;2 ;1), C(1 ;0 ;2), D(1 ;1 ;1) b Chứng minh bốn điểm lập thành tứ diện Tính thể tích khối tứ diện c Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC d Tính diện tích tam giác ABC Tính đường cao AH tam giác ABC e Tính góc hai đường thẳng AB CD f Viết phương trính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài a Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1 ;0 ;0), B(0 ;0 ;1), C(2 ;1 ;1) b Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác c Tính chiều cao AH tam giác ABC d Tìm tọa độ D cho ABCD hình bình hành e Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC f Viết phương trình mặt cầu đường kính AB Bài : MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt phẳng: a Định nghĩa r Cho vecto n ≠ có giá vng góc với mặt phẳng gọi vecto pháp tuyến ý Để viết phương trình mặt phẳng cần VTPT điểm quau uuu ur r u uu uu ur ur Nếu mp α có VTCP AB, CD VTPT cách AB; CD VTCP : vecto có giá nằm mp song song với mp Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = r VTPT (P) n = ( A; B; C ) Phương trình tổng quát mặt phẳng: r B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) ( vectơ vng góc với mặt phẳng) B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt dạng: Ax + By +Cz + D = Chú ý: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = r a VTPT (P) n = ( A; B; C ) Các trường hợp đặc biệt: u r Chứa trục Ox ( chứa e1 = (1;0;0) ) u u r Chứa trục Oy ( chứa e2 = (0;1;0) u r Chứa trục Oz chứa e3 = (0;0;1) a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = b) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = c) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng: x y z + + =1 a b c Bài tập: Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6) r a)Viết phương trình mp qua A nhận vectơ n(1; −1;5) làm vectơ pháp tuyến r r b)Viết phương trình mp qua A biết hai véctơ có giá song song mp a (1; 2; −1), b (2; −1;3) c)Viết phương trình mp qua C vng góc với đường thẳng AB d)Viết phương trình mp trung trực đoạn AC e)Viết phương trình mp (ABC) Viết phương trình mặt phẳng (α) trường hợp sau: a) (α) vng góc với AB A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1) b) (α) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3) uu r r uu r ur ur r Trong không gian cho A(−1;2;1), OB = j + k , OC = i + 4k a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Viết phương trình mặt phẳng: a) chứa trục Ox điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy điểm B(- ; ; 5) c) chứa trục Oz điểm C(2 ; -1 ; 2) Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Viết phương trình mp (ACD) (BCD) b) Viết phương trình mp chứa AB song song CD c) viết phương trình mp chứa CD song song AB Viết phương trình mp qua M(1; 3; -5) song song mp tọa độ Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu M lên trục toạ độ Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp qua điểm hình chiếu M lên mp toạ độ 10 ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1) Viết phương trình mp qua A vng góc với đường thẳng BC 11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + = 0) b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC ( Đáp án: M(2; 3; -7) II Vị trí tương đối hai mp: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = r u r Khi (P) (P’) có vecto pháp tuyến n = ( A; B; C ); n ' = ( A '; B '; C ' ) r u r n = k n ' ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ' ) ⇔ (P) // (P’) ⇔ D ≠ kD ' D ≠ kD ' r u r n = k n ' ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ' ) ⇔ ( P ) ≡ ( P ') ⇔ D = kD ' D = kD ' r u r (P) cắt (P’) ⇔ n ≠ k n ' ⇔ ( A; B; C ) ≠ ( A '; B '; C ' ) r r Trong trường hợp AA’ +BB’ +CC’ = ⇔ n ⊥ n ' ⇔ hai mặt phẳng