Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị PhầnI :Một số vấn đề chung 1)l ý do chọn đề tài : a/ Cơ sở lý luận: Việc giải toán, việc giải quyết vấn đề trong cuộc sống có những vấn đề giống nhau nếu cả hai việc đó đều đuợc tiến hành một cách khoa học. Thật vậy toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn luyện kỹ năng, t duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng t duy lôgíc cho học sinh . Trong chơng trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán cực trị giữ vai trò vô cùng quan trọng, nó rèn cho học sinh có kỹ năng phân tích tổng hợp, t duy sáng tạo, tính độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực t duy và sự linh hoạt trong giải toán. b/ Cơ sở thực tiễn: Là một giáo viên giảng dậy môn toán lớp 9 , trong quá trình giảng dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9 chuẩn bị thi hết bậc học THCS , thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và bồi dỡng học sinh giỏi trong nhiều năm qua tôi nhận thấy: Các bài toán tìm cực trị th- ờng gặp nhiều, đặc biệt trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT và thi học sinh giỏi, nhng nó lại là một phần kến thức khó đối với học sinh, đa số học sinh thờng bỏ qua hoặc chỉ có một số học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ song kết quả không cao . Các em rất lúng túng khi gặp dạng toán này vì cha có phơng pháp giải . trong khi đó vấn đề này ở SGK toán THCS lại đề cập rất ít, không đi sâu. Các tài liệu tham khảo không nhiều mà chỉ chung chung không có phơng pháp cụ thể . Để giúp các em vợt qua trở ngại này trong nhiều năm qua tôi đã cố gắng đúc rút kinh nghiệm và đi sâu nghiên cứu đề tài : Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị. Để phân dạng và tìm ra phơng pháp giải cho từng dạng bài toán tìm cực trị . Nhằm trang bị cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ năng cơ bản khi giải các bài toán tìm cực trị . 1 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị 2)Mục đích nghiên cứu : a/ Đối với giáo viên . 1/Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết, các phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số. và hình học 2/Xây dựng đợc hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối t- ợng học sinh, có phơng pháp giải của từng dạng. 3/Tích cực tìm tòi, sử dụng cách giải ngắn ,chính xác. 4/ Khắc phục sai lầm của học sinh trong quá trình làm toán. b/ Đối với học sinh . 1/Hiểu đợc các dạng toán cực trị đại số và hình học. 2/Nắm đợc phơng pháp giải toán.Vận dụng tốt các phơng pháp giải toán để làm bài tập. 3/Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và t duy sáng tạo trong việc giải toán. 3) Đối t ợng và phạm vi nghiên cứu: a/ Đối tợng: Học sinh lớp 8 , 9 b/ Phạm vi : Các bài toán tìm cực trị 4) Ph ơng pháp nghiên cứu: a/ Nghiên cứu lý luận: - Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài. - Tìm hiểu các dạng toán về cực trị - Đa ra các cách giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn và dể hiểu nhất. - Đa ra các cơ sở lý luận cho mỗi dạng bài trong dạng toán này. b/ Nghiên cứu thực tế: - Khảo sát kỹ năng giải bài toán về cực trị ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp đại diện cho các khối. 2 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị - Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi d- ỡng học sinh giỏi. - Thực hành tổ chức, kết hợp thực hiện theo các cách dạy khác nhau để so sánh đa ra cách giải quyết vấn đề tối u nhất. - Phân tích tổng hợp, rút kinh nghiệm về đổi mới nội dung và phơng pháp giảng dạy dạng toán "Cực trị ". 