Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 Giải hệ phương trình sau: ( ) 2 3 12 12 12 8 1 2 2 x y y x x x y  − + − =    − − = −  trong ñó ( ) ,x y∈ℝ Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) 2 3 12 12 12 1 8 1 2 2 2 x y y x x x y  − + − =    − − = −  ðiều kiện: 2 3 2 3x− < ≤ ; 2 12y≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 12 12 2 12 12 2 x y x y y x y x  + − − ≤    + −  − ≤   . Nên ( ) 2 12 12 12x y y x− + − ≤ . Do ñó: ( ) 2 0 1 12 x y x ≥  ⇔  = −  Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 8 1 2 10 8 3 2 1 10 0 2 3 3 3 1 0 3 1 10 x x x x x x x x x x x − − = − ⇔ − − + − − =   + ⇔ − + + + =   + −   Do 0x ≥ nên ( ) 2 2 2 3 3 1 0 1 10 x x x x + + + + > + − Do ñó: ( ) 3 3x⇔ = thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) ; 3;3x y = . Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014: Giải hệ phương trình sau: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 6 1 2 2 4 5 3 x x y x x y y y x y x y x y  − − + = + − −   − + + = − − − −   trong ñó ( ) ,x y∈ ℝ Hướng dẫn giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 3 6 1 2 2 4 5 3 2 x x y x x y y y x y x y x y  − − + = + − −   − + + = − − − −   ðiều kiện: 0 2 4 5 3 y x y x y ≥   ≥   ≥ +  Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 3 1 1 y x y x y y y x y x y y ⇔ − − − + − − − =   ⇔ − − − + =     − + +   Do 1 1 0 1 1x y y + > − + + nên phương trình (3) tương ñương với 1 1 y y x =   = −  Với 1y = , phương trình (2) trở thành 9 3 0 3x x− = ⇔ = Với 1y x= − , ñối chiếu ñiều kiện thì phương trình 2 trở thành ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 1 2 x x x x x x x x x x x − − = − ⇔ − − + − − − =   ⇔ − − + =   − + −   Do 1 2 0 1 2x x + > − + − nên (3) 2 1 5 1 0 2 x x x ± − − = ⇔ = ðối chiếu ñiều kiện và kết hợp với trường hợp trên ta ñược nghiệm của hệ phương trình ñã cho là ( ) ( ) 1 5 1 5 ; 3;1 , ; 2 2 x y   + − + =       Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014: Giải bất phương trình ( ) ( ) 2 1 2 6 7 7 12x x x x x x+ + + + + ≥ + + H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện: 2x ≥ − . Bất phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 6 7 3 2 8 0 1 6 2 4 0 1 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x x + + − + + + − − + − ≥ + +   ⇔ − + − − ≥   + + + +   Do 2x ≥ nên 2 0x + ≥ và 6 0x + > . Suy ra 1 6 2 2 6 6 1 4 0 2 2 2 2 7 3 2 2 7 3 2 2 x x x x x x x x x x x x + + + + + +     + − − = − + − − <     + + + + + + + + + +     Do ñó ( ) 1 2x⇔ ≤ ðối chiếu ñiều kiện, ta ñược nghiệm của bất phương trình ñã cho là 2 2x− ≤ ≤ Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau: ( ) 4 4 2 2 1 1 2 2 1 6 1 0 x x y y x x y y y  + + − − + =   + − + − + =   trong ñ ó ( ) ,x y∈ ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện: 1 x ≥ Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược ( ) 2 4 1 , 0y x y y= + − ⇒ ≥ ðặt 4 1, 0u x u= − ⇒ ≥ . Phương trình (1) của hệ phương trình trở thành ( ) 4 4 2 2 3u u y y+ + = + + Xet hàm số ( ) 4 2 f t t t = + + , Với mọi 0t ≥ . Ta có: ( ) 3 4 2 ' 1 0 2 t f t t = + > + ,Với mọi 0t ≥ . Do ñó phương trình (3) tương ñương với y u= , nghĩa là 4 1 x y= + Thay vào phương trình (2) ta thu ñược ( ) ( ) 7 4 2 4 0 4 y y y y+ + − = Hàm số ( ) 7 4 2 4f y y y y= + + − có ( ) 6 3 ' 7 8 1 0g y y y= + + > , với mọi 0 y ≥ Mà ( ) 1 0g = , nên phương trình (4) có hai nghiệm không âm là 0 1 y y =   =  Với 0 y = ta ñược nghiệm của ( ) ( ) ; 1;0x y = Với 1 y = ta ñược nghiệm là ( ) ( ) ; 2;1x y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( ) ( ) ( ) ; 1;0 , 2;1x y = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013: Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0 4 4 2 4 x y xy x y x y x x y x y  + − + − + =   − + + = + + +   trong ñó ( ) ,x y∈ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 2 0 4 0 x y x y + ≥   + ≥  Tử phương trình (1) của hệ ta thu ñược 1 2 1 y x y x = +   = +  Với 1y x= + , thay vào phương trình (2) ta ñược ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 1 5 4 3 1 3 1 2 5 4 0 1 1 3 0 1 3 1 2 5 4 1 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + = + + + ⇔ − + + − + + + − + =   ⇔ − + + =   + + + + + +   =  ⇔ − = ⇔  =  Khi ñó ta thu ñược nghiệm ( ) ( ) ( ) ; 0;1 , 1;2x y = Với 2 1y x= + , thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược ( ) ( ) 3 3 4 1 9 4 3 4 1 1 9 4 2 0 4 9 3 0 0 4 1 1 9 4 2 x x x x x x x x x x − = + + + ⇔ + + − + + − =   ⇔ + + = ⇔ =   + + + +   Khi ñó nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) ; 0;1x y = Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh Cao ñẳ ng kh ố i A-2013: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau: 2 3 1 0 4 12 0 xy y x y xy − + =   − + =  trong ñ ó ( ) ,x y∈ ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i Hệ phương trình ñược ñược viết lại ( ) ( ) 2 3 1 0 1 4 12 0 2 xy y x y xy  − + =   − + =   Nhận xét 0y = không thỏa mãn phương trình (1). Từ phương trình (1) ta ñược ( ) 3 1 3 y x y − = Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược 3 2 1 3 11 12 4 0 2 2 3 y y y y y y   =  − + − = ⇔ =   =   Vậy nghiệm của hệ tích phân là ( ) ( ) 5 3 2 ; 2;1 , ;2 , ; 2 2 3 x y     =         Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i D-2012: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 3 2 2 2 2 0 2 2 0 xy x x x y x y xy y + − =   − + + − − =  trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i H ệ ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 xy x x y x y + − =   − + − =   V ớ i 2 1 0 2 1 x y y x − + = ⇔ = + thay vào ph ương trình 1 của hệ ta ñược 2 1 5 1 0 2 x x x − ± + − = ⇔ = . Do ñ ó ta có các nghi ệ m ( ) ( ) 1 5 1 5 ; ; 5 , ; ; 5 2 2 x y x y     − + − − = = −             V ớ i 2 2 0 . x y y x − = ⇔ = Thay vào ph ươ ng trình (1) c ủ a h ệ ph ươ ng trình ta ñượ c ( ) ( ) 3 2 2 0 1 2 0 1 x x x x x x + − = ⇔ − + + = ⇔ = . Do ñ ó ta ñượ c nghi ệ m ( ) ( ) ; 1;1x y = V ậ y nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình ( ) ; x y ñ ã cho là 1 5 1 5 ; 5 , ; 5 2 2     − + − − −             và ( ) 1;1 Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i A-2012: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 2 x x x y y y x y x y  − − + = + −   + − + =   trong ñó ( ) ,x y∈ ℝ Hướng dẫn giải Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 1 2 2 x x x y y y x y x y  − − + = + −   + − + =   Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 12 1 1 12 1 1 1 1 2 2 x x y y x y  − − − = + − +       + + + =           Từ (2), suy ra 1 3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 1 1 1 2 2 2 x x y y   − ≤ − ≤ − ≤ − ≤     ⇔     − ≤ − ≤ − ≤ − ≤     Xét hàm số ( ) 3 12 f t t t = − trên 3 3 ; 2 2   −     ; ( ) ( ) 2 ' 3 4 0f t t= − < , suy ra ( ) f t là hàm nghịch biến. Do ñó (1) tương ñương ( ) 1 1 2 3x y y x− = + ⇔ = − Thay vào (2), ta ñược 2 2 2 1 1 3 2 1 4 8 3 0 3 2 2 2 x x x x x x  =      − + − = ⇔ − + = ⇔           =   Thay vào phương trình (3), ta ñược nghiệm của hệ phương trình ( ) ; x y là 1 3 ; 2 2   −     ho ặ c 3 1 ; 2 2   −     Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i A-2011: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y  − + − + =   + + = +   trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 5 4 3 2 0 1 2 2 x y xy y x y xy x y x y  − + − + =   + + = +   T ừ ph ươ ng trình (2) t ươ ng ñươ ng ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 0 2 xy xy x y x y =  ⇔ − + − = ⇔  + =  + 1;xy = từ phương trình (1) suy ra 4 2 2 1 0 1y y y− + = ⇔ = ± Do ñó, nghiệm ( ) ( ) ; 1;1x y = hoặc ( ) ( ) ; 1; 1x y = − − + 2 2 2x y+ = , từ phương trình (1) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 0 6 4 2 2 0 1 1 2 0 2 y x y xy x y x y y xy x y x y xy xy y x x y + − + − + = ⇔ − + − + = =  ⇔ − − = ⇔  =  Với 2 x y = , từ ( ) 2 2 2 10 10 2 ; ; 5 5 x y x y   + = ⇒ =       ho ặ c ( ) 2 10 10 ; ; 5 5 x y   = − −       V ậ y h ệ ph ươ ng trình ñ ã cho cho 4 nghi ệ m ( ) ( ) 2 10 10 1;1 , 1; 1 , ; 5 5   − −       2 10 10 ; 5 5   − −       Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i D-2011: Tìm m ñể h ệ ph ươ ng trình sau có nghi ệ m ( ) 3 2 2 2 2 1 2 x y x xy m x x y m  − + + =   + − = −   trong ñ ó ( ) ,x y∈ ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðặ t 2 1 , ; 2 4 u x x u v x y= − ≥ − = − H ệ ph ươ ng trình ñ ã cho tr ở thành ( ) ( ) 2 2 1 0 1 1 2 1 2 uv m u m u m u v m v m u  = + − + =   ⇔   + = − = − −    H ệ ph ươ ng trình có nghi ệ m khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m th ỏ a mãn 1 4 u ≥ − V ớ i 1 4 u ≥ − , ta có : (1) ( ) 2 2 2 1 2 1 u u u u u m u − + ⇔ + = − + ⇔ = + Xét hàm s ố ( ) 2 2 1 u u f u u − + = + V ớ i 1 4 u ≥ − , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 3 ' ; ' 0 2 2 1 u u f u f u u u + − − + = − = ⇔ = + Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng-2011: Giải hệ phương trình sau 2 2 2 2 3 2 2 2 x y x y x xy y  + = − −   − − =   trong ñó ( ) ,x y∈ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện 2 0x y+ ≥ , ñặt 2 , 0t x y t= + ≥ . Phương trình (1) trở thành : ( ) 2 1 2 3 0 3 t t t t loai =  + − = ⇔  = −  V ớ i t =1, ta có 1 2y x= − . Thay vào (2) ta ñượ c 2 1 2 3 0 3 x x x x =  + − = ⇔  = −  V ớ i x=1 ta ñượ c 1y = − V ớ i 3x = − ta ñượ c 7y = V ậ y h ệ ph ươ ng trình có nghi ệ m ( ) ; x y là ( ) 1; 1− và ( ) 3;7− Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i D-2010: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) 2 2 2 4 2 0 2log 2 log 0 x x y x y  − + + =   − − =   trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện ( ) 2; 0 1x y> > Từ hệ phương trình ñã cho ta có : 2 2 0 2 4 2 0 3 0 2 2 3 1 x y x x y x x x y y x x y  =    = −   − + + = − =   ⇔ ⇔    − = = − =      =    ðối chiếu nghiệm của hệ phương trình với ñiều kiện ta thấy nghiệm của hệ là ( ) ( ) ; 3;1x y = Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i B-2010: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) 2 2 log 3 1 4 2 3 x x y x y  − =   + =   trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện 1 3 y > , phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta 3 1 2 x y − = Do ñó, hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) 2 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 1 6 3 0 3 1 3 1 3 2 2 x x x x y y y y y y y y y  = − =    − =  − =     ⇔ ⇔ ⇔     = − = − + − =       =    Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) 1 ; 1; 2 x y   = −     Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2010: Giải hệ phương trình sau ( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 4 2 3 4 7 x y y x y x  + + − − =   + + − =   trong ñó ( ) ,x y∈ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 3 5 ; 4 2 x y≤ ≤ . Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương ñương với ( ) ( ) ( ) 2 4 1 2 5 2 1 5 2 1x x y y+ = − + − Nhận xét phương trình (1) có dạng ( ) ( ) 2 2 2 f x f y = − , với ( ) ( ) 2 1 f t t t = + Ta có ( ) 2 ' 3 1 0f t t= + > suy ra f là hàm số ñồng biến trên R. Do ñó: ( ) 2 0 1 2 5 2 5 4 2 x x y x y ≥   ⇔ = − ⇔  − =   The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta ñược ( ) 2 2 2 5 4 2 2 3 4 7 0 3 2 x x x   + − + − − =     Nhận thấy 0x = và 3 4 x = không phải là nghiệm của phương trình (3) Xét hàm số ( ) 2 2 2 5 4 2 2 3 4 7 2 g x x x x   = + − + − −     , trên khoảng 3 0; 4       ( ) ( ) 2 2 5 4 4 ' 8 8 2 4 4 3 0 2 3 4 3 4 g x x x x x x x x   = − − − = − − ≤   − −   Suy ra ( ) g x là hàm số nghịch biến. Mặt khác 1 0 2 g   =     , do ñó phương trình (3) có nghiệm duy nhất 1 2 2 x y= ⇒ = Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ) 1 ; ;2 2 x y   =     Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i D-2009: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) ( ) 2 2 1 3 0 5 1 0 x x y x y x + + − =    + − + =   trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 1 2 1 1 0 1 1 1 2 5 4 6 3 5 1 0 2 0 1 1 0 2 3 1 2 2 x x x y x y y x y x y x x x x x y x x x x x x y x y   =    =          + = − + = = + + − = + = −             ⇔ ⇔ ⇔ ⇔    =    =        + − + = − + = − − + =               = −         + =     Vậy Hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ) ; x y là ( ) 1;1 và 3 2; 2   −     Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i B-2009: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + =   + + =  trong ñ ó ( ) ,x y ∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 1 1 1 1 7 7 20 0 12 1 1 1 1 13 4 13 1 3 x x y I x x x x x y y x y y y y y x x x x x x x y y y II y y y y x y   + = −              + + = + + = + + + − =            =           ⇔ ⇔ ⇔              + + = + = + − = = − +                    =    + Hệ phương trình (I) vô nghiệm + Hệ phương trình (II) có nghiệm ( ) 1 ; 1; 3 x y   =     và ( ) ( ) ; 3;1x y = Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i A-2009: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log 1 log 3 81 x xy y x y xy − +  + = +   =   trong ñ ó ( ) ,x y ∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện: ( ) 0 *xy > , hệ phương trình ñã cho tương ñương với 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x y x y xy x y y y x xy y =  + = =    ⇔ ⇔    = ± = − + =     Kết với với ñiều kiện ta thấy hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ) 2;2 và ( ) 2; 2 − − Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i A-2008: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) ( ) 2 3 2 4 2 5 4 , 5 1 2 4 x y x y xy xy x y x y xy x  + + + + = −   ∈   + + + = −   ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i Ta có biến ñổi: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 4 2 2 5 5 4 4 * 5 5 1 2 4 4 x y x y xy xy x y xy xy x y x y xy x x y xy   + + + + = − + + + + = −     ⇔     + + + = − + + = −     ðặt 2 u x y v xy  = +  =  . Hệ phương trình (*) trở thành 2 2 3 2 5 5 5 0, 4 4 4 5 1 3 0 , 4 4 2 2 u v uv v u u v u u v u u u v    + + = − = − − = = −      ⇔ ⇔       + = − + + = = − = −       Giải ta ñược nghiệm của hệ phương trình ( ) ; x y là 3 3 5 25 ; 4 16   −       và 3 1; 2   −     Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i B-2008: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +   + = +   trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 4 3 2 2 2 9 0 3 3 2 9 12 48 64 0 4 0 4 2 3 3 2 x xy x x x x x x x x x x x x x x xy x  + = + =     ⇒ + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔     = −     = + −  + Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình + Với 17 4 4 x y= − ⇒ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) 17 ; 4; 4 x y   = −     Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i D-2008: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) 2 2 2 , 2 1 2 2 xy x y x y x y x y y x x y  + + = −  ∈  − − = −   ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện: 1, 0x y≥ ≥ Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( )( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 2 1 2 2 2 x y x y x y y x x y  + − − =   − − = −   Từ ñiều kiện ta có 0x y+ > nên ( ) ( ) 1 2 1 3y⇔ + Thay (3) vào(2) ta ñược ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 0 5y y y y do y x+ = + ⇔ = + > ⇒ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) ; 5;2x y = Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2007: Xác ñịnh m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m y y  + + + =     + + + = −   trong ñ ó ( ) ,x y∈ℝ Hướng dẫn giải ðặt ( ) 1 2, 2 1 u x x u v v y y  = +   ≥ ≥   = +   . Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) 3 3 5 5 8 3 15 10 u v u v uv m u v u v m + =  + =   ⇔   = − + − + = −    Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình ( ) 2 5 8 1t t m− + = Hệ phương trình ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa 1 2 2, 2t t≥ ≥ , (Hai nghiệm này không nhất thiết phân biệt) Xét hàm số ( ) 2 5 8 f t t t = − + với 2t ≥ . Bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ñể hệ phương trình có nghiệm thì 22m ≥ hoặc 7 2 4 m≤ ≤ Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i D-2006: Tìm a ñể hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ( ) ln 1 ln 1 , x y e e x y x y y x a  − = + − +  ∈  − =   ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i ðiều kiện: : x, y>-1. Hệ phương trình ñã cho ñường thẳng với ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 ln 1 0 1 2 x a x e e x a x y x a +  − + + − + + =   = +   Hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất trong khoảng ( ) 1;− + ∝ . Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ln 1 ln 1 x a x f x e e x a x + = − + + − + + với x>-1 Do f(x) liên tục trong khoảng ( ) 1;− + ∝ . và ( ) ( ) 1 lim ; lim x x f x f x + →+∝ →− = − ∝ = + ∝ Nên phương trình ( ) 0f x = có nghiệm trong khoảng ( ) 1;− + ∝ . Mặt khác ( ) ( ) ( )( ) 1 1 ' 1 0, 1. 1 1 1 1 x a x x a a f x e e e e x x a x x a x + = − + − = − + > ∀ > − + + + + + + Suy ra f(x) là hàm số ñồng biến trong khoảng ( ) 1;− + ∝ . Do ñó, phương trình ( ) 0f x = có nghiệm duy nhất trong khoảng ( ) 1;− + ∝ Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất Trích t ừ ñề thi tuy ể n sinh ðạ i h ọ c kh ố i A-2006: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình sau ( ) 3 , 1 1 4 x y xy x y x y  + − =  ∈  + + + =   ℝ H ướ ng d ẫ n gi ả i [...]... hai nghi m c a phương trình t − t + m = 0 (**) H phương trình ñã cho tr thành  3 3 u ≥ 0 ði u này v ≥ 0 H phương trình ñã cho có nghi m khi và ch khi h (*) có nghi m sao cho   ∆ = 1 − 4m ≥ 0 1  tương ñương phương trình (**) có nghi m t không âm ⇔  S = 1 ≥ 0 ⇔0≤m≤ 4 m ≥ 0  Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2004: Gi i h phương trình sau 1  log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1 trong ñó ( x,... 3y  Thay vào phương trình x + y = 25 ta có   + y 2 = 25 ⇔ y = ±4  4  So sánh ñi u ki n ta ñư c y = 4 ⇒ x = 3 th a mãn ñi u ki n 2 2 V y nghi m c a h phương trình là ( x; y ) = ( 3; 4 ) Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2003: Gi i h phương trình sau  y2 + 2 3 y = x2  ( x, y ∈ ℝ ) trong ñó ( x, y ∈ ℝ )  2 3 x = x + 2  y2  Hư ng d n gi i ði u ki n: x ≠ 0; y ≠ 0 Khi ñó h phương trình. .. h phương trình có nghi m ( x; y ) là ( 0;1) và ( 2; 4 ) Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2002: Gi i h phương trình sau 3 x − y = x − y  trong ñó ( x, y ∈ ℝ )  x+ y = x+ y+2   Hư ng d n gi i 3 x − y = x − y  Ta có:  x + y = x + y + 2  (1) ði u ki n: 2) ( T phương trình (1) tương ñương 3 x − y ≥ 0 ( 3)  x + y ≥ 0 x = y x − y 1− 6 x − y = 0 ⇔  x = y +1 ( ) Thay x = y vào phương trình. ..  1 3  Phương trình (4) c a h vô nghi m vì x + x + 2 =  x 2 −  +  x +  + > 0; ∀x 2  2 2   −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  V y h phương trình có nghi m ( x; y ) là (1;1) ,   2 ; 2  và  2 ; 2         Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2002: Gi i h phương trình sau  23 x = 5 y 2 − 4 y  x trong ñó ( x, y ∈ ℝ )  4 + 2 x +1 =y  x  2 +2 Hư ng d n gi i 4 H phương trình ñã...ði u ki n: : x ≥ −1, y ≥ −1; xy ≥ 0 ð t t = xy ( t ≥ 0 ) T phương trình th nh t c a h phương trình ta suy ra: x + y = 3 + t Bình phương hai v c a phương trình th hai ta ñư c x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16 ( 2 ) Thay xy = t 2 , x + y = 3t vào phương trình (2) ta ñư c  0 ≤ t ≤ 11 0 ≤ t ≤ 11 3 + t + 2 + 2 t 2 + 3 + t +1 = 16 ⇔ 2 t 2 + t + 4 = 11− t ⇔... log 3 x ) − 3log 3 y = 3 ⇔ log3 x = log3 y ⇔ x = y Thay y = x vào phương trình (1) ta có x −1 + 2 − x = 1 ⇔ x −1 + 2 − x + 2 x = 1 x = 2 ( x − 1)( 2 − x ) = 1 ⇔ ( x − 1)( 2 − x ) = 0 ⇔  V y h phương trình ñã cho có nghi m ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ( 2; 2 ) Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i D-2004: Gi i h phương trình sau  x + y =1  trong ñó ( x, y ∈ ℝ )  x x + y y = 1 − 3m   Hư ng... i t = 3 ta có  suy ra nghi m c a h phương trình là ( x; y ) = ( 3;3)  xy = 9 Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i B-2005: Gi i h phương trình sau  x −1 + 2 − y = 1  trong ñó ( x, y ∈ ℝ )  2 3 3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3  Hư ng d n gi i  x −1 + 2 − y = 1 (1) x ≥ 1  + Ta có:  ; ði u ki n:  2 3 0 < y ≤ 2 3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3 ( 2 )  T phương trình (2) c a h suy ra 3 (1 + log 3... + x + y = 0 Trư ng h p 2:  2 vô nghi m vì t (1) và (2) ta có x, y >0 2 3xy = x + 2 V y nghi m c a h phương trình là x = y = 1 Trích t ñ thi tuy n sinh ð i h c kh i A-2003: Gi i h phương trình sau 1  1 x − x = y − y ( x, y ∈ ℝ )  3 2 y = x + 1  Hư ng d n gi i ði u ki n: xy ≠ 0  Ta có phương trình (1) tương ñương ( x − y ) 1 +  x = y 1  =0⇔ xy   xy = −1  x = y = 1  x = y x = y x... ñương 3 x − y ≥ 0 ( 3)  x + y ≥ 0 x = y x − y 1− 6 x − y = 0 ⇔  x = y +1 ( ) Thay x = y vào phương trình (2), gi i ra ta ñư c x = y = 1 3 2 Thay x = y + 1 vào phương trình (2), gi i ra ta ñư c x = ; y = K t h p v i ñi u ki n (3) ta có nghi m c a h phương trình 1 2 3 1 ( x; y ) là (1;1) và  ;    2 2 i: http://www.xuctu.com - Trang 14 mail: quoctuansp@gmail.com E - . 3x⇔ = thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) ; 3;3x y = . Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014: Giải hệ phương trình sau:. Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học( ñề chính thức) Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014 Giải hệ phương trình sau: ( ) 2 3 12 12 12 8. Thay x y = vào phương trình (2), giải ra ta ñược 1 x y = = Thay 1 x y = + vào phương trình (2), giải ra ta ñược 3 1 ; 2 2 x y= = Kết hợp với ñiều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình