www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP , 111 y zzxxy P x yz    HD : Ta có : 2 () 1 14()42 cyc cyc cyc xy xy xy zxy      , 11 max ( ) 32 PPxyz    Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP , y zzxxy P x yz y zx z xy   HD : Ta có : 13 1(1)(1)2112 cyc cyc cyc cyc xy xy xy x y zxy xyxy x y y x           13 max ( ) 32 PPxyz Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 22 22 22 111 (1) 1(1) 1(1) 1 P xy yzzx      HD: đặt ,, bca xyz abc  Ta có : 22 22 111 1 ( 1) 1 2 2 2( 1) 2( ) 2 cyc cyc cyc cyc a x y x y x xyx abc       1 max ( 1) 2 PPxyz Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP , 111 P x yz   HD : đặt 111 ,, 111 abc x yz   , x+y+z+2=xyz => a+b+c=1 111 3 2 abc P xyzbccaab    3 min ( 2) 2 PPxyz Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP , 222 x yz P y zzxxy    HD : ,, y zazybxyc  => a+b+c=2 2 (1 ) 1 1 24 cyc cyc cyc a a aa a        Ta có : 111 9 9 2abcabc    => 222 1 2 xyz P yzzxxy     11 min ( ) 32 PPxyz Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP , 111 (1 )(1 )(1 )P x yz   HD : 111 (1 )(1 )(1 )P x yz    = 111 ()()() xyz x yz  2 4 14 x xxyz xyz     www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 2 2 4 14 y xyyz xyz     2 4 14zxyzzxyz    64 64 xyz P xyz  1 min ( ) 64 3 PPxyz Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , 222 xyz P x yzx yz xy z    HD : 11 13 2111 cyc cyc cyc cyc xx P x yz x x x           111 9 9 111 34xyzxyz    => 3 2224 xyz P xyzx yzxy z       13 max ( ) 34 PPxyz Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 3 4 xyz   , Tìm MaxP , 3 33 333Pxyyzzx    HD : Ta có 3 324( )6 33 33 cyc cyc xy xyz xy       ,=> 1 max ( ) 3 4 PPxyz    Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , 34 34 34 x yz P   HD: Ta có 3 4 44 34 44 2 2 62 6 xxyz xx cyc cyc cyc P        min ( 0) 6PPxyz Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP , 111 222 P x yz x yz xy z    HD : ta có xy+yz+zx=4xyz => 111 4 xyz  1 1 211 1111 1 216 4 cyc cyc P xyz xyz xyz       3 max ( ) 1 4 PPxyz Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP , 33 33 33 111 111 P xy yz zx    HD : Ta có 33 2 2 ()( )()(2 )() x yxyxxyy xyxyxyxyxy      => 33 1( ) ( ) x yxyxyxyzxyxyz   => 33 11 1( ) z x yxyxyzxyz    33 1 1 1 cyc cyc z P x yxyz     , max ( 1) 1PPxyz   Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 22 2 2 22 2 2 22 2 2 111 x yzyxz P x yyx yzyz xzzx  HD:  33 3 2 13 327 333 cyc cyc cyc xy xy P xy xy xy xyz    www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 3 (1)33MinP P x y z Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 . Tìm MaxP , 22 22 22 111 111 xy yz zx P xy yz zx      HD : Ta có 22 1 x yxyxy =>   22 22 2 31 12()(1)xy xy xyxy xy        => 22 13 11 xy x yxy       33 3 3 11 33 1 1 cyc cyc P xy xy     Áp dụng , bài 11 , 3P  max ( 1) 3PPxyz Bài 14 : Cho x,y,z>0 , 22 22 22 111 1 111xy yz zx     , Tìm MaxP , Pxyyzzx HD : Ta có :  2 222 2 22 2 12 () 111 1( ) z xyz x y z x yxyz           => 222 22 22 22 2 1116 1 111() x yz xy yz zx xyz        => 2222 ()6 x yz x y z    => 3Pxyyzzx => max ( 1) 3PPxyz Bài 15: Cho ,, 1, 2 x yz x y z xyz , Tìm MaxP , 333 2 2 22 2 222 2 2 22 11 11 11 P x yz xyz xyz xyz xyz xyz    HD: Biến đổi  3 33 2 3 111 x yyzzx P xyz     Ta có ,, 1, 2 x yz x y z xyz , khi đó : 222(1)0xyzxyzzzxy    , 222(1)0x y z x yz y y xz       , 222(1)0xyz xyz x xzy       Ta có :      2 33 3 x yz xy xyz xz xyz yz xyz x y z           33 2 ()2(1) cyc cyc xyz x y z x y z xy xyz xy      =>  3 33 3 2 3 111 4 xy yz zx P xyz     => 3 3 max ( ) 4 2 PPxyz  Bài 16 : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP , 2 22 111 Px y z y zx          HD : Biến đổi 222 222 111 2 x yz Px y z x yz yzx       Mà : 3 xyz yzx  www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 4 222 222 12 12 12 ,, 93 93 93 xyz xyz    Nên 222 81 1 1 81 1 1 8 88816 99 P xyz xyyzzx xyyzzx             1 ()16 3 MinP P x y z  Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP , 22 22 22 232323 xyz P xy yz zx    HD : Ta có : 22 2 2 111 232(1)(1)222 2 cyc cyc cyc cyc xxx P y xy x y xy x          19 1 22 6 P yxz xzx   => 1 max ( ) 2 PPxyz    Bài 18 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP , 22 22 22 xy yz zx P xy yz zx    HD : 11 2 229 11 2 9 2 cyc cyc cyc x yxyxyxy xy Pxy x yxyxy          Mà   2 1 3()1 3 xy yz zx x y z xy yz zx      2 22 9 29 x yxy xyxy xy xy    Nên 12 (2 2 2 ) 1 93 9 9 xy yz zx P         => 11 max ( ) 39 PPxyz Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP , 333 33 33 33 44 44 44 xy yz zx P zxyxyzyzx       HD : Ta có : 33 3 3 3 3 31 ()3()()() () 44 x yxy xyxyxy xy xy       => 33 3 44zxyzxy=> 33 3 2 44 cyc cyc xy xy P xyz zxy        max ( ) 2PPxyz Bài 20 : cho x,y,z 0 , Tim minP , x yz P y zzxxy    HD : Ta có 2 2( ) x x xyz xyz y zxyz         2 2 cyc cyc xx P yz xyz     => ( 1, 0) 2MinP P x y z     www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 5 Bài 21 : Cho x, y, z  0 thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm minP,   22 22 22 2 2 2 33 yz zx2Pxyyzzx xy xyz HD : Ta có Đặt t = xy+yz+zx  1 = (x+y+z) 2 ≥ 3(xy+yz+zx)=3t, x 2 + y 2 + z 2 = 1 – 2t và 1 0 3 t    22 22 22 2 2 3() x yyzzx xyyzzx t   M ≥ 2 3212 ()tt tft   f’(t) = 2 23 12 t t   f ’’(t) = 3 2 2 (1 2 )t   < 0, t  1 0, 3     f’(t) là hàm giảm 111 '( ) '( ) 2 3 33 ft f > 0  f tăng  f(t) ≥ f(0) = 2, t  1 0, 3       ( 1, 0) 2MinP P x y z Bài 22 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP , 333 111 xyz P y zyz zxzx xyxy      HD : 333 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) xyz P y zzxxy     Ta có 3 113 (1 )(1 ) 8 8 4 xyz x yz    , 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 yzx y zx    , 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 zxy z xy    =>  3 13333 24244 Pxyz xyz  3 (1) 4 MinP P x y z Bài 23 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=1 , Tìm MinP, 111Pxyyzzx   HD : P>0 , xét  2 3 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )Pxyyzzx xyyz yzzx zxxy           2 42 12 cyc Pxyyz     => 11123Pxyyzzx , 1 max ( ) 2 3 3 PPxyz  Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP, 222 222 111 Px y z y zx  HD :    2 2 2 3 2 3 111 1 3( ( P a b c abc xyz xyz xyz x yz           Đặt  2 2 3 1 ,0 39 xyz txyz t       , 2 11 3(),() ,'()1 0Pftfttft tt  www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 6 => 1 3()3 9 82 9 Pft => 1 ()82 3 MinP P x y z Bài 25 : Cho x,y,z>0 , 3 y z xyz x   Tìm maxP , 33 2 2 3( ) () x y x z x xy xz yz P yz yz yz         HD : Ta có :  x 3 x yz xy  Đặt , x yxz ab y zyz    => 22 22 1 xy xz xy xz abab yz yz yz yz           Ta có 22 3 ()131()()2 4 ab ab ab ab   Khiđó 33 2 3 3()3()()5 4 Pa b ab ab ab ab ab     => max ( 1) 5PPxyz Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP , 333 2 2 2 2( ) ( )Pxyzxyyzzx HD: Ta có   222 , , 0,1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0xyz x y y z z x , 32 32 32 ,, x xxyyyzzz   222 2 2 2 ()3xyzxyzxyyzzx          333 2 2 2 2( ) ( ) 3xyz xyyzzx       ax ( 1) 3MPPx yz      Bài 27 : Cho 1 ,, ,4 2 xyz        và xyz=1 , Tìm maxP , 222 222 log log logPxyz HD : 1 ,, ,4 2 xyz     =>   222 log ,log , log 1, 2xyz Khi đó :           22 22 22 log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 0,xx yy zz =>   222 222222 log log log log log log 6 0xyzxyz Mà xyz=1 nên 2222 log log log log 0xyzxyz    => 222 222 log log log 6Pxyz 1 max ( 4, ) 6 2 PPx yz Bài 28 : cho x,y,z>0 , 3 2 xyz , Tìm MinP, 111 x yyzzx P y zx    HD :  111 9 Pxyz xyz x yz xyz         Đặt 3 ,0 2 txyz t  => 2 99 () , '() 1 0Pftt ft tt   315 6 22 P  115 () 22 MinP P x y z Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= 6 , Tìm maxP , 111 x yz P y zx    www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 7 HD : Đặt 1, 1, 1ax by cz   => a+b+c=3 Khi đó : 111abc P bca   111abc bcaabc  9 36 abc    (2)6MinP P x y z Bài 30 : Cho x,y,z>0, xyz=1 , Tìm MinP , 111 (1 ) (1 ) (1 ) P x yyzzx    HD : Ta có 111 0 1 1 1 y xy x            => 11 (1 ) (1 ) 1 1 x yz y x yz x x y    => 111 (1 ) (1 ) 1 1 y x yz x x y    Khi đó : 222 23 (1 ) (1 ) (1 ) P xyyzzx   => 3 2 P  3 (1) 2 MinP P x y z Bài 31 : Cho x,y,z thuộc R , xyz=1 , Tìm MinP , 222 222 (1) (1) (1) xyz P xyz   HD : Đặt ,, 111 x yz abc x yz   Khi đó abc=(a-1)(b-1)(c-1) => a+b+c-1= ab+bc+ca 222 2 2 ()2( )()2(()1)Pa b c abc abbcca abc abc             => 2 (1)11Pabc  Bài 32 : Cho 1 1à, 1 4 x vyz  sao cho xyz=1 , Tìm MinP , 111 111 P x yz    HD : Ta có 11 2 11 1 yz yz    => 12 2 11 11 yz P xyz yz yz      Đặt 1 12tyz x    Khi đó : 2 2 222 () (2) 11 15 t Pft f tt     => 122 min ( , 2, 2) 415 PPx y z  . maxP , 33 3 33 33 33 44 44 44 xy yz zx P zxyxyzyzx       HD : Ta có : 33 3 3 3 3 31 ( )3( )()() () 44 x yxy xyxyxy xy xy       => 33 3 44zxyzxy=> 33 3 2 44 cyc. 9 111 34 xyzxyz    => 3 2224 xyz P xyzx yzxy z       13 max ( ) 34 PPxyz Bài 8 : Cho x,y,z>0 , 3 4 xyz   , Tìm MaxP , 3 33 333 Pxyyzzx    HD : Ta có 3 324(. max ( 1) 3PPxyz Bài 15: Cho ,, 1, 2 x yz x y z xyz  , Tìm MaxP , 33 3 2 2 22 2 222 2 2 22 11 11 11 P x yz xyz xyz xyz xyz xyz    HD: Biến đổi  3 33 2 3 111 x yyzzx P xyz 