vng góc Chú ý: r Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = suy (P) có VTPT n = ( A; B; C ) r Nếu (P’) // (P) (P’) nhận n = ( A; B; C ) VTPT r Nếu ( P ) ⊥ ( P ' ) (P’) chứa chứa n = ( A; B; C ) Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng (α) trường hợp sau: a) (α) qua A(0; −2; 1) song song với mặt phẳng (β): x−3z+1=0 b) (α) qua B(2 ; ; -2) song song với mặt phẳng (β): x−3y + 2z - 1=0 c) (α) qua C( -1 ; ; -1) song song với mặt phẳng (β): 2x + y - 2z+4=0 d) (α) qua gốc tọa độ song song với mặt phẳng (β): 4x + y - z+1=0 Viết phương trình mặt phẳng (α) trường hợp sau: a) (α) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) vng góc với mặt phẳng (β):2x−y+3z+1=0 b) (α) qua hai điểm A ( −1;0;3) , B ( 5; 2;3 ) vng góc với mặt phẳng (β): x + y − z = c) (α) qua hai điểm A ( 1;0;1) , B ( 1; 2; ) vng góc với mặt phẳng (β): x − z + = d) (α) qua hai điểm A ( 2; −1; ) , B ( 1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (β): x + y − = Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) vng góc với mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + = (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) mp(P): x + y – 2z – = Viết mp(Q) qua M song song với (P) (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P 1) : x + 2y + 3z + = (P 2) : 3x + 2y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vng góc với hai mặt phẳng (P1) (P2) Xác định giá trị m, n để cặp mặt phẳng sau cặp mp song song với a) 2x + my + 3z – = nx – 8y – 6z +2 = b) 3x – 5y + mz - = 2x + nx – 3y – 3z + = Tóm tắt số cách viết phương trình mặt phẳng : r u r Loại 1: Biết điểm M0(x0;y0;z0) vectơ pháp tuyến n= ( A;B;C ) ≠ mặt phẳng (α): (α): A ( x - x0 ) +B ( y - y0 ) +C ( z - z0 ) = (1) Hay: Ax+By+Cz+D = Loại 2: (α) qua ba rđiểmrM, ur P không thẳng hàng: N, uu uu u * Vectơ pháp tuyến: n=MN ∧ MP * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N P) Thay kết vào (1) Loại 3: (α) qua A(xA;yA;zA) song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D = ( ur u ur u ) * (α) có dạng Ax+By+Cz+m= , nα =nβ * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm m, ( m= - ( Ax A +By A +Cz A ) ) Loại 4: (α) qua hai điểm M, N vng góc với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D = , (MN u u ur khôngu vng góc với (β): ur u ur * (α) có nα =MN ∧ nβ * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N) Thay kết vào (1) MỘT SỐ PP TÌM PT MP M ∈ ( P) uu uu u u ur r = MN , MP r 1mp(P) qua 3điểm M;N;P PP: n P 2)mp(P)đi qua điểm A;B song song trụcox 3)mp(P)đi qua điểm A;B song song oy PP: 4)mp(P) qua 2điểm A;B song song oz PP: 5)mp(P)đi qua điểm A;B song song d PP: PP: 6)mp(P) qua điểm A;B vuông góc mp(Q) PP : 7)mp(P) qua 2điểm A;B song song đường thẳng CD pp: 8)mp(P) qua điểm A song song mp(Q) PP: A ∈ ( P) ur u n P = ud PP: r 9)mp(P) qua A vng góc với d 10)mp(P) qua A song song oy vng góc mp(Q) 11)mp(P) qua A song song PP: d1 d (chéo nhau) PP: 12)mp(P) qua A vng góc mp(Q)và vng góc (R) A ∈ ( P) u ur ur uu u PP: r n P = AM , ud M ∈ ( P) u ur ur u u PP: ur nP = ud , nQ 13)mp(P) qua A chứa d (M thuộc d ) 14)mp(P) chứa d vng góc (Q) 15)mp(P) chứa ( M ∈d) d1vàd cắt M 16)mp(P) chứa đường thẳng PP: PP: d1 songsongd (biết M ∈ d1vàN ∈ d ) *17)mp(P) chứa giao tuyến 2mp (Q); (R ) qua A PP: PP: *18)mp(P) chứa giao tuyến 2mp (Q) ; (R ) vng góc (G) PP: III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Cho điểm M(x0; y0; z0) mp (P) :Ax + By +Cz + D = d ( M , ( P )) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Bài tập: Loại 1: Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D = : d ( M, α ) = AxM +ByM +CZM +D A2 +B2 +C2 Loại 2: Khoảng cách hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đến mặt phẳng Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết: a) M (1; 2; 3), (P): 2x – y + 2z – 10 = b) M( 2; -2; 3), (P): 4x – 3z + = c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y – 11 = 2.Tính khoảng cách hai mặt phẳng có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = x + 2y + 2z + = 3.