Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " A. Các bài toán về hình chiếu vuông góc: Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M = (6; -1; -5) trên mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0. Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P). Khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:      −−= +−= += tz ty tx 25 1 26 Gọi H = d ∩ (P). Ta có H ∈ d ⇒ H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t) Vì H ∈ (P) ⇔ 2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - 3 = 0 ⇔ t = -2 Vậy H(2; -3; -1) Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:      +−= −−= += tz ty tx 35 21 46 )( Rt ∈ trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0. Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M ∈ d, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d. Hướng dẫn giải: Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3) mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2) u . n = 0 và M ∉ (P) nên: d // (P) Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1) Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương trình :      +−= −−= += tz ty tx 31 23 42 Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 1 d P M H d H M (P) Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:      +−= +−= −= tz ty tx 55 21 56 )( Rt ∈ trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0. Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M ∈ d, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH . Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của d và (P). Ta có: A ∈ d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) Vì A ∈ (P) ⇔ 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0 ⇔ t = 1 Do đó A(1; 1; 0) Ta lại có: M(6; -1; -5) ∈ d Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1). (bài toán 1) Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1; -4; -1) nên có phương trình :      −−= −−= += tz ty tx 1 43 2 )( Rt ∈ Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:      += −= +−= tz ty tx 1 22 32 Nhận xét: Bài toán này ta lấy H ∈ d, khi đó H là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi và chỉ khi u r . MH uuuur = 0 ( u r là VTCP của d) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có VTCP u r = (3; -2; 1). Gọi H ∈ d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên: Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2 d H M A d H M (P) Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " MH uuuur =(-1+3t; 4-2t; -3+t) H là hình chiếu của M trên d ⇔ u r . MH uuuur = 0 ⇔ 3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = 0 ⇔ t = 1 Vậy H(1; 0; 2) Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm hình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm và vị trí tương đối của đường và mặt. Một số bài tập tham khảo: Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: 1 3 3 2 2 1 − = + = − zyx trên mỗi mặt phẳng tọa độ. Bài 2: Cho đường thẳng d :      += += = tz ty tx 23 48 và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P). Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng ( α ) : 2x - y + 2z + 11 = 0. Bài 4: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) có phương trình: d: 5 1 3 1 2 2 − = + = − zyx ; ( α ): 2x + y + z- 8= 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) Bài 5: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; -1; 3) trên đường thẳng d : 2 3 2 x y t z t =   = −   =  B. Các bài toán về đối xứng: Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 3 Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0. Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P), lấy M ' ∈ d (M ' ≠ M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉ khi d(M; (P))=d(M ' ;(P)) Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:      −−= +−= += tz ty tx 25 1 26 Gọi M ' (6+2t; -1+t; -5-2t) ∈ d và M ' ≠ M ⇒ t ≠ 0 M ' đối xứng với M qua (P) ⇔ d(M;(P))=d(M ' ;(P)) ⇔ 3 189 3 18 + = t ⇔ t = - 4 ∨ t = 0 (loại) Vậy M ' (-2; -5; 3) Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:      +−= −−= += tz ty tx 35 21 46 qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0. Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M ∈ d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và song song với d. Hướng dẫn giải: Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3) mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2) u . n = 0 và M ∉ (P) nên: d //(P) Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M ' (-2; -5; 3).( bài toán5) Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 4 M' M d (P) d' M' M d (P) Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình:      += −−= +−= tz ty tx 33 25 42 Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:      +−= +−= −= tz ty tx 55 21 56 qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0. Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M ∈ d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và có VTCP ' AM . Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của d và (P). Ta có: A ∈ d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) A ∈ (P) ⇔ 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0 ⇔ t = 1 Do đó A(1; 1; 0) Ta lại có: M(6; -1; -5) ∈ d Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M ' (-2;-5;3) ( bài toán5) Đường thẳng d ' qua M ' , có VTCP ' AM = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương trình:      += −−= −−= tz ty tx 3 25 2 )( Rt ∈ Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có phương trình :      = −−= += tz ty tx 2 1 21 Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 5 A M ' d M d ' (P) Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Nhận xét: Bài toán này ta lấy H ∈ d, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ khi u r . AH uuur = 0 ( u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA / từ đó suy ra tọa độ của A / Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có VTCP u r = (2; -1; 2). Gọi H ∈ d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t) nên: AH uuur =(2t ; 1-t ; 2t-5) H là hình chiếu của A trên d ⇔ u r . AH uuur = 0 ⇔ 2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0 ⇔ t = -1 suy ra: H(-1;0;-2) Ta có H là trung điểm của AA / nên:      = = −= 1 2 3 / / / A A A z y x Vậy: A / (-3 ; 2 ; 1). Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường và mặt, đường và đường. Một số bài tập tham khảo: Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng ∆ :      = += += tz ty tx 21 2 a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng ∆ . b/ Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với A qua đường thẳng ∆ . Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng: d 1 : 1 3 1 2 2 2 − = − + = − zyx ; d 2 : 1 1 2 1 1 1 + = − = − − zyx a/ Tìm tọa độ A / đối xứng với A qua đường thẳng d 1 . Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 6 d H A ' A Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " b/Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2 . (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006) Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng ( α ) : x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua mặt phẳng ( α ). Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: 1 4 5 2 2 x t y t z t = +   = −   = −  qua mặt phẳng ( α ) : x + y + z - 1 = 0. Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d 1 : 2 6 2 5 1 4 x t y t z t = − +   = −   = +  và d 2 : , , , 1 3 2 4 3 x t y t z t  = +  = −   = − +  a/ Tìm tọa độ giao điểm của d 1 và d 2 . b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d 1 qua d 2 . C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song: Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d: 1 2 2 3 2 x t y t z t = +   = +   = +  ; (P): 2x + z - 5 = 0 a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P). b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d. Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và có véctơ chỉ phương ,v u n   =   r r r ; trong đó u r là VTCP của d, n r là VTPT của mp(P). Hướng dẫn giải: a/ A = d ∩ (P). Ta có A ∈ d ⇒ A(1 + t; 2 + 2t; 3 + 2t) Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 7 (P) d A d ' Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Vì A ∈ (P) ⇔ 2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0 ⇔ t = 0 Vậy: A(1; 2; 3) b/ d có VTCP u r = (1; 2; 1); mp(P) có VTPT n r = (2; 0; 1) Đường thẳng d ' ⊂ (P) và d ' ⊥ d nên d ' có véctơ chỉ phương ,v u n   =   r r r = (2; 1; -4). Đường thẳng d ' qua A có VTCP v r nên có phương trình :      −= += += tz ty tx 43 2 21 Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 1 3 2 3 1 1 − = + = − − zyx và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0 a/ Tìm tọa độ điểm I ∈ d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2. b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mp(P),biết ∆ đi qua A và vuông góc với d. (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005) Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, câu a ta lấy I ∈ d và sử dụng công thức khoảng cách, câu b cùng cách làm của bài toán 9. Hướng dẫn giải: a/ Đường thẳng d có phương trình tham số:      += +−= −= tz ty tx 3 23 1 I ∈ d suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t) Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên: 2 3 9)3(2)23()1(2 = ++−+−+− ttt ⇔ 622 =− t ⇔    −= = 2 4 t t Vậy có 2 điểm I 1 (-3; 5; 7), I 2 (3; -7; 1) b/ Vì A ∈ d suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t). Ta có A ∈ (P) ⇔ 2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + 9 = 0 Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 8 ∆ I 2 I 1 (P) d A Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " ⇔ t = 1 Do đó A(0; -1; 4) Đường thẳng d có VTCP u r = (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT n r =(2; 1; -2) Đường thẳng ∆ ⊂ (P) và ∆ ⊥ d nên ∆ có véctơ chỉ phương ,v u n   =   r r r =(-5; 0; -5) Phương trình của đường thẳng ∆ :      += −= = tz y tx 4 1 Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I(-1; -2; 4) vuông góc và cắt đường thẳng d:      += −= +−= tz ty tx 1 22 32 )( Rt ∈ Nhận xét: Bài toán này ta lấy H ∈ d, khi đó H ∈ ∆ khi và chỉ khi u r . IH uuur = 0 ( u r là VTCP của d); đường thẳng ∆ qua I và có VTCP IH uuur Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có VTCP u r = (3; -2; 1). Gọi H ∈ d suy ra: H(-2 + 3t; 2 - 2t; 1 + t) nên: IH uuur =(-1 + 3t; 4 - 2t; -3 + t) H ∈ ∆ ⇔ u r . IH uuur = 0 ⇔ 3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) = 0 ⇔ t = 1 suy ra H(1; 0; 2) Đường thẳng ∆ qua I và có VTCP IH uuur =(2; 2; -2) nên có phương trình :      −= +−= +−= tz ty tx 4 2 1 Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d 1 :      += −−= += tz ty tx 4 21 3 )( Rt ∈ và vuông góc với đường thẳng d 2 :      +−= += += tz ty tx 5 3 41 )( Rt ∈ Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 9 d ∆ H I Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Nhận xét: Bài toán này ta lấy H ∈ d 1 , khi đó H ∈ ∆ khi và chỉ khi u r . AH uuur = 0 ( u r là VTCP của d 2 ); đường thẳng ∆ qua I và có VTCP AH uuur Hướng dẫn giải: Đường thẳng d 2 có VTCP u r = (4; 1; 1). Gọi H ∈ d 1 suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên: AH uuur =(1+t; -2-2t; 7+t) H ∈ ∆ ⇔ u r . AH uuur = 0 ⇔ 4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) = 0 ⇔ t = -3 suy ra H(0; 5; 1) Đường thẳng ∆ qua A và có VTCP AH uuur =(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có phương trình :      −−= −= += tz ty tx 23 21 2 )( Rt ∈ Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt 2 đường thẳng d 1 :      += −−= = tz ty tx 1 32 ; d 2 :      −= +−= += / / / 4 31 21 tz ty tx và song song với đường thẳng d: 1 4 23 1 + == − zyx Nhận xét: Bài toán này ta lấy A ∈ d 1 , B ∈ d 2 khi đó A, B ∈ ∆ khi và chỉ khi hai vectơ u r , AB uuur cùng phương ( u r là VTCP của d), đường thẳng ∆ qua A và có VTCP u r Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có VTCP u r = (3; 2; 1). Gọi A ∈ d 1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t) B ∈ d 2 suy ra: B(1+2t / ; -1+3t / ; 4-t / ) nên: AB uuur = (2t / - t + 1; 3t / + 3t + 1; -t / - t + 3) Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 10 d 2 d 1 H A ∆ d B d 2 d 1 A ∆ [...]... −3 + t  z = 4 − 5t /  Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : x+2 y−2 z = = và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d 1 1 −1 nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆ (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009) D Các bài toán về cực trị tọa độ không gian: Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm M(1; 3; -2) và đường... Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d:  x = −3 + 2t   y = 1− t  z = −1 + 4t  ∆ , Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004) Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 13 Trang Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán : " Tìm tọa độ của điểm Viết phương trình của đường thẳng trong không gian... 3 − x y −1 z −1 = = 7 2 3 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó x y −1 z − 6 = = 1 2 3 Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: d': và  x = 1+ t   y = −2 + t  z = 3−t  a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d' b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d ' Bài 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và  x=t  cắt 2... hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d 1: x y −1 z + 2 = = 2 −1 1  x = −1 + 2t  và d2:  y = 1 + t  z =3  Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt 2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007) Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy tương tự bài toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy A ∈ d1, B∈ d2 khi đó A, B ∈ d khi... tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặt phẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 Trước hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy z M zN... đường thẳng trong không gian " Từ 2 bảng kết quả trên ta thấy ở lớp sử dụng phương pháp này tỉ lệ điểm dưới 5 giảm gần một nữa, tỉ lệ điểm từ 5 → < 8 tăng không nhiều nhưng tỉ lệ điểm từ 8 → 10 tăng gần gấp 2 lần Điểm dưới 5 18 19,6% Điểm từ 5 → < 8 50 54,3% Điểm từ 8 → 10 24 26,1% PHẦN KẾT LUẬN Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệ vuông góc, song song ,... các bài toán hình học không gian ở học sinh, tạo được sự hứng thú cho các em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học và phát huy được tính tích cực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải một bài toán Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy môn toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tài này... " Tìm tọa độ của điểm Viết phương trình của đường thẳng trong không gian " ⇔ 2t − 2t / − 1 t + t / 5 − t / = = 7 1 −4 4t + 3t / = −5 ⇔ / 5t + 9t = −1 t = −2 ⇔  / t =1 suy ra A(2; 0; -1)  x = 2 + 7t y=t  z = −1 − 4t  r  Đường thẳng d qua A và có VTCP u = (7; 1; -4) nên có phương trình :  Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo  x = 5 + 3t  nhau d:  y... y = 2 + t (t ∈ R)  z =t   x = −2 + t /  / và d/ :  y = −7 + 3t (t / ∈ R)  z = 4−t/  Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy A ∈ d1, B ∈ d2; AB là đường vuông góc chung r uuu r u AB = 0 uuu r  r của d và d/ khi và chỉ khi  r uuu ; đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB  v AB = 0  Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; 1) A r d Đường thẳng d/ có VTCP v = (1; 3; -1) Gọi A ∈ d suy... toán : " Tìm tọa độ của điểm Viết phương trình của đường thẳng trong không gian " r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; -1) d Gọi H ∈ d suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên: M uuuu r MH =(4 + 3t; -1 + t; - t) H MH nhỏ nhất ⇔ MH ⊥ d r uuuu r ⇔ u MH = 0 ⇔ 3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0 ⇔ t = - 1 Vậy H(2; 1; -1) Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5) Tìm điểm I ∈ mp(Oxy) sao . các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số. Từ đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán. Một số bài tập tham khảo: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường. ÷   Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết. của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. " Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng