tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a PH N N I DUNG TÀI 2.1 Hình thành phương pháp "t o nhân t gi i b t th c ch a căn" ng Nh ng năm g n ây thi h c sinh gi i c a trư ng t nh có r t nhi u b t ng th c ch a gây khơng c m giác khó cho em h c sinh Th c t g p b t ng th c ch a d u em lúng túng không bi t nên b t u t âu, v n d ng gi thi t th Chúng ta b t u t toán ơn gi n sau Bài tốn 1: Tìm giá tr l n nh t c a hàm s : y = x − x L i gi i: i u ki n : x∈ [-1; 1] x2 + − x2 = d u b ng x y 2 x2 = − x2 ⇔ x = ± Ta có y = x − x ≤ V y giá tr l n nh t c a y 1 x = ± 2 Nh n xét: ây chưa tốn khó, v i m c h c sinh trung bình có th gi i c Ngồi có th gi i b ng cách khác t i u ki n ó ta t x= sint v y cách gi i ơn gi n nh t H c sinh có th bi n i tương ương t h ng ng th c th v n v d u ây chưa có khó Ti p t c v i m t ví d khác Bài tốn 2: Tìm giá tr l n nh t c a : y= x −1 x Phân tích: Bài tốn u c u ã cao m t tí, tìm max c a y ta ph i xu t hi n y ≤ a ( h ng s ) Làm kh x v trái t c t th c ph i có d ng a.x T ó xét x − li u x-1 có tích hai s c ng l i m t s t s -1 ? k t qu x-1= 1(x-1) L i gi i: i u ki n: x ≥ 1 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t Khi ó y = m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a 1( x − 1) x −1 = x ≥ nên x>0 áp d ng b t x x ng th c cô si cho hai s ta có 1( x − 1) y= ≤ x 1+ x −1 x = = d u b ng x y x-1 =1 t c x=2 x x x =2 Nh n xét: Vi c nhân thêm s ý tư ng c áo ã làm cho toán tr nên r t p sau ta gi i, tốn ã khơi ngu n cho b n thân b t tay vào ch n tài vi t V y giá tr l n nh t c a y Ta s b t ut b t ng th c cô si: Cho n s không âm a1; a2; ; an ó ta ln có a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an d u b ng x y a1= a2= = an Thông thư ng h c sinh gi i toán s r t d nh n vi c ng d ng b t ng th c theo chi u thu n th a s em s gi i quy t b t ng th c ch a t ng s h ng nên ôi lúc g p b t ng th c ch a d u mà khơng linh ho t v n d ng c b t ng th c ó theo chi u ngư c n  n a1 + n a + + n a n  a + a2 + + an n a a a ≤  ) (ho c s d ng n a1 a a n ≤  n   n n   nên th y ph c t p Vì lí ó suy nghĩ c a giúp em t o tích th c d ng b t ng th c cô si làm ơn gi n tốn v n ó n i dung c a phương pháp g i tên " Phương pháp t o nhân t gi i quy t b t ng th c ch a căn" 2.2 Xây d ng h th ng toán t phương pháp " T o nhân t gi i b t ng th c ch a căn" \ Trong tài s xây d ng hình thành kĩ thu t, kinh nghi m gi i toán c a phương pháp k t h p tốn tơi xây d ng theo h th ng logic t toán s toán 30, v y làm n i b t n i dung phương pháp gi i tài t m phát tri n v n phân lo i theo hai h th ng c th m i h th ng s phân hai nhóm cho ngư i c d nh sau 2.2.1 H th ng Các toán t o nhân t g n v i vai trò c a v trí d u Như thư ng th y g p m t toán ch a p vào m t d u th c n tư ng u tiên c m giác ph c t p b t Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a ng th c thông thư ng, vi c d u n m âu ? v trái hay v ph i, t hay dư i m u ? bi u th c dư i d u gì? T t c nh ng y u t ó s quy t nh khó c a tốn hư ng m u ta l a ch n ng i ti p theo 2.2.1.a Khi d u t th c Ph n xét toán ch a th c c a a th c m t bi n ho c nhi u bi n ch có t chưa ch a m u, ây d ng toán mà h c sinh ng i khó Ta ưa em ti p t c toán v i suy nghĩ li u ta thay s cho m t s dương khác sao? Ta th s c qua ví d sau Bài tốn 3: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c T= yz x − + zx y − + xy z − xyz L i gi i: i u ki n x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Rút g n T ta có ( T= x −1 + x y−2 + y z −3 z n ây ta th y xu t hi n toán yêu c u t ng quát ã có m t ch ng h n v i y−2 gi i quy t th nào? kh s -2 ) y y−2 2( y − 2) + y − = ≤ = y y 2y 2 Ta ti p t c l i gi i : Ta có T= = 1( x − 1) 2( y − 2) 3( z − 3) + x − + y − + z − + + ≤ + + x 2x 2y 3z 2y 3z 1 D u b ng x y ch + + 2 2 V y giá tr l n nh t c a T  = x −1  2 = y − ⇔ 3 = z −  x =  y = z =  1 + + x=2;y=4;z=6 2 2 3 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a Qua toán v a r i ta có th t ng quát a.( x − a) x−a = ≤ (a f 0) x a x a T ó chuy n suy nghĩ b ng cách thay s a b i m t s t nhiên ta ti p t c v i m t toán hay sau: Bài tốn 4: ln có Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương n s th c x ≥ n ta x −1 x−2 x−n + + + ≤ n− x x x L i gi i: k(x − k) k + x − k x−k = ≤ = ( x x k 2x k k V i m i s nguyên k ( ≤ k ≤ n ) ta có d u b ng có th x y x=2k) x −1 + x x y n>1) suy x−2 + + x x−n ≤ x 1 1 + + ( + ) 2 n 1 + + + n Ta ch c n ch ng minh ( d u = không ≤ n − (*) V i n=1 hi n nhiên (*) úng = k V i n>1 ta có < k+ k k + k −1 ( = k − k −1 ) (2 ≤ k ≤ n) suy + + + ≤ + ( − + − + + n − n − ) n = n −1 Qua toán ch c h n b n c ã nh n m t nét chung r t riêng bi t d th y ó ta ã làm m t d u thông qua t o tích th a s v n d ng b t ng th c cô si, m t i u có th khơng khó nhìn m u ch t gi i quy t b t ng th c ch a nhân thêm li u nhân thêm th nhân thêm s ? a s ch a trư c h t ta c tìm cách kh d u r i tính ti p, v y m t c b c n? Trong t p c p phương pháp gi i u áp d ng b t ng th c cô si nên xu t phát t d u = x y ta d oán r i nhân thêm bi u bi u th c b ng dư i d u ph i nhân thêm có n th a s b c n vi c làm m t d u có th Tơi nghĩ r ng ưa câu tr l i ó ta c m th y rõ ràng d dàng phát hi n k t qu c a m t q trình tính tốn x lí c a c m t h th ng tốn có phát tri n v i phép tương t ta ã làm Ta ti p t c v i tốn sau: Cao Ti n Trung THPT Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t V i s dương a,b,c,d th a mãn a+b+c+d = Bài toán 5: 4a+1 + 4b + + 4c + + 4d+1 ≤ Ch ng minh D m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a oán d u b ng x y a=b=c=d = 1/4 ây b c hai ta có 4a+1=2 nên ta nhân chia v i s L i gi i: 4a+1 = Ta có 4a+1+2 4a+3 (4a + 1)2 ≤ = 2 2 4c+3 4d+3 ; 4d +1 ≤ suy 2 2 4( a + b + c + d ) + 12 4a+1 + 4b + + 4c + + 4d+1 ≤ =4 2 4b+1 ≤ tương t 4b+3 2 4c+1 ≤ D u b ng x y ch a=b=c=d=1/4 toán có ngư i c cho r ng ta khơng dùng cách gi i dùng b t th c Bunhia-copxki sau: ( ) ( ng ) 4a + + 4b + + 4c + + 4d + ≤ 12 + 12 + 12 + 12 (4a + + 4b + + 4c + + 4d + 1) = 32 ⇔ 4a + + 4b + + 4c + + 4d + ≤ Qu th c cách gi i ó nhanh m i l i gi i có hay riêng, l i gi i tơi ưa có th phát huy kh phân tích d ốn c bi t s phát tri n v n c sang b c l n ó s d ng Bunhia khơng cịn hi u qu ch ng h n ta xét toán sau: Bài toán 6:( thi ch n hsg trư ng THPT ô Lương năm h c 2010 kh i 10) Cho a,b,c s dương th a mãn a + b + c = ch ng minh ta ln có 3a+1 + 3b+1 + 3c +1 ≤ 3 D oán d u b ng x y a=b=c=1/3 3a+1=2 th b c ta nhân chia hai s L i gi i: Ta có tương t 3 3a+1 = 3 3a+1+2+2 3a+5 (3a+1).2.2 ≤ = 3 4 3b+1 ≤ 3b+5 33 3a+1 + 3b+1 + 3c +1 ≤ 3c+1 ≤ 3c+5 t 33 ó suy 3(a + b + c) + 15 18 = = 33 3 4 D u b ng x y ch a=b=c=1/3 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a Qua tốn giáo viên hồn tồn có th thay gi thi t b i t ng n s dương ó thay b c b c b i b c cao s xu t c nh ng toán r t p Ví d : Ch c n vi t m t th c ó 5a + sau ó mu n t o tốn n c thay i gi thi t tùy ý ch ng h n V i a+b+c=3 5a + + 5b + + 5c + ≤ ; n 5a + + n 5b + + n 5c + ≤ 3n v i a+b+c=6 n 5a + + n 5b + + n 5c + ≤ 3.n 12 v i a+b+c+d=4 n 5a + + n 5b + + n 5c + + n 5d + ≤ 4.n Tương t có th m r ng phép tốn sang tích t p sau: Bài toán 7: Cho a,b,c s dương th a mãn a + b + c = ch ng minh ta ln có ab + bc + ca ≤ 3 n t p ch c ch n h c sinh có th t tin gi i mà khơng ph i khó khăn m y vi c tìm bi u th c nhân thêm V nd cho oán d u b ng a=b=c=1/3 th a s L i gi i : Ta có ab = 3 a.b ≤ 3 b+c+ tương t bc ≤ 3 ó bi t nhân vào 1/3 d u b c t ; a+b+ c+a+ 3 ca ≤ 3 3 3(2a + 2b + 2c + 1) 3 = ab + bc + ca ≤ 3 c ng b t ng th c ta có D u b ng x y ch a=b=c=1/3 M r ng tốn: Ta có th t ng qt b t ng th c nh sau: V i a ≥ 2a-1 ≤1 a a, b, c, n 3a-2 ≤1 a na -n+1 ≤1 a (2a-1).1 2a-1+1 2a-1 = ≤ =1 a a 2a Hư ng d n Hư ng d n 3a-2 (3a-2).1.1 3a-2+1+1 = ≤ a a 3a n Hư ng d n na-n+1 = a (na-n+1) 1 (n -1 sô) a ≤ na-n+1 +1 a Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a M u ch t ch ng minh b t ng th c ó vi c nhân thêm d u t o n th a s b ng Sau bi t b t ng th c t m xem b n ó ta có th l p ghép ng d ng gi i toán l n Bài toán Cho a,b,c s dương th a mãn a.b.c=1 Ch ng minh a b 2a − 3b − 4c − ≤1 2a − 3b − 4c − + + ≤3 a b c D dàng gi i c d u b ng a=b=c=1 Như v y qua vi c phát tri n tìm tịi tốn có nét chung ưa cách gi i hi u qu phù h p d ng tốn h c sinh có th gi i toán m t cách ơn gi n nhi u so v i t