Lý thuyết, bài tập toán 12 va LTDH HKII

42 419 2
Lý thuyết, bài tập toán 12 va LTDH HKII

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bộ tài liệu Toán 12 và luyện thi ĐH CĐ này được biên soạn bám sát SGK của BGD, hệ thống kiến thức đầy đủ nhất, phân loại bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhằm cho học sinh luyện thi TN – ĐH – CĐ theo chuyên đề.Chuyên đề 1. Khảo sát hàm số, các dạng toán liên quan.Chuyên đề 2. Phương trình, bất phương trình mũ và logaritChuyên đề 3. Tích phân và ứng dụng.Chuyên đề 4. Số phức.Chuyên đề 5. Hình học không gian.Chuyên đề 6. Hình học giải tích trong mặt phẳng, trong không gian.Chuyên đề 7. Ứng dụng của hình học giải tích trong không gian vào giải các bài toán hình học không gian.Hai chuyên đề bổ sung để thi ĐH – CĐ:Chuyên đề 8. Phương trình, hệ phương trình đại số nhiều ẩn.Chuyên đề 9. Lượng giác.

Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM –– TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUYÊN HÀM I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: Nguyên hàm:  Định nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x)  Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) F(x) + C (C số) họ tất nguyên hàm f(x) Ký hieäu: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Các tính chất nguyên hàm: *∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C *∫ kdx = kx + C * ( k ∈ R) ( ∫ f(x)dx ) ' = f(x) *∫ k.f(x)dx = k ∫ f(x)dx *∫ ( f(x) ± g(x) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx k∈R *∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du Lưu ý: * Nguyên hàm hàm số không phụ thuộc vào biến, nghóa là: Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C ∫ f(u)du = F(u) + C; ∫ f(t)dt = F(t) + C; * Không có nguyên hàm tích, thương Bảng đạo hàm số hàm số thường gặp: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ' ( C) = (x ) α ' = α xα −1 ' 1  ÷=− x  x ' x = x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = – sinx ( tan x ) ' = = + tan x cos x ( cot x ) ' = − = − ( + cot x ) sin x x x (e )’ = e (ax)’ = ax.lna ( ln x ) ' = x ( log a x ) ' = x.ln a ( ) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ HP u = u(x) (u ) α ' = α uα −1.u ' ' u' 1  ÷=− u u ' u' u = u ( ) (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = – u’.sinu u' ( tan u ) ' = = u ' ( + tan u ) cos u u' ( cot u ) ' = − = −u ' ( + cot u ) sin u u u (e )’ = u’.e (au)’ = u’.au.lna ( ln u ) ' = u ' u ( log a u ) ' = u.ln a Trang Toaùn 12 LTĐH – CĐ – HKII Bảng nguyên hàm: Baûng A ∫ 0dx = C ∫ cos xdx = sin x ∫ sin xdx = − cos x ∫ dx = x xα +1 ∫ x dx = α + ( α ≠ −1) ∫ x dx = ln x ∫ cos α ∫ e dx = e x x ∫ a dx = dx = tan x = ∫ ( + tan x ) dx x ∫ sin x dx = − cot x = ∫ ( + cot x ) dx 1 ∫ x dx = − x ∫ x dx = x x ax ( < a ≠ 1) ln a Bảng B (Mở rộng) ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = a α + ( α ≠ −1) 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b ax +b ax + b ∫ e dx = a e a ax+b ax +b ∫ a dx = a ln a ( < a ≠ 1) α +1 α ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) = ∫ ( + tan ( ax + b ) ) dx 2 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) = ∫ ( + cot ( ax + b ) ) dx 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tính nguyên hàm sau:  x3    2 ∫  − x + x − 1÷dx ∫ ( x − x + 1) dx ∫  − x + x − x + ÷dx     x 5 2 ∫  − x + ÷dx ∫ ( x − 1) ( 3x + ) dx ∫ x ( x + 1) dx 2  Bài Tính: ∫ ( x + 1) ∫ ( x + 1) 3 2 dx Bài Tính:   ∫  + ÷dx x+2  x2 dx ∫ x −1   + ∫  ÷dx  x − 2x −1  3dx 13 ∫ x − x − ( )( ) ∫ ( − 5x ) dx ∫ ∫ 2x ∫ ( x + 2) dx   ∫  x + + 1÷dx x   dx 3x −   ∫  x + − ÷dx 3x +   − x2 + 2x − dx ∫ x −1 dx 10 ∫ x x − ( ) 14 dx 3x + dx x +1  1 x − 10 x − 12 dx ∫  − ∫ ÷dx  x x −1  x+2 dx dx 11 ∫ 12 ∫ x −1 x − 5x + x +1 ∫ x − dx ∫ 4dx − 5x + Baøi Tính: Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII dx ∫ ( x + 1)  2x +1  ∫  ÷ dx  x −1  3dx ∫ x − 6x + Baøi Tính: ∫( e x + e − x ) dx  2x  ∫  e + ÷dx x  3− x ∫ e dx Bài Tính: x ∫ dx x x x −1 ∫ dx 2x − ∫ x dx e Bài Tính: ∫( x ∫e 2x dx ∫ ( 3cos x − ) dx x −1 − 3x ) dx 1.∫ ( 3sin x + cos x − 1) dx π  2.∫ sin  x + ÷dx 3  3.∫ cos xdx 4.∫ sin 3xdx 5.∫ sin x cos xdx 6.∫ cos x cos xdx 7.∫ sin x sin xdx 8.∫ 10.∫ tan xdx 11 ∫ tan 2 xdx 12 ∫ cot xdx x  13.∫  sin x − 3cos ÷dx 2  14 ∫ ( cos x − sin x) dx 15.∫ 17 ∫ ( tan 2 x + cot x ) dx 18.∫ cos xdx 16.∫ ( sin x sin x − ) dx dx sin x cos x 9.∫ II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM: Phương pháp đổi biến số:  Dạng lũy thừa: Đặt t = biểu thức chứa lũy thừa bậc cao Ví dụ 1: Tính: a.I = ∫ x ( x − 1) dx b.J = ∫  Dạng chứa thức: Tích phân có chứa Đặt t = n n x ( x − 1) cos x dx sin x cos x cos x dx sin x + cos x dx u ( x) u ( x ) ⇒ t n = u ( x ) (khử căn) ⇒ ( t n ) dt = u ' ( x ) dx (lấy vi phân hai vế) ⇒ I = ' Ví dụ 2: Tính: a.I = ∫ x x + 1dx  Dạng “thấy” đạo hàm: Ví dụ 3: Tính: + ln x 1.I = ∫ dx x dx 4.I = ∫ x ( + ln x ) b.J = ∫ e tan x dx cos x dx 5.I = ∫ x − x e +e +2 2.I = ∫ x dx 2x −1 3.I = ∫ cos3 x.sin xdx 6.I = ∫ tan xdx sin x  x  dx 8.I = ∫  ÷ dx − cos x  x +1   Dạng lượng giác: Tích phân sin mũ lẻ ⇒ đặt t = cos Tích phân cos mũ lẻ ⇒ đặt t = sin Ví dụ 4: Tính: 7.I = ∫ Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII 1.I = ∫ sin xdx 3.I = ∫ ( cos3 x + cos x ) dx 2.I = ∫ cos5 xdx sin x dx 5.I = ∫ cos3 x.sin xdx cos x Phương pháp tìm nguyên hàm phần:  Công thức nguyên hàm phần: ∫ udv = uv − ∫ vdu 4.I = ∫  Dạng tích phân phaàn: o ∫ P ( x ) ln xdx o 6.I = ∫ sin x.cos xdx đặt u = lnx, dv = P(x)dx ∫ P ( x ) sin xdx; ∫ P ( x ) cos xdx; ∫ P ( x ) e dx x Ví dụ 5: Tính: 1.I = ∫ ( x + 1) ln xdx đặt u = P(x), dv = phần lại 2.I = ∫ x ln ( x + 1) dx 4.I = ∫ ( x + 1) cos xdx 3.I = ∫ x sin xdx 5.I = ∫ ( x + 1) e x dx 6.I = ∫ sin xe x dx §2 TÍCH PHÂN I – ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN: Cho f(x) hàm số liên tục [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) [a; b] Hiệu