ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ THU HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚ I CƢ̣ C LOGARIT TẠ I VÔ CÙ NG VÀ ĐỊ NH LÝ XẤ P XỈ CỦ A SICIAK LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN THỊ THU HÀ HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚ I CƢ̣ C LOGARIT TẠ I VÔ CÙ NG VÀ ĐỊ NH LÝ XẤ P XỈ CỦ A SICIAK Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Phạm Hiến Bằng, nhân dịp này cho phép tôi được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy cùng những kinh nghiệm quý báu mà thầy đã tạo điều kiện trong quá trình tôi hoàn thành bản luận văn này. Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1 3. Phương pháp nghiên cứu 1 4. Bố cục của luận văn 2 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Hàm đa điều hòa dưới 3 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8 1.3. Hàm cực trị tương đối. 9 1.4. Đa thức, tính thuần nhất và tập cân 13 Chƣơng 2: HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK 18 2.1. Lớp Lelong 18 2.2. Hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng 25 2.3. Tính liên tục của hàm Green đa phức 28 2.4. Định lý xấp xỉ của Siciak 32 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế vị phức, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman, Magnusson, và đạt được nhiều kết quả sâu sắc về hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Đó là sự tổng quát hoá kết quả của Siciak- Zaharjuta trong ¥ £ và trong trường hợp đại số. Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi, đó là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực hữu hạn, đã được nghiên cứu bởi Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E. Amar , P.J. Thomas, Dan Coman Ở đây chúng tôi chọn đề tài "Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak". 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại. Một số kết quả về đa thức, tính thuần nhất và tập cân. - Trình bày một số kết quả của Benedikt Steinar Magnusson năm 2007 về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. - Sử dụng các kết quả của Benedikt Steinar Magnusson. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phần phụ lục. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối. Cuối chương này trình bày một số kết quả về đa thức, tính thuần nhất và tập cân. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chng 1 CC KIN THC CHUN B 1.1. Hm a iu hũa di 1.1.1. nh ngha. Cho W l mt tp con m ca n Ê v ) :,u ộ Wđ - Ơ Ơ ờ ở l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi -Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W . Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻW v n b ẻ Ê , hm ()u a bll+a l iu ho di hoc trựng -Ơ trờn mi thnh phn ca tp hp { } : abllẻ + ẻ WÊ . Trong trng hp ny, ta vit ()u ẻWPSH . ( õy ()WPSH l lp hm a iu ho di trong W ). 1.1.2. nh lý. Cho ) :,u ộ Wđ - Ơ Ơ ờ ở l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng -Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng ca n Wé Ê . Khi ú ()u ẻWPSH khi v ch khi vi mi a ẻW v n b ẻ Ê sao cho { } : , 1abl l l+ ẻ Ê é WÊ , ta cú ( ) ( ; , )u a l u a bÊ , trong ú 2 0 1 ( ; , ) ( ) 2 it l u a b u a e b dt p p =+ ũ Ngoi ra, tớnh a iu ho di l mt tớnh cht a phng. Mt s tớnh cht quan trng ca nhng hm a iu ho di cú th c suy ra t kt qu tip theo. Tng t nh trng hp ca nhng hm iu ho di, ta gi nú l nh lý xp x chớnh cho nhng hm a iu ho di. 1.1.3. nh lý. Cho W l mt tp con m ca n Ê v ()u ẻWPSH . Nu 0e > sao cho e W ạ ặ , thỡ ()uC ee l Ơ * é ầ WPSH Hn na, u e l* n iu gim khi e gim, v 0 lim ( ) ( )u z u z e e l đ *= vi mi z ẻW . S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Phộp chng minh ging nh chng minh ca nh lý xp x chớnh cho cỏc hm iu ho di. Trc tiờn ta cn b sau: 1.1.4. B . Cho n Wé Ê l mt tp m v 1 () loc uLẻW . Gi thit rng a ẻW , n b ẻ Ê , v { } : , 1abl l l+ ẻ Ê é WÊ . Khi ú ( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b ee cl* = * Chng minh. V trỏi ca ng thc bng 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 n it u a e b dt d p e w c w l w p ổử ữ ỗ ữ ỗ +- ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ ũũ Ê . Do nh lý Fubini, nú bng v phi ca ng thc trờn. Bõy gi chỳng ta cú th chng minh nh lý. Chng minh. Theo Mnh 2.5.2 ()i [3], ()uC ee l Ơ * ẻ W . Ta cú ()u ee l* ẻ WPSH . S dng lp lun ú nh trong B 2.5.3 [3], i vi mi bin riờng, chỳng ta cú th chng minh (bng qui np theo j ) c lng sau : 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , , , , ) ( , , , , , ) n j j n j j n C u I d e l w w w w l w w w w - - + - + * ũ , Trong ú 1 1 1 ( , , , , , ) j j n I w w w w -+ = 1 2 1 2 1 1 1 1 ( , , , , , ) ( ) ( ) j j j j n n j C u z z z z de w e w e w e w c w l w ++ + + + + ũ , 21 0 eeÊ< v 1 1 ( , , ) n z z z e = ẻ W . T ú 12 ( )( ) ( )( ) ( )u z u z u z ee ll* * . Phn cũn li ca chng minh cng nh trong nh lý 2.5.5 [3]. Bõy gi chỳng ta s trỡnh by vi h qu ca nh lý xp x chớnh. 1.1.5. H qu. Cho W v  W l nhng tp m trong n Ê v k Ê , tng ng. Nu ()u ẻWPSH v :f  W đ W l mt ỏnh x chnh hỡnh, thỡ ufo l a iu ho di trong  W . S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chng minh. Nu u v u- l a iu ho di, thỡ 2 ()uCẻW . Bi vy ( ) , 0Lu a b b = vi mi ,ab thớch hp, v nh vy ()u ẻWPH . iu ngc li l tm thng. Vỡ hm a iu ho di l iu ho di nờn ta cú th phỏt biu vi tớnh cht khỏc: 1.1.6. H qu. Nu , ( )uvẻWPSH v uv= hu khp ni trong W , thỡ uv . 1.1.7. H qu. Hm a iu ho di tho món nguyờn lý cc tr trong min b chn, tc l nu W l mt tp con m liờn thụng b chn ca n Ê v ()u ẻWPSH , thỡ hoc u l hng hoc vi mi z ẻW . ( ) sup lim sup ( ) y y u z u y wwẻ ả W đ ẻW < . 1.1.8. nh ngha. Tp hp n E é Ê c gi l a cc nu vi mi im aEẻ u cú mt lõn cn V ca a v mt hm ()uVẻ PSH sao cho { } : ( )E V z V u zầ é ẻ = - Ơ . Cho W l mt tp con m trong . n Ê Ta núi rng mt ỏnh x chnh hỡnh : m f Wđ Ê l khụng suy bin trong W nu trong mi thnh phn liờn thụng ca W cú th tỡm c mt im z sao cho hng ca z fả l m . 1.1.9. Mnh . Cho : m f Wđ Ê l mt ỏnh x chnh hỡnh khụng suy bin trờn mt tp m m Wé Ê v  W l mt lõn cn m ca ()f W trong m Ê . Cho { } () A u a a ẻ  éWPSH sao cho bao trờn ca nú sup A uu a a ẻ = l b chn trờn a phng. Khi ú ** ( ) ( ).u f u f=oo Chng minh. t { } : det 0 z A z f= ẻ W ả = . [...]... 0 W 17 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng 2 HM GREEN A PHC VI CC TI Vễ CNG V NH Lí XP X CA SICIAK Mc ớch chớnh ca chng ny l trỡnh by cỏc kt qu ca Magnusson v hm Green a phc vi cc ti vụ cựng v nh lý xp x ca Siciak 2.1 Lp Lelong 2.1.1 nh ngha Hm u ẻ P SH (W gi l cú cp tng logarit nu tn ti ) hng s C sao cho v(z ) Ê log+ z + C , z ẻ C n , trong ú log+ x = max {0,... trong iii ) vi mi a thc P j , deg Pj Ê j Theo nguyờn lý b chn u [16], tn ti hỡnh cu B = B (a, r ) é Ê n {z ẻ v M > 0 sao Ê n : sup j ẻ Ơ (1 / j ) log Pj (z ) < + Ơ cho } sup j ẻ Ơ Pj 1/ j B Ê M Ta cú ẫ B do ú khụng phi l tp L - cc Vy theo Mnh 2.1.4 ta cú u ẻ L W 2.2 Hm Green a phc vi cc logarit ti vụ cựng Trong phn ny chỳng ta s trỡnh by nh ngha hm Green a phc s 25 dng lp hm Lelong L v nh ngha c gii... nhng vỡ tớnh na liờn tc trờn xy ra trờn ton b Ê n , nờn ta cú: * * V X ,q Ê V X ẩE ,q Cỏc bt ng thc khỏc l hin nhiờn do: X é X ẩ E W nh lý sau õy cho chỳng ta bit hoc V X ,q cú cp tng logarit hoc l nú ng nht + Ơ v nú ch ph thuc vo vic X l tp L - cc hay khụng 2.2.3 nh lý Cho q l mt hm trờn tp X Ê n sao cho q - 1(- Ơ ) khụng l * L - cc Khi ú X khụng l L - cc nu v ch nu V X ,q ẻ L , Hn na * V X ,q = +... (nh lý 1.1.11) $ j 0 : j j 0 thỡ u j (z ) Ê t , z ẻ t 2K Khi ú vi mi z ẻ K , j j 0 ta cú Pj (z ) = t - 2 j Pj (t 2z ) Ê t - j , do ú chui ồ Pj l hi t u trờn K n Bõy gi ta ký hiu H + l h tt c cỏc hm u ẻ P SH ( C n ) khụng õm v thun nht phc bc 1, tc l u (l z ) = l u (z ) vi l ẻ C v z ẻ C n , v khụng ng nht 0 15 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn n 1.4.4 nh lý Nu... Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a iu jđ Ơ zẻ W ho di trong W u 1.1.11 nh lý Cho dóy { j } jẻ Ơ é P SH (W b chn u a phng trong ) Wé Ê n Gi s lim sup u j (z ) Ê M jđ Ơ vi mi z ẻ W v mt hng s M no ú Khi ú vi mi e > 0 v mi tp compc K é W tn ti mt s t nhiờn j 0 sao cho, vi j j 0 , sup u j (z ) Ê M + e zẻ K 1.1.12 nh lý Cho W l mt tp con m ca Ê n v F = { ẻ W: v(z ) = - Ơ z } l mt tp con úng ca W... sao cho u d ] u Chng minh: Ta nh ngha wd v u d nh trong nh lý 1.1.3 Khi ú ta ch phi chng minh u d ẻ L Ta cú supp (wd ) é B (0, d) v ũB (z ,d) wddl = 1 T ú: ũ u(z Ên y )wd(y )d l (y ) Ê sup u(y ) y ẻ B (z , d) Ê sup log+ y + C Ê log+ z + d + C y ẻ B (z , d) 22 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn W 2.1.9 nh lý Cho h : Ê n đ ộ + Ơ ộ l mt hm khụng ng nht 0 v 0, ờ ờ ở... con m compc tng i trong W , thỡ tp m f - 1(G ) l compac tng i trong W Vỡ th, theo nh lý xp x chớnh ch cn ch ra mnh l ỳng i vi cỏc hm a iu hũa di liờn tc Gi s u ẻ C ầ P SH (W Nu a v b l cỏc s thc sao cho a < b , thỡ ) v - 1((a, b)) = f (u - 1((a, Ơ ))) \ f (u - 1( ộ , Ơ ))) b ờ ở  Suy ra v liờn tc trong W Theo nh lý 1.3.1 [3], ton ỏnh f f - 1  ( W \ f ( A ))   : f - 1( W \ f ( A ) đ W \ f ( A... a phc s 25 dng lp hm Lelong L v nh ngha c gii thiu trong ộ ự bi Zahariuta ờ ỳ ở ỷ v cỏc tớnh cht c bn ca nú 2.2.1 nh ngha Vi mi X é Ê n v q : X đ ộ Ơ , + Ơ ự ta nh ngha hm ờ ỳ ở ỷ Green a phc cú trng ca X vi trng q v cc logarit ti vụ cựng bi: { } V X ,q (z ) = sup u(z ), z ẻ Cn , ú u Ê q trờn X uẻ L 25 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Trng hp khi q = 0 , V X ,q... ti v ẻ C (W ầ F Sao cho ) u - e Ê v Ê u trong W Tht vy, ly e ẻ (0,1) ị tn ti h > 0 sao cho \ h u - e < r trong W W v K é W , trong ú h W = { ẻ W: dist (z , ả W > h} z ) h Theo nh lý xp x chớnh i vi cỏc hm a iu ho di v nh lý Dini (Royden 1963), cú th tỡm c s > 0 sao cho u * c d - e < r trờn ả W v u * c d - e < - 1 trờn K t ớ ù r trong ve = ù ỡ ù max { * c d - e, r } trong u ù ợ W\ W h W h Khi ú v... (V) Ê 0 Do vy theo nguyờn lý cc i ta cú Vđ z - a % % v Ê 0 trờn D (0, z - a / r ) Chỳ ý rng v(1) c xỏc nh vỡ z - a / r 1 v v(1) = u(z ) - log+ z - a / r Ê 0 2.2.6 Vớ d T vớ d trờn v bt ng thc Bernstein - Walsh ta thy rng vi mi a thc P : Ê n đ Ê , chun phc v B c nh ngha nh trờn, ta cú: P (z ) Ê P B ớ ù max ỡ z - a / r ù ù ợ ( deg P ) ỹ ù ,1ý ù ù ỵ 2.3 Tớnh liờn tc ca hm Green a phc Trong phn ny trỡnh . đa điều hoà dưới cực đại 8 1.3. Hàm cực trị tương đối. 9 1.4. Đa thức, tính thuần nhất và tập cân 13 Chƣơng 2: HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI CỰC TẠI VÔ CÙNG VÀ ĐỊNH LÝ XẤP XỈ CỦA SICIAK 18 2.1. Lớp. SICIAK 18 2.1. Lớp Lelong 18 2.2. Hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng 25 2.3. Tính liên tục của hàm Green đa phức 28 2.4. Định lý xấp xỉ của Siciak 32 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM. Green đa phức với cực tại vô cùng và định lý xấp xỉ của Siciak. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.