CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ( TÀI LIỆU SƯU TẦM ) PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH A/ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN a) Thí dụ : 1) Giải phương trình (*) : 2110 2 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x − 6 2) Giải phương trình : 3 x+1 + 2x . 3 x – 18x – 27 = 0 3) Giải phương trình : ( x 2 – 3x + 2 ) 3 = x 6 − ( 3x – 2 ) 3 4) Giải phương trình : ( 2x 2 – 3x – 1 ) 3 – ( x 2 – 2 ) 3 – ( x 2 – 3x + 1 ) 3 = 0 5) Giải phương trình : ( x 2 – 4x + 1 ) 3 = ( x 2 – x – 1 ) 3 – ( 3x – 2 ) 3 = 0 6) Giải phương trình : ( x 2 – 3x + 2 ) 3 + ( −x 2 + x + 1 ) 3 + ( 2x – 3 ) 3 = 0 7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36 8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 2 3 2 25 −+ xx − 2 9) Giải phương trình : 3 1 x− + 2+x = 1 10)Giải phương trình : ( x + 2 ) 4 + x 4 = 82 11)Giải phương trình : x 4 – 5x 2 – 2x + 3 = 0 12)Giải phương trình : axx x ++9 2 = axx axx ++ ++ 8 10 2 2 ( a là hằng số ) 13)Giải phương trình : ( 4x – 1 ) 1 2 +x = 2 (x 2 + 1 ) + 2x – 1 14)Giải phương trình : ( x 2 – 2x + 2 ) 4 – 20x 2 (x 2 – 2x + 2 ) 2 + 64x 4 = 0 15)Giải phương trình : ( x +4 ) 4 = 2 ( 2x + 13 ) 3 + 50 ( 2x + 13 ) 16)Giải phương trình : 209 1 2 ++ xx + 3011 1 2 ++ xx + 4213 1 2 ++ xx = 18 1 17)Giải phương trình : 45 1 2 ++ xx + 2811 1 2 ++ xx + 7017 1 2 ++ xx + 13023 1 2 ++ xx = 13 4 18) Giaỷi phửụng trỡnh : 5 349 324 5 325 4 326 3 327 2 + + + + + + + + + xxxxx = 0 19) Giaỷi phửụng trỡnh : 8 12 2 6 22 + + + xx = 3 3 7 2 +x 20)Giaỷi phửụng trỡnh : 1 3 6 164 22 2 + + + xx x = 5 7 3 5 22 + + + xx 21)Giaỷi phửụng trỡnh : 23 1 +++ xx + 12 1 +++ xx + xx ++1 1 = 1 HệễNG DAN GIAI 1) Giaỷi phửụng trỡnh (*) : 2110 2 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x 6 (1) Giaỷi (1) ( )( ) 73 ++ xx 3 3+x 2 7+x + 6 = 0 3+x ( 7+x 3 ) 2 ( 7+x 3 ) = 0 ( 7+x 3 ) ( 3+x 2 ) = 0 7+x 3 = 0 x + 7 = 9 3+x 2 = 0 x + 3 = 4 Vaọy : x = 1 x = 2 . 2) Giaỷi phửụng trỡnh : 3 x+1 + 2x . 3 x 18x 27 = 0 (2) Giaỷi (2) 3 x ( 3 + 2x ) 9 ( 2x + 3 ) = 0 ( 2x + 3 ) (3 x 9 ) = 0 2x + 3 = 0 x = 2 3 3 x 9 = 0 x = 2 3) Giaỷi phửụng trỡnh : ( x 2 3x + 2 ) 3 = x 6 ( 3x 2 ) 3 (3) ⇔ ⇔ Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) 3 − ( a 3 + b 3 ) = 3ab ( a + b ) . (3) ⇔ [ x 2 + ( −3x + 2 ) ] 3 − [ ( x 2 ) 3 + ( −3x + 2 ) 3 ] = 0 ⇔ 3x 2 (−3x + 2 ) ( x 2 – 3x + 2 ) = 0 ⇔ 3x 2 (−3x + 2 ) ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 0 x = 0 x = 0 −3x + 2 = 0 x = 2 / 3 x – 1 = 0 x = 1 x – 2 = 0 x = 2 4) Giải phương trình : ( 2x 2 – 3x – 1 ) 3 – ( x 2 – 2 ) 3 – ( x 2 – 3x + 1 ) 3 = 0 (4) Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b ) 3 − ( a 3 + b 3 ) = 3ab ( a + b ) . (4) ⇔ [ ( x 2 – 2 ) + ( x 2 – 3x + 1 ) ] 3 − [ ( x 2 – 2 ) 3 + ( x 2 – 3x + 1 ) 3 ] = 0 ⇔ 3 ( x 2 – 2 ) ( x 2 – 3x + 1 ) ( 2x 2 – 3x – 1 ) = 0 x 2 – 2 = 0 ⇔ x 2 – 3x + 1 = 0 2x 2 – 3x – 1 = 0 x = ± 2 ⇔ x = 2 53 ± x = 4 173 ± 5) Giải phương trình : ( x 2 – 4x + 1 ) 3 = ( x 2 – x – 1 ) 3 – ( 3x – 2 ) 3 = 0 (5) Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) 3 − ( a 3 − b 3 ) = −3ab ( a − b ) (5) ⇔ [ ( x 2 – x – 1 ) − ( 3x – 2 ) ] 3 − [( x 2 – x – 1 ) 3 − ( 3x – 2 ) 3 ] = 0 ⇔ − 3 ( x 2 – x – 1 ) ( 3x – 2 ) ( x 2 – 4x + 1 ) = 0 x 2 – x – 1 = 0 ⇔ 3x – 2 = 0 x 2 – 4x + 1 = 0 x = 2 51 ± ⇔ x = 3 2 x = 2 ± 3 ⇔ ⇔ ⇔ 6) Giải phương trình : ( x 2 – 3x + 2 ) 3 + ( −x 2 + x + 1 ) 3 + ( 2x – 3 ) 3 = 0 (6) Giải Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b ) 3 + ( b – c ) 3 + ( c – a ) 3 = 3 ( a − b ) ( b – c ) ( c – a ) Với : a = x 2 − x − 1 b = 2x – 3 c = x 2 + x − 4 (6) ⇔ [ ( x 2 − x − 1 ) − (2x – 3 ) ] 3 + [ (2x – 3 ) − ( x 2 + x − 4 ) ] 3 + [ (x 2 + x − 4 ) − (x 2 − x − 1) ] 3 = 0 3 ( x 2 + x + 2 ) ( − x 2 + x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 x 2 + x + 2 = 0 x = 1 ∨ x = 2 ⇔ − x 2 + x + 1 = 0 ⇔ x = 2 51 ± 2x – 3 = 0 x = 2 3 7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36 (7) Giải (7) ⇔ [ ( x – 2 ) ( x + 6 ) ] [( x – 4 ) ( x + 8 ) ] = − 36 ⇔ ( x 2 + 4x – 12 ) (x 2 + 4x – 32 ) + 36 = 0 (*) Đặt : y = x 2 + 4x – 12 Phương trình (*) trở thành : y ( y – 20 ) + 36 = 0 ⇔ y 2 – 20 y + 36 = 0 ⇔ ( y – 18 ) ( y – 2 ) = 0 y = 18 x 2 + 4x – 12 = 18 x 2 + 4x – 30 = 0 y = 2 x 2 + 4x – 12 = 2 x 2 + 4x – 14 = 0 x = ± 34 − 2 x = ± 3 2 − 2 . 8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 2 3 2 25 −+ xx − 2 (8) Giải Đặt : y = 3 2 25 −+ xx ⇒ x 2 + 5x = y 3 + 2 (*) Từ đó : (8) ⇔ y 3 – 2y + 4 = 0 ⇔ ( y + 2 ) ( y 2 – 2y + 2 ) = 0 ( vì : y 2 – 2y + 2 = ( y – 1 ) 2 + 1 > 0 ) ⇔ ⇔ y + 2 = 0 ⇔ y = − 2 Thay y = − 2 vào (*) , ta dược : x 2 + 5x = − 6 ⇔ x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x = − 2 ∨ x = − 3 9) Giải phương trình : 3 1 x− + 2+x = 1 (9) Giải + Điều kiện : x ≥ −2 + Đặt : t = 2+x ( t ≥ 0 ) ⇔ x + 2 = t 2 ⇔ x = t 2 − 2 (9) ⇔ 3 2 3 t− + t = 1 ⇔ 3 2 3 t− = 1 – t ⇔ 3 – t 2 = (1 – t ) 3 ⇔ t 3 – 4t 2 + 3t + 2 = 0 ⇔ ( t – 2 ) ( t 2 – 2t – 1 ) = 0 t – 2 = 0 ( a) t 2 – 2t – 1 = 0 (b) Giải (a) , (b) ta được : t = 2 ∨ t = 1 + 2 2 . /. 