Đang tải... (xem toàn văn)
một số bài tập lượng giác 11 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực...
Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 1/ 9 I. Phương trình sin x m = . • Điều kiện có nghiệm: 1 1 m − ≤ ≤ . Nghĩa là nếu 1 m > hoặc 1 m < − thì phương trình sin x m = vô nghiệm. Chẳng hạn các phương trình sau vô nghiệm : sin 3 x = − ; 5 sin 3 x = ; sin x π = ; • Đặ t sin m α = (v ớ i 1 1 m − ≤ ≤ ). Ta có ph ươ ng trình 2 sin sin sin 2 x k x m x x k α π α π α π = + = ⇔ = ⇔ = − + Tr ườ ng h ợ p góc ; x α ñượ c ñ o b ằ ng ñơ n v ị ñộ thì ta có công th ứ c 0 0 0 360 sin sin 180 360 x k x x k α α α = + = ⇔ = − + . Một số dạng bài tập thường gặp. Dạng 1: Giải các phương trình ñơn giản với sin x và góc α ñặc biệt. Ví d ụ 1: Gi ả i các ph ươ ng trình a) 1 sin 2 x = b) 3 sin 2 x = − Gi ả i: a) 2 1 6 sin sin sin 2 6 2 6 x k x x x k π π π π π π = + = ⇔ = ⇔ = − + 2 6 5 2 6 x k x k π π π π = + ⇔ = + ( ) k ∈ ℤ . b) 2 3 3 sin sin sin 2 3 2 3 x k x x x k π π π π π π = − + = − ⇔ = − ⇔ = − − + 2 3 4 2 3 x k x k π π π π = − + ⇔ = + Chú ý : sin 0 x x k π = ⇔ = ; sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + ; sin 1 2 2 x x k π π = − ⇔ = − + . Bài tập 1 : Gi ả i các ph ươ ng trình sau a) 2 sin 2 x = − b) 2 sin 1 x = c) 3 sin 2 x = d) sin 0 x = . Dạng 2: Giải các phương trình ñơn giản với ( ) sin f x và góc α ñặc biệt. Cách gi ả i: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin sin 2 f x k f x m f x f x k α π α π α π = + = ⇔ = ⇔ = − + Ví d ụ 2: Gi ả i các ph ươ ng trình a) 1 sin 2 2 x = − b) 3 sin 3 2 x π − = Gi ả i: a) 1 sin 2 sin 2 sin 2 6 x x π = − ⇔ = − 2 2 6 2 2 6 x k x k π π π π π = − + ⇔ = − − + 12 7 12 x k x k π π π π = − + ⇔ = + Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 2/ 9 b) 3 sin sin sin 3 2 3 3 x x π π π − = ⇔ − = 2 3 3 2 3 3 x k x k π π π π π π π − = + ⇔ − = − + 2 2 3 2 x k x k π π π π = + ⇔ = + Đối với các phương trình dạng này, ñầu tiên các em tính ( ) f x theo công thức sau ñó mới “rút” x ra và kết luận. Bài tập 2: Giải các phương trình sau a) sin3 1 x = b) 2 sin 2 4 2 x π − = − c) 3 sin 3 6 2 x π + = − Dạng 3: Giải các phương trình ñơn giản với ( ) sin f x và góc α không ñặc biệt. N ế u 1 1 m − ≤ ≤ thì dùng máy tính c ầ m tay b ấ m t ổ h ợ p phím “Shift”, “sin”, “m” ñể tính góc α sao cho sin m α = . C ầ n l ư u ý: Máy tính ph ả i cài ñặ t ở ‘ radian ” nhé ! Ví d ụ 3: V ớ i ph ươ ng trình 3 sin 5 x = − . Ta b ấ m Shift sin ( − 3: 5) = ta ñượ c k ế t qu ả nh ư bên. Ngh ĩ a là ( ) 3 sin 0,6435 5 − ≈ − (L ấ y g ầ n ñ úng) V ậ y ta có ( ) 3 sin sin sin 0,6435 5 x x= − ⇔ ≈ − 0,6435 2 0,6435 2 x k x k π π π ≈ − + ⇔ ≈ + + . • •• • Cách 2: Bi ể u th ị góc α theo π . L ấ y k ế t qu ả trên màn hình chia cho π ta ñượ c k ế t qu ả nh ư sau Ngh ĩ a là 0,643501108 0204832764 π − = − Hay 0,6435 205 41 0,205 1000 200 π − ≈ − = − = − . Suy ra 41 0,6435 200 π − ≈ − Khi ñ ó t ừ ph ươ ng trình 3 sin 5 x = − ta có 41 sin sin 200 x π ≈ − 41 2 200 41 2 200 x k x k π π π π π ≈ − + ⇔ ≈ + + • •• • Cách 3: N ế u 1 1 m − ≤ ≤ ta có arcsin 2 sin arcsin 2 x m k x m x m k π π π = + = ⇔ = − + Ở ñ ây, ký hi ệ u arcsin m α = là m ộ t góc mà sin m α = . Theo công th ứ c trên ta có 3 arcsin 2 5 3 sin 5 3 arcsin 2 5 x k x x k π π π = − + = − ⇔ = − − + Công th ứ c nghi ệ m này ñượ c l ấ y chính xác b ở i d ấ u “=”, khác v ớ i hai cách trên ch ỉ l ấ y giá tr ị g ầ n ñ úng ! Các em l ư u ý nhé ! • Tuy nhiên r ấ t c ầ n l ư u ý v ớ i nh ữ ng ph ươ ng trình vô nghi ệ m. Ch ẳ ng h ạ n v ớ i ph ươ ng trình sin 2 x = − , nhi ề u h ọ c sinh vi ế t ngay Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 3/ 9 ( ) ( ) arcsin 2 2 sin 2 arcsin 2 2 x k x x k π π π = − + = − ⇔ = − − + . Kết quả trên hoàn toàn sai vì 2 1 m = − < − nên phương trình sin 2 x = − vô nghiệm. Nếu các em giải theo cách 1 thì khi bấm máy tính Shift sin ( − √ √√ √ 2) thì máy cho kết quả là Math ERROR . Chứng tỏ không tồn tại góc α ñể sin 2 α = − nên phương trình ñang xét vô nghiệm. Bài tập 3: Giải các phương trình sau a) 5 1 sin 4 x − = b) 6 2 sin 2 4 4 x π − − = c) sin3 5 x π = d) ( ) sin 2 0,12 x + = Dạng 4: Giải các phương trình ñơn giản dạng ( ) ( ) sin sin f x g x = Công th ứ c nghi ệ m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin 2 f x g x k f x g x f x g x k π π π = + = ⇔ = − + Ở ñ ây ( ) ( ) , f x g x là các bi ể u th ứ c ch ứ a ẩ n “x” Ví d ụ 4: Gi ả i các ph ươ ng trình a) sin 2 sin 3 x x π = + b) sin sin 2 0 4 4 x x π π + + − = c) sin cos3 0 x x + = Gi ả i : a) 2 2 3 sin 2 sin 3 2 2 3 x x k x x x x k π π π π π π = + + = + ⇔ = − + + 2 3 2 3 2 3 x k x k π π π π = + ⇔ = + 2 3 2 2 9 3 x k x k π π π π = + ⇔ = + b) Để ñư a ñượ c ph ươ ng trình này v ề d ạ ng ñ ã nêu ta c ầ n l ư u ý m ộ t s ố công th ứ c khử dấu “ − −− − ” tr ướ c ch ữ “sin” , ñ ó là công th ứ c ( ) ( ) ( ) sin sin g x g x π − = + {công th ứ c h ơ n kém π } ho ặ c ( ) sin sin u u − = − {công th ứ c góc ñố i nhau} Ta có sin sin 2 0 sin 2 sin 4 4 4 4 x x x x π π π π + + − = ⇔ − = − + sin 2 sin 4 4 x x π π π ⇔ − = + + 5 sin 2 sin 4 4 x x π π ⇔ − = + 5 2 2 4 4 5 2 2 4 4 x x k x x k π π π π π π π − = + + ⇔ − = − + + 6 2 4 3 2 x k x k π π π = + ⇔ = 3 2 2 2 3 x k x k π π π = + ⇔ = . • Cách khác: Áp dụng công thức góc ñối nhau, ta có sin sin 2 0 sin 2 sin 4 4 4 4 x x x x π π π π + + − = ⇔ − = − + Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 4/ 9 sin 2 sin 4 4 x x π π ⇔ − = − − 2 2 4 4 2 2 4 4 x x k x x k π π π π π π π − = − − + ⇔ − = − − − + 3 2 3 2 2 x k x k π π π = ⇔ = + 2 3 3 2 2 x k x k π π π = ⇔ = + c) Một số công thức chuyển cos thành sin là cos sin 2 u u π = − ; cos sin 2 u u π − = − {công thức góc phụ nhau}. Áp dụng ta có sin cos3 0 x x + = sin cos3 sin sin 3 2 x x x x π ⇔ = − ⇔ = − 3 2 2 3 2 2 x x k x x k π π π π π − = + ⇔ − = − + 2 2 2 3 4 2 2 x k x k π π π π = + ⇔ = + 4 3 8 2 x k x k π π π π = + ⇔ = + . Bài tập 4 : Gi ả i các ph ươ ng trình sau a) sin 3 sin 5 3 6 x x π π − = + b) sin sin 3 0 4 6 x x π π + + − = c) 3 sin cos 0 4 4 x x π π + − − = d) 3 5 sin 2 cos 0 4 12 x π π + + = Dạng 5: Giải các phương trình bậc cao ñưa về dạng ñơn giản Chú ý s ử d ụ ng công th ứ c h ạ b ậ c ( ) 2 1 sin 1 cos2 2 u u = − ; ( ) 2 1 cos 1 cos2 2 u u = + Sau ñ ó v ậ n d ụ ng bi ế n ñổ i sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos cos 2 f x g x k f x g x f xx g x k π π = + = ⇔ = − + Ví d ụ 5: Gi ả i các ph ươ ng trình sau a) 2 1 sin 4 x = b) 2 3 sin 6 4 x π + = c) ( ) 2 2 sin 2 sin 0 3 x x π − + = Gi ả i: a) Ta có 2 1 sin 4 x = ( ) 1 1 1 cos2 2 4 x ⇔ − = (nhân 2 vào hai v ế ñể gi ả n ướ c) 1 1 1 1 cos2 cos2 1 2 2 2 x x ⇔ − = ⇔ = − = (rút cos2 x ) cos2 cos 6 x π ⇔ = 2 2 6 x k π π ⇔ = ± + 12 x k π π ⇔ = ± + Chú ý: Khi h ạ b ậ c, thì góc s ẽ t ă ng g ấ p ñ ôi. Nh ớ nhé ! b) 2 3 sin 6 4 x π + = 1 3 1 cos 2 2 6 4 x π ⇔ − + = Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 5/ 9 3 3 1 1 cos 2 cos 2 1 3 2 3 2 2 x x π π ⇔ − + = ⇔ + = − = − 5 cos 2 cos 3 6 x π π ⇔ + = 5 2 2 3 6 5 2 2 3 6 x k x k π π π π π π + = + ⇔ + = − + 4 12 x k x k π π π π = + ⇔ 7 = − + c) ( ) 2 2 sin 2 sin 0 3 x x π − + = ( ) 1 1 2 1 cos4 1 cos 2 0 2 2 3 x x π ⇔ − − − + = 2 1 cos4 1 cos 2 0 3 x x π ⇔ − − + + = 2 cos4 cos 2 3 x x π ⇔ = + 2 4 2 2 3 2 4 2 2 3 x x k x x k π π π π = + + ⇔ = − + + 3 9 3 x k x k π π π π = + ⇔ = − + Bài tập 5: Giải các phương trình sau a) 2 sin 1 4 x π + = b) 2 1 sin 3 3 2 x π − = c) ( ) 2 cos2 2sin 1 0 x x + + = d) 3 2 1 sin 3 8 x π + = − e) 4 9 sin 16 x = f) 2 2 sin 2 cos 1 0 4 x x π + − − = Dạng 6: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện, tìm nghiệm trên một ñoạn. Ví d ụ 6: Tìm các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 1 sin 3 2 x π − = − trên ñ o ạ n 17 ; 3 4 π π − . Gi ả i: • Đầ u tiên ta gi ả i ph ươ ng trình ñ ã cho nh ư các d ạ ng trên (d ạ ng 2) Ta có 1 sin 3 2 x π − = − sin sin 3 6 x π π ⇔ − = − 2 3 6 2 3 6 x k x k π π π π π π π − = − + ⇔ − = + + 2 6 3 2 2 x k x k π π π π = + ⇔ = + . • Tìm nghi ệ m trên ñ o ạ n 17 ; 3 4 π π − * V ớ i 2 6 x k π π = + ta có 17 ; 3 4 x π π ∈ − 17 2 3 6 4 k π π π π ⇔ − ≤ + ≤ ( k ∈ ℤ ) 17 2 3 6 4 6 k π π π π π ⇔ − − ≤ ≤ − 49 2 2 12 k π π π ⇔ − ≤ ≤ 1 49 4 24 k⇔ − ≤ ≤ . Vì k ∈ ℤ nên ta có 0; 1; 2 k k k = = = . Thay vào công thức 2 6 x k π π = + ta ñược ba nghiệm 13 25 ; ; 6 6 6 x x x π π π = = = * V ới 3 2 2 x k π π = + ta có 17 ; 3 4 x π π ∈ − 3 17 2 3 2 4 k π π π π ⇔ − ≤ + ≤ ( k ∈ ℤ ) Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 6/ 9 3 17 3 2 3 2 4 2 k π π π π π ⇔ − − ≤ ≤ − 11 11 2 6 4 k π π π ⇔ − ≤ ≤ 11 11 6 4 k ⇔ − ≤ ≤ . Vì k ∈ ℤ nên ta có 1; 0; 1; 2 k k k k = − = = = . Thay vào công thức 3 2 2 x k π π = + ta ñược bốn nghiệm là 3 7 11 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x π π π π = − = = = • Kết luận: Trên ñoạn 17 ; 3 4 π π − , ph ươ ng trình ñ ã cho có t ậ p nghi ệ m 3 13 7 25 11 ; ; ; ; ; ; 2 6 2 6 2 6 2 T π π π π π π π = − Bài tập 6 : Tìm các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình sau trên ñ o ạ n ñ ã ch ỉ ra a) 1 sin 2 6 2 x π + = trên ñ o ạ n 11 ; 2 3 π π − b) sin 2 sin 0 3 x x π + − = trên kho ả ng 3 ; 2 π π − Dạng 7: Giải các phương trình ñơn giản có ñiều kiện ràng buộc Ví dụ 7: Giải phương trình a) sin 4 0 cos 4 x x π = − b) sin 0 cos 1 x x = − Giải: a) Điều kiện xác ñịnh: cos 0 4 4 2 x x k π π π π − ≠ ⇔ − ≠ + 3 4 x k π π ⇔ ≠ + Khi ñó ta có sin 4 0 cos 4 x x π = − sin 4 0 x ⇒ = 4 4 x l x l π π ⇒ = ⇒ = , ( ) l ∈ ℤ . Bây giờ ta dùng ñường tròn lượng giác, biểu diễn các ñiểm ngọn của nghiệm và ñiều kiện. Từ ñó lấy nghiệm của phương trình. • Trên ñườ ng tròn l ượ ng giác, ñ i ể m ng ọ n c ủ a các cung 4 x k π π 3 = + g ồ m 2 ñ i ể m D, H ; ñ i ể m ng ọ n c ủ a các cung 4 x l π = g ồ m 8 ñ i ể m A, B, C, D, E, F, G, H . • Nh ư v ậ y các cung có ñ i ể m ng ọ n D, H là không th ỏ a ñ i ề u ki ệ n do 3 4 x k π π ≠ + . Suy