www.k2pi.net DIỄN ĐÀN TOÁN THPT www.k2pi.net TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PT HAYVÀ KHÓ Được sáng tác và giải bởi các thành viên của diễn đàn www.k2pi.net Bài 1.(Sáng tác : kienqb Tìm tất cả các cặp số (x; y) không âm thỏa mãn hệ:    (2x +  4x 2 +1)(  y 2 +1 −y) =1 1 1 +3 x + 1 1 +2 y + 1 1 +5 x = 3 1 +4 x Lời giải (Con phố quen): Trước tiên ta cần để ý rằng :  y 2 +1 −y =0;   y 2 +1 −y   y 2 +1 +y  =1 Tiếp đến là một bất thức quen thuộc được dùng trong bài toán này như một bổ đề : 1 1 +a + 1 1 +b + 1 1 +c ≥ 3 1 + 3  abc với a, b, c ≥1 Với đánh giá thứ nhất ta đưa phương trình thứ nhất trong hệ về phương trình : 2x +  4x 2 +1 = y +  y 2 +1 Tới đây xét hàm số f (t) =t +  t 2 +1,∀t ≥0. Ta có f  (t ) =1+ t  t 2 +1 >0,∀t ≥0. Từ đó ta có :f (2x) = f (y) ⇔ y =2x. Với kết quả này cùng với đánh giá thử hai tức là bổ đề nêu ra ta có : 1 1 +3 x + 1 1 +4 x + 1 1 +5 x ≥ 3 1 + 3  60 x ≥ 3 1 + 3  64 x Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y =0 Bài 2.( Trần Thị Cẩm Tú ) Giải hệ phương trình :  (x +6y +3)  x y +3y =(8y +3x +9)y  −x 2 +8x −24y +417 =(y +3)  y −1 +3y +17 Lời giải (Ngo Hoang Toan): Hệ đã cho gồm các phương trình căn thức và đa thức,việc ta nên làm là giải quyết các căn thức khó chịu trên.Và phương pháp thương dùng nhất là đặt ẩn phụ,nhưng đặt ẩn phụ như thế nào là ổn.Đó là điều ta quan tâm ? Ta viết lại hệ phương trình đã cho như sau:  (x +6y +3)  x y +3y =(8y +3x +9)y (1)  −x 2 +8x −24y +417 =(y +3)  y −1 +3y +17 (2) Ta đặt a =  x +3;b =  y với a, b ≥0 Tư đó ta viết lại phương trình (1) thành : ( a 2 +6b 2 )ab =b 2 (8b 2 +3a 2 ) Vậy ta có : b =0 hay a 3 +6ab 2 =8b 3 +3a 2 b Vậy ta có : (i) b =0 Suy ra y =0 không thoả phương trình (2). (i i) (a −2b)(a 2 −ab +4b 2 ) =0 ⇒ a =2b Với a =2b ⇒ x +3 =4y Thay vào (2) ta có : 4  (y +4)(6 − y) =(y +3)  y −1 +3y +17 Theo bất đẳng thức AM −GM ta có : 4  (y +4)(6 − y) ≤4 (y +4 +6 − y) 2 =20 Và ta có : (y +3)  y −1 +3y +17 ≥3y +17 ≥3 +17 =20 Vậy đẳng thức xảy ra khi y =1 thay vào ta có x =1. Vậy S =(1;1).  Bài 3. (Tác giả :π 2 ) Giải hệ phương trình :       11 3 − 2y 2 3 +  1 +2x =y 4 −10x 2 −24x −14 2y  3x +4 ( 3 +2x ) =2x y 2 +3y 2 +6x 2 +17x +12 Lời giải (Nguyễn Đình Thành): ĐK : x ≥− 1 2 PT(1)⇔2x  y 2 −2y  3x +4 +3x +4  +3  y 2 −2y  3x +4 +3x +4  =0 ⇔  y −  3x +4  2 ( 2x +3 ) =0 ⇔y =  3x +4 www.k2pi.net 1 www.k2pi.net Thay vào phương trình (1) ta có :  1 −2x +  1 +2x =2 −x 2 ⇔x 4  x 4 −8x 2 +20  =0 ⇔x =0 Hệ có nghiệm :  x; y  = ( 0;2 ) Bài 4. (Tác giả : Nguyễn Đình Thành Giải hệ phương trình :  x  8y −5 + y  8x −5 = 4  24(x 2 +y 2 +4) 11x 2 −6x y +3y 2 =12x −4y Lời giải (Ngo Hoang Toan): Một bài toán hay và hấp dẫn,không biết tác giả lấy ý tưởng từ đâu.Đạo hàm và bất đẳng thức chăng? Phân tích: Dự đoán nghiệm xảy ra khi x = y = 1. Tại nhìn cái phương trình thứ nhất giống bất đẳng thức nên đoán thử,không ngờ lại đúng Gặp may ùi Nhưng khó nhai ghê vậy đó Nên ta ước lượng các giá trị biến từ các phương trình (1) và (2) nên ta có cách giải như sau. Lời giải Điều kiện:x, y ≥ 5 8 Và ta xét đến phương trình (2). Sử dụng điều kiện có nghĩa theo các biến x, y ta được x ≤  240 −12 24 , y ≤  880 −4 24 . Để ý rằng theo bất đẳng thức AM −GM ta có :  3.x.  1. 8y −5 3 ≤  3. [ 8y −5 3 +1] 2 Hay  3.x.  1. 8y −5 3 ≤x.  3 4y −1 3 Vậy ta có :  3.x.  1. 8y −5 3 +  3.y.  1. 8x −5 3 ≤  3 3 .(8x y −(x +y)) ≤  3 3 (2(x +y) 2 −(x +y) Mặc khác theo bất đẳng thức C auchySchw ar z ta có : 4  24(x 2 +y 2 +4) ≥ 4  12(x +y) 2 +96 Vậy ta cần chứng minh: 4  12(x +y) 2 +96 ≥  3 3 (2(x +y) 2 −(x +y) Hay 2  3 3 t 2 −  3 3 t − 4  12t 2 +96 ≤0 Với  240 +  880 +8 24 ≥t ≥ 5 4 Xét hàm số f (t ) = 2  3 3 t 2 −  3 3 t − 4  12t 2 +96 Ta có f  (t ) = 4  3 3 t −  3 3 − 1 4 .(12t 2 +96) −3 4 .24t Và f  (t ) >0 Từ đó suy ra : f  (t ) > f ( 5 4 ) >0 Suy ra f (t) là hàm đồng biến. Ta chia thành hai trường hợp TH1:2 ≥t ≥ 5 4 . Dễ thấy f (2) =0 nên ta có điều phải chứng minh TH2 Từ hai trường hợp đó suy ra x = y.Thay vào phương trình (2) ta được x = y =1 Bài 5. (Tác giả : Kienqb) Giải hệ phương trình sau:    5 x +4 2y =3 x +2 x +10x 2 −12y e x +(x −2y)ln(2x 2 +x +y 2 −2x y +2) =e 2y Lời giải (dan_dhv): Ta có : P t(2) ⇔e x +(x −2y)ln  (x −y) 2 +(x + 1 2 ) 2 + 7 2  =e 2y Với x >2y .Khi đó . P t(2) ⇔ln  (x −y) 2 +(x + 1 2 ) 2 + 7 2  = e 2y −e x x −2y 2 www.k2pi.net www.k2pi.net Nhận thấy V T >0;V P <0 (Loại) Với x <2y .Tương tự trên Do đó . PT nghiệm đúng với x =2y. Thay vào pt(1) ta được 5 x +4 x =3 x +2 x +10x 2 −6x Ta thấy rằng: Nếu x < 0 thì 5 x +4 x < 3 x +2 x +10x 2 −6x do đó phương trình chỉ có nghiệm khi x ≥ 0 Xét hàm số :f (x) = 5 x +4 x −3 x −2 x −10x 2 +6x với x ≥0 Ta có: f  (x) =5 x ln5+4 x ln4−3 x ln3−2 x ln2−20x+6 f  (x) =5 x ln 2 5+4 x ln 2 4−3 x ln 2 3−2 x ln 2 2−20 f  (x) = 5 x ln 3 5 +4 x ln 3 4 −3 x ln 3 3 −2 x ln 3 2. Rõ ràng với x ≥ 0 thì f  (x) > 0 Vì vậy f  (x) là hàm đồng biến nên f  (x) = 0 có tối đa 1 nghiệm. Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy f  (x) = 0 có tối đa 2 nghiệm và dẫn tới f ( x) = 0 có tối đa 3 nghiệm. Ta có f (0) = f (1) = f (2) = 0 ⇒ x = 0;x = 1;x = 2 là 3 nghiệm của phương trình f (x) = 0. Thay vào ta có các nghiệm của hệ là:(x; y) =(0;0), (1;2), (2;4) Bài 6.(Tác giả : π 2 ) Giải hệ phương trình :   2x +3 +3  y +1  2   2x +3 −6y  x +y  −6x −9y −11 =0 y 3 −4y 2 +2x +  2x +3 =0 Lời giải (Cô Bé Gió Sương) Đặt  2x +3 =a y +1 =b Từ pt(1) Ta có a 3 +3ab 2 −3b(2b −1) −3(b −1)(a 2 −3) −3a 2 +1 =0 ⇔(a −b) 3 +(b −2) 3 =0 ⇔a =2 Thay  2x +3 =2 Vào pt(2), có : y 3 −4y 2 +3 =0 Bài 7. (Tác giả : Vương Thị Hiền ) Giải hệ phương trình :        x +y x y +x y = 2  x −y   x +  y + 2  x y 1  y − 1  x +x +y = 4 Lời giải (manlonely838 ): ĐK: x >0, y >0. PT (1) ⇐⇒  1  x − 1  y +  x y  2 =0 ⇐⇒ 1  y − 1  x =  x y ⇐⇒  x −  y = xy ⇐⇒ x +y =2  x y +(x y) 2 Thay tất cả vào P T (2) ta được (x y) 2 +3  x y −4 =0 ⇐⇒ x y = 1 hoặc x y = (Nghiệm khủng quá!) Bài 8. (Tác giả : Phạm Thị Trà) Giải hệ phương trình :    x 3 −y 3 + 5 3 (x +y) 2 +5x 2 − 8 3 x y +13x = 100 3 x 2 +y 2 +x y −3x −4y +4 =0 . Lời giải (Cô Bé Gió Sương): Từ phương trình (2), Ta tìm được :      4 3 ≥x ≥0 7 3 ≥ y ≥1 Rút x y từ pt (2) .Thay vào(1) (3x 3 +18x 2 +45x) +(3y 2 −3y 3 +8y) =108 Tới đây đạo hàm sẽ tìm được nghiệm      x = 4 3 y = 4 3 Bài 9. ( Tác giả : Đậu Thị Giang ) Giải hệ phương trình:    y 3 +3x y −17x +18 =x 3 −3x 2 +13y −9 x 2 +y 2 +x y −6y −5x +10 =0 www.k2pi.net 3 www.k2pi.net Lời giải (angel): Từ phương trình (2) ta tìm được : 5 3 ≤ y ≤ 3, 2 3 ≤ x ≤ 2 Nhân phương trình (2) với −3 và cộng với phương trình (1) ta có : (y −1) 3 +2(y −1) = x 3 +2x Hàm số f (t) = t 3 +2t đồng biến trên [ 2 3 ;2] Nên : y −1 =x Thay vào và giải ra ta được : (x; y) =(1;2);( 5 3 ; 8 3 ) Bài 10. (Tác giả : Lê Thị Xuân ) Giải hệ phương trình :        x 3 −y 6 + 3 2 x y 2 − 3 2 y 4 =0 4 x 3 y 4 +5 x y 2 −8y 2 +7 =0 Lời giải (Cô Bé Gió Sương): PT 1 ⇔2x 3 −2y 6 +3x y 2 −3y 4 =0 ⇔  x −y 2  2x 2 +2x y +5y 2  =0 ⇔x = y 2 Thay x = y 2 vào PT(2)⇒x =3 Bài 11. (Tác giả : Lê Trung Tín ) Giải hệ phương trình :    x 4 +10y =x 2 −2 x 2 (1 +y) =y 2 +1 Lời giải (Cô Bé Gió Sương): Từ pt(2) ta có x 2 = y 2 +1 y +1 Thay vào pt(1) suy ra : (y 2 +4y +1)(y 2 +5y +2) =0 Bài 12. (Tác giả : Lê Trung Tín ). Giải hệ phương trình :    x 4 +3y 2 =1 x 2 (1 −y) =y 2 +y +1 Lời giải (FOR U): Với y =1 . Hệ VN Xét : y =1 Thay x 2 = y 2 +y +1 1 −y vào phương trình (1). Cho ta : 4y 4 −4y 3 +5y 2 +4y =0 . Done ! Bài 14. (Tác giả : kienqb ). Giải hệ phương trình:      25y +9  9x y −4 = 2y 2 +18x 2 +2 x(y 2 +1) x 2 +y 2 +  8x 2 −12x y +8y 2 =x +y +2x y Lời giải (Cô Bé Gió Sương): PT 2 ⇔(x −y) 2  1 + 7  8x 2 −12x y +8y 2 +x +y  =0 ⇔x = y Thay vào PT1 ta có 25x +9  9x 2 −4 = 20x 2 +2 x(x 2 +1) ⇔9x  9x 2 −4 = 20x 2 +2 x 2 +1 −25x 2 Bình phương 2 vế của phương trình 4(2x 2 −1)(13x 6 +117x 4 +78x 2 +1) (x 2 +1) 2 =0 ⇔x =±  1 2 Thử lại nhận thấy rằng phương trình chỉ nhận nghiệm x =−  1 2 4 www.k2pi.net www.k2pi.net Bài 15. (Tác giả : Hoàng Thu Hương ). Giải hệ phương trình :   x −y  x 2 +y 2 +x y +15  −  x +y  2 =x 2 −9y 2 −15y +94 4x 2 +4y 2 +6x +6y −2x y −9 =0 Lời giải (Cô Bé Gió Sương): Từ phương trình 2 ta có:    4x 2 +2x(3 −y) +4y 2 +6y −9 =0 4y 2 +2y(3 −x) +4x 2 +6x −9 =0 ⇒    ∆ x ≥0 ∆ y ≥0 ⇔    y ∈ [ −3;1 ] x ∈ [ −3;1 ] Thế x y từ phương trình (1) vào PT (2) : x 3 −6x 2 +9x −y 3 +4y 2 −6y =85 (∗) Xét hàm số f (x) =x 3 −6x 2 +9x Với x ∈ [ −3;1 ] f  (x) =3(x −1)(x −3) f  (x) =0 ⇒ x =1 Dựa vào bảng biến thiên: ⇒ f (x) = x 3 −6x 2 +9x ≤4 Xét hàm số g(y) =−y 3 +4y 2 −6y Với y ∈ [ −3;1 ] g  (y) =−3y 2 +8x −6 ≤ 0 ⇒ Hàm số nghịch biến ⇒g (y) =−y 3 +4y 2 −6y ≤81 ⇒ f (x) +g(y) ≤85 Để (∗) có nghiệm ⇔    x =1 y = −3 Nhận thấy nghiệm trên không thoả mãn phương trình hai nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm ! Bài 16. (Tác giả :Lê Thị Xuân ). Giải hệ phương trình :      | 3x +2 | +   5 −6y   =7 (x −3y)  1  x −2y −  y  −  y = 0 Lời giải (thoheo): ĐK: x ≥2y; x, y >0 Đặt  x −2y =a;  y = (a,b ≥0) (2) ⇔a =0 ⇒ x =2y Thay vào(1) ta được: |3x +2 |+ |5 −3x |=7(3) Mà VT(3) ≥|3x +2 +5 −3x |=7 Dấu ’=’ xảy ra khi:    x = −2 3 x = 5 3 Đối chiếu với ĐK ta thấy chỉ x = 5 3 là thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có nghiệm      x = 5 3 y = 5 6 Bài 17. (Tác giả :kienqb ). Giải hệ phương trình:    x 2 y −3x +y =(y −x 2 )  3x −y  −x 2 +4x +21 −  −x 2 +y 2 +y +10 =2 Lời giải (Ngo Hoang Toan): Bài này thật là khó,khi cái quái nó nằm ở phương trình thứ hai.Dùng phương pháp "chân quê" ta đặt a =  3x −y; a ≥0. Ta đưa phương trình thứ nhất về : x 2 y −a 2 =ay −x 2 a ⇐⇒  x 2 =a (1) y +a =0 (2) Ta giải quyết phần (2) trước vậy,thấy phần (1) hơi khó xơi nhỉ ? Thay a = −y; y ≥ 0 vào phương trình (2) ta được phương trình căn thức quen thuộc sau:  −x 2 +4x +21 =2 +  −x 2 +3x +10 Lại theo cách "chân quê",bình phương lên ta đưa về phương trình bậc hai dễ thở chút. ⇐⇒ −x 2 +4x +21 =4 −x 2 +3x +10 +4  −x 2 +3x +10 ⇐⇒ x +7 =4  −x 2 +3x +10 →17x 2 −34x −111 =0 . Ta thử tìm cách giải quyết phương trình khó nhai thứ nhất xem sao ? Từ (1) ta có : y = 3x −x 4 ; x ∈[−3;7]. Bài 18. (Tác giả : kienqb ). Giải hệ phương trình:     x +  y +2(x 2 +y 2 ) =4+2x y x  3x 2 +6x y +y  3y 2 +6x y =6 www.k2pi.net 5 www.k2pi.net Lời giải (Ngo Hoang Toan): Bài toán này rất thú vị,nếu ta không nhận ra rằng nếu sử dụng các bất đẳng thức quá mạnh sẽ dẫn tới làm khó bài toán và gần như là đưa kết quả về con số 0. Ta viết lại đề bài:     x +  y +2(x 2 +y 2 ) =4+2x y x  3x 2 +6x y +y  3y 2 +6x y =6 Từ phương trình thứ hai,áp dụng bất đẳng thức AM −GM ta có : x  3x 2 +6x y +y  3y 2 +6x y ≥2  x y.   3x 2 +6x y.  3y 2 +6x y  ≥2.  x y  (9x 2 y 2 +18x y(x 2 +y 2 ) +36x 2 y 2 ) ≥2.  x y  (9(x y) 2 +36(x y) 2 +36(x y) 2 ) =6xy Suy ra xy ≤1 (1). Ta lại có theo bất đẳng thức AM −GM thì : x  3x 2 +6x y +y  3y 2 +6x y = x.  9x.  3x +6y 3 + y.  9y.  3y +6x 3 ≤ 12x 2 +6x y 6 + 12y 2 +6x y 6 =2(x 2 +y 2 +x y) Vậy ta suy ra: x 2 +y 2 +x y ≥3 Mà x y ≤ 1 nên x 2 +y 2 ≥2 . Từ phương trình thứ nhất ta có: 4 +2x y ≥  x +  y +4 ≥2. 4  x y +4. Vậy suy ra x y ≥ 4  x y ⇐⇒ 4  x y ≥1 Hay x y ≥1 (2). Từ (1); (2) ta suy ra x y = 1. Và từ các dấu bằng bất đẳng thức ta có x = y =1. Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = (x; y) =(1;1) . Bài 19. (Tác giả :Con phố quen ). Tìm tất cả các nghiệm x >0, y >0 của hệ phương trình :       x +y +2(2x 2 −5x −3) = y(1 −y −5x) +  3 1 16x 4 +2x(12x +1) +2(y +2) + 1 16y 4 +2y(12y +1) +2(x +2) = 2 145 Lời giải (Ngo Hoang Toan): Lại thêm một bài toán khó và hấp dẫn từ anh Con Phố Quen.Thật may mắn cho em khi nhận ra chút " chân quê" từ bài toán hay này của anh.Thay vì nhận xét cách giải bài toán này,các bạn hãy cùng xem lời giải này của tôi. Ta viết lại hệ phương trình       x +y +2(2x 2 −5x −3) = y(1 −y −5x) +  3 (1) 1 16x 4 +2x(12x +1) +2(y +2) + 1 16y 4 +2y(12y +1) +2(x +2) = 2 145 (2) -Xét (1). Đặt t =  x +y;t >0. Ta viết phương trình (1) về dạng: t +4x 2 −10x −6 = y −y 2 −5x y +  3 Theo cách "chân quê" ta cứ rút y theo x, t nên ta có :y = t 2 −x Vậy phương trình trên biến đổi lại thành: t 4 −t 2 +t −6 −  3 =3(3−t 2 )x ⇐⇒ (t −  3)(t 3 +  3t 2 +2t +2  3 +1) =3(  3 −t )(  3 +t ).x Đến đây các bạn có thắc mắc tại sao tôi biết được cách phân tích như thế không ? Thật ra,khi nhìn vào phương trình thứ hai,ta dễ nhận thấy phương trình trên là một bất đẳng thức nào đó ,nên điều ta thiết nghĩ lúc này có chăng là x = y. Thật vậy,bằng kiểm tra đơn giản,ta có ngay một nghiệm bài toán là x = y = 3 2 .Đến đây với cách "chân quê" ta lại có biến đổi như trên là điều hoàn toàn giải thích được. Phương trình trên cho ta :  t =  3 (3) t 3 +  3t 2 +2t +2  3 +1 =−3(  3 +t ).x (4) Chúng ta hãy tạm giải quyết trường hợp t =  3 trước. Quay trở lại phương trình (2) ta có: 1 16x 4 +2x(12x +1) +2(y +2) + 1 16y 4 +2y(12y +1) +2(x +2) = 2 145 Theo bất đẳng thức Cauchy Schwar z ta có : 1 16x 4 +2x(12x +1) +2(y +2) + 1 16y 4 +2y(12y +1) +2(x +2) ≥ 4 16(x 4 +y 4 ) +24(x 2 +y 2 ) +4(x +y +2) 6 www.k2pi.net www.k2pi.net Ta biến đổi bất đẳng thức về : 16(x 4 +y 4 ) +24(x 2 +y 2 ) +4(x +y +2) ≤290 Đặt t =x +y . Theo bất đẳng thức AM −GM ta có các đánh giá : x +y ≤  2(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ≥  2(x 4 +y 4 ) Đặt u =  2  2. 4  x 4 +y 4 . Vậy ta có : 16(x 4 +y 4 ) +24(x 2 +y 2 ) +4(x +y +2) ≤2t 4 +12t 2 +4(t +2) ≤290 Mà 2t 4 +12t 2 +4(t +2) −290 = (t −3)(2t 3 +6t 2 +30t +94) =0 do t =3. Vậy đây chỉ là một đẳng thức. Vậy dấu bằng xảy ra khi x = y = 3 2  -Ta giải quyết (4). t 3 +  3t 2 +2t +2  3 +1 =−3(  3 +t ).x Dễ nhận thấy với điều kiện x, t >0 ta có t 3 +  3t 2 +2t +2  3+1 +3(  3+t).x >0 nên phương trình này vô nghiệm.  Vậy tóm lại hệ phương trình có nghiêm duy nhất (x; y) =( 3 2 ; 3 2 ). Bài 20. (Tác giả :Lê Trung Tín ). Giải hệ phương trình :        x 2x 2 −x −3 + x 2x 2 +x −3 = 2y 2 −3 y y 2y 2 −y −3 + y 2y 2 +y −3 = 2x 2 −3 x Lời giải (noaht): Điều kiện Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :        x 2x 2 −x −3 + x 2x 2 +x −3 = 2y 2 −3 y y 2y 2 −y −3 + y 2y 2 +y −3 = 2x 2 −3 x ⇔                  1 2x 2 −3 x −1 + 1 2x 2 −3 x +1 = 2y 2 −3 y 1 2y 2 −3 y −1 + 1 2y 2 −3 y +1 = 2x 2 −3 x Đặt :        a = 2x 2 −3 x b = 2y 2 −3 y Khi đó hệ trở thành hệ :      1 a −1 + 1 a +1 =b 1 b −1 + 1 b +1 =a Đây là hệ đối xứng loại 2. Với cách nhận dạng như vậy ta dễ dàng tìm hướng đi tiếp bằng cách thực hiện trừ 2 vế phương trình của hệ Bài 21. (Tác giả :hoanghai1195 ). Giải hệ phương trình :      (8 −2x 3 )  x −1 +1 −x x 3 +y 2 =x 3 −y 2 −8 2  y −1 +  x −1 +12x −5y =20 Lời giải (???): Bài 22. (Tác giả : Nguyễn Thị Nhung ). Giải hệ phương trình :   x 2 +2  1 −y  x −y  +  x y =2y x  2x +2y −5  +y  y −3  +3 =0 Lời giải (manlonely838 ): Điều kiện: Tất cả các biểu thức dưới dấu căn bậc hai đều không âm. Nhưng ở đây ta chú ý tới điều kiện x ≥0, y ≥0. Phương trình (2) được viết lại như sau: (x +y −2) 2 +(x +y −2) +(x −1) 2 =0 ⇒x +y −2 ≤0 ⇒ x +y ≤2 (∗) Áp dụng bất đẳng thức C auchy −Schwar z bên vế trái PT (1) ta được (2y) 2 ≤(1 2 +1 2 )(x 2 +2(1 −y)(x −y) +xy) ⇔(x +2)(x −y) ≥0 ⇔x ≥ y( vì x +2 >0) Do đó (∗) suy ra 2 ≥x +y ≥2y ⇒0 ≤ y ≤1. Với điều kiện này của y, nhìn lại PT (1) ta có V T (1) ≥  y 2 +  y 2 =2y =V P (1) www.k2pi.net 7 www.k2pi.net Dấu bằng xảy ra khi x = y. Thay vào P T (2) của hệ ta tìm được 2 nghiệm của hệ là    x =1 y = 1 ;      x = 3 5 y = 3 5 . Bài 23. (Tác giả : Nguyễn Thị Nhung ). Giải hệ phương trình :   x 2 +  2y −1  x −y  +  x y =2y x  2x +2y −5  +y  y −3  +3 =0 Lời giải (Nguyễn Thị Nhung): ĐK :  x y ≥0 x 2 +2  y −1  x −y  ≥0 Từ phương trình (1) :  x 2 +2  y −1  x −y  −y +  x y − y =0 ⇔ x 2 −y 2 +2  y −1  x −y   x 2 +2  y −1  x −y  +y + x y − y 2  x y + y =0 ⇔  x −y     x +y +2y −2  x 2 +2  y −1  x −y  +y + y  x y + y    =0(3) Từ phương trình thứ (2) : 2x 2 +2 x y −5x +y 2 −3y +3 =0 ⇔  x +y  2 −3  x +y  + ( x +1 ) 2 +2 =0 ⇒  x +y  2 −3  x +y  +2 ≤0 ⇔ 1 ≤x +y ≤2 (4) Từ (3), (4) kết hợp với ĐK cho ta : x = y Thay trở lại (2) và giải ra ta được :  x =1 y = 1 ;      x = 3 5 y = 3 5 Bài 24. (Tác giả : Nguyễn Thị Thanh Nhàn ). Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình :  3x 2 +4x −5 =  −y 2 −6y −1 x +1 =  17 −4y −16x Lời giải (Hồng Vinh): Từ pt(1) ta có : 3x 2 +4x −5 =  −y 2 −6y −1 ≤ 1−y 2 −6y−1 2 ⇐⇒ 6x 2 +8x −10 +y 2 +6y ≤0 (a) Từ pt(2) ta lại có : x 2 +18x +4y −16 =0 (b) Từ (a) và (b) cho ta : 5(x −1) 2 +(y +1) 2 ≤0 Thay trở lại suy ra ptVN. 8 www.k2pi.net . www .k2pi. net DIỄN ĐÀN TOÁN THPT www .k2pi. net TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PT HAYVÀ KHÓ Được sáng tác và giải bởi các thành viên của diễn đàn www .k2pi. net Bài 1.(Sáng tác :. +4  +3  y 2 −2y  3x +4 +3x +4  =0 ⇔  y −  3x +4  2 ( 2x +3 ) =0 ⇔y =  3x +4 www .k2pi. net 1 www .k2pi. net Thay vào phương trình (1) ta có :  1 −2x +  1 +2x =2 −x 2 ⇔x 4  x 4 −8x 2 +20  =0. + 1 2 ) 2 + 7 2  =e 2y Với x >2y .Khi đó . P t(2) ⇔ln  (x −y) 2 +(x + 1 2 ) 2 + 7 2  = e 2y −e x x −2y 2 www .k2pi. net www .k2pi. net Nhận thấy V T >0;V P <0 (Loại) Với x <2y .Tương tự trên Do đó . PT nghiệm