Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A. Kiến thức cần nhớ 1. Các hằng đẳng thức cơ bản a) 1cossin 22 =+ xx b) x x x cos sin tan = c) x x x sin cos cot = d) x x 2 2 cos 1 tan1 =+ e) x x 2 2 sin 1 cot1 =+ f) 1cot.tan = xx 2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2 π xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( sin)sin( cos)cos( −=− −=− −=− =− xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( −=− −=− −=− =− π π π π xx xx xx xx cot)2cot( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( =+ =+ =+ =+ π π π π d) Hai cung khác nhau π e) Hai cung phụ nhau xx xx xx xx cot)cot( tan)tan( cos)cos( sin)sin( =+ =+ −=+ −=+ π π π π xxxx xxxx tan 2 cot ; cot 2 tan sin 2 cos ; cos 2 sin =       −=       − =       −=       − ππ ππ B. Bài tập 1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. αα cos1 1 ; sin1 1 − = + = BA 2. Xét dấu của các biểu thức sau: a) oo 132sin123sin − b) oo 316cot304cot − 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) oooo 540cos3990sin41170cos2540tan5 −++ b) 3 19 cos2 4 13 tan3 6 25 sin3 πππ +− c) oooo 75sin55sin35sin15sin 2222 +++ d) oooo 75cos55cos35cos15cos 2222 +++ e) 12 11 sin 12 9 sin 12 7 sin 12 5 sin 12 3 sin 12 sin 222222 ππππππ +++++ f) 12 11 cos 12 9 cos 12 7 cos 12 5 cos 12 3 cos 12 cos 222222 ππππππ +++++ g)       ++−+       +−+ aaaa 2 3 tan)2cot( 2 cos)sin( π π π π h) aaaaA 2224 cos.sincossin ++= i) 2 cos. 2 sin 2 tan 1 2 cos 2 sin 2 aaa aa B − −       + = j) oo ooo C 342cot252tan 156cos530tan).260tan(696cos 22 22 + −−+ = k) ( ) 2 2 7cot 4 13 cot 2 7 tan 4 17 tan       −++             −+ bb π πππ Bai tap luong giac - 1 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com l)         − + − + −         − + − + − x x x x x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 sin1 sin1 sin1 sin1 m) )tan1(cos)cot1(sin 33 aaaa +++ n) bb b cottan tan + o) a aa 4 44 cos sincos1 −− p)       +−       − −−− xxx xxx 2 3 cot).cot(. 2 sin )2sin().2cos().sin( π π π πππ q) 22 )2cos( 2 3 cos)sin( 2 sin       −+       −+       −+       − xxxx π π π π r)       −++       +       +       − aaaaa 2 3 tan).tan( 3 5 cos. 3 2 tan. 3 sin π π πππ s) )5,3tan()6cot( )4tan()5,5cot( ππ ππ −−− −+− ba ba t) oooooo 700tan.400tan.260tan.250tan.190tan.50tan 4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh: a) -cosAC)cos(B ;sin)sin( =+=+ CBA c) -cotCB)cot(A ;tan)tan( =+−=+ BCA b) 2 sin 2 CB cos ; 2 cos 2 BA sin AC = + = + d) 2 tan 2 BA cot ; 2 cot 2 tan CBCA = + = + 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2cossin cos2 −+ + = xx x y 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng ππ <<− x : 4sincos2 3sin2cos +− ++ = xx xx y . 7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC. a) Cho ACB 222 sin2sinsin =+ . Chứng minh o 60A ≤ . b) ABCcbaCcBbAa ∆⇒++=++ )coscoscos(2 đều. c) Chứng minh: 1sinC.sinA-sinB.sinC-sinA.sinB-Csinsinsin0 <++< BA Phần 2: Các công thức lượng giác I. Công thức cộng A. Kiến thức cần nhớ bababa abbaba sinsincoscos)cos()2 cossincossin)sin()1 =± ±=± ba ba ba tantan1 tantan )tan()3  ± =± B. Bài tập 1. Chứng minh các công thức sau: a)       +=       −=+ aaaa 4 sin2 4 cos2sincos ππ b)       −=       +=− aaaa 4 sin2 4 cos2sincos ππ 2. Rút gọn các biểu thức: a)       ++−       +− aa aa 4 sin2sin2 4 cos2cos2 π π Bai tap luong giac - 2 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com b) ooooo 79cos.69cos21cos.11cos10cos ++ c) bababa tan.tan)cot().tan(tan −−− 3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) tanCtanA.tanB.tanCtanBAtan =++ b) 1 2 tan. 2 tan 2 tan. 2 tan 2 tan. 2 tan =++ ACCBBA c) 1cot.cotcot.cotcot.cot =++ ACCBBA d) 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA =++ 4. a) Cho 4 π =−ba , chứng minh: a b b tan tan1 tan1 = − + và b a a tan tan1 tan1 −= + − . b) Cho 4 π =+ ba , chứng minh: 2)tan1)(tan1( =++ ba và 2)cot1)(cot1( =−− ba c) Cho nya max =− =+ )tan( )tan( . Chứngminh: ab ba yx + − =+ 1 )tan( . d) Cho 5 2 tan =a , 7 3 tan =b )10( va, b << . Tìm a + b. e) Cho 2 1 tan −=a ) 2 ( π π << a và 3tan = b ) 2 0( π << b . Tìm a + b. f) Cho 3 2 1tan =a , 4 1 tan =b )10( va, b << . Tìm a - b. g) Cho 12 1 tan =a , 5 2 tan =b , 3 1 tan =b . Chứng minh a + b + c = 45 o . 5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: o 15 hoặc 12 π và o 75 hoặc 12 5 π . 6. Cho γβα , , thoả mãn điều kiện: 2 π γβα =++ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: αγγββα tan.tan1tan.tan1tan.tan1 +++++=A 7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân: a) )cot(cot 2 1 sinsin coscos 22 22 22 BA BA BA += + + b) A C B cos2 sin sin = c) )tantan( 2 tan BbAa A ba +=+ d) BABA 2 tan.tantan2tan =+ II. Công thức nhân đôi nhân ba. A. Lý thuyết cần nhớ aaa aaa a a a aaaaa aaa cos3cos43cos sin4sin33sin tan1 tan2 2tan 1sco2sin21sincos2cos cossin22sin 3 3 2 2222 −= −= − = −=−=−= = B. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) aaaa aa sin3coscos3sin 4 sin. 4 sin −       +       − ππ b) 8tan 1 8 tan 2 π π − c) ooo 80cos.40cos.20cos d) )sin(coscossin2 22 aaaa − Bai tap luong giac - 3 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com e) aaaa 4224 sincossin6cos +− f) 2 cos 2 sin4cos 222 aa a − g) aa 22 cossin81− h) ooo 40cos20cos10cos8 i) aaaa 3sincos43cossin4 33 + j) aa 2sin4sin4 24 + k) 5 2 cos 5 cos ππ l) oooo 80cos60cos40cos20cos m) aaaaaa 32tan3216tan168tan84tan42tan2tan +++++ n) aa aa 3coscos 3sinsin 3 3 − + o) aa aa 3sinsin 3coscos + − 2. Chứng minh: a) aaaa 3sin 4 1 3 sin 3 sinsin =       +       − ππ . Áp dụng với 9 π =a . b) 118sin818sin8 23 =+ c) 32 cot 32 tan 16 tan2 8 tan48 ππππ =+++ d) 572tan36tan 22 = oo e) aaaa 3cos 4 1 3 cos 3 coscos =       +       − ππ . Tính: 18 7 cos 18 5 cos 18 cos πππ f) a aa a 2 3 tan31 tantan3 3tan − − = g) aaaa 3tan 3 tan 3 tantan =       +       − ππ . Chứng minh: 5210 15 66tan54tan6tan + − = ooo . 3. a) Cho )0,( 2 sin > + = ba ba ab α . Tìm α 2sin , α 2cos , α 2tan . b) Cho 2 1 2 cos a a + = α . Tìm α 2sin , α 2cos , α 2tan . c) Cho 4 5 cossin =+ αα . Tìm α 2sin , α 2cos , α 2tan . 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau: a)       −       += 4 sin 4 sin ππ xxy b) xxy 44 sincos −= c) xxy 22 cossin81−= III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo 2 tan a t = . A. Lý thuyết cần nhớ aa aa 2 2 sin22cos1 cos22cos1 =− =+ 2 1 2 sin t t a + = 2 2 1 1 cos t t a + − = 2 1 2 tan t t a − = B. Bài tập 1. Chứng minh các biểu thức sau: a) 2 tan 2sinsin2 2sinsin2 2 a aa aa = + − b)       −= ++ +− a aa aa 4 tan 2cos2sin1 2cos2sin1 π c) 2 cos4)cos(cos)sin(sin 222 ba baba + =+++ d) a aa cot2 2 cot 2 tan −= e)       −= − + 24 cot sin1 sin1 2 a a a π f) ( )( ) 1223'307tan −−= o g) 2 cos2)cos(coscos)sin(sinsin 2 ba baabaa − =+++ Bai tap luong giac - 4 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com h) 2 sin4)cos(cos)sin(sin 222 ba baba − =−+− i) a a a a sin1 24 sin sin1 24 sin +       − − −       + ππ )0( π << a 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) α cos 2 1 2 1 2 1 2 1 ++ )0( πα ≤< b) α cos 2 1 2 1 2 1 2 1 +− )0( πα ≤< c) 2 cot1 2 cot2 2 a a + d) 4 tan 4 cot 2 tan 2 cot aa aa + − e) 2 tan1 2 tan 2 tan1 2 tan a a a a − + + f) 2 tan1 1 2 tan1 1 aa + − − g) αα αα sin2sin 2coscos1 − +− h) α α α α cos1 cos . 2cos1 2sin ++ 3. Tìm giá trị biểu thức a) a a cos23 sin − biết 2 2 tan = a b) aa aa sintan sintan − + Biết 15 2 2 tan = a 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a) xxy 2 sin2cos2 += b) xxy 2cossin2 2 −= c) 22 )cos(sin 4 sin xxxy −+       −= π IV. Công thức biến đổi tổng và tích A. Lý thuyết cần nhớ 1. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] )cos()cos( 2 1 sinsin )cos()cos( 2 1 coscos )sin()sin( 2 1 cossin bababa bababa bababa +−−= −++= −++= 2. Công thức biến đổi tổng thành tích 2 sin. 2 sin2coscos 2 cos. 2 cos2coscos 2 sin. 2 cos2sinsin 2 cos. 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba baba ba −+ −=− −+ =+ −+ =− −+ =+ ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba sinsin )sin( cotcot sinsin )sin( cotcot coscos )sin( tantan coscos )sin( tantan − −=− + =+ − =− + =+ B. Bài tập 1. Rút gọn biếu thức Bai tap luong giac - 5 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com a) N)(n )cos( )2cos()cos(cos ∈+++++++ nbababaa b) aaaa aaaa 7sin5sin3sinsin 7cos5cos3coscos +++ −+− c) aaa aaa 3sin2sinsin 3cos2cos2cos ++ ++ d) a aa a cos2 6 2cos 6 2cos cos       +−       − − ππ e) 2 cotcot 3 cos 3 cos a a aa −       −+       + ππ f) aaaa 2cos 2 1 4cos 4 1 cos2cos 2 −− g) 2cos4cos1cos3cos 22 −+ h) )158sin112(sin203sin291sin1sin ooooo +++ i) )140sin130(sin185sin2125cos35cos ooooo +++ j) oooo 80sin60sin40sin20sin k) oooo 80tan60tan40tan20tan 2. Chứng minh: a) 16 3 80sin60sin40sin20sin = oooo b) na anaaa anaaa tan )12cos( 5cos3coscos )12sin( 5sin3sinsin = −++++ −++++ c) 2 sin 2 )1( sin 2 sin sin 3sin2sinsin a anna naaaa + =++++ d) 2 sin 2 )1( cos 2 sin cos 3cos2coscos a anna naaaa + =++++ 3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có: a) 2 cos 2 cos 2 cos4sinsinsin CBA CBA =++ b) 2 sin 2 sin 2 sin41coscoscos CBA CBA +=++ c) )coscoscos1(2sinsinsin 222 CBACBA +=++ d) CBACBA coscoscos21coscoscos 222 −=++ e) 2 cos 2 sin 2 sin4sinsinsin CBA CBA =−+ f) 1 2 sin 2 cos 2 cos4coscoscos −=−+ CBA CBA g) CBACBA sinsinsin42sin2sin2sin =++ h) CBACBA coscoscos412cos2cos2cos −−=++ i) CBACBA cossinsin2sinsinsin 222 =−+ 4. Chứng minh bất đẳng thức: )sin(sin 2 1 2 sin yx yx +≥ + với π << yx,0 . 5. Tính giá trị các biểu thức sau: a) 16 7 sin 16 5 sin 16 3 sin 16 sin 4444 ππππ +++ b) '57tan'57cot'567cot'567tan oooo −+− c) ooo 65cos55cos5cos Bai tap luong giac - 6 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com d) 11 9 cos 11 7 cos 11 5 cos 11 3 cos 11 cos πππππ ++++ 6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: a)       −++ 24 cos42sinsin4 224 x xx π với 2 3 π π << x b) xxxx 2coscos42coscos4 224 −+ c)       −+       ++ xxx 3 cos 3 coscos 222 ππ d)       −+       ++ xxx 3 2 sin 3 2 sinsin 222 ππ 7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: BA CB A coscos sinsin sin + + = 8. Chứng minh nếu các góc của ABC ∆ thoả mãn: 2 3 coscoscos =++ CBA thì nó là tam giác đều. 9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC ∆ thoả mãn hệ thức: a cb BA + =+coscos thì tam giác đó là tam giác vuông. 10. Cho tam giác ABC và 1 2 tan 2 tan5 = BA . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b). Phần 3: Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ 1. Phương trình: ⇔= α sinsin x παπ πα 2 2 kx kx +−= += 2. Phương trình: ⇔= α coscos x πα 2kx +±= 2. Phương trình: παα kx +⇔= tantan 4. Phương trình: παα kx +⇔= cotcot B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 2 3 6 3sin =       − π x b) sin(3x - 2) = -1 c) 1 5 2cos2 =       − π x d) cos(3x - 15 o ) = cos150 o e) tan(2x + 3) = 3 tan π f) cot(45 o - x) = 3 3 g) sin3x - cos2x = 0 h) xx 3cos 3 2 sin =       + π i) 0 4 3cos 6 5 3sin =       ++       − ππ xx j) )302cos( 2 cos o x x −−= k) cos2x = cosx l)       −=       + 4 2sin 4 sin ππ xx m) 1 12 sin =       − π x n) 2 1 6 12sin =       + π x o) 2 3 2 6cos =       + π x p) 1)5cos( −=− x π q) 1)63tan( =− x π r) ( ) 36tan =− π x s) 3 1 2 4 tan =       − x π t) 312 6 5 cot =       + x π u) 3 3 5 7 12 cot =       − x π v) ( ) 2 2 312sin =− x π w) ( ) xax 3sin2cos =− x) xbx 5cos)3sin( =− y)       +=       − xx 6 5 cot 4 tan ππ z) ( )       +=− xx 7 12 7 tan3cot π π II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Bai tap luong giac - 7 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t. B. Bài tập 1. Giải các phương trình sau: a) 032cos72sin3 2 =−+ xx b) 07sin5cos6 2 =−+ xx c) 03sin52cos =−− xx d) 01cos2cos =++ xx e) 1412cos3sin6 2 =+ xx f) 7cos12sin4 24 =+ xx g) 5cossin8 2 =− xx 2. Giải các phương trình lượng giác: a) 1 5 cot3 2 =       + π x b) 3 4 2tan 2 =       − π x c) 12cot4tan7 =− xx d) 03cot)13(cot 2 =−−+ xx III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: cxbxa =+ cossin Điều kiện để phương trình có nghiệm: 222 cba ≤+ . Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 22 ba + rồi đặt: 22 cos ba a + = α ; 22 sin ba b + = α . Đưa phương trình về dạng: βαβαα sin)sin(sincossinsincos =+⇔=+ xxx . Giải ra tìm được x. B. Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: a) xxy 2cos2sin)32( +−= b) xxxxxy cossin32cos2)cos(sin 2 ++−= c) 1)cossin2)(cos2(sin −+−= xxxxy d) 4sincos2 3sin2cos +− ++ = xx xx y 2. Giải các phương trình sau: a) 5cos3sin4 =− xx b) 2 9 sin32cos3 =+ xx c) 32cos22sin3 =+ xx d) xxx 14sin132cos32sin2 =+ e) 2cos3sin4 =− xx f) 1cos3sin =− xx 3. Tìm các giá trị của       −∈ π π ; 4 3 x thoả mãn phương trình sau với mọi m: xxxmxmxmxm sincoscoscossinsin 2222 −=+−− 4. Tìm các giá trị của α để phương trình: a) 03cossin)2sin3cos3()3sin3(cos 2 =+−+−−+−+ αααααα xx có nghiệm x = 1. b) 0sin)33(cos2)sin3()1cossin2( 222 =−−+−+− ααααα xx có nghiệm x = 3 . 5. Giải phương trình: a) 08 14sin5cos12 5 sin5cos12 =+ ++ ++ xx xx . b) 042)cos5sin4(13)cos5sin4( 2 =+−−− xxxx c) 6 1sin4cos3 6 sin4cos3 = ++ ++ xx xx IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: dxcxxbxa =++ 22 coscossinsin - Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm. - Nếu 0cos ≠x . Chia cả 2 vế của phương trình cho x 2 cos rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: 0tantan)( 2 =−++− dcxbxda . B. Bài tập Bai tap luong giac - 8 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com 1. Giải các phương trình sau: a) 0cos3cossin2sin 22 =−− xxxx b) 2coscossinsin6 22 =−+ xxxx c) xxx 2cos2sin22sin 2 =− d) 22cos2cos2sin22sin2 22 =+− xxxx e) 1)cos( 2 3 sin2cos)sin(4 2 cossin4 =+       −+++       − xxxxxx π π π π f) 2 1 cos2cossin4sin3 22 =+− xxxx 2. Giải các phương trình sau: a) xxx sin3cos4sin2 33 =+ b)       ++=+       + 22 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin3 22 3 cos 2 sin3 2222 ππ xxxxxxx 3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình: 0cos32sinsinsin 33 =−+ xxxx . Chứng minh tam giác ABC vuông cân. V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: cxxbxxa =+± cossin)cos(sin . Cách giải: Đặt xxt cossin ±= , ta có: 2|| ≤t . xxxt 2sin1cossin21 2 ±=±=→ . Thay vào phương trình rồi giải ra t. B. Bài tập 1. Giải phương trình sau: a) xxxx cossintancot +=− b) 12sin2cotsin2 +=+ xxx c) 1sincos 33 −=− xx d) 12sin4|cossin| =+− xxx e) xxx 4sin 2 3 2cos2sin1 33 =++ f) 2)sin1)(cos1( =++ xx VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 02 4 3 cos2cos =−+ x x b) )cot(tan 2 1 2sin cossin 44 xx x xx += + c) 04tan32cos34tan3cos4 22 =++−+ xxxx d) xxx cos2sin1sin1 =−++ e) 2 7 24 sin42sin4cossin 22 −       −=− x xxx π f) 0 2 5 cos 2 tan 2 1 =+− x x g) 0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64( 23 =−−−+−+− xmxxmxmxm (Biện luận theo m). h) xxx 2tantan2tan1 2 =− i) 1cos24sin 2 −= xx j) 14coscos8 4 =− xx k) 2 cos2sin2cos1 2 x xx =++ l) 2 3 4sin2sin 22 =+ xx m) xxxx cos3sin2tantan =+ n) )cos3(sin4cot3tan xxxx +=− o) xxx 2coscossin 33 =+ p) xx tan4sin = q) 1)cos44(cossin44sin =−−− xxxx r) 2)sin(tan5)cos(cot3 =−−− xxxx s) 27sin37cos −=− xx t) 1sin22tan =− xx u) xx 3sincos2 3 = v) x x x sin1 cos1 tan 2 − + = w) )cos(sin 6 5 cossin 4466 xxxx +=+ Bai tap luong giac - 9 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com x) x xx xx 4cos 4 tan 4 tan 2cos2sin 4 44 =       +       − + ππ y) 4 1 4 tan 4 tan cossin 66 −=       +       − + xx xx ππ z) 01cos2sin2cos 2 =+++ xxx 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) x x x 2sin1 tan1 tan1 += + − b) xx x sin 1 cos 1 4 sin22 +=       + π c) 82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx d) xxx 3sin26)4cos2(cos 2 +=− e) 1 sin5 5sin = x x f) 2 1 2 3 sin 2 sinsin 2 3 cos 2 coscos =− xx x xx x g) )105,10sin(6cos4sin 22 xxx +=− π . Tìm các nghiệm thuộc khoảng       2 ;0 π h) xxxxx 2cos 4 5 )cos(sin2cossin 101088 ++=+ i) xxx 2cos222cos22sin3 2 +=− j) 2 3 3sin2sinsin 222 =++ xxx k) x xx cos 1 cossin3 =+ l) 1 2tan22tan2cot + += xxx m) xxxx sin28cos22310sin2cos2 +=+ n) xxxx cos4sin12cos22sin −+=+ o) 3tan22sin =+ xx p) xxxx 4sin 2 1 2cos)coscos1( =+− q) 1cot )sin(cos2 2cottan 1 − − = + x xx xx r) xx sin2 4 sin 3 =       + π s) 01cos263sinsin22cos28 436 =−−+ xxxx t) xxxxx cossin2sinsincos 33 ++=+ u) )1sin2(sincos43 2 +=− xxx v) xxxx 8sin2coscossin34 = w) xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan 2222 +−= x) 0 tan1 cos 3 4 cos 2 2 = − − x x x y)       +=       − xxx 4 sin2sin 4 3sin ππ z) xxx 2coscossin =+ 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 0239 cotcot =−+ xx b) 01sincos 2 =++ xx c) 022cos23sin =−+ xx d) 02sinsin3sin =+− xxx e) 02cos32cos =++ xx f) 13cos24cos3 2 =− xx g) xxxxx 2sinsin23cos2coscos31 +=++ h) xxxx 2cos3sin2tantan −=+ i) x x x cos cos1 tan 2 + = j) xxx 4sin 2 3 2cos2sin1 33 =++ k) )2cos2(sin2cottan xxxx +=+ l) xxxx 2cos3cos)cos(sin22 +=+ m) 8 9 ) 4 (sin) 4 (sinsin 444 =++−+ ππ xxx n) 0cos2 sin1 2sin =+ + x x x o) 0cossin3sincos 23 =−+ xxxx p) xxx sin2cossin2 3 =+ q) 2cos1cos3 =+−− xx r) 2cos2sin2cossin =++ xxxx s) 16 1 8cos4cos2coscos =xxxx t) xxxx 4cos2cos3sinsin 2222 +=+ u) 0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin =−++− xxxxxx v) 0 24 cos8 cos )sin1(3 tantan3 2 2 3 =       −− + +− x x x xx π Bai tap luong giac - 10 - [...]... 5  VII Hệ phương trình lượng giác 1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau: 1 x+ y+ z =π 1 tan x tan y = sin x cos y = 3 4 a) b) c) tan x tan y = 3 π 3 tan x = tan y x+ y = tan y tan z = 6 3 tan y − tan x − tan x tan y = 1 sin x + sin y = 2 sin 2 x = cos x cos y d) e) f) cos 2 y + 3 cos 2 x = −1 cos 2 x = sin x sin y cos x + cos y = 2 Bai tap luong giac - 11 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com... + c cos C 1 = Chứng minh tam giác ABC đều 19 Cho tam giác ABC thoả mãn: a+b+c 2 1 20 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2(1 + sin 2 x cos 4 x) − (cos 4 x − cos 8 x) 2 cot x cot x 21 Giải phương trình sau: 9 + 3 − 2 = 0 Bai tap luong giac - 12 - Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com b c a + = Chứng minh tam giác ABC vuông cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn... VIII Các dạng bài tập khác 1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1 − 5 sin x + 2 cos 2 x = 0 thoả mãn cos x ≥ 0 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x cos x + cos x sin x 3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù A B C 4 Cho các góc của tam giác ABC thoả...  0;   2 5 34 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: cos 2 A + 3 (cos 2 B + cos 2C ) + = 0 2 A+B 35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A + btanB = (a + b)tan Chứng minh tam giác ABC cân 2 36 Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C > 1 b+c 37 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B + cos C = thì tam giác ABC vuông a 38 Cho phương trình: cos.. .Bài tập lượng giác (đủ loại) w) 2 cos 3 x = sin 3 x www.VNMATH.com x) cos 2 x − 3 sin 2 x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 z) 3 cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2 ) cos x y) cos 2 x = cos 2 x 1 + tan x 4 Giải các phương... A + cot B + cot C ) = 3 sin A sin B sin C 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A + cos 2 B + cos 2C + 1 = 0 thì tam giác đó là tam giác vuông 9 Chứng minh rằng trong tam giác có: (b 2 + c 2 ) sin(C − B) = (c 2 − b 2 ) sin(C + B ) thì tam giác đó vuông hoặc cân  π π 10 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 5 cos x − cos 5 x trên − ;   4 4 m sin x − 2 m cos x − 2 = 11 Cho... 120 A B 3 C 5 Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan + tan = 1 Chứng minh rằng: ≤ tan < 1 2 2 4 2 6 Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: 2 − x 2 sin x + 2 + x 2 cos x =| a + 1 | + | a − 1 | 7 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức: 1 1 1 + + − (cot A + cot B + cot C ) = 3 sin A sin B sin C 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos... vuông cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A + cos B + cos C > 1 24 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B − b cos A = a sin A − b sin B C 25 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A + tan B = 2 cot thì tam giác ABC cân 2 1 2 26 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: y = sin x − cos x + 2 y = sin 2 5 x Tính y (n )... tam giác ABC Chứng minh rằng: 2b = a + c ⇔ cot cot = 3 2 2 A B 13 Cho tam giác ABC có: 5 tan tan = 1 Chứng minh rằng: 3c = 2( a + b) 2 2 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f ( x) = 2 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 15 Tìm các giá trị x ∈ (0,2π ) sao cho cos x − sin x − cos 2 x > 0 2 sin x + 1 =t 16 Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x ∈ [0, π ] : sin x + 2 a2 + b2 + c2 17 Cho tam giác. .. 2 2 2 1 1  π + 44 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = với x ∈  0;  sin x cos x  2 C 45 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a + b = tan ( a tan A + b tan B ) thì nó cân 2 4 46 Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f ( x) = sin x + cos 4 x − 2m sin x cos x 22 Cho tam giác ABC thoả mãn: Bai tap luong giac - 13 - . a cb BA + =+coscos thì tam giác đó là tam giác vuông. 10. Cho tam giác ABC và 1 2 tan 2 tan5 = BA . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b). Phần 3: Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý. Bài tập lượng giác (đủ loại) www.VNMATH.com Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A. Kiến thức cần nhớ 1. Các hằng đẳng thức cơ bản a) 1cossin 22 =+. Cho tam giác ABC thoả mãn: CB a C c B b sinsincoscos =+ . Chứng minh tam giác ABC vuông. 23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: 1coscoscos >++ CBA . 24. Chứng minh rằng tam giác