Tiết 27 NHỊ THỨC NEWTON I.MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được: - Viết được khai triển nhị thức Newton , từ đó suy ra số hạng tổng quát của nó. - Nêu lên được qui luật tam giác Paxcan . 2. Về kỹ năng: Giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập liên quan : - Khai triển nhị thức Newton. - Tìm hệ số trong khai triển một số đa thức nào đó. II. CHUẨN BỊ: - Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập. - Học sinh học kỹ kiến thức cũ:Hoai vị , Tổ hợp , Chỉnh hợp , Quy tắc cộng, nhân. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: 1. Kiểm tra bài cũ: - Em hãy nêu nêu các công thức tính k k n n n , , . C P A - Tính chất của k n C . - Khai triển : 2 3 4 n , , , ? (a b) (a b) (a b) (a b)      => Bài mới : n ? (a b)   2. Bài mới: * Hoạt động 1: I.Công thức nhị thức Newton Vd: Khai triển : 2 2 2 . (a b) a 2ab b     3 3 2 2 3 . (a b) a 3a b 3ab b      4 3 4 3 2 2 3 4 (a b) (a b) (a b) a 4a b 6a b 4ab b          . = 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 C a C a b C a b C ab C b     . Trong đó 0 4 4 4 1 C C   1 4 4 C  2 4 6 C  Tổng quát : n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n n n n n n (a b) C a C a b C a b C a b C b            . Viết gọn : n n k n k k n k 0 . (a b) C a b      (1) Hoạt động của thầy và trò: Nội dung ghi bảng Giáo viên lưu ý một số vấn đề về nhị thức Newton *Chú ý : 1/ Số hạng tử trong khai triển (1) là (n+1). 2/ Trong vế phải, số mũ của a giảm từ n đến 0,số mũ của b tăng từ 0 đến n và tổng số mũ của a và b là n. 3/Số hạng tổng quát thử (k+1) trong (1) là : k n k k n . C a b  => Số hạng thử k là : k 1 n k 1 k 1 n . C a b     Giáo viên hướng dẫn học sinh làm ví dụ 1, 2: *Chú ý: n 2 n k k n k n k 0 (a b) [a ( b)] ( b) C a          n k k n k k n k 0 ( 1) C a b      . Ví dụ 1: Tìm hệ số của 13 12 , y x trong khai triển : 25 (x y)  . Giải: 25 25 k k 25 k 25 k 0 . (x y) y C x      Số hạng tổng quát: k k 25 k 25 . y C x  *Số hạng chứa 13 12 , y x là số hạng sao cho: k 13 25 k 12 y 13. y y x x     =>Hệ số của 13 12 , y x là 13 25 2500300. C  *Phiếu học tập 1: Ví dụ 2:Cho khai triển : 5 (3x 4)  . 1/Khai triển 5 5 5 k 5 k k k 5 k 0 . (3x 4) [3x+(-4)] ( 1) (3x) (4) C        2/Tìm hệ số của 3 x : Số hạng tổng quát : k 5 k k 5 5 k k k k 5 k 5 5 . ( 1) (3x) (4) ( 1) (3x) (4) C C x       => Số hạng của 3 x là số hạng sao cho : 5 k 3 k 2 x x     . => Hệ số của 3 x là : 2 2 3 2 5 . . . 4320. ( 1) C 3 4   3/Tìm hệ số của 2 x : 5 k 2 k 3. x x     => Hệ số của 2 x là : 3 2 2 3 5 . . . 5760 ( 1) C 3 4    . Ví dụ 3: Gọi T là số các tập hợp con (kể cả các tập hợp rỗng) cảu 1 tập hợp có n phân tử . Chứng minh n T 2  Giải: Giáo viên hướng dẫn học sinh giải Học sinh - Số tập hợp con có 0 phân tử là bao nhiêu? - Số tập hợp con có 1 phân tử là bao nhiêu? - Số tập hợp con có 2 phân tử là bao nhiêu? - Số tập hợp con có k phân tử là bao nhiêu? - Số tập con có 0 phân tử là :1= 0 n C - Số tập con có 1 phân tử là :1= 1 n C - Số tập con có 2 phân tử là :1= 2 n C - Số tập con có k phân tử là :1= k n C - Số tập con có n phân tử là :1= n n C - Số tập hợp con có n phân tử là bao nhiêu? *Chú ý : n n k k n k 0 .(1) (1 x) C x     n n k k k n k 0 . (1 x) ( 1) C x      Vậy tống số các tập con là : T = n k n k 0 C   Trong (1), thay x = 1: n 2 = n k n k 0 C   = T . Vậy T = n 2 Ví dụ 4 : Cho n 2 n 0 1 2 n (1 2x) a a a a x x x       .