10) Giải phương trình : ( x + 2 ) 4 + x 4 = 82 (10) Giải Đặt : y = x + 1 => x 4 = (y – 1 ) 4 (10) ⇔ ( y + 1 ) 4 + ( y − 1 ) 4 = 82 ⇔ y 4 + 6y 2 – 40 = 0 Đặt : u = y 2 ( u ≥ 0 ) , ta được : u 2 + 6u – 40 = 0 ⇔ ( u – 4 ) ( u + 10 ) = 0 ⇔ u = 4 ; u = – 10 ( loại ) u = 4 ⇒ y = ± 2 - Với y = – 2 ⇒ x + 1 = – 2 ⇒ x = – 2 - Với y = 2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 1 . /. Chú ý : Đối với phương trình dạng ( x + a ) 4 + ( x + b ) 4 = c (*) ( a , b , c là hằng số ) ta đặt ẩn phụ y = x + 2 ba + thì phương trình (*) đưa được về dạng dy 4 + ey 2 + g = 0 ( d , e , g là hằng số ) 11) Giải phương trình : x 4 – 5x 2 – 2x + 3 = 0 (11) Giải (Thêm, bớt x 3 ; tách 5x 2 nhóm hang tử rồi phân tích thành tích ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (11) ⇔ ( x 4 + x 3 – x 2 ) − (x 3 + x 2 – x ) − 3 ( x 2 + x – 1 ) = 0 ⇔ x 2 (x 2 + x – 1 ) − x (x 2 + x – 1 ) – 3 (x 2 + x – 1 ) = 0 ⇔ (x 2 + x – 1 ) ( x 2 – x – 3 ) = 0 x 2 + x – 1 = 0 x 2 – x – 3 = 0 x = 2 51 ±− x = 2 131 ± 12)Giải phương trình : axx x ++ 9 2 = axx axx ++ ++ 8 10 2 2 ( a là hằng số ) (12) Giải Đặt : y = x 2 + 9x + a . (12) ⇔ xy xy y x − + = (*) ⇔ xy – x 2 = y 2 + xy ⇔ y 2 + x 2 = 0 ⇔ x = y = 0 Nhưng x = y = 0 thì (*) không có nghóa nên phương trình (13) vô nghiệm với mọi a . 13)Giải phương trình : ( 4x – 1 ) 1 2 +x = 2 (x 2 + 1 ) + 2x – 1 (13) Giải Đặt : 1 2 +x = y ; y ≥ 1 . (13) ⇔ ( 4x – 1 ) y = 2y 2 + 2x – 1 ⇔ 2y 2 − ( 4x – 1 ) y + 2x – 1 = 0 ⇔ (2y 2 − 4xy + 2y ) − ( y – 2x + 1 ) = 0 ⇔ 2y( y – 2x + 1 ) - ( y – 2x + 1 ) = 0 ⇔ ( y – 2x + 1 ) ( 2y – 1 ) = 0 y – 2x + 1 = 0 2y – 1 = 0 y = 2 1 ( Loại , do y ≥ 1 ) y = 2x – 1 y = 2x – 1 ⇔ 1 2 +x = 2x – 1 ⇔ x 2 + 1 = ( 2x – 1 ) 2 ⇔ 3x 2 – 4x = 0 ⇔ x ( 3x – 4 ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy : x = 0 ; x = 3 4 . /. 14) Giải phương trình : ( x 2 – 2x + 2 ) 4 – 20x 2 (x 2 – 2x + 2 ) 2 + 64x 4 = 0 (14) Giải Đặt : y = ( x 2 – 2x + 2 ) 2 ( y ≥ 0 ) (14) ⇔ y 2 – 20x 2 y + 64x 4 = 0 ⇔ y ( y – 4x 2 ) – 16x 2 ( y – 4x 2 ) = 0 ⇔ ( y – 4x 2 ) ( y – 16x 2 ) = 0 y – 4x 2 = 0 y = 4x 2 y – 16x 2 = 0 y = 16x 2 ( x 2 – 2x + 2 ) 2 = 4x 2 ( x 2 – 2x + 2 ) 2 = 16x 2 Vậy : x = 2 ± 2 ; x = 3 ± 7 . /. 15)Giải phương trình : 209 1 2 ++ xx + 3011 1 2 ++ xx + 4213 1 2 ++ xx = 18 1 (15) Giải (15) ⇔ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 18 1 76 1 65 1 54 1 = ++ + ++ + ++ xxxxxx Điều kiện : x ≠ −4 ; −5 ; −6 ; −7 . ⇔ 4 1 +x − 5 1 +x + 5 1 +x − 6 1 6 1 + + + xx − 7 1 +x = 18 1 ⇔ 4 1 +x − 7 1 +x = 18 1 ⇔ x 2 + 11x – 26 = 0 ⇔ ( x + 13 ) ( x – 2 ) = 0 x + 13 = 0 x = − 13 x – 2 = 0 x = 2 Vậy : x = − 13 ; x = 2 . 16) Giải phương trình : 45 1 2 ++ xx + 2811 1 2 ++ xx + 7017 1 2 ++ xx + 13023 1 2 ++ xx = 13 4 ( Cách giải tương tự như bài 15 ) Giải (16) ⇔ ( )( ) 41 1 ++ xx + ( )( ) 74 1 ++ xx + ( )( ) 107 1 ++ xx + ( )( ) 2310 1 ++ xx = 13 4 Điều kiện : x ≠ −1 ; −4 ; −7 ; −10 ; −23 . ⇔ 3 1       + − + + + − + + + − + + + − + 23 1 10 1 10 1 7 1 7 1 4 1 4 1 1 1 xxxxxxxx = 13 4 ⇔ 1 1 +x − 4 1 +x + 10 1 10 1 7 1 7 1 4 1 + + + − + + + − + xxxxx − 23 1 +x = 13 12 ⇔ 1 1 +x − 23 1 +x = 13 12 Giải ra ta được : x = 0 ; x = −14 . /. 17)Giải phương trình : 1700 294−x + 1694 300 1696 298 1698 296 − + − + − xxx = 4 (17) Giải (17) ⇔       − − 1 1700 294x +       − − 1 1698 296x +       − − 1 1696 298x +       − − 1 1694 300x = 0 ⇔ 1694 1994 1696 1994 1698 1994 1700 1994 − + − + − + − xxxx = 0 ⇔ ( x – 1994 )       +++ 1694 1 1696 1 1698 1 1700 1 = 0 ⇔ x – 1994 = 0 ( vì : 1694 1 1696 1 1698 1 1700 1 +++ > 0 ) Vậy : x = 1994 . 18) Giải phương trình : 5 349 324 5 325 4 326 3 327 2 + + + + + + + + + xxxxx = 0 (18) Giải Công 4 và trừ 4 vào vế trái của phương trình . (18) ⇔       − + +       + + +       + + +       + + +       + + 4 5 349 1 324 5 1 325 4 1 326 3 1 327 2 xxxxx = 0 ⇔ 5 329 324 329 325 329 326 329 327 329 + + + + + + + + + xxxxx = 0 ⇔ ( x + 329 )       ++++ 5 1 324 1 325 1 326 1 327 1 = 0 ⇔ x + 329 = 0 ( Vì : 5 1 324 1 325 1 326 1 327 1 ++++ > 0 ) Vậy : x = −329 . 19) Giải phương trình : 8 12 2 6 22 + + + xx = 3 − 3 7 2 +x (19) Giải (19) ⇔ 2 6 2 +x + 3 7 2 +x + 8 12 2 +x − 3 = 0 ⇔ 2 6 2 +x -1 + 3 7 2 +x -1 + 8 12 2 +x - 1 = 0 ⇔ 0 8 4 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 = + − + + − + + − x x x x x x Do x 2 + 2 ; x 2 + 3 ; x 2 + 8 khác 0 Với mọi x nên = > 4 – x 2 = 0 Vậy : x = ± 2 . 20) Giải phương trình : 1 3 6 164 22 2 + − + + xx x = 5 7 3 5 22 + + + xx (20) Giải Ta có : 6 164 2 2 + + x x = 3 + 6 2 2 2 + − x x , do đó : (20) ⇔ 3 + 6 2 2 2 + − x x − 1 3 2 +x = 5 7 3 5 22 + + + xx ⇔ 3 + 6 2 2 2 + − x x − 1 3 2 +x − 5 7 3 5 22 + − + xx = 0 ⇔       + −+       + −+       + − 5 7 1 3 5 1 1 3 1 222 xxx + 6 2 2 2 + − x x = 0 ⇔ 6 2 5 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + − + + − + + − x x x x x x x x = 0 ⇔ ( x 2 – 2 )       + + + + + + + 6 1 5 1 3 1 1 1 2222 xxxx = 0 ⇔ x 2 – 2 = 0 ( Vì : 6 1 5 1 3 1 1 1 2222 + + + + + + + xxxx > 0 , ∀x ∈ R . Vậy : x = ± 2 . 21) Giải phương trình : 23 1 +++ xx + 12 1 +++ xx + xx ++1 1 = 1 (21) Giải Điều kiện : x ≥ 0 Nhân mẫu của mỗi phân thức với lượng liên hợp của từng mẫu ta được : (21) ⇔ ( 3+x − 2+x ) + ( 2+x − 1+x ) + ( 1+x − x ) = 1 ⇔ 3+x − x = 1 ………………… Vậy : x = 1 . . 5 7 3 5 22 + + + xx 21)Giaỷi phửụng trỡnh : 23 1 +++ xx + 12 1 +++ xx + xx ++1 1 = 1 HệễNG DAN GIAI 1) Giaỷi phửụng trỡnh (*) : 2110 2 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x 6 (1) Giaỷi (1) ( )( ) 73 ++