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) mp (P) có phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua điểm A song song với mặt phẳng (P) Tìm khoảng cách mặt phẳng (P) (Q) 4.Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (α): 2x+y−2z+2=0 ĐS: m=±1 5.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD 6.Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD 7.Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh ABCD tứ diện c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) d) Tính thể tích tứ diện ABCD ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mp(P) có phương trình: 2x – 2y + z – = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Viết phương trình mp(Q) cho (Q)//(P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ A đến (P) (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1) + (y -2)2+ (z -2)2 = 36 mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = Xác định tâm T tính bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến (P) 10.Cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD 11 (ĐH – khối B – 09)Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Hướng dẫn: có trường hợp : (P) chứa AB song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z – 15 = (P) qua A, B M trung điểm CD ( Đs : 2x + 3z – = 0) 12.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) Tính thể tích tứ diện ABCD 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) điểm B’ đỉnh đối diện với O a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng b) Tìm tọa độ điểm B’ Tính khoảng cách từ O đến (ACB’) 14.Giải toán sau phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D) b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải toán liên quan: AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng cho trước Mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) có bán kính khoảng cách từ tâm I đến mp(P) 15.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD) 16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc mp (ABC) 17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu tâm gốc toạ độ tiếp xúc với mp(α) 18.(Khối B – năm 2005)Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm toạ độ điểm A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’) AD2: Xét vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Nhắc lại số cơng thức: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R mp(P) Để xét vị trí tương đối (S) (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) so sánh với bán kính R a) Nếu b) Nếu d ( I , ( P ) ) > R mặt cầu (S) mp(P) khơng có điểm chung d ( I ,( P) ) = R mặt cầu (S) mp(P) có điểm chung Trường hợp này, ta nói (S) (P) tiếp xúc c) Nếu d ( I ,( P) ) < R mặt cầu (S) mp(P) cắt theo đường trịn (C) có tâm hình chiếu I lên (P) bán kính r = R2 − d ( I , ( P ) ) 19 Cho mặt cầu (S): ( x − 3) + ( y + ) + ( z − 1) = 100 mặt phẳng ( α ) 2x – 2y – z + = Chứng tỏ mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Hãy tính bán kính đường trịn (C) 20 Cho mặt cầu (S) : x + y + z − x + y − z + = mặt phẳng ( α ) x + 2y + 2z + 11 = Chứng tỏ mặt phẳng ( α ) không cắt mặt cầu (S) 21 Cho mặt cầu (S): x + y + z − x + y + z + 17 = mặt phẳng ( α ) x – 2y +2z + = Chứng tỏ mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn (C) Hãy tính bán kính đường trịn (C) 22 Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1) a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm tính bán kính mc (S) b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 23 (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x +4y +2z -3 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính 24.Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m – 3m = mặt cầu (S): 2 ( x −1) + ( y + 1) + ( z −1) = Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc Đáp số: m = - m = AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ d ( I ,( P) ) = R 25 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng ( P) có phương trình x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - = ; x – y – 2z + = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp (P) 26.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1) a) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D b) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với mp(ABD) Đs: a) x2 + y2 + z2 –3x – 6y – 2z + =0 b) z± 21 −1 = Bài : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Viết PTTS, PTCT đường thẳng Định ngĩa : Vecto có giá nằm đường thẳng song song với đường thẳng gọi veto phương (VTCP) đường thẳng B1: Tìm toạ độ vectơ phương (a; b; c) ( vectơ có giá song song trùng với đường thẳng B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng x = x0 + at B3: PTTS: y = y0 + bt z = z + ct PTCT: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Chú ý Để viết phương trình đường thẳng ta phải VTCP điểm qua a) Nếu đường thẳng d giao tuyến hai mp (P) :Ax + By +Cz + D = (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = r ur ur u u B C C A A B ; ; ÷ B ' C ' C ' A' A' B ' Khi đt d có VTCP: u = nP ∧ nP ' = Muốn tìm điểm thuộc d ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z uu ur b) Đường thẳng d qua điểm A, B d có VTCP AB c) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng(P) d có VTCP VTPT (P) d) đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ d ∆ có VTCP e) hai đường thẳng vng góc hai vectơ phương chúng vng góc 2.CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Đường thẳng (d) qua A,B ( hayB) quaA (d ) a d = AB Vtcp Dạng 2: Cách viết pt đường thẳng (d) qua A song song (∆) ur u B1: Tìm u∆ ur ur u u B2: Vì d// ∆ nên ud = u∆ Sử dụng công thức (*) (**) để viết pt (d) Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A ur vuông góc mpα u B1: Tìm VTPT (α) nα ur ur u u B2: Vì d ⊥ (α ) nên ud = nα Sử dụng công thức (*) (**) để viết pt (d) Dạng 4: Đường thẳng (d) qua A vuông góc (d1),(d2) ur u r u u B1: Tìm ud1 , ud B2:Vì d vuông góc với d1 d2 nên d có ur u r u u ur u ud = ud1 , ud VTCP Sử dụng công thức (*) (**) để viết pt (d) Dạng 5: Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mpα : Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc mp(α) :( dạng 3) Ptr ( d ) Tọa độ H(x ;y ;z) thỏa hpt : Ptr (α) x = x0 + at 2.H hình chiếu M( M ( x1 ; y1 ; z1 ) đường thaúng d : y = y0 + bt z = z + ct B1 :Tìm VTCP d u ur uu B2 : Lấy H ( x0 + at , y0 + bt ; z0 + ct ) ∈ d ; Tính MH u ur ur uu u u u rur uu u B3 : H hình chiếu M lên d ⇔ MH ⊥ ud ⇔ MH ud = Giaûi pt tìm t thay vào H ta hình chiếu H Dạng 6: Điểm đối xứng a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) : • Lập pt đt (d) qua điểm M vuông góc mp(P) • Tìm toạ độ giao điểm H đt(d) mp(P) • A/ đối xứng với A qua (P) ⇔ H trung điểm MM/ nên : xM / = xH − xM yM / = y H − yM zM / = z H − zM b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua đt(d) : • Tìm toạ độ giao điểm H đt(d) mp(P) • A/ đối xứng với A qua (d) ⇔ H trung điểm MM/ nên : xM / = xH − xM yM / = y H − yM zM / = z H − zM BÀI TẬP: Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau: a) (d) qua A(1;2;3) B(3; 5; 7) b) (d) qua C(-2; 0; 2) D(1; -2; 3) Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có) đường thẳng d trường hợp sau: a) (d) qua M(-1; 3; 1) vuông góc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + = b) (d) qua N(0; 2; ) vng góc với mặt phẳng(Q): x + y - z = Viết phương trình tham số, phương trình tắc ( có) đường thẳng d trường hợp sau: x = 4t a) (d) qua K(-2; -1; 3) song song đường thẳng ∆ y = − t z = + t x = − t b) (d) qua K(0; 3; -2) song song đường thẳng ∆ y = z = −1 + 5t Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng : a) (P): x + 2y – 2z + 1= (Q): x – y + z – = b) (P): 3x - y – z + = (Q): x + 2z + = Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 3) vng góc với hai đường thẳng: ∆ : x y +1 z − x − y z +1 = = = = ∆ ' : −2 −3 (TN năm 2007) Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) mp(P): x + y – 2z – = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M vng góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm d mp(P) (TN năm 2008)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) mp(P) : 2x – 2y + z – = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với mp(P) (TN năm 2009) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = Viết phương trình tham số d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P) (ĐH- Khối A- 2005)Trong khoâng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = −1 vaø mp(P): 2x + y – 2z + = Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mp (P) baèng (α ) : x − y + z + 11 = (α ) : x + y − z − 27 = 10 Tìm tọa độ H hình chiếu vng gốc M=(1;-1;2) mặt phẳng x = + 2t (α ) : x − y + z + 11 = y = −1 − t 2t 11 Cho điểm M ( 2;1;0) mặt phẳng (α ) : x + y − z − 27 = Tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua (α ) x = + 2t 12 Tìm tọa độ A’ đối xứng với A(1;-2;-5) qua đường thẳng d có phương trình y = −1 − t 2t II 10 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG x = x0 + at Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d: y = y0 + bt z = z + ct x = x0 + at ( 1) ( 2) y = y0 + bt Xét hệ phương trình ( 3) z = z0 + ct Ax + By + Cz + D = ( ) Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (*) TH1: (*) vơ nghiệm d (P) khơng có giao điểm hay d (P) song song TH2: (*) có nghiệm t d (P0 có giao điểm hay d (P) cắt điểm TH3: (*) có vơ số nghiệm d (P) có vơ số giao điểm hay d nằm mặt phẳng (P) Chú ý: Trong trường hợp d // (P) d ⊂ ( P ) VTCP d VTPT (P) vng góc Khi d // (P) khoảng cách d (P) khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng (P) 13 Tìm số giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P): x = 12 + 4t a) d : y = + 3t ; ( P ) : x + y − z − = z = 1+ t x = 1+ t b) d : y = − t ; ( P ) : x + y + z + = z = + 2t x = 1+ t c) d : y = + 2t ; ( P ) : x + y + z − = z = − 3t x = + 3t d) d : y = −1 + 2t ; ( P ) : x − y − z + = z = − 5t 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3) a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB c) Lập phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Bài 12: a) b) c) d) e) III Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6) Tính góc tạo cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG r Cho ∆ qua M(x0; y0; z0) có vectơ phương u = ( a; b; c ) u r ∆ ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) có vectơ phương u ' = ( a '; b '; c ' ) 11 x = x0 + at x = x '0 + a ' t ' có PTTS là: ∆ y = y0 + bt ; ∆ ' y = y '0 + b ' t ' z = z + ct z = z ' + c 't ' 0 r năng: u r *) Nếu thấy u = ku ' lấy tọa độ điểm M ∈ ∆ vào phương trình đường thẳng ∆ ’ Xảy khả TH1: M ∈ ∆ ' hai đường thẳng trùng TH2: M ∉ ∆ ' đường thẳng song song r u r *) Nếu thấy u ≠ ku ' giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng x0 + at = x '0 + a ' t ' y0 + bt = y '0 + b ' t ' z + ct = z ' + c ' t ' TH3: hệ có nghiệm hai đường thẳng cắt TH4: hệ vơ nghiệm hai đường thẳng chéo *) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = hai đường thẳng vng góc 14 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau: x = t x = −t ' a) ∆ y = − 4t ; ∆ ' y = + 4t ' z = −3 − 3t z = −3 + 3t ' x = 9t x y z +3 ; ∆': = = b) ∆ y = 5t −18 −10 z = −3 − t x −1 y − z − x − y +1 z + = = ; d ': = = −2 x = 1+ t x+2 y +3 z = = ; d ' : y = −2 + t d) d : z = + 3t c) d : x = − 2t x = 1+ t ' e) ∆ y = + 2t ; ∆ ' y = − 2t ' z = 3t z = 15 Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình: d : x +1 y −1 z − x y −1 z + = = ; d ': = = −2 1 a) Tìm tọa độ giao điểm d d’ b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng x = x = −3t ' 16 Cho đường thẳng d y = −4 + 2t ; d ' y = + 2t ' z = + t z = −2 a) Chứng minh d d’ chéo b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d song song d’ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ song song d Từ suy vị trí tương đối (P) (Q) 12 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I Giải phương trình vô tỉ phép biến đổi tương đương hệ A Lý thuyết: 1) B ≥ A=B⇔ A = B 2) Dạng: A+ B = C 3) Dạng: A+ B = C + D * Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) bình phương vế ta phương trình tương đương * Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) phải đưa phương trình dạng: sau bình phương hai vế, tìm nghiệm sau thử lại để chọn A− C = D− B nghiệm 4) Dạng: A+3 B = C * Lập phương hai vế ta được: Sau thay thế: A+3 B = C A + B + 3.3 AB (3 A + B ) = C vào phương trình, ta được: A + B + 3.3 ABC = C 13 Chú ý: thay dẫn đến nghiệm ngoại lai, phải thử lại nghiệm B Bài tập: Bài Giải phương trình: 1) 3) 2) x + + x + = 8x + 4) x − 3x − + x − 5x + = x − x − + 4x + 2) x − + x − = 3x + + − x x3 + + x + = x2 − x + + x + x+3 4) 3x − x + = − x x + − 5x − = 3x + Bài Giải phương trình: 1) x + + 3x + = 3) 2x + + x2 − − 2x + = x −1 Bài Giải phương trình: 1) x + 34 − x − = 3) 2) x − + x − = 3x + x − + x − = 2x − Bài Giải phương trình sau: 1) 3) 14 x2 − 3x − = − x 3x − x + x + 16 = 40 x + 16 2) 4) + x2 − x = x2 − 7 + x− = x x x + x2 x +1 II Giải phương trình vơ tỉ cách trục thức * Áp dụng cho trường hợp sau: - Đưa dạng đơn giản - Nhẩm phương trình có nghiệm x = x0 Bài tập: Giải phương trình sau: 1) = x − 16 2x + − 2x − 3) x2 − 2x + + x = 2) 3x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + x + + 3x − III Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng Đặt ẩn phụ hoàn toàn đại số: Bài Giải phương trình: 1) x + 10 x + = − x − x 2) 3) x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = 4) x + − 12 − x = − x + 11x − 23 2) x + + x + = x − 16 + x + x + x + x2 + + x + x2 + = Bài Giải phương trình 1) x − − x + = x2 − − 2x + 15 Bài Giải phương trình: 1) x + x − ( x − 2) 3x + =8 x−2 2) ( x + 3) 5− x + 15 + x − x − 12 = x+3 Bài Giải phương trình: 1) x+ x = 2x + +4 2x 2) x + − x = + 3x − x Bài Giải phương trình: 1) x +1 x+2 −2 =3 x+2 x +1 2) x + x − = 5.4 x − x Bài Giải phương trình: x 1) x + x x − = 3x + 2) x + x − x = x + (HD: Chia hai vế cho x ) Dạng Đặt ẩn phụ hoàn toàn lượng giác: * Có thể áp dụng cho phương trình mà ĐK biến số thuộc đoạn [a; b] Giải phương trình: 1) x3 − x = − x 3) x3 − 12 x + x − = x − x 16 2) − 3x = x x − (Chia vế cho x3) (Đặt (x-1) = sint) ( + − x2 = x + − x2 4) [ 6) + − x = x + (1 − x ) ) 5) 6x + = 2x (lập phương vế) ] Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ: Bài Giải phương trình: 1) 3) x3 + x + + x3 + x − = 2) − x2 + − x + + x = 4) x + − 2x − = 18 − x + x − = Bài Giải phương trình: 1) x + = 2.3 x − 3) x2 − x − = ,(y = x − ) x+8 , (y-3 = 2) x+8 ) 4) x2 − x − = x+3 , (y-1 = x+3 ) x+4 = 3x − x − IV Một số tốn phương trình vơ tỉ có chứa tham số: A Lý thuyết : * Phương trình : f(x) = m có nghiệm tập D ⇔ f ( x) ≤ m ≤ Max f ( x) D D * Chú ý : Xét toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta làm sau : Bước : Tìm ĐK tồn phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D khoảng, đoạn nửa khoảng) Bước : Đưa phương trình f(x,m) = dạng g(x) = m 17 Bước : Xét biến thiên, tìm GTLN GTNN có, g(x) tập D Bước : Lâph BBT, từ BBT suy ĐK có nghiệm phương trình * Thường toán ta phải đặt ẩn phụ (như dạng nêu phần giải phương trình vơ tỉ đây), Chú ý ĐK ẩn phụ phải xác Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x3 − x + m = x − Giải: Với ĐK x ≥ 1/ , ⇔ x3 phương trình cho ⇔ x − x + m = 4x − 4x + – 4x2 – 3x – = – m f(x) = - m Xét hàm số f(x) 1 ;+∞ , (1) ta có f ’(x) = 3x2 – 8x – ; f ‘(x) = x - + _ + -27/8 x = ⇔ x = −1 / 3(loai ) + 1/2 f’(x) f(x) -19 _ f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8 * BBT (hình bên) 1 Từ BBT suy (1) có nghiệm ;+∞ (tức phương trình cho có nghiệm) ⇔ − m ≥ −19 ⇔ m ≤ 19 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 18 m( + x + − x ) + 15 + x − x ≤ 2m − 11 (1) Hướng dẫn: * ĐK: * Đặt −3 ≤ x ≤ t = 3+ x + 5− x Suy ra: , 2 ≤t≤4 15 + x − x = Nên (1) trở thành: t2 − mt + t2 − 11 t2 + ≤ 2m − ⇔ ≤ −2m ⇔ g (t ) ≤ −2m 2 t−2 * Khảo sát biến thiên hàm số g(t) đoạn [2 ;4 ], * Lập BBT từ BBT suy giá trị cần tìm B Bài tập: Bài Tìm điều kiện m để phương trình 1) có nghiệm thực nhất, - x2 + 23 - x2 = m 2) có nghiệm thực Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực nhất: x + - x + 2m x(1 - x) - 24 x(1 - x) = m3 Bài Tìm điều kiện m để phương trình x2 + 2x - m = 2x - có nghiệm thực phân biệt Bài Tìm điều kiện m để phương trình x+ x+ 1 + x+ = m có nghiệm thực 19 Bài Tìm điều kiện m để phương trình 16 - x2 - m 16 - x2 có - 4= nghiệm thực x- x +2 - m +2= x +2 x- Bài Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + - m x - + 24 x2 - = có nghiệm thực (A-2007) Bài Chứng minh m > phương trình (B- x + x − = m( x − 2) 2007) Bài Tìm điều kiện m để phương trình x + x + 24 − x + − x = m có hai nghiệm thực phân biệt (A-2008) Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x+4 x- 4+x+ x- = m có nghiệm thực Bài 11 Tìm điều kiện m để phương trình x+6 x- 9+ x- x- = x+m có nghiệm thực Bài 12 Tìm m để phương trình thực 20 x - + 3- x - (x - - x) = m )(3 có nghiệm Bài 13 Tìm m để phương trình x4 + 4x + m + x4 + 4x + m = Bài 14 Chứng tỏ phương trình 3x2 - 2x - = 2x - + mx có nghiệm thực ln có nghiệm thực với giá trị m Bài 15 Tìm m để phương trình (x - 3)(x + + 4(x - 3) ) Bài 16 Tìm m để phương trình 1- x + + x = m x +1 =m x- có nghiệm thực có nghiệm thực Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện m để phương trình: ( m + x2 - ) - x2 + = - x4 + + x2 - Bài 18 Tìm m để phương trình m x2 + = x + m - x2 có nghiệm thực có nghiệm thực phân biệt 21 ... chéo b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d song song d’ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ song song d Từ suy vị trí tương đối (P) (Q) 12 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I Giải phương trình vơ... x− = x x x + x2 x +1 II Giải phương trình vô tỉ cách trục thức * Áp dụng cho trường hợp sau: - Đưa dạng đơn giản - Nhẩm phương trình có nghiệm x = x0 Bài tập: Giải phương trình sau: 1) = x − 16... x + x2 + = Bài Giải phương trình 1) x − − x + = x2 − − 2x + 15 Bài Giải phương trình: 1) x + x − ( x − 2) 3x + =8 x−2 2) ( x + 3) 5− x + 15 + x − x − 12 = x+3 Bài Giải phương trình: 1) x+ x =