(1) Biết 0 1 2 n 729 a a a a      .Tìm n và số hang thứ 5. Giải : -Tìm n : Trong (1) cho x = 1, ta có: n 0 1 2 n 729 (1 2.1) a a a a        . <=> n 729 n 6 3    . - Tìm số hạng thứ 5: 6 6 6 k n n k k 6 6 k 0 k 0 . . . . . . (1 2x) (2x) C C 2 x        => Số hạng thứ 5 là 4 4 4 4 4 4 6 . . 15.2 .x 240x . C 2 x   *Phiếu học tập 2 : Hoạt động 2 : Tam giác Paxcan : -Nội dung của tam giác Paxcan. -Áp dụng tam giác Paxcan để giải bài toán sau: Viết dãy các số hạng ở hàng thứ 1000 trong tam giác Paxcan. Dãy náy có bao nhiêu số ? Hoạt động của thầy và trò Nội dung kiến thức -Giáo viên đặt vấn đề: Trên đây ta muốn khai triển n (a b)  thành đa thức, ta cần biết n+1 số 0 n C , 1 n C , 2 n C , , n n C có mặt trong nhị thức Newton.Các số này có thể được tính nhờ công thức (4) ở bài 2.Ngoài ra còn có thể tìm được chúng bằng cách sử dụng bảng số sau gọi là tam giác Paxcan. - Giáo viên lưu ý học sinh quy luật của tam giác Paxcan.Học sinh tiếp thu , ghi nhớ . 2.Tam giác Paxcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Tam giác Paxcan đư ợc lập theo quy luật sau: - Đỉnh được ghi số 1 .Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi số 2 số 1. - Nếu biết hàng thứ n (n >= 1) thì hàng thứ n+1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này . Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Giải: - Dãy các số hạng thứ 1000 trong tam giác Paxcan là: 0 1000 C , 1 1000 C , 2 1000 C , , 1000 1000 C . -Dãy này có 1001 số. IV. CỦNG CỐ VÀ LUYỆN TẬP: - Yêu cầu học sinh nắm được khai triển nhị thức Newton =>Số hạng tổng quát của nó. - Nêu lên được quy luật của tam giác Paxcan. - Làm bài tập 17 đến bài tập 24 (SGK) để củng cố. - Giáo viên hướng dẫn phương pháp tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton. Ví dụ: 17/67 Tìm hệ số của 101 99 x .y trong khai triển nhị thức Newton: 200 (2x 3y)  *Ta có 200 200 200 k k k k 200 k 0 ( 1) (2x 3y) (2x) (3y) C       . => Số hạng tổng quát : k 200 k k k k k k k 200 k 200 k 200 200 . . . . . . .( . ) ( 1) (2x) (3y) ( 1) y C C 32 x       . *Số hạng chứa 101 99 x .y là số hạng sao cho: k 99 200 k 101 . . k 99 y y x x     . => Hệ số của 101 99 x .y là : 99 99 99 101 99 101 99 200 200 . .2 .3 .2 .3 ( 1) C C    . 24/67 Biết hệ số của n 2 x  trong khai triển n 1 (x ) 4  bằng 31.Tìm n: n n k n k k k n k 0 1 . .x .( ) .( 1) 4 1 (x ) C 4        Số hạng tổng quát k k k n k k k k n k n n 1 1 ( 1) . .x .( ) ( 1) . .( ) .x . 4 4 C C        => Hệ số của n k x  là: k k k n 1 ( 1) . .( ) . 4 C  (1) Hệ số của n 2 x  là: 31.(2) Từ (1),(2) => k = 2. Ta có 2 2 2 n 1 ( 1) . .( ) 31 4 C   2 n 16.31 496 C   . n(n 1) 496 2   <=> 2 n n 992 0    <=> n = 32 n = -31 (loại) *Bài tập bổ sung: 1.Tìm hệ số của 5 x trong khai triển : n (1 x)  ,n thuộc N*. Biết tổng các hệ số trên là 1024. Giải : n k n k n k 0 (1 x) . .x C     Thay x = 1,ta có : n 1 2 n k n 10 n n n n k 0 2 1024 2 n 10 C C C C            Ta có : 10 k 10 k 10 k 0 (1 x) . .x C     => hệ số chứa 5 x là : 5 10 252 C  . Tiết 27 NHỊ THỨC NEWTON I.MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được: - Viết được khai triển nhị thức Newton , từ đó suy ra số hạng tổng. viên hướng dẫn phương pháp tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton. Ví dụ: 17/67 Tìm hệ số của 101 99 x .y trong khai triển nhị thức Newton: 200 (2x 3y)  *Ta có 200 200 200 k k k k 200 k. trò Nội dung kiến thức -Giáo viên đặt vấn đề: Trên đây ta muốn khai triển n (a b)  thành đa thức, ta cần biết n+1 số 0 n C , 1 n C , 2 n C , , n n C có mặt trong nhị thức Newton. Các số này