ra các cung có ñ i ể m ng ọ n thoa ñ i ề u ki ệ n g ồ m A, B, C và E, F, G . • Các cung có ñ i ể m ng ọ n A, C, E, G ñượ c bi ể u di ễ n b ở i công th ứ c 2 x k π = ( vì các ñiểm ngọn này hơn kém nhau một lượng là 2 π ) Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 7/ 9 • Các cung có ñiểm ngọn B, F ñược biểu diễn bởi công thức 4 x k π π = + (vì các ñ i ể m ng ọ n này h ơ n kém nhau m ộ t l ượ ng là π ) • Đố i chi ế u v ớ i ñ i ề u ki ệ n ta có các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ñ ã cho là 2 x m π = và 4 x m π π = + , ( ) m∈ ℤ ♣ Chú ý: Có th ể dùng máy tính c ầ m tay ñể ñố i chi ế u ñ i ề u ki ệ n qua ñ ó lo ạ i nghi ệ m s ẽ d ễ dàng h ơ n. Các em th ấ y th ế nào ? b) Đ i ề u ki ệ n xác ñị nh: cos 1 0 cos 1 2 x x x k π − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ . Khi ñ ó ta có sin 0 cos 1 x x = − sin 0 x x l π ⇒ = ⇒ = • Trên ñườ ng tròn l ượ ng giác, ñ i ể m ng ọ n c ủ a các cung 2 x k π = g ồ m 1 ñ i ể m A ; ñ i ể m ng ọ n c ủ a các cung x l π = g ồ m 2 ñ i ể m A, B. • Nh ư v ậ y các cung có ñ i ể m ng ọ n B là không th ỏ a ñ i ề u ki ệ n do 2 x k π ≠ . Suy ra các cung có ñ i ể m ng ọ n thoa ñ i ề u ki ệ n ch ỉ còn B. Công th ứ c bi ể u di ễ n nghi ệ m c ủ a ñ i ể m ng ọ n B là 2 x m π π = + , ( ) m∈ ℤ • Đố i chi ế u v ớ i ñ i ề u ki ệ n ta có các nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ñ ã cho là 2 x m π π = + , ( ) m∈ ℤ Cách khác : sin 0 cos 1 x x = − 2 sin 0 sin 0 cos 1 0 cos 1 x x x x = = ⇔ ⇔ − ≠ ≠ 2 cos 1 1 cos 0 cos 1 cos 1 cos 1 x x x x x = ± − = ⇔ ⇔ ⇔ = − ≠ ≠ 2 x m π π ⇔ = + , ( ) m∈ ℤ . Bài tập 7 : Gi ả i các ph ươ ng trình sau a) sin 0 1 cos x x = + b) sin 2 3 0 cos 3 x x π π − = − Đ áp s ố : a) 2 x m π = b) 2 5 2 ; 2 ; 2 3 3 6 x m x m x m π π π π π π = + = − + = − + Dạng 8: Giải các phương trình ñơn giản có tham số ♣ Đ i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình ( ) sin f x m = có nghi ệ m là 1 1 m − ≤ ≤ . Ví d ụ 8: Tìm giá tr ị c ủ a m ñể các ph ươ ng trình sau có nghi ệ m, tìm các nghi ệ m ñ ó. a) ( ) 1 sin 1 1 x m + = + b) 2 sin 2 x m = + Gi ả i: a) Đ i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình ñ ã cho có nghi ệ m là 1 1 1 1 m − ≤ ≤ + Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 8/ 9 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 m m m m ≤ − ≤ + + ⇔ ⇔ ≥ − + ≥ + + 0 1 2 0 1 m m m m ≤ + ⇔ + ≥ + ( ] ( ] ( ) 1;0 ; 2 1; m m ∈ − ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞ ( ] 