n m riêng l khơng bi t tìm cơng c chung tốn ó n ây em h c sinh có th nhìn th y r t nhi u tốn có quan h g n v i nh ng tốn ta ã nêu, nh ng toán th i gian m y năm ta hay g p sách tài li u nâng cao ngư i ta khơng có m t phương pháp chung c Sau ây ví d minh h a nh ng tốn ã g p: Ví d 1: ( Tốn h c tu i tr 5/2008) Cho a,b,c>0 ab + bc + ca ≥ ch ng minh a+3 + b + + c + ≤ 2( a + b + c ) D oán: D u b ng x y a=b=c=1 ó a+3=4 Vì th em ch c n nhân s vào c L i gi i: (a + 3).4 a + + a + Ta có a+3 = ≤ = 4 áp d ng tương t cho hai s h ng l i c ng l i ta có a + b + c + 21 a+3 + b + + c + ≤ a +1 b2 + c2 + M t khác ta l i có a ≤ ; b≤ ; c≤ 2 2 2 a + b + c + 21 a + b + c + 45 suy ta ch ng minh ≤ a + b + c + 45 45 ≤ ( a + b2 + c2 ) ⇔ a + b2 + c2 ≥ =3 15 Hi n nhiên úng a + b + c ≥ ab + bc + ca ≥ - Bài tốn sau m i nhìn có v ph c t p quan sát kĩ ngư i ta ã mư n gi thi t làm b t ng th c trung gian b i ta ln có quan h th t Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t ab + bc + ca ≤ m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a (a + b + c) ≤ a2 + b2 + c2 Ch ng h n có gi thi t ab+bc+ca ho c a+b+c ch c n t o toán khác t a + b + c vào v l n Ví d ( Sách b t ng th c Max cop) Cho a,b,c không âm th a mãn a + b + + b + c + + c + a + = Ch ng minh r ng a + b + c ≥ D oán: d u b ng a=b=c=1 a+b+2=4 L i gi i: ( a + b + 2).4 a + b + a+b+2 = ≤ tương t ta suy 2( a + b + c) + 18 a + b + c + a+b+2 + b+c+2 + c+a+2 ≤ = a+b+c+9 theo gi thi t suy ≥6⇔ a+b+c≥3 2 ( a + b + c ) ≥ pcm 2 V y ta có a + b + c ≥ Bây gi ta thay th gi thi t giá tr a=b=c=1 a=b=c=a2=b2=c2=ab=bc=ca ó ta có nh ng tốn hồn tồn m i Ví d 3: Cho a,b,c s dương th a mãn a + b + c = ch ng minh ta ln có + a + 2bc + + b + 2ca + + c + 2ab ≤ L i gi i : (1 + a + 2bc)4 + a + 2bc + ≤ tương t + b + 2ca + + c + 2ab + 2 + b + 2ca ≤ + c + 2ab ≤ suy 4 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca + 15 2 + a + 2bc + + b + 2ca + + c + 2ab ≤ ( a + b + c) + 15 = =6 D u b ng ch a=b=c=1 Cũng có m t tốn tương t ví d n sinh vào l p 10 Ví d (THPT chuyên Lam Sơn -2006) Cho a,b,c>0 ab + bc + ca ≥ ch ng minh a + + b + + c + ≤ 2(a + b + c ) Ta có + a + 2bc = Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a oán d u b ng a=b=c=1 a+7=8 l i có b c nên ta nhân hai s Ta l i d ( a + 7).8.8 a + + + a + 23 ≤ = 12 12 a + b + c + 69 Ti p t c làm tương t ta có a + + b + + c + ≤ 12 4 4 a +1+1+1 a + b +3 c +3 mà a ≤ = b ≤ ; c≤ suy 4 4 a + b + c + 69 a + b + c + 285 ≤ 12 48 a + b + c + 285 ≤ 2(a + b + c ) hay n ây ta ch c n ch ng minh 48 L i gi i: Ta có a+7 = a + b + c ≥ , i u ơn gi n a + b + b + ≥ 4 a 4b8 = 4ab b + c + c + ≥ 4bc ; c + a + a + ≥ 4ca v y ( a + b + c ) + ≥ ( ab + bc + ca ) ≥ 12 hay a + b + c ≥ Ví d 5: ( T5/332 Toán h c tu i tr tháng 2-2005) Cho a ≥ ch ng minh : L i gi i : a + Ta có a + a + a = a + a ≤a+2 a + a 1 + a 1 1 ≤ a +1 a +1+1 a +1+1+1+1+1 + + = a + D u = x y ch a=1 L i gi i rõ ràng áp án s d ng phân tích hay t n ph t= a T ây b n có th ch bi n thêm có tốn khác ho c s a thành phương trình vô t 6 VD: Gi i phương trình x + x + x = x + M t s ví d sau có th gi i tương t Ví d Cho a,b,c dương a+b+c=3/4 Ch ng minh a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ G i ý: a + 3b = 1.1(a + 3b) ≤ + + a + 3b Ví d Cho a,b,c dương a2+b2+c2=3 Tìm giá tr l n nh t c a P= a + 3b + + b + 3c + + c + 3a + G iý: a + 3b + = 13 + + a + 3b 8.8.(a + 3b + 4) ≤ tương t cho khác 12 ( ) 2 r i dùng b t ng th c a + b + c ≤ a + b + c Ví d Cho a,b,c dương a+b+c=1 Ch ng minh a3 + b − c + b3 + c − a + c3 + a − b ≤ G iý a + b − c = a 1.1(1 + b − c) ≤ a (1 + + + b − c) ab − ac =a+ 3 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a T ng k t m c 2.2.1.a: Như v y g p toán ch a ơn thu n t th c d ng d ng vi c u tiên ta quan sát bi u th c dư i sau ó s nghĩ xu t hi n tích nh ng bi u th c nh mà t ng c a chúng khơng i ho c tích c a chúng khơng i ta có th b t tay làm t p m c M t i u d nh n theo b t ng th c si ó th c ch a nhân t mà ta t o ó ph i n m v chi u bé c a b t ng th c nên s g p d ng toán ch ng minh A ≤ B, A0 ch ng minh L i gi i : Ta th y a α a2 α3 a2 a2 ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 3 b+c β +γ (b + c ) ( β + γ ) (b + c ) ( β + γ ) ⇔ ( β + γ ) ≥ ( b + c ) ⇔ β + γ + 3βγ ( β + γ ) ≥ b + c + 2bc ⇔ 3βγ ( β + γ ) ≥ 2bc Hi n nhiên úng 3βγ ( β + γ ) ≥ βγ βγ = β 3γ = 6bc ≥ 2bc t ó suy a b c α β γ +3 +3 f + + f2 b+c c+a a+b β +γ γ +α α +β M r ng toán Tương t h c sinh có th ch ng minh c b t ng th c a b c a b c +4 +4 f2 ; +5 +5 f2 b+c c+a a+b b+c c+a a+b a b c +6 +6 f2 b+c c+a a+b T ó ta có th xu t b t ng th c t ng quát: 14 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t n m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a a b c +n +n f b+c c+a a+b a b c a b c +n +n ≥ n −1 + n −1 + n −1 ∀n ≥ b+c c+a a+b b+c c+a a+b Hư ng ch ng minh ta ã ch ng minh n = n=3 b ng cách t n ph ta gi i quy t cho trư ng h p n l n Bây gi ta l i ti p t c xét n m r ng bi u th c Bài toán 16: Cho a,b,c,d s dương a b c d + + + f2 b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c L i gi i a a 2a Ta có = ≥ tương t ta có b+c+d a (b + c + d ) a + b + c + d n a b c d 2( a + b + c + d ) + + + ≥ =2 b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c a+b+c+d a = b + c + d b = c + d + a  D u b ng x y  ⇔ a = b = c = d = ( không th a mãn k) c = d + a + b d = a + b + c  t ó suy pcm M r ng tốn Cũng toán ngư i ta ch c n cho d=c xu t hi n b t ng th c thú v a b c + +2 f2 b + 2c 2c + a a+b+c a b c d Ta th y n u t a+b+c+d = S ta có + + + f2 S −a S −b S −c S −d T ó ta có b t ng th c t ng quát sau Cho sô dương a1; a2 ; ; an t S= a1 + a2 + + an ó ta có a1 a2 an + + + f2 S − a1 S − a2 S − an L i thay i b c c a ta có b t ng th c Bài tốn 17: Cho a,b,c,d s dương a b c d +3 +3 +3 f2 b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 15 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t L i gi i t 3a = x; b = y; c = z; m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a d = t suy a = x ;b = x ;c = z ; d = t ; 3 Ta ch ng minh Th t v y 3 3 a ≥ b+c+d a ≥ b+c+d 2 x y+ z +t x a2 x3 a2 ⇔ ≥ = 3 y+ z+t (b + c + d ) ( y + z + t ) ( y + z + t ) ⇔ (b + c + d ) ≤ ( y + z + t ) 3 ⇔ ( y + z ) + t + 3t ( y + z )( y + z + t ) ≥ b + c + d + ( bc + cd + db ) ⇔ yz ( y + z ) + 3zt(z+t)+3ty(t+y)+6yzt ≥ ( bc + cd + db ) mà yz ( y + z ) ≥ y z = 6bc tương t 3zt(z+t) ≥ 6cd; 3ty(t+y) ≥ 6db; 6yzt f V y a b c d +3 +3 +3 ≥ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c x + y+ z+t y z + + z+t + x t+x+ y t f2 x+ y+z pcm M r ng toán Tương t ta có th t ng quát theo bi u th c d u c b c Cho s dương a1; a2 ; ; an t S= a1 + a2 + + an ó ta có m an a1 a2 +m + + m >2 S − a1 S − a2 S − an (∀m ∈ N , m ≥ 2) T ng k t m c 2.2.1.b : ây không tham v ng ưa công c gi i quy t h t toán ch a mà xác nh m c tiêu ph m vi c a tài c g ng phân d ng c m t s toán theo hư ng gi i áp d ng b t ng th c Cơ si ã nêu Nh ng tốn m c giúp h c sinh bi t cách gi i m t s toán tương t , g p bi u th c ch a ph c t p ph i tri t tiêu t ho c m u ó tốn s có d ng 2.1.1 ho c 2.1.2 cơng o n ti p theo phân tích thành tích ti p t c kh 16 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a 2.2.2.H th ng Các toán ã có s n nhân t n sâu th c ho c t o nhân t t gi thi t c a b t ng th c có i u ki n Th c khơng hồn tồn m t tốn ó ta có th x p vào h th ng hay h th ng m t cách rõ ràng v i m c ích trình bày tài theo logic phân gói ki n th c nh b n c d ti p c n nên t m phân hai h th ng Quay l i toán h th ng mà ta th c hi n kh d u b ng vi c nhân thêm i lư ng b ng i lư ng ã có kh b c n M t v n t li u ta không c n nhân thêm mà v n kh c th ? ph i bi n i th r i m i c nhân? Câu tr l i tốn h th ng 2: Thơng thư ng có m t s tốn mà b n thân ã tích c a i lư ng ta ang mu n có khó t o N u làm c i u ó ta ã m c nút th t b n vi c làm m t d u th c qua kinh nghi m gi i t p th y r ng có m t chi c chìa khóa a gi i quy t khó khăn lúc thơng thư ng ta s d ng thay thê m t cách khéo léo gi thi t thao tác phân tích m t cách sáng t o phù h p có th t o tích s h ng mà ta ang c n có V i nh ng t p nêu sau ây vi c gi i nh ng n tư ng l i gi i n h c sinh r t h ng thú Thông thư ng ó d ng bi u th c có n th a s b c n ta không c n ph i nhân thêm mà tính tốn cách phân tích cho t ng c a chúng không i ho c t ng c a chúng liên quan bi u th c c n có c, cịn n u b c n ta ch m i ưa v c tích k th a s ph i nhân thêm n-k th a s b ng 2.2.2.a Các tốn v i bi u th c có th phân tích tr c ti p thành nhân t Hãy i t toán ơn gi n sau x2 Bài toán 18: Ch ng minh x +1 ≤1+ v i m i x ≥ -1 toán ta ph i làm cho h c sinh suy nghĩ m t d u ó bi u th c dư i d u có c bi t L i gi i: i u ki n xác Ta có nh x ≥ -1 x + = ( x + 1)( x − x + 1) ≤ x + + x2 − x + x2 =1+ 2  x + = x2 − x +  x = D u b ng x y ch  ⇔ x ≥ −1 x =  Nh n xét: i u c bi t h c sinh th y c h ng ng th c quen thu c t ó d dàng xu t hi n tích.Qua b t ng th c ó ta th y g p phương x2 trình vơ t x3 + = + cách gi i quen thu c phân tích 17 Cao Ti n Trung THPT Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a x2 = a( x + 1) + b( x − x + 1) ho c bình phương hai v kiên trì gi i phương trình b c cao có thêm cách gi i ánh phương trình trư ng h p d u b ng x y 1+ M t s b t ng th c hình th c c a bi u th c g i ý cho l i gi i ch ng h n d ng h ng ng th c ho c d ng có nhân t chung s n Bài tốn 19: Cho a,b,c ≥ th a mãn, a+b+c = Ch ng minh a b3 + + b c3 + + c a3 + ≤ L i gi i: Ta có a b + = a (b + 1)(b − b + 1) ≤ ( ) a b + + b − b + ab = +a 2 Tương t s suy ab + bc + ca ab + bc + ca a b +1 + b c +1 + c a +1 ≤ +a+b+c = +3 2 ab + bc + ca Ta ch c n ch ng ≤ ab + bc + ca ≤ 3 n ây ta th y d u b ng không x y t i tâm l i th y d u b ng ch ng h n a=0;b=1,c=2 t ó ta có hư ng gi i: Không m t t ng quát gi s a ≤ b ≤ c suy a(b − a)(c − b) ≥ ⇔ ab + a c ≤ a b + abc ≤ a b + 2abc 2b(a + c)(a + c ) ⇔ ab + a c + bc ≤ a b + bc + 2abc = b(a + c ) =  2b + a + c + a + c  ≤   = D u b ng x y a=0;b=1;c=2 hoán v 2  Bài toán 20 Cho s dương a,b,c th a mãn ab+bc+ca=3 Ch ng minh r ng a2 b2 c2 + + ≥1 b3 + c3 + a3 + b + + b − 2b + b − b + L i gi i : Ta có b + = (b + 2)(b − 2b + 4) ≤ = 2 2 2 a 2a b 2b suy tương t ta có ; ≥ ≥ 3 b −b+6 c −c+6 b +8 c +8 c2 a3 + ≥ 2c a2 − a + a2 b2 c2 2a 2b 2c T ó ta có + + ≥ + + b3 + c3 + a3 + b − b + c − c + a − a + l i theo b t ng th c Svácxơ ta có 2(a + b + c) 2a 2b 2c + + ≥ b − b + c − c + a − a + a + b + c − ( a + b + c) + 18 18 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a 2( a + b + c) n ây ta ch vi c ch ng minh ≥ (*) a + b + c − ( a + b + c) + 18 ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) = hay t ∈ [3; +∞ ) a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = t − t t= a + b + c = Th t v y ab+bc+ca=3, 2t ≥ ⇔ t + t − 12 ≥ (**) t − t + 12 (**) hi n nhiên úng t p nghi m c a (**) t ∈ ( −∞; −4] ∪ [3; +∞ ) V y b t ng th c ã c ch ng minh d u b ng x y a=b=c=1 Bài toán tương t Bài toán 21 suy (*) ⇔ a Cho a,b,c>0 ch ng minh L i gi i: b + ab b + ba = Ta có b + c + bc 2b( a + b) + ≤ c a + ca ≥ 2 a + 3b 2 Ti n hành tương t suy P= a b + ba b + c + ≥ 2a 2b 2c + + a + 3b b + 3c c + 3a c + cb a + ac a b c a2 b2 c2 + + = + + ≥ a + 3b b + 3c c + 3a a + 3ab b + 3bc c + 3ca Ta l i có (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 3ab+ 3bc + 3ca = (a + b + c)2 ab+ bc + ca 8(ab+ bc + ca) a +b +c + + 3 2 (a + b + c )2 3(a + b + c ) = 4(a + b + c ) 8(ab + bc + ca ) 4(a + b + c )2 + V y P≥ ≥ = 3 2 D u = a=b=c Bài toán 22 Cho a,b,c dương a+b+c=3 ,ch ng minh a ( a + c )(2a+b) + b (b + a )(2b+c) + c (c + c )(2c+a) ≤ D oán d u b ng x y a=b=c=1 ó a = a + c 2a+b = = v y b c ta ph i làm xu t hi n th a s 19 Cao Ti n Trung THPT ô Lương m t tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a (a + c ) (2a+b) c 13a b 1.1 + + + L i gi i : Ta có a (a + c)(2a+b) = ≤ 30 15 10 6 Ti n hành tương t r i c ng tương ng ta có pcm Bài toán 23 a Cho a,b,c s dương th a mãn a+b+c=1 ch ng minh a + ab + abc ≤ a a b.4c ≤ ( + b + 4c ) 4 16   a = 63  a , b, c >  4   V y a + ab + abc ≤ (a + b + c) = D u b ng a + b + c = ⇔ b = 21 3  a = b = 4c  4 c =   21  L i gi i: Ta có a a b ≤ + b 4 ab = abc = 2.2.2.b Các tốn có th thay th gi thi t t o nhân t n ây ta l i quay v cách gi i c a toán 12 ph n m r ng c a hai toán 16,17 v i vi c thay th gi thi t ưa th c v t ho c m u ta l i có nhìn m i m sau: i v i nhi u toán bên c nh vi c quan sát hình th c c a bi u th c dư i d u có d ng nhân t hay t o h ng ng th c phân tích thành nhân t hay khơng nhi u vi c thay th gi thi t m t cách khéo léo vào bi u th c phương pháp hi u qu t o nhân t Ta xét tốn Bài tốn 24 Cho a,b,c dương a+b+c=1 Tìm giá tr nh nh t c a P= a+b ab + c + b+c bc + a + c+a ca + b Hư ng d n a+b ab + c = a+b ab + c( a + b + c ) = a+b ( a + c)(b + c) ≥ 2(a + b ) − 2c = = −2 a + c + b + c 1+ c 1+ c tương t ta suy 4 (2 + + 2)2 − = P≥ + + −6≥ 1+ a 1+ b 1+ c 3+ a +b+c D u b ng a=b=c=1/3 ây ta ã ơn gi n d u b ng vi c th a+b+c =1 vào Bài toán 25 Cho a,b,c dương a+b+c ≤ , tìm giá tr l n nh t c a ab bc ca P= + + ab + 3c bc + 3a ca + 3b L i gi i: Ta có a+b+c ≤ suy 20 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t ab + ab + ( a + b + c ) c P≤ ab + ( a + c )( b + c ) = ≤ m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a bc + bc + ( a + b + c )a bc + (b + a )( c + a ) ca ca + ( a + b + c )b ca ≤ ( c + b )( a + b ) ab 1 bc 1 ca 1 a+b+c + + + = 3/ ( )+ ( )+ ( )= a+c b+c b+a c+a c+b a+b d u b ng x y a=b=c=1 Cái hay toán h c sinh thay s b ng a+b+c nh gi thi t phù h p chi u tìm giá tr l n nh t Bài toán 26 Cho a,b,c ≥ th a mãn, a+b+c = Tìm giá tr l n nh t c a P= a + abc + b + abc + c + abc + abc L i gi i: Ta có a + abc = a ( a + b + c ) + abc = a (a + b)( a + c ) ≤ a ≤ a ( a + 1) a (a + 1) 1 + abc = a a + + bc ≤ a (a + b + c + 1) tương t ta có 2 ( l i có P≤ (a + b + a + c ) = ( ) ) (a + b + c + 1) a + b + c + abc (a + b + c + 1) 3(a + b + c )2 + D u b ng ch a=b=c= (a + b + c )3 27 = 3 Bài toán 27 Cho a,b,c s dương th a mãn ab+bc+ca=5 Tìm giá tr nh nh t c a P= 3a + 3b + 2c ( ) ( ) a + + b2 + + c2 + Phân tích: Ta khó có th d hư ng gi i thay th L i gi i: Ta có ( ) ( ) oán d a d u b ng gi thi t ã t o ( ) ( a + + b + + c + = a + ab + bc + ca + b + ab + bc + ca ) + c + ab + bc + ca = 6(a + b )( a + c ) + (b + a )(b + c ) + (c + a )( c + b ) = (3a + 3b )( a + 2c ) + (3b + 3a )( 2b + 2c ) + (c + a )( c + b ) ≤ 3a + 3b + a + 2c + 3b + 3a + 2b + 2c + c + a + c + b 3(3a + 3b + c ) = 2 Suy P ≥ d dàng gi i d u = ch a=b=1;c=2 V y P=2/3 a=b=1 , c=2 Trong toán ph c t p chưa cao gi thi t bi u th c có th thay th ta có th nhìn tr c ti p, s có nh ng tốn mà bi u th c ó n i sau m t 21 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a vài bư c bi n i gi thi t m i hi n ó nh ng toán nh ng thú v Ch ng h n xét toán khó cao Bài tốn 28 Cho x,y,z s dương th a mãn x+y+z=x.y.z 1 Tìm giá tr l n nh t c a P= + + + x2 + y2 + z2 Phân tích: ây có s ta không thay th c t u v y n u ta chia hai v cho xyz s xu t hi n s L i gi i : t a=1/x; b=1/y ;c=1/z suy ab+bc+ca=1 2a b c P= + + + a2 + b2 + c2 2a 2a 2a 1 M t khác = = ≤ a( + ) 2 a+b a+c ( a + b)( a + c ) 1+ a ab + bc + ca + a b b 2b 1 = = ≤ b( + ) a + b 4(b + c ) ( a + b).4(b + c ) + b2 ab + bc + ca + b c c 2c 1 = = ≤ c( + ) c + a 4(c + b) (c + a).4(c + b) + c2 ab + bc + ca + c  x =   C ng l i ta có P ≤ d u b ng x y ch  y =  z =   Như v y ây b ng cách t n m i t gi thi t làm xu ab+bc+ca thay vào ã m hư ng gi i Hoàn toàn v i ý tư ng th ch c n s a i m t chút gi tư ng sau Bài toán 29 Cho a,b,c dương th a mãn (a+b+c)2=9abc Ch ng minh 1 + + ≤ + 3a + 3b + 3c 2 15 15 15 t hi n h ng s b ng thi t ta có ví d n 1 + + ≤3 a b c 1 1 1 a b c + + = + + Và P = 2 1 1 + 3a + 3b + 3c +3 +3 +3 2 a b c2 t x=1/a; y=1/b; z=1/c ta có x,y,z dương x + y + z ≤ suy L i gi i Ta có 9abc = (a + b + c ) ≥ 3(ab + bc + ca ) ⇔ 22 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t (x + y + z )2 xy + yz + zx ≤ =3 x P= = x2 + + y y2 + x ( x + y )( x + z ) + z z2 + ≤ x x + xy + yz + zx y + m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a ( y + x )( y + z ) + + z ( z + x )( z + y ) x x y y 1 z z ( + )+ ( + )+  z+x+ z+ x+ y x+z y+x y+z 2 y y + xy + yz + zx + z z + xy + yz + zx ≤  = y  D u b ng x=y=z=1 hay a=b=c=1 ( pcm) Bài toán 30: Cho x,y dương th a mãn x+y=1 ch ng minh x y + ≥ 2 1− x 1− y L i gi i Ta có x x x x = = = y (2 − y ) y (2 x + y ) − x2 − (1 − y ) = x x x y y Tương t ta có nên ≥ = ≥ y + 2x y (2 x + y ) 2x+4y x + y 1− y x y x y x2 y2 ) = 3( ) + ≥ 3( + + x + y y + 2x x + yx y + 2xy − x2 − y2 ≥ ( x + y) x + 4xy + y 2 = ( x + y) ≥ ( x + y ) + 2xy ( x + y) ( x + y)2 = D u b ng x y ch x=y=1/2 Trong vi c ch n thay th không ph i v trí c a s mà x2 nh gi thi t liên quan n Bài tốn 31: ( Phan Thành Vi t- di n àn Boxmath) Cho s không âm a,b,c th a mãn a+b+c = Ch ng minh r ng a3 b3 + a + 3b b + 3c c3 ≥ 2 c + 3a L i gi i: Ta có a3 a2 6a 6a = ≥ = 2 2 a + 3b 4a(a + b + c).3(a + 3b ) 4a(a + b + c) + 3(a + 3b ) 7a + 9b + 4ab + 4ac Tương t 23 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t a3 b3 + a + 3b b + 3c 6c 7c + 9a + 4ca + 4cb m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a c3 6a 6b ≥ + + c + 3a a + 9b + 4ab + 4ac 7b + 9c + 4ba + 4bc M t khác theo Cauchy Schwarz ta có        6a ∑  ∑(c + 2a)2 7a + 9b2 + 4ab+ 4ac  ≥  ∑a(c + 2a) =  2∑a + ∑ab  7a + 9b + 4ab+ 4ac       cyc  cyc  cyc   cyc   cyc  ( ) n ây ta c n ch ng minh   8 2∑ a + ∑ ab  ≥ ∑ (c + 2a ) a + 9b + 4ab + 4ac   cyc cyc  cyc  2 ⇔ ∑ a + ∑ a b + 3∑ a b − 3∑ ab − 2abc (a + b + c) ≥ ( cyc cyc cyc Gi s a= min{a,b,c} ) cyc t b=a+x; c=a+y ( x,y>0) b t ng th c tr thành 6(x - xy + y )a + (4x + 9x y - 9xy + 4y )a + x + x y + x y − xy + y ≥ B t 2 2 2 ng th c úng 4x + 9x y - 9xy + 4y = 4x + y(2x - y) + y ≥ 4 3   x + x y + x y − xy + y =  x + xy − y  + x y ≥   V y b t ng th c ã c ch ng minh , d u b ng a=b=c=1 ây m t tốn khó l i gi i di n àn trình bày dài ta ã v n d ng làm gi m khó c a bư c u tiên so cách gi i ó Như v y n ây b n có th gi i nh ng có khó ã tương i xa toán ban u V n m u ch t c a ph n h th ng h c sinh bi t khai thác thay th gi thi t vào bi u th c dư i d u t s xu t hi n nhân t c n có Tùy gi thi t bi t thay vào h ng s thay vào bi n s ó m t chìa khóa mà ch có h c sinh nh y bén m i tìm 24 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a 2.3.V n d ng c a phương pháp t o nhân t m t s toán khó Trong ph n tơi s minh h a tính hi u qu c a tài cho b n c th y rõ nh ng ng d ng theo suy lu n c a hai h th ng t p tơi ã t ng h p nói v y ta s v n d ng vi c nhân chia thêm c phát tri n c vi c nhân chia phía ngồi d u ây ta s i tìm m t s tốn khó c nhi u ngư i c p v n d ng hư ng gi i m i nói Ví d ( T6/437- Tốn h c tu i tr tháng 11- 2013 ) Các s th c dương a,b,c th a mãn a + b + c = 1 + + Ch ng minh r ng a b c 3(a + b + c) ≥ 8a + + 8b + + 8c + L i gi i: Ta có 8a + = a   a 9 +  ≤  a  ) a = 17a +  tương t ta   6 a + (8 + 1 1 1 1 2 có 8b + ≤ 17b +  8b + ≤ 17b +  suy 6 b 6 b 1 1 1 8a + + 8b + + 8c + ≤ 17(a + b + c ) + + +  = 3(a + b + c ) 6 a b c D u b ng x y a=b=c=1 Ví d 2: ( Võ Qu c Bá C n) Cho s không âm a,b,c khơng có hai s ( ng th i b ng Ch ng minh r ng 5(a + b + c) ≥ 4a + bc + 4b + ca + 4c + ab ) L i gi i: Không m t t ng quát gi s a ≥ b ≥ c ó ta có 4a + bc = (2a + c ) 4a + bc 4a + bc c (b − a ) ≤ 2a + c + = 4a + c + 2a + c 2a + c 2a + c 4b + ca = (2b + c ) 4b + ca 4b + ca c (a − 2b) ≤ 2b + c + = 4b + c + 2b + c 2b + c 2b + c ( ) ( ) ( ab + c )  b − a a − 2b  c+ + c +  2b + c  a + c 2b + c  c 4c + ab c 4c + ab 4c + ab = (b + ) ≤ b + + 2b + c 2b + c ) suy ( a + bc + b + ca + c + ab ≤ a + b + Ta ch c n ch ng minh 2(ab + 4c )  b − 2a a − 2b  c(2a + 10b − 11c)  b − 2a a − 2b  a+ c≥ + c + ≥ c + ⇔  2b + c 2(2b + c)  2a + c 2b + c   2a + c 2b + c  (2a + 10b − 11c) b − 2a a − 2b 14b − 11c 2a − b ⇔ ≥ + ⇔ + ≥0 2(2b + c) 2a + c 2b + c 2.(2b + c) 2a + c 25 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a Hi n nhiên úng a ≥ b ≥ c , ng th c x y ch a=b,c=0 hốn v ví d ta th c hi n nhân có th th c hi n nhân thêm ngồi s làm m t ví d sau ây Ví d Cho ab+bc+ca =1 Ch ng minh 1 1 + 6b + + 6c + + 6a ≤ a b c abc L i gi i 3.9abc(1 + 6ab) + 9abc + 6ab + 6b = ≤ a 33 abc 93 abc 1 12 + 15(ab + bc + ca) = Tương t suy + 6b + + 6c + + 6a ≤ a b c 93 abc Cách 3 2 Ta có = ab + bc + ca ≥ a b c ⇔ V y 3 3 abc ≤ abc abc 1 1 + 6b + + 6c + + 6a ≤ a b c abc 1 3 + 6b = (1 + 6ab) .3 ≤ Cách : a a + 6ab + a 3 ab + bc + ca abc =2 3+ tương t suy P ≤ 3abc 3 1 = ab + bc + ca ≥ 33 a 2b c ⇔ ≥ 27 a 2b c ⇔ ≥3 abc 12 + 6( ab + bc + ca) + V y P≤ 1 + = 3abc 3abc abc Ví d 4: (Vasile Cirtoaje- Phương pháp d n bi n) Cho s không âm a,b,c khơng có hai s ng th i b ng Ch ng minh r ng a a + 3bc + b b + ca + c c + ab ≥ (ab + bc + ca ) L i gi i : Ta có VT= ∑ a a + 3bc =∑ cyc cyc 2∑ Ta ch ng minh cyc ⇔ 2∑ cyc ( ( a (b + c) a + 3bc (b + c ) a + 3bc ( a (b + c) a + 3bc (b + c ) )≥2 ( a (b + c) a + 3bc ∑ (b + c ) cyc + a + 3bc ) ≥ 2(ab + bc + ca) = + a + 3bc ) ) ∑ a (b + c) cyc a (b + c) a − b − c + 3bc a (b + c) − a (b + c ) ≥0⇔∑ ≥0 a + b + c + 5bc a + b + c + 5bc cyc 2 3 26 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a ab(a2 − b2 ) ca(c − a2 ) ab(a − b2 ) ab(a − b2 ) −∑ 2 ≥0⇔∑ 2 −∑ 2 ≥0 2 cyc a + b + c + 5bc cyc a + b + c + 5bc cyc a + b + c + 5bc cyc a + b + c + 5ca ⇔∑ ⇔ 5abc∑ cyc (a − b)(a2 − b2 ) ≥0 a2 + b2 + c + 5bc a2 + b2 + c + 5ca ( )( ) hi n nhiên úng ng th c x y a=b=c ho c a=b, c=0 hoán v Ví d tương t khác v hình th c cách gi i Ví d 5: (Phan Thành Nam- Phương pháp d n bi n) Cho s không âm a,b,c khơng có hai s a+b c + 3ab b+c + a + 3bc c+a + ng th i b ng Ch ng minh r ng ≥3 b + 3ca L i gi i: Ta có ∑ a+b 6( a + b)( a + b + c) ≥∑ 12(a + b)( a + b + c) 4.( a + b + c) + 9(c + 3ab) 2.( a + b + c).3 c + 3ab cyc 12(a + b)(a + b + c) Ta ch c n ch ng minh ∑ ≥ ( o n v sau theo l i 2 cyc 4.( a + b + c ) + 9( c + 3ab ) cyc c + 3ab =∑ cyc gi i c a tác gi b n có th tìm di n àn dài) Như v y ta có th xen l i gi i c a ta vào bư c quan tr ng nh t làm m t d u th c ơn gi n b i toán Các b n có th tham kh o tốn sau tương t kì thi tốn ho c tác gi xu t t p chí,di n àn Ví d 6: ( Võ Qu c Bá C n) Cho s dương a,b,c th a mãn a+b+c = ch ng minh a b c + ≥2 2 2a + bc 2b + ca 2c + ab G i ý: Bi n i a = 2a + bc a a (a + b + c)(2a + bc) ≥ 2a 2a = 2 a (a + b + c) + 2a + bc 3a + ab + bc + ca Ví d 6: ( Phan Thành Nam) Cho s không âm a,b,c th a mãn a+b+c = ch ng minh a b c + ≥2 2 a + bc b + ca c + ab a; b; a + b2 + b + c2 + c + a2 ≥ G i ý câu b: a + b2 + b + c2 + c + a2 ≥ ⇔ ∑ cyc ∑ cyc a a + b2 + b =∑ cyc ( a + b − b) ≥ ⇔ ∑ a 2(a + b) a + b +b 2(a + b) cyc ≥∑ cyc a a + b2 + b ≥ mà ta có a a ( a + b) =∑ 2 ( a + b) + a + b 2a + 5ab + 4b + ca + b cyc 2(a + b) Các b n th bi n i ti p ví d Ví d ( Ph m Kim Hùng) Cho s không âm a,b,c khơng có hai s ng th i b ng Ch ng minh r ng 27 Cao Ti n Trung THPT ô Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t 4a + bc + + 4b + ca ≥ 4c + ab m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a a+b+c Ví d 8: ( Võ Qu c Bá C n) Cho s không âm a,b,c th a mãn a+b+c = ch ng minh (b − c )2 a+ + (c − a )2 b+ (a − b )2 c+ + ≤ Ví d Cho s khơng âm a,b,c khơng có hai s a 3c + ab b + c + 3a + bc 3b + ca Ví d 10: ( Ôn luy n i h c com) 2 ≥ ng th i b ng Ch ng minh r ng Cho a,b,c dương th a mãn a2+b2+c2=3 Ch ng minh G i ý: T d b + b ≥2⇔ a b + b c c + a oán d u = xày a=b=c ta có 2( a + b + c ) − b ≥ − b suy a ( ) ( ) ≥ a − b = a − 1.b ≥ a (2 − b ab + bc + ca + ó VT ≥ 2(a + b + c) − vi c l i ch ng minh T ≥ ab + bc + ca b +1 ) ab + bc + ca + ≥ ab + bc + ca b ng cách s d ng n ph t=a+b+c kh o sát hàm c Ví d 11: ( Sách 500 b t ng th c) Cho a,b,c dương th a mãn a2+b2+c2=3 Ch ng minh a a +b+c + b b +c+a + c c +a+b ≤ G i ý: a a2 + b + c + + b b2 + c + a c 1+ a + b (c + a + b )(1 + a + b ) ≤ + c c2 + a + b = a 1+ b + c (a + b + c )(1 + b + c ) + b 1+ c + a (b + c + a )(1 + c + a ) a 1+ b + c + b 1+ c + a + c 1+ a + b a+b+c n ây dùng BunhiaCopxki a + b + c + b + c + a + c + a + b ≤ (a + b + c)(a + ab + ac + b + bc + ba + c + ca + cb)  2( a + b + c )  = (a + b + c)[(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)] ≤ (a + b + c ) (a + b + c) + ≤   (a + b + c)[(a + b + c ) + 2(a + b + c)] = (a + b + c) V y a 1+ b + c + b 1+ c + a + c 1+ a + b ≤ a+b+c d u b ng a=b=c=1 28 Cao Ti n Trung THPT ô Lương ... dung c a phương pháp g i tên " Phương pháp t o nhân t gi i quy t b t ng th c ch a căn" 2.2 Xây d ng h th ng toán t phương pháp " T o nhân t gi i b t ng th c ch a căn" \ Trong tài s xây d ng hình... có d ng nhân t hay t o h ng ng th c phân tích thành nhân t hay khơng nhi u vi c thay th gi thi t m t cách khéo léo vào bi u th c phương pháp hi u qu t o nhân t Ta xét toán Bài tốn 24 Cho a,b,c... Lương tài: Xây d ng h th ng toán t b t m t phương pháp gi i hi u qu cho ng th c ch a Hi n nhiên úng a ≥ b ≥ c , ng th c x y ch a=b,c=0 hốn v ví d ta th c hi n nhân có th th c hi n nhân thêm s