3 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Phần II: Nội dung A/ cơ sở lý thuyết I/ Nguyên tắc chung về cực trị: a) Cho biểu thức A. Ta chứng minh đợc A ( là hằng số)và phơng trình A= cho ta ít nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kết luận MinA= Ngợc lại ta chứng minh đợc A ( là hằng số) và phơng trình A= cho ta ít nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kết luận MaxA= b) Bài toán cực trị hình học là bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một đại lợng hình học biến thiên m ; (m có thể là độ dài đoạn thẳng, độ lớn của chu vi, diện tích,độ lớn của góc. . .) Yêu cầu tìm đợc các giá trị m 1 ,m 2 cố định thoả mãn : 1 2 m m m đồng thời chỉ rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó m đạt giá trị nhỏ nhất m 1 hoặc giá trị lớn nhất m 2 . Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm một trong hai giá trị m 1 hoặc m 2 II/ Một số kiến thức th ờng dùng . 1/ các tính chất của bất đẳng thức: 1.1) a > b b < a 1.2) Tính chất bắc cầu: a > b ; b > c ca > 1.3) Tính chất đơn điệu của phép cộng : a > b cbca +>+ 1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều: a > b ; c > d dbca +>+ * Chú ý: Không đợc trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều 4 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị 1.5) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngợc chiều: a > b ; c < d dbca > 1.6) Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) a > b ; c > 0 bcac > b) a > b ; c < 0 bcac < 1.7) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm : a > b 0 , c > d 0 , bdac > 1.8) Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức : n + Z ta có : a > b > 0 n a > n b a > b n a > n b với n lẻ; nn baba >> với n chẵn; 1.9) So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng: m , n + Z ; m > n thì: a > 1 nm aa > a = 1 nm aa = 0 < a < 1 nm aa < 1.10) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: a > b , ab > 0 ba 11 < 2) Một số bất đẳng thức th ờng dùng: a) a 2 0 ; -a 2 0. Dấu = xảy ra khi a = 0 b) Bất đẳng thức côsi và hệ quả: Cho n số không âm a 1 ,a 2 , ,a n .Ta có: a 1 +a 2 + +a n n . n n aaa 21 Dấu = khi a 1 =a 2 = =a n . * Hệ quả: -Nếu tổng n số dơng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi các số đó bằng nhau. -Nếu tích n số dơng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi các số đó bằng nhau. c) Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Cho 2n số : a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 ,b 2, , ,b n Ta luôn có : ( ) 22 2 2 1 n aaa +++ . ( ) 22 2 2 1 n bbb +++ ( ) nn baba ++ 11 2 5 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Dấu = xảy ra khi 1 1 b a = 2 2 b a = = n n b a d/Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: 0a Dấu = xảy ra khi a = 0 baba ++ Dấu = xảy ra khi ab 0 baba Dấu = xảy ra khi ab 0 ; ba 3/Bất đẳng thức trong hình học : a) Nếu tam giác ABC có góc A = 90 o thì AC BC ( Dấu = xảy ra khi tam giác ABC suy biến thành đoạn thẳng hay A B ). b) Với tam giác ABC tuỳ ý ta luôn có: AB + BC AC . Dấu = khi tam giác ABC suy biến( B nằm giữa A và C ). c)Quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác . Cho tam giác ABC , nếu góc A góc B BC AC . d)Trong đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất . Trong đờng tròn dây cung nào gần tâm hơn là dây cung lớn hơn và ngợc lại Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngợc lại III/ Một số ph ơng pháp th ờng áp dụng: 1/ Đ a về tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai: P(x) =ax 2 +bx+c Ta có : P(x)=a + a b x 2 2 - a acb 4 4 2 =a + a b x 2 2 - a4 ; ( ) acb ã4 2 = Vì + a b x 2 2 0 với mọi x nên : +Nếu a > 0 thì P(x)đạt GTNN bằng - a4 khi x= a b 2 +nếu a < 0thì P(x)đạt GTLN bằng - a4 khi x= a b 2 2/ Dùng những đánh giá cơ bản: Bình phơng một số (hay một biểu thức) luôn không âm . Vậy A 2 + dấu = khi A=0 -A 2 + dấu = khi A=0 3/ Dùng điều kiện có nghiệm của một ph ơng trình bậc hai. Mô hình tổng quát: 6 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Xét A=P(x) (1) Tìm Min A ; Max A. Hàm P(x) có tập xác định khác ta biến đổi (1) về dạng: ( ) A x 2 + ( ) A x+ ( ) A =0 (2) ở đây A tham gia với t cách nh một tham số. Vì tập xác định của P(x) khác rỗng nên pt(2) cần có nghiệm. Từ đó (A) = 2 (A) - 4 (A) (A) 0 Từ bất đẳng thức trên ta rút ra miền bị chặn đối với A từ đó tìm đợc Max A và Min A 4/ Dùngph ơng pháp hình học: Để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức y= P(x) ta có thể dùng đồ thị y= P(x) trong hệ toạ độ đề các vuông góc xOy từ dáng điệu đờng cong ta có thể xác định đợc giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của y. 5/ Dự a vào các bất đẳng thức để đánh giá: B/ Các dạng toán và ph ơng pháp giải: Dạng 1: Cực trị đại số 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức ax 2 +bx+c (a 0 ) Ví dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức sau : A= -3x 2 - 4x -1 Giải : Ta có A = -3 (x 2 + 9 4 3 4 +x ) + 3 1 A = -3 (x + 3 2 ) 2 + 3 1 3 1 (vì -3 (x + 3 2 ) 2 0 ) Dấu = xảy ra khi x + 3 2 = 0 x= 3 2 . Vậy Max A = 3 1 khi x= 3 2 Ví dụ 2 : Cho B = (x - 2) 2 +(x- 4) 2 . Tìm GTNN của B Giải : Ta có B = x 2 - 4x+ 4 +x 2 - 8x + 16 = 2x 2 -12x + 20 = 2(x 2 - 6x +9) + 2 = 2(x - 3) 2 + 2 2 ( vì 2(x - 3) 2 0 ) 7 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Dấu = xảy ra khi x-3 = 0 x=3 . Vậy Min B = 2 khi x=3. Một số bài tập cùng dạng a)Tìm GTNN của biểu thức sau : C = (x + 1) 2 + (x + 3) 2 D = 2x 2 - 8x - 1 b)Tìm GTLN của biểu thức sau : A = -x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + Chú ý : Học sinh có thể mắc sai lầm khi tính GTNN của B ở Ví dụ 2 B = (x - 2) 2 +(x- 4) 2 nh sau : (x - 2) 2 0 (x- 4) 2 0 B 0 Nhng thực chất x - 2 và x - 4 không đồng thời bằng 0 2) Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối : Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức sau : A = 32 + xx Giải: *Cách 1 : Ta có A = xx + 32 132 =+ xx Vì YXYX ++ Dấu = xảy ra khi (x-2)(3-x) 0 (x-2)(x-3) 0 2 3 x Vậy Min A = 1 khi 2 3 x *Cách 2 : Dùng phơng pháp đánh giá : Nếu x < 2 suy ra A = -x + 2 - x + 3 =- 2x + 5 > 5 - 2.2 = 1. Nếu 2 x 3 suy ra A = x - 2 - x + 3 = 1 Nếu x >3 suy ra A = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 > 2.3 - 5 = 1 Từ đó Min A = 1 khi 2 3 x Có thể dùng phơng pháp đồ thị hàm số : y = 32 + xx ta tìm đợc Min y . Ví dụ 2 : Tìm GTNN của hàm số sau : y = 212 +++ xx Giải : 8 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị y = 2 )2 2 1 ( 2 1 2 2 1 +++++=+++ xxxxx Ta có 2 3 2 1 2 2 1 22 2 1 =+++=+++ xxxxxx Dấu = xảy ra khi -2 x 2 1 . 0 2 1 +x Dấu = xảy ra khi x =- 2 1 , vậy Min y = 2 3 khi x =- 2 1 Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A = 3212 +++++ xxxx Giải : áp dụng bất đẳng thức BABA ++ ta có : 5323232 =++=++ xxxxxx (1) Dấu = xảy ra khi -2 x 3 3212121 =+++++=++ xxxxxx (2) Dấu = xảy ra khi -1 x 2 Từ (1) và (2) suy ra A 8 Dấu = xảy ra khi -1 x 2 Vậy Min A = 8 khi -1 x 2 . Ví dụ 4 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A = (3x - 1) 2 - 4 513 +x Giải : Đặt 13 x = t 0 ta có : A = t 2 - 4t + 5 = (t - 2) 2 + 1 1 Dấu = xảy ra khi t = 2 hay 213 =x hay x = 1 hoặc x = - 3 1 Vậy Min A = 1 khi x = 1 hoặc x = - 3 1 Một số bài tập cùng dạng Tìm GTNN của biểu thức sau: A = 2 )2003( x+ + 2 )2002( x+ B = 21 22 ++ xxxx 3)Các bài toán cực trị dùng ph ơng pháp đánh giá : A 2 + -A 2 + Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau: 9 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị A = x 2 - 2x + y 2 + 4y + 5 Giải : Ta có A = (x - 1) 2 +(y+2) 2 0 Dấu = xảy ra khi x =1 ; y= -2 Vậy Min A = 0 khi x =1 ; y= -2 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức sau: B = 2x 2 +y 2 - 2xy - 2x +3 Giải : Ta có B = (x 2 -2x+1)+(x 2 -2xy+y 2 )+2 = (x-1) 2 +(x-y) 2 +2 2 Dấu = xảy ra khi x = y= 1. Vậy Min B = 2 khi x = y= 1. Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau: C= x(x-3)(x-4)(x-7) Giải : Ta có C = (x 2 -7x)(x 2 -7x+12) = [(x 2 -7x +6)-6] [(x 2 -7x +6) +6] = (x 2 -7x +6) 2 - 36 36 Dấu = xảy ra khi x 2 -7x +6 = 0 x = 1 hoặc x = 6 Vậy Min C = -36 khi x = 1 hoặc x = 6 Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức sau: A = x 2 +xy+y 2 -3x-3y Giải : Ta có 4A = 4 x 2 +4xy+4y 2 -12x-12y = (2x + y -3) 2 +3(y-1) 2 -12 12 suy ra A 3 Dấu = xảy ra khi x = y =1. Vậy Min A = -3 khi x=y=1 Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức sau: B = m 2 - 4mn + 5n 2 + 10 m - 22 n + 28 Giải : Ta có B = [m 2 - 2m (2n-5) + (2n - 5) 2 ] +(n 2 - 2n + 1) + 2= (m - 2n + 5) 2 +(n-1) 2 +2 2 10 [...]... quát hoá bài toán, vận dụng bài toán sang bài toán khác, tìm tính chung và tính riêng cho từng bài, từng dạng bài Nhng bên cạnh đó có thể chọn những bài toán cơ bản và cần thiết để dạy cho các đối tợng học sinh trung bình 26 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị - Khi tham khảo đề tài giáo viên có thể linh hoạt bổ sung những "ý hay" để góp phần phong phú khi giảng dạy đề tài Phần III : Kết luận Trên... sinh giải các bài toán cơ bản về tìm cực trị trong những năm vừa qua Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sau khi áp dụng chuyên đè trên thì : - Các em đã biết phân dạng và nhận biết đợc các dạng bài toán về tìm cực trị một cách đúng đắn và chính xác - Các em không còn ngần ngại khi gặp dạng toán này - Thông qua đánh giá trong khi ôn tập và kết quả các kì thi thì đa số các em đã biết phơng pháp giải. .. trung điểm của BC Ví dụ 2: B M F 17 A E C Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Cho tam giác ABC ( góc A = 90o ) M là một điểm di động trên cạnh huyền BC Hạ ME AC , MF AB Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất Giải : Dễ thấy ME // AB ; MF // AC Bài toán là trờng hợp riêng của bài toán 1 Suy ra diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của BC 1 Vậy MaxSAEMF... = xảy ra khi a = b = c ,hay tam giác ABC đều Suy ra P 2 Vậy min P = 2 Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC và điểm 0 ở trong tam giác kẻ các đờng thẳng song song với các cạnh, cách chúng một khoảng cách bằng khoảng cách từ 0 tới các cạnh đó Mỗi đờng thẳng ấy tạo với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia 24 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị một hình thang Xác định vị trí của 0 để... chất lợng học toán nói riêng Xin chân hành cám ơn! Ngày 20 tháng 5 năm 2009 Ngời viết 27 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Đỗ xuân Huấn *Tài liệu tham khảo : 1/ Sách giáo khoa toán 8, 9 nhà xuất bản giáo dục 2/ Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9 (Vũ Hữu Bình) 3/ Bất đẳng thức (Nguyễn Vũ Thanh ) 4/ Một số vấn đề phát triển hình học 8, 9 ( Vũ Hữu Bình ) 5/ Toán học và tuổi trẻ 6/ Toán chọn lọc... hãy dựng một cát tuyến cắt Ox ở A và Oy ở B, sao cho SAOB đạt giá trị nhỏ nhất Giải : x Qua M kẻ ME // Oy ; MF // Ox, Ta có SMEOF cố định A Theo kết quả bài toán 1 ta có: E M 18 O F B y Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị SAOB 2SMEOF Dấu = khi MA = MB Vậy SAOB đạt giá trị nhỏ nhất khi cát tuyến AB nhận M làm trung điểm Ta có cách dựng AB nh sau: - Qua M kẻ ME // Oy ( E Ox ) Lấy EA = EO ( A... diện tích tứ giác ABCD lớn nhất Giải : 23 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị B A C O D AC BD nên SABCD=1/2.AC.BD = R.BD mà BD là dây cung của ( O; R ) Do đó BD 2R Vậy SABCD 2R2 dấu = xảy ra BD là đờng kính của ( O; R ) Ví dụ3: Cho tam giác ABC có AA1, BB1, CC1 là các đờng phân giác.Gọi khoảng cách từ A1 đến AB là a1, khoảng cách từ B1 đến BC là b1, khoảng cách từ C1 đến CA là c1 a b c 1... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 S = ab + 1 + ac + 1 + bc + 1 b) Cho x là số dơng thoả mãn: 0 < x < 1 Tìm giá trị lớn nhất của : x(1- x) c) Cho x > y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x( x y )( y + 1) + 4 ( x y )( y + 1) 2 6) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Ví dụ 1: Cho các số x, y , z thoả mãn các điều kiện: x2 + y2 = 1 z2 + t 2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất,... bc + bd + cd 10 Giải: 16 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị Theo bất đẳng thức Côsi cho 10 số dơng ta có: a2 + b2 + c2 + d 2 +ab + ac + ad + bc + bd + cd 10 10 (abcd ) 5 = 10 Từ đó nếu đặt M = a2 +b2 +c2 +d2 +ab +ac +ad +bc +bd +cd Thì Min M = 10 khi a = b = c = d = 1 Một số bài tập cùng dạng a) Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = 6x + 4y biết x , y > 0 và x + y = 10 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của... tôi xin đề xuất: - Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lợng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tợng học sinh - Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên khi áp dụng giáo viên hãy áp dụng phơng pháp gợi mở (nếu cần) và có thể yêu cầu học sinh khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau: Tơng tự hoá, tổng quát hoá bài toán, vận . pháp giải cho từng dạng bài toán tìm cực trị . Nhằm trang bị cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ năng cơ bản khi giải các bài toán tìm cực trị . 1 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực. kỹ năng giải bài toán về cực trị ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp đại diện cho các khối. 2 Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị - Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo. Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị PhầnI :Một số vấn đề chung 1)l ý do chọn đề tài : a/ Cơ sở lý luận: Việc giải toán, việc giải quyết vấn đề trong cuộc sống có những vấn đề giống nhau