1;0 m⇔ ∈ − (Giải các bất phương trình này (ở bước thứ ba) bằng cách lập bảng xét dấu tử và mẫu rồi chọn miền nghiệm theo chiều của bất phương trình) ♣ Với mọi ( ] 1;0 m∈ − ta có ( ) 1 sin 1 1 x m + = + 1 1 arcsin 2 1 1 1 arcsin 2 1 x k m x k m π π π + = + + ⇔ + = − + + 1 1 arcsin 2 1 1 1 arcsin 2 1 x k m x k m π π π = − + + + ⇔ = − + − + + b) Đ i ề u ki ệ n ñể ph ươ ng trình có nghi ệ m là 2 1 2 1 m − ≤ + ≤ 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 m m m m m + ≥ − ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅ + ≤ ≤ − ( Vì 2 0 m ≥ nên t ừ ch ỗ 2 1 0 m ≤ − < suy ra m ∈∅ ) V ậ y ph ươ ng trình ñ ã cho vô nghi ệ m v ớ i m ọ i m . ♥ Có th ể l ậ p lu ậ n g ọ n h ơ n nh ư sau: V ớ i m ọ i m ta có 2 2 0 2 2 1 m m ≥ ⇔ + ≥ > suy ra ph ươ ng trình ñ ã cho vô nghi ệ m. Bài tập 8 : Tìm giá tr ị c ủ a m ñể các ph ươ ng trình sau có nghi ệ m, tìm các nghi ệ m ñ ó a) sin 1 m x m = − b) 2 1 sin 1 x m = + c) 2 sin 1 3 x m π + = + d) 2 2 sin 2 2 x m − = + e) ( ) 2 1 sin 1 m x m − = + f) ( ) 2 sin 2 m x + = Đ áp s ố : a) 1 2 m ≤ b) m ∈ ℝ c) 0 m = d) 0 m = e) 2 m ≥ ho ặ c 0 m ≤ f) 0 m ≥ ho ặ c 4 m ≤ − Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 9/ 9 Yêu cầu: - Để nắm vững ñược kiến thức cơ bản về các dạng phương trình này các em cần nắm chắc các dạng từ dạng 1 ñến dạng 4 và các dạng tiếp theo. Mỗi lần làm xong một dạng cần chú ý ñặc ñiểm của dạng ñó, ghi nhớ những ñiểm riêng và ñiểm chung giữa các dạng ñể tự giúp mình ghi nhớ kiến thức cơ bản cần vận dụng. - Có gì không hiều có thể liên lạc và trao ñổi cùng thầy trên weblog http://dcl2012.blogsport.com , hoặc là http://caolong.wordpress.com - Có thể liên lạc qua Yahoo Mail longdocao@yahoo.com.vn (nick: longdocao) - Chúc các em có những niềm vui khi tiếp cận với chuyên ñề này. - Trong quá trình biên soạn có thể có sai sót, mong các em phát hiện, góp ý ñể thầy chỉnh sửa lại. Cảm ơn ! . rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220} 6/ 9 3 17 3 2 3 2 4 2 k π π π π π ⇔ − − ≤ ≤ − 11 11 2 6 4 k π π π ⇔ − ≤ ≤ 11 11 6 4 k ⇔ −. công th ứ c 2 x k π = ( vì các ñiểm ngọn này hơn kém nhau một lượng là 2 π ) Giúp học sinh tự rèn luyện Toán Lượng giác lớp 11 Biên soạn: Đỗ Cao Long , trường THPT Đặng Trần Côn {DĐ: 01236012220}. thì ta có công th ứ c 0 0 0 360 sin sin 180 360 x k x x k α α α = + = ⇔ = − + . Một số dạng bài tập thường gặp. Dạng 1: Giải các phương trình ñơn giản với sin x và góc α ñặc biệt.