www.MATHVN.com B ÀC I.S -Si: V ì: a1 ; a2 ; an ( n ³ 2) ta ln có: a1 + a2 + + an n ³ a1a2 an ( I ) ; d n a1 = a2 = = an ch ì ( a1 ; a2 ; an ),(b1 ; b2 ; bn ) ta ln có: 2 ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) £ ( a12 + a2 + + an )(b12 + b22 + + bn )( II ) ; d x ch a a1 a2 = = = n a + b + c ³ ab + bc + ca ( III ) ; d b1 b2 bn a = b = c 1 n2 + + + ³ ( IV ) a1 , a2 , an s a1 a2 an a1 + a2 + + an Khi: ch ày b Bài 1: Cho a > b > Ch a/a + ³ 3; b / a + ³ 3; c / a + ³ 2 b( a - b) (a - b)(b + 1) b( a - b) Gi D b + (a - b) + b = 1; a = Bài 2: Cho a > 1; b > Ch www.mathvn.com 1 ³ 3 b.(a - b) =3 b( a - b) b( a - b) a b - + b a - £ ab www.MATHVN.com a b - = a (b - 1).1 £ a Gi (b - 1) + ab = 2 c b a -1 £ ab C ày l a = b = Bài 2’: a,b,c ba s ab + bc + ca - abc £ / 27 (1 - a ) + (1 - b) + (1 - c) = 3 Û - a - b - c + ab + bc + ca - abc = ab + bc + ca - abc £ / 27 Gi (1 - a )(1 - b)(1 - c) £ b a = b = c =1/3 Bài 3: Cho ba s a + b3 + c ³ a bc + b ca + c ab Gi 4a + b3 + c3 ³ 6 ( a ) b3c = 6a bc c 4b3 + c + a ³ 6b ca ;4c + a + b3 ³ 6c ab c ày l r ( x + y + z )6 / xy z ³ 432 P = ( x + y )9 / x y Bài 3’: Cho ba s Bài 4: Tìm GTNN c Gi x y ỉxư x + y = + ³ 9 ỗ ữ ố3ứ V 39 / 26 Bài 5: Ba s bi S = a + b2 + c2 ( x + y )9 99 39 ổ yử ỗ ữ P= = x y 36 è6ø y = 2x ãn h a + b6 + c = Hãy tìm GTLN c Gi a + + ³ 3a ; b + + ³ 3b ; c + + ³ 3c Þ ³ 3S Û ³ S V Bài 6: x,y s ãn £ x £ 3;0 £ y £ Tìm GTLN c www.mathvn.com www.MATHVN.com A = (3 - x)(4 - y )(2 x + y ) Gi 2(3 - x).3(4 - y ).(2 x + y ) £ (6 - x) + (12 - y ) + (2 x + y ) =6 y = Û A £ 63 Û A £ 36 V Bài 7: x,y,z s ìm GTLN c th P = xyz ( x + y )( y + z )( z + x) Bài 8: a,b,c s a m + n b m+ n c m + n + m + m ³ a n + b n + c n ( m, n Ỵ N * ) m b c a n ỉ a m+ n n m a m+ n n m+ n n m + mb ³ (m + n) ỗ m ữ (b ) = (m + n)a n b è b ø Gi ta c b m+ n c m+n n n n m + mc ³ (m + n)b ; n m + ma n ³ (m + n)c n C c a l Chú ý: N m = n = ta a b2 c2 + + ³ a + b + c b c a Bài 9: Cho s a3 b3 c3 a+b+c + + ³ b(c + a ) c(a + b) a (b + c) Gi a3 b c+a a b c + a 3a + + ³ 33 = b(c + a ) b (c + a ) b3 c a + b 3b c3 a b + c 3c + + ³ ; + + ³ C c ( a + b) a (b + c) l Bài 10: Các s ãn x + y + z ³ Tìm GTNN c x3 y3 z3 S= + + y+z x+z y+x www.mathvn.com www.MATHVN.com Bài 11: Cho ba s a + b + c = Tìm GTNN ãn h c P = (1 + Bài 12: Cho x,y,z ba s 1 )(1 + )(1 + ) a3 b c ãn h x + y + z = Ch S = + 4x + + y + + 4z ³ + x = + + + x ³ 4 x = 2.2 x / Gi ta c + y ³ 2.2 y / ; + z ³ 2.2 z / Þ S ³ 2(2 x / + y / + z / ) ³ 2.3 2( x+ y + z ) / = x = y = z = D Bài 13: Cho hai s y có t S= Gi x 1- y ìm GTNN c + y 1- x D x2 y2 S +x+ y³ + xy + + xy ³ y x x2 y2 3 xy + xy = 3( x + y ) Þ S ³ Û S ³ V y x MinS = x = y = 1/2 Bài 14: Cho ba s h ãn a + b + c ³ Tìm GTNN c bi S= a b c + + b c a ãn h a + b + c = Ch Bài 15: Cho s ab bc ca S= + + ³ c a b Bài 16: Cho s ng b xy yz zx + + £ xy + z yz + x zx + y www.mathvn.com www.MATHVN.com Do xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( x + z )( y + z ) Gi x y 1ỉ x y £ ç + ÷ x + z y + z 2è x + z y + z ø yz 1æ y z xz 1ổ x z ; Ê ỗ + Ê ỗ + ữ ữ yz + x è x + y x + z ø xz + y è x + y y + z ø xy = xy + z C ên ta s x = y = z = 1/ Bài 17: Cho hai s bi x + y ³ Tìm GTNN c ãn P = 3x + y + + x y Gi 3x y 3x y 3x y + + + + + ³ + + x y 2 x y y = = + + = 19 V Bài 18: Cho s ãn xy + xz = Tìm P= GTNN c S= yz xz xy + + x y z Gi æ yz xz ỉ yz xy ỉ xy xz S = ỗ + ữ + ỗ + ữ + 3ỗ + ữ z + y + x = yø z ø è z yø è x è x 2( x + z ) + 4( x + y ) ³ xz + xy = V Bài 19: Cho hai s ãn x + y £ 4;3 x + y £ Tìm GTLN c Gi www.mathvn.com P = x + y 2 P = 3.3 x.1.1 + y.3 £ 3( x + 2) + ( y + 3) 3 www.MATHVN.com = a ( x + y ) + b(3 x + y ) + + £ 4a + 6b + + = -3 9-2 + +6+2 = + ( Do a + 3b = & a + b = / Þ a = (2 - 3) / & b = (9 - 3) / ) MaxP = + x = 1& y = Bài 20: Cho s 1 1ỉ 1 1ư + + £ ç + + ÷ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c è a b c ø V Gi : 1 1ổ 1 = Ê ỗ + ữ 2a + b + c ( a + b) + ( a + c ) è a + b a + c ø é ỉ 1 ỉ 1 ứ ỉ 1 Ê ỗ + ữ + ỗ + ữỳ = ỗ + + ữ ố a b ø è a c ø û 16 è a b c ø 1 ỉ1 1ư 1 ổ1 2ử Ê ỗ + + ữ; Ê ç + + ÷ C a + 2b + c 16 è a b c ø a + b + 2c 16 è a b c ø r a = b = c Bài 21: Cho hai s a/ 1 + ³ 6; b / + ³ 14 ab a + b ab a + b Gi 1 1 + = + + ³ ab a + b 2ab 2ab a + b 2 + =2+4=6 (a + b) 2ab + a + b a = b = 1/ Bài 22: Cho a,b,c s Ch Bài 23: Ba s www.mathvn.com a = b = 1/ ãn a + b + c £ 3/ a + b + c + 1/ a + 1/ b + 1/ c ³ 15 / x2 + y + z ³ x + y + z www.MATHVN.com Gi Áp d (I) ( x + y + z )2 x +y +z ³ = ( x + y + z ) x+ y+z ³ ( x + y + z ) xyz = x + y + z x = y = z = a b2 c2 a b c Chú ý: T + + ³ + + v b2 c2 a b c a 2 s c(b - c) + c( a - c) £ ab Bài 24: Cho a > c > 0; b > c > Ch ( c; a - c ) & ( b - c; c ) ( c(b - c) + c(a - c)) £ (c + a - c)(b - c + c) = ab t Gi Áp d b ab = c(a + b) a > x; a + b > x + y Bài 25: Cho s Ch x2 (a - x)2 a2 + ³ x+ y a+b- x- y a+b Gi Áp d ỉ x a-x ; & ( x + y ; a + b - x - y ) ta ỗ ỗ x+ y a+b- x- y ÷ ÷ è ø ỉ x2 (a - x) + ỗ ữ ( x + y + a + b - x - y ) ³ ( x + a - x) t è x+ y a+b- x- y ø b Bài 26: B b ãn h a + b + c + d = 1; x s ì Ch ( x + ax + b)2 + ( x + cx + d )2 £ (2 x + 1) Gi Áp d ( x + ax + b) £ ( x + x + 12 )( x + a + b2 ); www.mathvn.com www.MATHVN.com ( x + cx + d ) £ ( x + x + 12 )( x + c + d ) Þ ( x + ax + b)2 + ( x + cx + d )2 £ (2 x + 1)( x + a + b + x + c + d ) = (2 x + 1)2 b=d=1&x=a=c Bài 27: Cho s ì Ch x y z + + ³ py + qz pz + qx px + qy p + q Gi x( py + qz ) + y ( pz + qx) + z ( px + qy ) = ( p + q)( xy + yz + zx) £ ( p + q )( x + y + z )2 / (*) Áp d ỉ x y z ; ; ç ÷ py + qz pz + qx px + qy ø è ( x( py + qz ); y ( pz + qx); z ( px + qy )) ổ x y z + + ỗ ÷ [ x( py + qz ) + y ( pz + qx) + z ( px + qy ) ] ³ ( x + y + z ) è py + qz pz + qx px + qy ø K py + qz = pz + qx = px + qy B a b c s ì + + ³ v b+c a+c b+a a b c d 2/ + + + ³ v a,b,c,d s b+c d +c d +a a+b a2 b2 c2 a+b+c 3/ v s + + ³ b+c a+c b+a a2 b2 c2 4/ + + ³ a+b+c v b+c-a a +c-b b+ a -c 1/ ì ì ài ba c tam giác www.mathvn.com www.MATHVN.com 5/ a b c + + ³3 v b+c-a a +c-b b+ a -c ài ba c giác Bài 28: Cho s x + y = u + y = Ch ãn minh: u ( x - y ) + v( x + y ) £ Gi [u ( x - y ) + v( x + y ) ] £ (u + v ) é( x - y )2 + ( x + y )2 ù = 2( x + y ) = ë û T u ( x + y ) = v( x - y ) Bài 29: Cho a,b,c s ãn a + b + c ³ Ch a3 b3 c3 + + ³ b+c a+c b+a Gi æ a3 b3 c3 + + ỗ ữ [ a (b + c) + b(a + c) + c(b + a )] ³ b+c a+c b+aø è (a + b + c ) ³ (a + b + c ) ³ ab + bc + ca T minh D Bài 30: Ba s Ch Gi d T a = b = c = ãn / x( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1) £ / -1 £ x + y + z £ ( x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) £ 25/12 Áp [1.( x - 1/ 2) + 1.( y - 1/ 2) + 1.( z - 1/ 2)] £ é( x - 1/ 2) + ( y - 1/ 2) + ( z - 1/ 2) ù £ 25 ë û Þ x + y + z - 3/ £ / Û -5 / £ x + y + z - 3/ £ / Û -1 £ x + y + z £ x = y = z = / D Bài 31: Hai s Gi a/ T www.mathvn.com a + b + 16 = 8a + 6b Ch a /10 £ 4a + 3b £ 40; b / 7b £ 24a (a - 4) + (b - 3) = Áp d ãn www.MATHVN.com [ 4(a - 4) + 3(b - 3)] £ é(a - 4)2 + (b - 3) ù (42 + 32 ) = 9.25 Û 4a + 3b - 25 £ 15 ë û Û -15 £ 4a + 3b - 25 £ 15 Û 10 £ 4a + 3b £ 40 24/5,b = 24/3 ho Bài 32: Ba s x + y + z - x + z £ Tìm GTNN ãn GTLN c u th S = x + y - z Bài 33: Cho a,b,c ba s ãn h a + b + c = Tìm GTNN c S = a + ab + b + c + cb + b + a + ac + c Gi 2 2 éỉ b ỉ 3b ù é ỉ ù ỉ b bư 2 (a + ab + b ) = ờỗ a + ữ + ỗ ữ ỳ ờ1 + ỗ ữ ỳ ç a + + ÷ = (a + b) êè 2ø è ø úê ø è 3ø ú è û ë ûë Þ a + ab + b ³ 3(a + b) / c + cb + b ³ 3(c + b) / ; c + ca + a ³ 3(c + a) / Þ S ³ 3(a + b + c) = V a = b = c = / II.S Bài 34: Cho s 1 1 + + 3 £ ; a + b3 + abc c + b3 + abc a + c + abc abc 1 a+b+c b/ + + £ a + bc b + ac c + ab 2abc a/ Gi a/Ta có: a + b3 + abc = (a + b)(a - ab + b ) + abc ³ (a + b)ab + abc = ab(a + b + c) > www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Þ 1 c £ = a + b3 + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c) c + b3 + abc £ a b C ; £ abc(a + b + c) c + a + abc abc(a + b + c) a = b = c r b/ The 1 bc b + c £ = £ a + bc 2a bc 2abc 4abc a+c b+a C £ ; £ b + ac 4abc c + ab 4abc a + bc ³ 2a bc > Þ l Bài 35: Cho s a = b = c x + y + z £ Tìm GTNN mãn 2 c P= Bài 36: Cho s ab cb ac S= + + £ 2-c 2-a 2-b Bài 37: Cho s 1 + + + xy + zy + zx 1/ a + 1/ b + 1/ c = Tìm GTLN ãn c S= ab cb ac + + 3 a + b3 c + b3 a + c Bài 38: Cho ba s ìm GTNN c S = log x + + log y + + log z + 2 Gi Ta có: (log x + 1)2 (log x + 1) (log x + 1)2 S³ + + = ( log x + + log y + + l 2 2 ³ + log xyz = = V MinS = x = y = z = 2 www.mathvn.com 11 www.MATHVN.com Bài 39: Cho s S = x + y + z - xyz ìm GTNN c Gi 1 é1 ù x + y + z ³ ( x + y + z )2 ³ ê ( x + y + z )2 ú = Áp d 3 ë3 27 û 4 x4 + y + z ỉ 1ư 1/ 27 xyz S= + ỗ x + y4 + z4 + ÷ - xyz ³ + 4 4è ø 4.27 4 - xyz = xyz - xyz ³ V MinS = x = y = z = 1/ 4.27 Bài 40: Cho s ì.Tìm GTNN c x y2 z2 S= + + x + yz y + yx z + yx Bài 41: Cho s ì Ch 2x 2y 2z 1 minh: S = + + £ + + y + z z + x6 x + y x y z III.Ch ìm c Bài 42: Cho s Gi thành: ãn h ab + bc + ca = abc Ch b + 2a c + 2b a + 2c S= + + ³ ab cb ac ì ành: x + y + z = S = x2 + y + y + 2z + z + 2x2 ³ S ³ ( x + y ) / + ( y + z ) / + ( z + x)2 / = 3( x + y + z ) / = D www.mathvn.com x = y = z = 1/ hay a = b = c = 12 www.MATHVN.com Bài 43: Cho s 1 S= + + ³ x ( y + z ) y ( x + z ) z ( y + x) ành: abc = ì Gi 2 ành: a b c + + ³ Áp d b+c a+c b+a ( a + b + c) a + b + c ngay: S ³ = ³ 2( a + b + c) 2 D a = b = c = hay x = y = z = Bài 44: Cho s ãn 1/ x + 1/ y + 1/ z = Ch S= Gi thành: x + yz + y + xz + z + yx ³ xyz + x + y + z ì ành: a + b + c = a + bc + b + ac + c + ab ³ + ab + bc + ca Ta có: a + bc = a (a + b + c) + bc ³ a + 2a bc + bc = (a + bc )2 = a + bc b + ac ³ b + ac ; c + ab ³ c + ab C l D ày a = b = c = 1/ hay x = y = z = Bài 45: Cho hai s th Tìm GTNN GTLN c S = / x + 1/ y Gi u = 1/ x & v = 1/ y ãn x2 + y = 2x2 y + y x ành: u + v = u + 2v Û (u - 1/ 2) + (v - 1) = 5/ ( S - 2) = [ 2(u - 1/ 2) + v - 1] £ (22 + 12 ) é (u - 1/ 2) + (v - 1) ù £ 25 / Þ -5 / £ S ë û Þ -0,5 £ S £ 4,5 V - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3 Bài 46: Hai s ãn y £ & x + x = y + 12 Tìm GTNN GTLN c Gi T www.mathvn.com A = xy + x + y + 17 y = x + x - 12 £ Þ -4 £ x £ ; 13 www.MATHVN.com A = f ( x) = x + 3x - x - T àm s x f’(x) -4 + MaxA = Maxf ( x) = f (-3) = f (3) = 20 -3 20 - + 20 f(x) [ -4;3] 13 -12 MinA = Minf ( x) = f (1) = -12 [ -4;3] Bài 47: Cho hai s bi Bài 48: Cho s ãn x + y = Tìm GTNN c S = ( x + 1)(1 + 1/ y ) + ( y + 1)(1 + 1/ x) ãn x + y = Tìm GTNN GTLN Gi T N x + xy - c T= xy - y + 3 x + xy - y 2 N y = Þ x = Þ T = T= 2 x + xy + y y¹0 3t + 2t - t = x/ y ÞT = Û (3T - 3)t + 2(T - 1)t + T + = 0(*) (*) khơng có 3t + 2t + nghi V T ¹ 1,(*) có D ' = (T - 1)(-2T - 4) ³ -2 £ T < K ên ta có: MinT=-2 x = ± 10 /10; y = m3 10 /10 MaxT=1 x = ±1 y = Bài 49: Cho hai s ãn x + y = / Tìm GTNN c bi S = / x + 1/ y Bài 50: Cho hai s ìm GTNN GTLN c th S = + x 2008 + + y 2008 www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com Gi Ta có: S = f ( x) = + x 2008 + + (1 - x) 2008 f '( x) = 1004 x 2007 + x 2008 - 1004(1 - x) 2007 + (1 - x) 2008 f '( x) = Û x 2007 + (1 - x) 2008 = (1 - x) 2007 + x 2008 Û x 4014 é1 + (1 - x) 2008 ù = ë û (1 - x) 4014 (1 + x 2008 ) Û é x 4014 - (1 - x) 4014 ù + x 2008 (1 - x) 2008 é x 2006 - (1 - x) 2006 ù = ë û ë û Û (2 x - 1) P ( x) + x 2008 (1 - x) 2008 (2 x - 1) P2 ( x) = Û x - = Û x = 1/ ( Vì x - x ên P ( x) > 0; P2 ( x) > ) Do f (0) = f (1) = + 2; f (1/ 2) = + 1/ 22008 Þ MaxS = + 2; MinS = + 1/ 2200 www.mathvn.com 15 ... ày l r ( x + y + z )6 / xy z ³ 432 P = ( x + y )9 / x y Bài 3’: Cho ba s Bài 4: Tìm GTNN c Gi x y ỉxư x + y = + 9 ỗ ữ ố3ứ V 39 / 26 Bài 5: Ba s bi S = a + b2 + c2 ( x + y )9 99 39 ổ yử ỗ ữ... ø r a = b = c Bài 21: Cho hai s a/ 1 + ³ 6; b / + ³ 14 ab a + b ab a + b Gi 1 1 + = + + ³ ab a + b 2ab 2ab a + b 2 + =2+4=6 (a + b) 2ab + a + b a = b = 1/ Bài 22: Cho a,b,c s Ch Bài 23: Ba s www.mathvn.com... b + ac 4abc c + ab 4abc a + bc ³ 2a bc > Þ l Bài 35: Cho s a = b = c x + y + z £ Tìm GTNN mãn 2 c P= Bài 36: Cho s ab cb ac S= + + £ 2-c 2-a 2-b Bài 37: Cho s 1 + + + xy + zy + zx 1/ a + 1/