F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định [a; b]) hàm số f(x) Ký b hiệu: ∫ f ( x)dx = F ( x ) a b a = F ( b ) − F ( a ) (Công thức Newton – Laipnitz) II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: a ∫ b f ( x ) dx = a ∫ b a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b a b b a a b b ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx   ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b b b b c b a a a a a c a ∫ f ( x ) dx =∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = a ∫( x ) + x dx dx ∫ x ( x + 1) 1 ∫ x + dx ( c ∈ ( a; b ) ) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tính nguyên hàm sau:  x4 5 x − x + ) dx ∫ ( ∫  − x + ÷dx 2 −1  a ∫x  x3  ∫  − + x − 3x ÷dx  1 2x +1 dx ∫ x−2 dx −x−2 Bài Tính: 1   x ∫  e − ÷dx x +1  π sin 2xdx ∫ Trang Kieân π  sin x − cos x  dx ÷ ∫  0 π ∫ tan 2xdx π ∫ cos xdx π 2 ∫ cot xdx π Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII π π dx ∫ 2 π sin x cos x ∫ sin 3x cos 5xdx π − π ∫ ( sin x sin x − ) dx III – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: Phương pháp đổi biến số: Nếu gặp tích phân:  Chứa Aα đặt t = A  Chứa α A đặt t = α A  Chứa đặt t = A A  Chứa sin, cos phân tích biểu thức dấu tích phân chứa sinxdx lại đa thức theo cos chứa cosxdx lại đa thức theo sin π sin x dx + 3cos x 1.∫ 2.∫ e x e ln x 5.∫ dx x 6.∫ 9.∫ x + x dx π 13.∫ sin xdx π ( 1+ x ) ln dx x ( + ln x ) sin x dx + cos x 3.∫ dx ∫ (e + 1) e x ex −1 ln x xdx 10 ∫ −1 − x dx 11.∫ x ( − x ) dx π 14.∫ ( cos3 x + cos5 x ) dx π 15.∫ sin x cos xdx b xdx 8.∫ x2 + 1 12.∫ xdx ( x + 1) 16.∫ xe x dx b a  x  4.∫  ÷ dx x +1  0 a b Phương pháp tính tích phân phần: ∫ u.dv = uv a − ∫ v.du sin(ax + b)    Gaëp: ∫ P(x)  cos(ax + b) dx đặt u = P(x) a eax+b    b e 1.∫ ( x + 1) ln xdx ∫ π dx x dx cos x 9.∫ ln x 2.∫ dx x π ln x ( + x) e 6.∫ ( x + 1) sin xdx x dx e2 x 10.∫ b ln(ax + b)  Gặp: ∫ P(x)   dx đặt dv = P(x) log a x  a 3.∫ ln ( + x ) dx 4.∫ x ln ( + x ) dx 7.∫ x cos xdx 8.∫ ( x + 1) e x dx π π 11.∫ x ( + cos x ) dx BÀI TẬP ÔN TỔNG HP Bài Tìm nguyên hàm F(x) của: π  f ( x) = x − vaø F(1) = f ( x) = cos x.cos 3x vaø F  ÷ = x 4 π  x + 3x + 3x − f ( x) = vaø F ( 1) = f ( x) = tan x + cot x + F  ÷ = 3 x + 2x +1 Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII Bài Tính tích phân sau: π 2 π  x  2.∫  ÷ dx x +1 0 1.∫ cos x sin xdx 3.∫ ( ecos x + x ) sin xdx Bài Tính tích phân sau: 1.∫ ln ( x − 1) dx π 2.∫ x ( − x ) dx ∫ x cos xdx 0 Baøi Tính tích phân sau: π π ( x − 1) 2.∫ dx x − x−6 1.∫ sin x tan xdx 3.∫ sin x cos3 xdx Bài Tính tích phân sau: π 1.∫ ( sin x + cos x ) dx π e 1 2.∫ sin dx x x 3.∫ ( x − e ) ln xdx π Baøi Tính tích phân sau: π 1.∫ ( cos x − sin x ) dx π π 12 ∫ tan xdx ( x − ) dx 2.∫ ( x + 1) 2.∫ ( cos x cos x − ) dx 3.∫ 0 Baøi Tính tích phân sau: ex ( + x ) 1.∫ dx + xe x 1 x dx e2 x Bài Tính tích phân sau: π e 1.∫ ( + e x ) xdx 2.∫ ( x + 1) ln xdx 3.∫ x tan xdx Bài Tính tích phân sau: π π 1.∫ cos xdx 4.∫ ( x + sin x ) cos xdx π − π π 6.∫ ( − tan x ) dx 5.∫ x − x dx cos x dx − 2sin x 8.∫ ( x + ) ln ( x + 1) dx 7.∫ 10 ∫ 3.∫ xe x +1dx π π 2.∫ x cos xdx 9.∫ 0 π + tan x dx cos x x +1 dx 3x + π xdx cos x 12.∫ sin x ( + sin x ) dx 11.∫ Bài 10 Tính tích phân sau: π ∫ ( cos x − 1) cos xdx (ĐH khối A 2009) Trang Kieân + ln x ∫ ( x + 1) dx (ĐH khối B 2009) 1 dx ∫ x e −1 (ĐH khối D 2009) x + e x + x 2e x dx ∫ + 2e x (ÑH khối A 2010) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTÑH – CÑ – HKII e ln x ∫ x ( + ln x ) e dx 3  ∫  x − ÷ln xdx x 1 (ĐH khối B 2010) π ∫ x sin x + ( x + 1) cos x x sin x + cos x ∫ + ln ( x + 1) x2 13 + x sin x dx ∫ cos2 x (ĐH khối A 2011) 4x − dx 2x + + ∫ 11 dx π (ĐH khối D 2011) 10 x3 dx 12 ∫ x + 3x + (ĐH khối A 2012) (ĐH khối D 2012) ∫ x ( + sin x ) dx 14 (ĐH khối A 2013) 16 (CĐ 2012) ∫x − x dx (ĐH khối B 2013) (ĐH khối D 2012) dx x +1 x dx x +1 (ĐH khối B 2012) x2 − 15 ∫ ln xdx x ∫ 0 ∫ (CÑ 2011) dx 17 2x + ∫ x ( x + 1) dx ( x + 1) (ĐH khối B 2011) π (ĐH khối D 2010) 18 ∫1+ dx 2x − (CĐ 2013) MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC n 2n +1 − I = ∫ x ( + x ) dx Bài Tính: ĐS: (ĐH Mở HN 99) ( n + 1) 1 Bài Tính: I = ∫ Bài Tính: I = ∫ 2x ( x + 1) dx x3 + x + 10 x + dx x2 + x + ĐS: (ĐH Thủy sản 97) ĐS: 1 + ln 2 (ĐH Ngoại thương 2000) ex dx Bài Tính: I = ∫ x e +1 ÑS: ln 1+ e (CÑKT Đối ngoại 99) ĐS: ln + e2 (CĐGTVT 2001) ex dx e x + e− x Bài Tính: I = ∫ e ln x dx x ĐS: (ĐH Đà Lạt 1999) + ln x dx x ÑS: (ÑHDLKTCNä 2000) Bài Tính: I = ∫ cos xdx ĐS: 24 (ĐH Cần Thơ 2000) Bài Tính: I = sin x cos x ( + cos x ) dx ∫ ĐS: 17 12 Bài Tính: I = ∫ e Bài Tính: I = ∫ π π π π Bài 10 Tính: I = sin x cos x dx ∫ + cos x Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên ĐS: 2ln2 – (ĐH Thủy sản 1999) (ĐH khối B 2005) Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII ln dx Bài 11 Tính: I = ∫ x e + 2e − x − ln π ÑS: ln sin x Bài 12 Tính: I = ∫ cos x + 4sin x π dx dx Baøi 13 Tính: I = ∫ ( sin x + cos x ) π (ÑH khối B 2006) ĐS: (ĐH khối A 2006) ÑS: (ÑHSP TPHCM 01) −1 +1 dx 4sin x − ÑS: cos x dx sin x ÑS: (ÑH NN Hà Nội 2001) Bài 16 Tính: I = sin xdx ∫ ÑS: 3π − 32 (ÑH QG TPHCM 2000) Bài 17 Tính: I = tan x dx ∫ cos x 1 ÑS: − − ln Bài 14 Tính: I = ∫ π Bài 15 Tính: I = ∫ π π π π Bài 18 Tính: I = ( esin x + cos x ) cos xdx ∫ x dx x −1 1+ ÑS: 11 − ln (ĐH khối A 2004) ĐS: 45 (ĐH QG TPHCM 2001) ln (ÑH An ninh 1999) ĐS: ln (ĐH khối A 2003) ÑS: 28 − 3 10 ÑS: 3π 16 Bài 20 Tính: I = ∫ x − x dx ∫x dx x +9 2 Bài 22 Tính: I = dx ∫ x x2 + ( x + 1) dx Bài 23 Tính: I = ∫ Bài 24 Tính: I = ∫ ln Bài 25 Tính: I = ∫ ln Bài 26 Tính: I = ∫ e Bài 27 Tính: I = ∫ 3x + (1− x ) dx dx ex + e x dx e +1 x + 3ln x ln x dx x ln x + ln x dx x Trang Kieân ( ( ) (ĐH Quy Nhơn 1999) (ĐH Y Hải Phòng 2000) )( ÑS: ln − 3 − 2 ) (CĐCĐ 99) ĐS: 2 (ĐH Bách khoa HN 2000) ĐS: 116 135 (ĐH khối B 2004) ĐS: 3 2 −1 e Bài 28 Tính: I = ∫ (ĐH khối D 2005) ĐS: Bài 19 Tính: I = ∫ Bài 21 Tính: I = (ĐH Kinh tế 2001) π −1 ĐS: e + ln ( ) (HV Hành QG 99) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII π ĐS: 76 105 (ĐH KT đối ngoại 2006) + ln 2 (ĐH KT đối ngoại 2005) ĐS: ln 2 (ĐH khối B 2003) ÑS: ln (CĐSP TPHCM 2005) ÑS: 4−3 (ĐH khối B 2008) ĐS: Bài 30 Tính: I = ( − tan x ) dx ∫ (ĐH khối A 2005) ĐS: π 34 27 ĐS: Bài 29 Tính: I = sin x + sin x dx ∫ + 3cos x 10 ln + − ln x + ln ( ln x ) dx x e2 Bài 31 Tính: I = ∫ e π Bài 32 Tính: I = − 2sin x dx ∫ − 2sin x 1+ x  ln  ÷dx 1− x  1− x  π π  sin  x − ÷dx 4  Bài 34 Tính: I = ∫ sin x + ( + s inx + cos x ) Baøi 33 Tính: I = ∫ π 4 Bài 35 Tính: I = tan x dx ∫ cos x ( ln x dx x3 Bài 36 Tính: I = ∫ e Bài 37 Tính: I = ĐS: − ln x dx J = x + ln x ∫ e ∫ sin x ( + sin x ) ) − ln 16 10 Bài 39 Tính: I = ∫ x ( − x ) dx 10 Bài 40 Tính: I = ∫ Bài 41 Tính: I = ∫ Bài 42 Tính: I = x +1 dx x6 + J= x3 + x + x + dx J = x2 + 1+ ∫ ∫ K= π dx π  π sin x sin  x + ÷ 3  K=∫ x2 + dx x4 − x2 + e dx ∫x ĐS: I = − ln x π cot xdx x2 + dx J = ∫ sin x + π x4 − x2 + K= ∫x −1 ĐS: I = 2dx Bài 43 Tính: I = ∫ x + 2x J= ∫ x + 2x π ; J = ln ; K = ln − 3ln 2 π 3 x2 + π π + 6; J = x +1 dx − 4x + e −2 x ∫ + e− x dx −1  x  J = ∫  ÷ dx x +1 0 1+ 15 10 − 11 ;J = 3 ĐS: I = ln − ; J = ln + 12 (ĐH khối D 2008) ĐS: I = dx dx dx J=∫ 4x +1 x − x −1 2x +1 + Bài 38 Tính: I = ∫ (ĐH khối A 2008) dx K=∫ π tan xdx cos x + cos x 26 ĐS: I = ln 2; J = ; K = − Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII 2  x −1  Baøi 44 Tính: I = ∫  ÷ dx x+2 −1  x s inx J =∫ dx + cos x π 0 π Baøi 46 Tính: I = ∫ ( x − 1) e dx 2x K =∫ K = ∫ ln ( x − x ) dx 2 π ln x dx Bài 47 Tính: I = ∫ x 1 ln ∫ K = ∫ x sin xdx dx + 2x K =∫ π e x + 3e x dx e x + 3e x + dx x + x +1 J =∫ sin n x J =∫ n dx sin x + cos n x e2 e3 1+ x ln xdx Bài 51 Tính: I = ∫ x ln xdx x ln x + J=∫ π J= Bài 52 Tính: I = ( x − 1) cos xdx ∫ ∫ − Bài 53 Tính: I = ∫ π J = ∫ ( x + s in x ) s inxdx ( x − 1) dx x2 − x − Bài 49 Tính: I = ∫ xdx cos x K=∫ π x2 + ln xdx Bài 48 Tính: I = ∫ x π J = ∫ e x s inxdx e x +1 dx x2 + J = ∫ x cos xdx 0 L = ∫ x − x dx K = ∫ x tan xdx cos x − s inx J =∫ dx s inx+3 0 2 π Bài 45 Tính: I = sin x ln ( + cos x ) dx ∫ Baøi 50 Tính: I = π π 4x +1 dx x + x +1 J =∫ ĐS: I = 6; J = 1− x dx 1+ x ĐS: I = 76 15 π2 π − − 2x +1 dx 2x + 2x +1 + 3 ĐS: I = ln − π ; J = + ln + ln π Bài 54 Tính: I = x tan xdx ∫ J =∫ π Bài 56 Tính: I = ∫ π π2 − ĐS: I = + ln 32 π x7 dx Bài 55 Tính: I = ∫ + x8 − x xdx 2− x + 2+ x ĐS: J = J = ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx π 63 cot xdx π + sin x sin xdx J =∫ cos x tan x + K= ∫ 12 91 x +1 dx x +1 + x +1 ĐS: I = − 2; J = ln 2 Bài 57 Tính: I = ∫ 1 + ln x ( x + 1) dx J= 3 ∫ x2 dx x4 −1 K= ∫ 2 dx x x2 − ĐS: J = 10 Trang Kieân π π ln − + ; K = 12 24 ( ) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII xM + xM '   xH =  xM ' = xH − xM  y M + yM '   ⇔  yM ' = y H − y M M’ đối xứng M qua ∆ ⇒ H trung điểm MM’ ⇔  yH =   z = 2z − z H M  M' zM + zM '  zH =   Bài Cho điểm M (1; − 1; 2) mặt phẳng (α ) : x − y + z − 11 = Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc M lên (α ) tìm tọa độ M’ đối xứng M qua (α ) Bài Cho điểm M (2;1;0) (α ) : x + y − z − 27 = Tìm tọa độ M’ đối xứng M qua (α ) Bài Cho điểm A(1;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;3) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc gốc tọa độ O lêm mp(ABC) Bài Cho mp (P): 2x – 2y – z + = mặt cầu (S): (x – 3) + (y +2)2 + (z – 1)2 = 100 Chứng minh rằng: mp (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Baøi Cho mp (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mp (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Bài Trong kg Oxyz, cho hai điểm A (1; − 2; 3), B ( − 1; 0; 1) vaø mp (P): x + y + z + = a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) ĐS: H ( − 1; − 4; 1) b Viết pt mặt cầu (S) có bán kính AB , có tâm thuộc AB (S) tiếp xúc với (P) Bài Trong kg Oxyz cho điểm A(– 2; 1; 0), B(1; – 3,2) mp (P): x + 2y – 2z – = Tìm tọa độ điểm M ∈ ( P ) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài Cho ñieåm: A(0; 1; 2), B(1; 1; 1), C(2; – 2; 3) vaø mp(P): x – y + z +3 = Tìm điểm M uu uu uu ur ur uu r (P) cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài Trong kg Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z − = hai điểm A(−3;0;1) , B(1; − 1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Bài Cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – =0 vaø mp (P): 2x – y +2z – 14 = a Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ điểm M đến (P) lớn Vấn đề Hình chiếu đặc biệt Cho M ( x0 ; y0 ; z0 ) Gọi M1, M2, M3 hình chiếu M lên trục Ox, Oy, Oz ⇒ M ( x0 ;0;0 ) ; M ( 0; y0 ;0 ) ; M ( 0;0; z0 ) Gọi M4, M5, M6 hình chiếu M lên mặt tọa độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) ⇒ M ( x0 ; y0 ;0 ) ; M ( 0; y0 ; z0 ) ; M M ( x0 ;0; z0 ) 28 Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII Cho M( 1; 2; 3) a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm hình chiếu M lên trục tọa độ b Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm hình chiếu M lên mặt tọa độ c Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng M qua mặt phẳng Oxy d Tìm tọa độ điểm N’ đối xứng điểm N qua trục Oy Vấn đề Hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng Bài toán: Cho đường thẳng ∆ mặt phẳng (α ) Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu vuông góc ∆ lên mặt phẳng (α ) Cách làm: r  Từ phương trình ∆ suy điểm M véc tơ phương a ; từ phương trình mặt phẳng r (α ) suy pháp véc tơ n  Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa đường thẳng ∆ vuông góc với mp (α ) : Là mặt r r r r r phẳng qua M, nhận a, n làm cặp véc tơ phương ⇒ n β =  a, n     pt (α )  Phương trình d hệ:   pt ( β )  x = + 2t  Bài Cho đường thẳng ∆ :  y = −1 − t  z = 2t  vaø mặt phẳng (P): 2x + 2y + z = Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vuông góc ∆ lên mp(P) x y −1 z +1 = = mặt phẳng: (P): x + y – 2z + = Viết phương trình 2 đường thẳng d’ hình chiếu vuông góc d leân mp(P)  x = + 3t  Bài Cho đường thẳng d :  y = + t Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc  z = −1 + 2t  Bài Cho đường thẳng d : d mặt phẳng: (Oxy), (Oxz), (Oyz) BÀI TẬP ÔN TỔNG HP Bài Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau ñaây: 2 2 2 a x + y + z − x − y + = b x + y + z − x + y − 15 z − = Bài Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; − 5) , B( −4 ; ;7) Tìm tọa độ tâm I bán kính r (S) Lập phương trình mặt cầu (S) Lập phương trình mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Bài Cho mặt cầu (S) có tâm I (3 ; − 1; 1) tiếp xúc với mp (P): x + y − z + = điểm H Lập phương trình (S) tìm tọa độ điểm H Bài Lập phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau:  x = 1+ t  a (S) có tâm thuộc d:  y = −3 + 2t qua hai điểm A(6 ; − 2;3) , B(2 ;0 ; − 1)  z = 2+t  b (S) ñi qua A(5; − ; 1) có tâm C (3 ; − ; 1) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 29 Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII c (S) có đường kính AB với A(4; − 3;7) , B(2 ; ;3) d (S) có tâm I (3 ; − 1; 1) tiếp xúc với mp(P): x + y − z + = e (S) có tâm I (1; 2;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) Bài Lập phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau: a (S) có tâm thuộc Oz qua hai điểm C (0 ; 1; 2) , D(1 ;0 ; − 1) x y z −1 b (S) có tâm thuộc đường thẳng d: = = tiếp xúc với mp (P): x − y + z − = , −1 (Q): x − y + z + = x −1 y + z − = = c (S) có tâm thuộc (d ) : , tiếp xúc với mp (α ) : 2x + y – 2z + = có bán −1 kính Bài Cho điểm A(1; 2; −1) , B(2 ; − 1;3) , C ( −2 ; ;3) a Viết phương trình tham số, phương trình tắc (nếu có) đường thẳng d qua hai điểm A, B b Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm ∆ ABC Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ A ∆ ABC c Chứng minh điểm O, A, B, C tứ diện Tính chiều cao kẻ từ O tứ diện OABC d Tìm tọa độ điểm M đỉnh thứ tư hình bình haønh ABCM Baøi Cho A(3 ; − ; − 2) , B(3 ; 2;0) , C (0 ; ;1) , D (−1 ; 1; 2) a Vieát pt mp (BCD) Suy ABCD tứ diện Viết pt mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mp (BCD) b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox qua A c Viết phương trình mp (α ) qua hai điểm A, B vuông góc với (Q): x + y − z + = Bài Cho mặt phaúng (α ) : x − y + z + 35 = điểm M (1; 2;3) a Viết phương trình mp (P) qua điểm M song song với (α ) b Viết pt tham số pt tắc ( có) đường thẳng d qua điểm M vuông góc với mp (α ) c Tìm tọa độ điểm N ∈ Ox cho độ dài đoạn thẳng MN khoảng cách từ điểm M đến mp (α ) Bài Cho hai điểm A(2 ; ; − 1) , B (1 ; ; 4) a Vieát pt mặt trung trực đoạn AB Viết ptmp qua hai điểm A, B // với trục Oy b Tìm giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng Oyz 2 Baøi 10 Cho (S): x + y + z + x − y + z + = Tìm tọa độ tâm tính bán kính (S) Viết pt mặt phẳng (Q) chứa trục Oz cắt (S) theo đường tròn có bán kính lớn Bài 11 Cho A(1 ; ; − 1) , B(3 ; 4; − 2) , C (4 ; − ;1) , D(3 ; 0; 3) a Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC) b Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B song song với đường thẳng CD  x = −1 + 2t x −1 y + z +1  = = Baøi 12 Cho d1 : vaø d :  y = + t Chứng minh d1 d2 chéo Viết −1  z =3  phương trình mp(P) chứa d1 song song với d2 30 Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CÑ – HKII  x = 3+t  x = −t '   Baøi 13 Cho d :  y = − t vaø d ' :  y = + 3t ' Chứng minh: d d’ chéo vuông góc với  z = + 2t  z = 2t '   Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d vuông góc với d’  x = 1+ t  x = − 2t '   Bài 14 Cho hai đường thẳng d :  y = + 3t ; d ' :  y = −2 + t ' Chứng minh d d’ cắt Tìm tọa  z = 3−t  z = + 3t '   độ giao điểm d d’ Viết phương trình mp(P) chứa d vaø d’  x = 1+ t  x = + 2t '   Baøi 15 Cho hai đường thẳng d :  y = 2t ; d ' :  y = + 4t ' Chứng minh d song song với d’ Viết z = − t  z = − 2t '   phương trình mặt phẳng (P) chứa d vaø d’ x − 12 y − z − = = Baøi 16 Cho ∆ : vaø (α ) :3x + y − z − = a Chứng minh ∆ cắt mặt phẳng (α ) Tìm tọa độ giao điểm I chúng b Viết pt mp( β ) qua điểm M (1; 2; −1) vuông góc với đt ∆ c Gọi N ∈ ∆ có hoành độ x = Tính khoảng cách từ N đến mp (α ) x − 12 y − z − = = Bài 17 Cho mặt phẳng (α ) : x + y − z − = đường thẳng d: a Tìm giao điểm M d mp (α ) Viết phương trình mp(P) chứa M vuông góc với d b Lập phương trình d’ hình chiếu vuông góc đường thẳng d lên mặt phẳng Oyz x −1 y − z − = = Baøi 18 Cho (α ) : x − y − z + = đt: ∆ : Chứng tỏ ∆ song song với (α ) Tính khoảng cách ∆ (α ) Baøi 19 Cho 2mp: (α ) : x + y + z + 11 = ; ( β ) : x + y + z + = Chứng tỏ (α ) song song với ( β ) Tính khoảng cách (α ) ( β ) Bài 20 Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc điểm M (1; − 1; 2) lên mp (α ) : x − y + z + 11 = x + y −1 z +1 = = Baøi 21 Cho A (−2;1; 2) , ( P) :2 x − y + z − = , d : a Tìm tọa độ giao điểm d (P) Tìm toạ độ A’ đối xứng A qua d b Viết phương mp(Q) chứa đường thẳng d vuông góc với mp(P) c Tìm đường thẳng d điểm cách A vaø mp(P) uu ur Baøi 22 Cho A(0;1;1) , AB = (−1;0;1) , C (1;0; 4) vaø (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 2z – =0 a Tìm tọa độ điểm B Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình mp (P) qua điểm A, B, C b Chứng minh mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm tính bán kính (C) c Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với AB tiếp xúc với mặt cầu (S) ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài (ĐH khối A – 2013) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 31 Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII x − y +1 z + = = điểm A(1; −3 −2 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆  51 17  cho AM = 30 ÑS: M ( 3; −3; −1) ∨ M  ; − ; − ÷ 7 7 b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phaúng (P): 2x + 3y + z – 11 = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 2z – = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) ĐS: M ( 3;1; ) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: Bài (ĐH khối B – 2013) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) mặt phẳng (P): 2x + 3y – z – = Vieát phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng A x −3 y −5 z = = ; B ( −1; −1; ) qua (P) ÑS: ∆ : −1 b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; – 1; 1); B(– 1; 2; 3) đường thẳng x +1 y − z − = = ∆: Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với hai đường thaúng AB −2 x −1 y +1 z −1 = = ∆ ĐS: Bài (ĐH khối D – 2013) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(– 1; – 1; – 2);B(0; 1; 1) mặt phẳng (P): x + y + z – = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) Viết phương trình mặt phẳng  2 1 qua A, B vuông góc với (P) ĐS: H  ; ; − ÷;(Q) : x − y + z + =  3 3 b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(– 1; 3; – 2) mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + = Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với (P) ÑS: d ( A, ( P ) ) = ;(Q) : x − y − z + = Bài (CĐ – 2013) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; – 1; 3) đường thẳng d: x −1 y +1 z − = = Tìm tọa độ điểm đối xứng A qua d ĐS: A ' ( 2; −3;5 ) −1 b Trong khoâng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(– 1; 3; 2) mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4z – 36 = Gọi I hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu tâm I qua điểm A 2 ÑS: ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 45 Bài (ĐH khối A – 2012) x +1 y z − = = điểm I(0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho ∆IAB vuông I 2 ĐS: ( S ) : x + y + ( z − 3) = x +1 y z − = = b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: , mặt phẳng (P): x + y – 2z + = điểm A(1; – 1; 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d (P) M x −1 y +1 z − = = N cho A trung điểm đoạn thẳng MN ĐS: Bài (ĐH khối B – 2012) 32 Trang Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: Kiên Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII x −1 y z = = a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: hai điểm A(2; 1; −2 0), B(– 2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d 2 ĐS: ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − ) = 17 b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 3), B(1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM ĐS: 6x + 3y + 4z – 12 = Baøi (ĐH khối D – 2012) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = điểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường tròn có bán kính 2 ÑS: ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 25 x −1 y +1 z = = hai điểm A(1; – −1 1; 2), B(2; – 1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d cho ∆AMB vuông M 7 2 ÑS: M ( 1; −1;0 ) ∨ M  ; − ; ÷ 3 3 Bài (CĐ – 2012) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = t  x = + 2s   d1 :  y = 2t d :  y = + 2s ( t ∈ R) , ( s ∈ R) z = 1− t  z = −s   b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: Chứng minh d1 d2 cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2 ĐS: (P): y + 2z – = x − y +1 z +1 = = b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: mặt phẳng −1 −1 (P): 2x + y – 2z = Đường thẳng ∆ nằm (P) vuông góc với d giao điểm d (P) Viết x = 1− t  phương trình đường thẳng ∆ ĐS:  y = −2  z = −t  Baøi (ĐH khối D – 2011) x +1 y z − = = −2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d cắt trục Ox a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 3), đường thẳng d: x −1 y − z − = = 2 x −1 y − z = = mặt phẳng b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: (P): 2x – y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp  ( x − ) + ( y − 11) + ( z − ) = xúc với mặt phẳng (P) ĐS: ( S ) :   ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) =  Bài 10 (Cao đẳng 2011) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(– 1; 2; 3), B( 1; 0; – 5) mặt phaúng (P): 2x + y – 3z – = Xác định tọa độ điểm M thuộc (P) cho điểm A, B, M thẳng hàng ĐS: M ( 0;1; −1) ĐS: d : Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 33 Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII x −1 y +1 z −1 = = Viết phương −3 trình mặt cầu có tâm I (1; 2; −3) cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho AB = 26 b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : ĐS: ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 25 2 Baøi 11 (ĐH khối B – 2011) x − y +1 z = = mặt phẳng −2 −1 (P): x + y + z – = Goïi I giao điểm ∆ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với ∆ MI = 14 ĐS: M (5;9; −11) hoaëc M (−3; −7;13) x + y −1 z + = = b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : hai điểm −2 A(−2;1;1) , B (−3; −1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có diện tích ĐS: M (−2;1; −5) M (−14; −35;19) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : Bài 12 (ĐH khối A – 2011) a Trong kgOxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; –2; 3) vaø mp (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ  12  điểm M thuộc (P) cho MA = MB = ÑS: M (0; 1; 3) hay M  − ; ; ÷  7 7 2 b Trong khoâng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z – 4x – 4y – 4z = điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB ĐS: x – y – z = hoaëc x – y + z = − 2; 3), B ( − 1; 0; 1) vaø (P): x + y + z + = Bài 13 ( CĐ – 2010) Trong kg Oxyz, cho A (1; a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) ĐS: H ( − 1; − 4; 1) AB b Viết pt mặt cầu (S) có bán kính , tâm thuộc AB (S) tiếp xúc với (P) 1 ĐS: (S1): (x + 4)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = , (S2): (x + 6)2 + (y – 5)2 + (z + 4) = 3 x y −1 z = = vaø (P): 2x – y + 2z – = Bài 14 (CĐ – 2010) Trong kg Oxyz, cho d: −2 1 a Viết phương trình mặt phẳng chứa d vuông góc với (P) ĐS: x + 2y – = b Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O mặt phẳng (P) ĐS: M (0; 1; 0) Bài 15 (ĐH khối D – 2010) a Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – = 0; (Q): x – y + z – = Vieát phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) ÑS: (R): x − z + 2 = hay x − z − 2 = x = + t x − y −1 z  = = Xác định toạ độ b Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1:  y = t vaø ∆2: 2 z = t  điểm M ∈ ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆2 ĐS: M (4;1;1) hay M (7; 4; 4) Bài 16 (ĐH khối B – 2010) a Trong kg Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), b, c dương mp (P): y – z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) ĐS: b = c = 34 Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CÑ – HKII x y −1 z = = Xác định tọa độ điểm M trục hoành 2 cho khoảng cách từ M đến ∆ OM ĐS: M (−1; 0; 0) hay M (2; 0; 0) Bài 17 (ĐH khối A – 2010) x −1 y z + = = a Trong kgOxyz, cho đường thẳng ∆ : mp(P): x − 2y + z = Gọi C giao −1 điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = x+2 y−2 z+3 = = b Trong kg Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng ∆ : Tính d(A;∆) Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B vaø C cho BC = 2 ÑS: a d = ; b x + y + ( z + 2) = 25 Baøi 18 ( CĐ 2009) a Trong kg Oxyz, cho mp (P 1): x + y + z + = vaø (P2): x + y − z + = Viết phương trình mp(P) qua điểm A ( 1; 1; 1), vuông góc với hai mp (P1) (P2) ĐS: (P): x − y + z − = b Trong kgOxyz, cho ∆ ABC coù A( 1; 1; 0), B( 0;2; 1) trọng tâm G( 0; 2; − 1) Viết pt đường thẳng ∆ qua C vuông góc với mp(ABC) ĐS: ∆ : x = −1 + t , y = + t , z = −4 Bài 19 ( ĐH khối A – 2009) a Trong kg Oxyz cho (P): 2x – 2y – z – = vaø (S): x + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn ĐS: J (3; 0; 2), r = b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = đường x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = thẳng ∆1: ; ∆2: Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 1 −2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)  18 53  ÑS: M (0; 1; − 3) hay M  ; ; ÷  35 35 35  Bài 20 (ĐH khối D – 2009) a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A( 2; 1; 0), B( 1; 2; 2), C( 1; 1; 0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mp(P) x+2 y−2 z = = b Trong kg Oxyz cho đường thẳng ∆ : (P): x + 2y − 3z + = Viết 1 −1 phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) cho d cắt vuông góc với ∆  x = −3 + t  5  ÑS: a D  ; ; − 1÷ ; b d:  y = − 2t 2   z = 1− t  b Trong kg Oxyz, cho đường thẳng ∆: Bài 21 (ĐH khối B – 2009) a Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1; 2; 1), B (−2 ; 1;3) , C (2; − 1;1) , D(0;3;1) Viết phương trình mp (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) ĐS: ( P ) : x + y + z − 15 = ; ( P ) : x + z − = b Trong kg Oxyz cho mặt phẳng (P): x − y + z − = hai điểm A(−3;0;1) , B(1; − 1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng x + y z −1 = = cách từ B đến đường thẳng nhỏ ĐS: ∆ : 26 11 −2 Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 35 Trang Toán 12 LTĐH – CÑ – HKII x −1 y z − = = 2 a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A lên đường thẳng d b Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α ) lớn Bài 23 ( ĐH khối B – 2008) Trong kgOxyz cho ba điểm A ( 0;1; ) ; B ( 2; −2;1) ; C ( −2;1;0 ) Bài 22 (ĐH khối A – 2008) Cho điểm A( 2; 5; 3) đường thẳng d : a Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b Tìm tọa độ điểm M thuộc mp: 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC Bài 24 ( ĐH khối D – 2008) Trong kgOxyz cho A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C( 0; 3; 3), D( 3; 3; 3) a Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D b Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 25 (ĐH Khối D – 2007) Trong kg Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B( − 1; 2; 4) đường thẳng x −1 y + z ∆: = = −1 a Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G ∆ OAB vuông góc với mp(OAB) b Tìm tọa độ điểm M ∈ ∆ cho MA2 + MB2 nhỏ  x = −1 + 2t x y −1 z +  = Bài 26 (ĐH khối A – 2007) Cho đường thẳng: d1 : = d :  y = + t −1  z =3  a Chứng minh d1 d2 chéo b Viết pt đường thẳng d vuông góc với (P): 7x + y – 4z = cắt đường thẳng d 1, d2 Bài 27 (ĐH khối B – 2007) Trong kg 0xyz cho mặt cầu (S): x 2+ y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = vaø mp (P): 2x – y + 2z – 14 = a Vieát phương trình mp (Q) chứa Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) lớn Bài 28 (ĐH khối D – 2006) Cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng: x −2 y + z −3 x −1 y −1 z +1 d1 : = = , d2 : = = −1 −1 a Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng điểm A qua đường thẳng d ÑS: A’(–1; –4; 1) x −1 y − z − ∆: = = ∆ −1 b Viết pt đường thẳng qua A, vuông góc với d1 cắt d2 ĐS: Bài 29 (ĐH khối A – 2006) Trong kg Oxyz cho hình lập phương ABCD,A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1; 0; 0), D( 0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M N trung điểm AB CD a Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN b Viết phương trình mp chứa A’C tạo với mp(Oxy) góc α , biết cos α = b) x − y + z − = ; x − y − z + = x −1 y + z − = = Bài 30 (ĐH khối A – 2005) Cho đường thẳng (d ) : (α ) : 2x + y –2z +9 = −1 a Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) cho khoảng cách từ điểm I đến mp (α ) b Tìm tọa độ giao điểm A (d) mặt phẳng (α ) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm mp (α ) , biết ∆ qua A vuông góc với (d) ĐS: a I(–3; 5; 7) hoaëc I(3; –7; 1) b ∆ : x = t ; y = −1; z = + t ĐS: a) 36 Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII  x = 3t x −1 y + z +1  = = Bài 31 (ĐH khối D – 2005) Trong kg 0xyz cho : d1 : vaø d  y = − t −1  z = + 2t  a Chứng minh d1 // d2 Viết pt mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d d2 b Mặt phẳng toạ độ 0xz cắt hai đường thẳng d 1, d2 điểm A, B Tính diện tích tam giác 0AB (0 gốc tọa độ.) ĐS: 15 x + 11y − 17 z − 10 = 0, S =  x = −3 + 2t  Bài 32 (ĐH khối B – 2004) Trong kgOxyz cho điểm A(–4; –2; 4) đường thẳng d :  y = − t  z = −1 + 4t  Viết pt đường thẳng ∆ qua điểm A, cắt vuông góc với đường thẳng d x+4 y+2 z−4 = = ÑS: ∆ : −1 Bài 33 (ĐH khối A – 2003) Trong kg Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b a b Xác định tỷ số để hai mp (A’BD) (MBD) vuông góc b a ÑS: a) V = a b , b) = b  x = 2t  x = 1+ t   Bài 34 (ĐH khối A – 2002) Trong kgOxyz cho đường thẳng ∆1 :  y = −2 + 3t ; ∆ :  y = + t  z = 4t  z = + 2t   a Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 song song với ∆ b Cho điểm M( 2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ ĐS: (P): 2x – z = , H(2; 3; 3) LUYỆN TẬP  x = 1+ t x = + t   Baøi Trong kgOxyz cho hai đường thẳng: d :  y = + t ; d ' :  y = − t  z = −2 − 2t  z =1   a Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mp Oyz cắt hai đường thẳng d , d b Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d d  x=0 2  1  3  1  ÑS: a  y = + 2t b  x − ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ = 2  2  2   z = −1 + 2t  Baøi Trong kgOxyz, cho hai điểm A(–2; 1; 0), B(1; – 3, 2) mp (P): x + 2y – 2z – = a Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc A lên mp(P) tìm toạ độ điểm A’ đối xứng A qua mp(P) b Tìm toạ độ điểm M ∈ ( P ) cho (MA + MB) đạt giá trị nhỏ ĐS: H(–1; 3; − 2); A’(0; 5; – 4); M ( ; ; − 2) 3 Bài Cho điểm: A(0;1;2), B(1; 1; 1), C(2; –2; 3) vaø mp(P): x – y + z +3 = Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 37 Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII a Chứng minh A, B, C tạo thành tam giác tính diện tích tam giác ABC uu uu uu ur ur uu r b Tìm điểm M (P) cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ 3 , M (−1 ; 2;0) Baøi Cho mp (P): 2x + 2y – z + 17 = mặt cầu (S): x 2+ y2 + z2 – 2x + 4y + 6z – 11 = Viết phương trình mp (Q) song song (P) cho (Q) cắt (S) theo đường tròn có bán kính x−3 y −4 z +3 = = Bài Trong kgOxyz cho đường thẳng (d ) : mp (α ) : 2x + y +z – = Tìm −1 tọa độ giao điểm A (d) (α ) Viết pt đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với đường thẳng x y −1 z = (d) nằm (α ) ĐS: A(1; 0; –1), = −1 −1  x=t  x = 2t   Baøi Trong kg 0xyz cho hai đường thẳng d1 :  y = − t vaø d :  y = t  z=0 z=4   ĐS: S = a Chứng minh d1 d2 chéo Tính khoảng cách d1 d2 b Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vuông góc chung d d2 ĐS: a 4; b (x – 2)2 + (y – )2 +(z – )2 = x y −5 z − = = Baøi Trong kg Oxyz, cho điểm M(– 2; 3; 1) đường thẳng : d : −1 a Viết phương trình đường thẳng d’ qua M, vuông góc với d cắt d b Tìm điểm N treân d cho MN = 11 x + y − z −1  26 22  ; = = ÑS: a) d’ : b) N (1;2 ; 2) ∨ N  ; ÷ 19 −1 11 7 7  Baøi Trong kgOxyz, Cho A(−1; ;0) , B(1; 0; 2), C (1 ; ; 1), D( −1 ; ;1) a Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB b Tìm điểm G đường thẳng AB cho (GC + GD) nhỏ   ĐS: a) b) G  ; ; 1÷   Bài Trong kgOxyz, cho điểm A(0; 0; – 3), B( 2; 0; – ) vaø mp: (P): 3x – 8y + 7z – = a Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P) b Tìm toạ độ C thuộc mp (P) cho ∆ ABC 2 ĐS: b) C (2; − ; 3) ∨ C (− ; − ; − ) 3 x − 14 y z + = = Baøi 10 Trong kg Oxyz, cho điểm I(1; 1; ) đường thẳng d : −4 −1 a Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H I lên đường thẳng d b Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A,B cho AB = 16 ÑS: a) H( 2; – 3; 1) b) (x – 1)2 + (y – )2 +(z – )2 = 81 x −1 y + z = = vaø mp ( P ) : 2x + y –2z + = Baøi 11 Trong kgOxyz cho đường thẳng (d ) : 1 a Tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) có bán kính b Gọi M giao điểm d (P), T tiếp điểm (S) (P) Tính MT ÑS: a)(S1): (x + 2)2 + (y + )2 + (z + )2 = 2 8  9  1  (S2):  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 5  5  5  38 Trang Kieân 74  12  b) M  − ; − ; − ÷; MT =  5 5 Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII x−2 y z+2 = = mặt phẳng ( P ) : 2x + y –z + = Viết phương trình đường thẳng d’ qua A(1; 2; – ), cắt d song song với mp(P) Baøi 13 Cho mp(P): 2x + 2y + z + = điểm I(1; 2; – 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cho giao tuyến (S) (P) đường tròn có chu vi 8π x + 10 y + 10 z = = tiếp xúc với mặt cầu Bài 14 Lập phương trình mp (P) chứa đường thẳng d : 10 2 (S): x + y + z + 2x – y + 4z – 15 = Baøi 15 Trong kgOxyz, cho đường thẳng: x−2 y−2 z x−2 y−2 z x y z −1 x − y z −1 d1 : = = ; d2 : = = = = ; d3 : = = ; d4 : 2 −4 1 2 −1 a Chứng minh d1 cắt d2 tìm giao điểm d1 d2 b Viết phương trình đường thẳng cắt đường thẳng Bài 16 Trong kgOxyz, cho mp (P1): 2x – y + 2z – = 0, (P 1): 2x – y + 2z + = 0; A(– 1; 1; 1) nằm khoảng mp Gọi (S) mặt cầu qua A tiếp xúc với mặt phẳng a Chứng tỏ bán kính (S) số tính bán kính b Gọi I tâm mặt cầu Chứng minh I thuộc đường tròn cố định Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn Bài 17 Trong kgOxyz cho tứ diện ABCD có A(2;3; 2), B(6; −1; −2), C ( −1; −4;3), D(1;6; −5) Chứng minh AB ⊥ CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho ∆ ABM có chu vi nhỏ x − y −1 z x−2 y −3 z = = = = Baøi 18 Trong không gian Oxyz cho d1 : d : −1 −2 a Vieát phương trình mặt phẳng (P) song song cách d1 d2 b Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 d2 A(2 ; ; 0) vaø B(2 ; ; 0) Baøi 12 Trong kg Oxyz cho (d ) : 2 2  11   ÑS: a x + 5y + 2z – 12 = 0; b  x − ÷ + ( y − ) +  z − ÷ = 5 5   x −1 y − z − = = Bài 19 Cho đường thẳng d : mặt phaúng (P): x − y − z + = a Tính khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (P) b Kí hiệu ∆ hình chiếu vuông góc d lên (P) Viết phương trình tham số ∆  x = + 2t   Baøi 20 Trong kgOxyz cho d :  y = + t vaø mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = Tìm m để d   z = 2t  cắt mặt cầu (S) điểm M , N cho khoảng cách điểm 117 ĐS: m = Bài 21 Trong kgOxyz cho tam giác ABC có đỉnh A(1 ; ; 5) phương trình hai đường trung tuyến x − y − z −1 x−4 y−2 z−2 = = ;d ': = = kẻ từ B C là: d : Tìm tọa độ B, C Lập phương trình −2 1 −4 phân giác AD tam giaùc ABC  x = −1 − 2t x y z  Bài 22 Trong kgOxyz cho đthẳng: d1 : = = ; d :  y = t vaø mp (P): x – y + z = 1  z = 1+ t  a Xét vị trí tương đối d1 d2 b Tìm M thuộc d1 , N thuộc d2 cho MN song song với (P) MN = Bài 23 Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 11 = hai điểm A(1; − 1; 2), B( − 1; 1; 3) Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 39 Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII a Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu vuông góc đường thẳng AB (P) b Tìm toạ độ điểm C nằm (P) cho tam giác ABC có chu vi nhỏ  x − y + z + 11 = 18   29 15 ;− ÷ ĐS: a  ; b C  − ; 8  8 5 x + y − z + = x +1 y − z − = = Bài 24 Cho hai điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) đường thẳng d: −2 a Chứng tỏ đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b Tìm điểm I ∈ d cho IA + IB nhỏ ĐS: b) I(2;0;4) Bài 25 Trong kg Oxyz, cho bốn điểm A(0; –1; 1), B(0; – 2; 0), C(2; 1; 1), D(1; 2; 1) a Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) b Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vuông góc chung đường thẳng AD đường thẳng chứa trục Ox  x = −5 + 8t  x = + 2t   Baøi 26 Trong kg cho đường thẳng (∆1 ) :  y = −2 + 4t ; (∆ ) :  y = −2 − 2t  z = 2+t  z =t   a Viết phương trình mp (P), (Q) song song với ñi qua ( ∆1 ); ( ∆ ) b Viết phương trình đường thẳng d song song với Oz cắt hai đường thẳng ( ∆1 ) ( ∆ ) x y −1 z +1 = = vaø mp: (P): x + y – 2z + = 0; (Q): 2x – y + z + = Viết 2 phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) Bài 27 Cho đt d : Bài 28 Trong không gian cho ñieåm A(– 4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; – 1), D(7; – 2; 3) a Chứng minh điểm A, B, C, D nằm mp Tính khoảng cách từ C đến AB b Tìm điểm M đường thẳng AB cho MC + MD đạt giá trị nhỏ  x=t  Bài 29 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d1 :  y = −2 + t ;  z = −6 + 2t  d2 : x − y − z −1 x − y +1 z + = = = = ; d3 : ; (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 2y + 2z – = 2 −1 −1 a Chứng minh d1 d2 chéo Viết pt đường thẳng d cắt d1, d2 song song với d3 b Viết pt mp(P) chứa d1 cho giao tuyến (P) mặt cầu (S) đường tròn có bán kính Bài 30 Tính khoảng cách ngắn từ điểm M thuộc (P):2x + 2y – 2z + 15 = đến điểm N thuộc mặt caàu (S) x2 + y2 + z2 – 2y – 2z +1 = Bài 31 Cho mặt phẳng (P): x + y + z + = vaø hai điểm A(1; – 3; 0), B(5; – 1; – 2) Chứng minh đường thẳng qua hai điểm A, B cắt mặt phẳng (P) điểm I thuộc đoạn AB Tìm toạ độ điểm I x −1 y + z − = = Baøi 32 a Trong kg Oxyz cho đường thẳng ∆ : điểm A(0; 1; 0), B( 2; 2; 2) −1 Tìm điểm M ∆ để diện tích tam giác MAB nhỏ ĐS: M( − 3; 0; − 1) 40 Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII b Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( 1; 2; ), B( − 1; 1; 5) mặt cầu (S) có phương 2 trình x + y + z − x − y + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B cho (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính x − y + z +1 = = mặt phaúng (P): x + y + z + = Tìm giao điểm −1 M d (P) Viết pt đường thẳng ∆ nằm (P) cho ∆ ⊥ d khoảng cách từ M đến ∆ 42 x−5 y +2 z +5 x+3 y + z −5 = = = = ĐS: , −3 −3 Bài 34 Trong kgOxyz,cho điểm A(–2; 1; 0), B(1; – 3,2) mp (P): x + 2y – 2z – = Tìm toạ độ điểm M ∈ ( P ) cho (MA2 + MB2) đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ ĐS: M( 1; 2; − ) x + y −1 z +1 = = Baøi 35 Cho A (−2;1; 2) , ( P) :2 x − y + z − = , d : Tìm đường thẳng d điểm cách A mp(P) Bài 36 Lập phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau: a (S) có tâm thuộc Oz qua hai điểm C (0 ; 1; 2) , D(1 ;0 ; − 1) x −1 y + z − = = b (S) có tâm thuộc (d ) : , tiếp xúc với mp (α ) : 2x + y –2z +9 = có bán −1 kính x +1 y − z − = = Bài 37 Cho hai điểm A(1; 2; −1) , B(7; − 2; 3) đường thẳng d: −2 a Chứng minh đường thẳng d đường thẳng AB nằm mặt phẳng b Tìm điểm I d cho AI + BI nhỏ x − y −1 z x−2 y −3 z = = = = Bài 38 Trong không gian Oxyz cho d1 : vaø d : −1 −2 a Viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách d1 d2 b Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 d2 A(2; 1; 0) B(2; 3; 0) Bài 33 Cho đường thẳng d: 2 2  11   ÑS: a) x + 5y + 2z – 12 = b)  x − ÷ + ( y − ) +  z − ÷ = 5 5   Bài 39 a Cho A(3; 0; 0), B(0; 4; 0) , C(0; 0; 2) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC  48 36 72  ; ÑS: H  ; ÷  61 61 61  b Cho A(3; 3; 0) , B(3; 0; 3), C(0; 3; 3) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ĐS: I(2; 2;2)  x = 1+ t ' x −1 y − z  = = c Lập phương trình đường vuông góc chung d : d ' :  y = − 2t ' −1  z =1  x − 13 y + z = = tiếp xúc với mặt cầu: −1 2 (S): x + y + z − x − y − z − 67 = ÑS: ( P ) : −2 x + y − z + 28 = , ( P2 ) : x + y + z − 100 = d Laäp phương trình mặt phẳng (P) chứa d : Bài 40 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y – = hai đường thẳng: x y −1 z −1 x−2 y z d1 : = = = = Gọi A, B giao điểm d1, d2 với (P) , d2 : −2 −2 1 Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên 41 Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII a Tính độ dài đoạn thẳng AB b Lập phương trình mp (Q) // (P) cắt d 1, d2 taïi C, D cho CD = AB Chứng minh ABCD hình chữ nhật ĐS: a ) AB = ; b (Q): x – y + = 42 Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung ...  1 x − 10 x − 12 dx ∫  − ∫ ÷dx  x x −1  x+2 dx dx 11 ∫ 12 ∫ x −1 x − 5x + x +1 ∫ x − dx ∫ 4dx − 5x + Bài Tính: Trang Kiên Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII dx ∫ ( x + 1)... 10 x3 dx 12 ∫ x + 3x + (ĐH khối A 2 012) (ĐH khối D 2 012) ∫ x ( + sin x ) dx 14 (ĐH khối A 2013) 16 (CĐ 2 012) ∫x − x dx (ĐH khối B 2013) (ĐH khối D 2 012) dx x +1 x dx x +1 (ĐH khối B 2 012) x2 −... ∫ e Bài Tính: I = ∫ π π π π Bài 10 Tính: I = sin x cos x dx ∫ + cos x Giáo viên:Nguyễn Hữu Chung Kiên ĐS: 2ln2 – (ĐH Thủy sản 1999) (ĐH khối B 2005) Trang Toán 12 LTĐH – CĐ – HKII ln dx Bài 11

Ngày đăng: 22/08/2014, 19:24

Từ khóa liên quan

Mục lục

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan