THANH TÙNG 0947141139 1 CHUYÊN ðỀ : SỐ PHỨC Bài tập mẫu Bài 1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức a bi + ( , ) a b ∈  1. 2(2 3 ) (1 2 )(3 ) 4 2 1 i A i i i i + = + − − + − + 2. 1 3 1 2 1 2 1 i i i B i i i + − + = + − − − + 3. 5 6 3 5 (2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) i i C i i + + = − − − 4. 2012 2013 2012 2013 (1 ) (1 ) D i i i i= − − − + + Giải: 1. 2(2 3 ) 2(2 3 )(1 ) (1 2 )(3 ) 4 2 (3 2) ( 1 6) 4 2 1 (1 )(1 ) i i i A i i i i i i i i + + − = + − − + − = + + − + − + − + + − 2 2 2(5 ) 5 5 4 2 5 5 (5 ) 4 2 1 1 i i i i i i + = + − + − = + − + + − = + 4 2 i + 2. 2 1 3 1 2 (1 ) (3 )(2 ) (1 2 )(1 ) 1 2 1 (1 )(1 ) (2 )(2 ) (1 )(1 ) i i i i i i i i B i i i i i i i i i + − + + − + + − = + − = + − − − + − + − + + − 2 7 3 7 3 1 1 1 2 5 2 5 2 5 2 i i i i + +     = + − = − + + − =         1 7 10 10 i − + 3. 3 5 5 6 2 3 5 (2 ) (1 ) 2 1 .(2 ) .(1 ) (1 2 ) (1 ) 1 2 1 i i i i C i i i i i i + + + +     = − = + − +     − − − −     5 3 2 (2 )(1 2 ) (1 ) .(3 4 ) .(1 ) 5 2 i i i i i   + + +   = + − +         3 5 3 5 5 2 .(3 4 ) .(1 ) .(3 4 ) (1 ) (3 4 ) (1 ) 5 2 i i i i i i i i i i i i     = + − + = + − + = − + − + =         5 4 i − 4. 1006 1006 2012 2013 2012 2013 2 1006 2 1006 2 2 (1 ) (1 ) ( ) ( ) . (1 ) (1 ) (1 ) D i i i i i i i i i i     = − − − + + = − − − + + +     1006 1006 1006 1006 1006 1006 2 503 ( 1) ( 1) . ( 2 ) (2 ) .(1 ) 1 (2 ) . 1 2 .( ) . i i i i i i i i i i = − − − − − + + = − + = − + = 1006 1 (1 2 ) i − + THANH TÙNG 0947141139 2 Bài 2. Cho số phức 1 1 i z i + = − . Tính giá trị của biểu thức: 2013 2 A iz = + . Giải: Ta có: 2 1 (1 ) 2 1 2 2 i i i z i i + + = = = = − 2013 2013 2 1006 1006 ( ) . ( 1) . z i i i i i ⇒ = = = − = 2013 2 2 2 2 1 A iz i ⇒ = + = + = − = 1 . Vậy 1 A = Bài tập áp dụng 1) Tính các giá trị biểu thức sau: 1 1 3 2 2 A i = + ( ) ( ) 2 2 1 3 1 3 B i i = + + − 2 2011 2012 1 C i i i i = + + + + + 100 (1 ) D i = − 16 8 1 1 1 1 i i E i i + −     = +     − +     105 23 2012 34 F i i i i = + + − 2) Cho số phức 1 1 i z i − = + . Tính giá trị của 2013 z . 3) Cho số phức 3 1 2 2 z i = − . Tính các số phức sau: ( ) 3 2 2 ; ; ;1 z z z z z + + . DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC ðẠI LƯỢNG ðẶC TRƯNG THANH TÙNG 0947141139 3 Bài tập mẫu 1. (D – 2012) Cho số phức z thỏa mãn 2(1 2 ) (2 ) 7 8 1 i i z i i + + + = + + . Tìm môñun của số phức 1 w z i = + + . Phân tích : +) ðiều kiện 2(1 2 ) (2 ) 7 8 1 i i z i i + + + = + + chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán z a bi ⇒ = + +) Suy ra 1 w z i = + + w ⇒ Giải: Ta có: 2(1 2 ) (2 ) 7 8 1 i i z i i + + + = + + 2(1 2 )(1 ) (2 ) 7 8 (1 )(1 ) i i i z i i i + − ⇔ + + = + + − 2(3 ) (2 ) 7 8 2 i i z i + ⇔ + + = + (2 ) 4 7 i z i ⇔ + = + 4 7 (4 7 )(2 ) 15 10 3 2 2 5 5 i i i i z i i + + − + ⇔ = = = = + + 2 2 1 3 2 1 4 3 4 3 5 w z i i i i w ⇒ = + + = + + + = + ⇒ = + = . Vậy 5 w = THANH TÙNG 0947141139 4 2. ( A – 2010-NC): Cho số phức z thỏa mãn: 3 (1 3 ) 1 i z i − = − . Tìm môñun của số phức z iz + . Phân tích : +) ðiều kiện 3 (1 3 ) 1 i z i − = − chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán z a bi z a bi ⇒ = + ⇒ = − +) Suy ra z iz + z iz ⇒ + Giải: Ta có: 3 2 3 (1 3 ) 1 3 3 3( 3 ) ( 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 ) 4 4 1 1 1 1 2 i i i i i i i z i i i i i − − + − − − + − − + = = = = = = − − − − − − Vậy 4 4 4 4 z i z i = − − ⇒ = − + 2 2 4 4 ( 4 4 ) 8 8 8 8 8 2 z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − − = + = hay 8 2 z iz+ = 3. (A, A1 – 2012 – NC): Cho số phức z thỏa mãn 5( ) 2 1 z i i z + = − + . Tính môñun của số phức 2 1 w z z = + + . Phân tích : +) Trong ñiều kiện 5( ) 2 1 z i i z + = − + chứa ñồng thời z và z nên gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ +) Từ ñiều kiện 5( ) 2 1 z i i z + = − + biến ñổi về dạng 2 1 2 ? 1 ? a z z z w z z w b =  = ⇒ ⇒ ⇒ = + + ⇒  =  Giải: +) Gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ , 1 z ≠ − +) Khi ñó: 5( ) 2 5( ) ( 1)(2 ) 5( ) ( 1)(2 ) 1 z i i z i z i a bi i a bi i z + = − ⇔ + = + − ⇔ − + = + + − + (*) (*) 5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 ) a b i a b a b i ⇔ − − = + + − + − 5 2 2 3 2 1 5( 1) 2 1 7 6 1 a a b a b a b a b a b b = + + − = =    ⇔ ⇔ ⇔    − = − + − = − =    ⇒ 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 ) 2 3 2 3 13 z i w z z i i i w= + ⇒ = + + = + + + + = + ⇒ = + = . Vậy 13 w = 4. ( D – 2010): Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z = và 2 z là số thuần ảo. Phân tích : +) Trong ñiều kiện 2 z = chứa z nên gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ +) Từ hai ñiều kiện 2 z = và 2 z là số thuần ảo 1 2 ( , ) 0 ? ( , ) 0 ? f a b a z f a b b = =   ⇒ ⇔ ⇒   = =   Giải: +) Gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ 2 2 2 2 2 2 2 z a b a b ⇒ = ⇔ + = ⇔ + = (1) +) Ta có: 2 2 2 2 ( ) 2 z a bi a b abi = + = − + là số thuần ảo 2 2 0 a b ⇒ − = 2 2 b a ⇔ = (2) THANH TÙNG 0947141139 Thay (2) vào (1): 2 1 1 2 2 1 1 a b a a b = ⇒ = ±  = ⇔  = − ⇒ = ±  . Vậy các số phức cần tìm là: 1 ; i + 1 ; i − 1 ; i − + 1 i − − . 5. Tìm số phức z thỏa mãn ( 1)( 2 ) z z i − + là số thực và 1 5 z − = . Phân tích : +) ðiều kiện ( 1)( 2 ) z z i − + chứa ñồng thời z và z và 1 5 z − = có 1 z − nên gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ +) Từ hai ñiều kiện ( 1)( 2 ) z z i − + là số thực và 1 5 z − = 1 2 ( , ) 0 ? ( , ) 0 ? f a b a z f a b b = =   ⇒ ⇔ ⇒   = =   Giải: +) Gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ ( 1)( 2 ) ( 1)( 2 ) [( 1) ][ ( 2) ] z z i a bi a bi i a bi a b i ⇒ − + = + − − + = − + − − [ ( 1) ( 2)] [ ( 1)( 2)] a a b b ab a b i = − + − + − − − ( 1)( 2 ) z z i − + là số thực [ ( 1)( 2)] 0 2 2 0 ab a b a b ⇔ − − − = ⇔ + − = (1) Ta có: 2 2 2 2 1 5 1 5 ( 1) 5 ( 1) 5 z a bi a b a b − = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + = (2) Từ (1) 2 2 b a ⇒ = − thay vào (2) ta ñược: 2 2 2 0 2 ( 1) (2 2) 5 2 0 2 2 a b a a a a a b = ⇒ =  − + − = ⇔ − = ⇔  = ⇒ = −  Vậy các số phức cần tìm là: 2 i ; 2 2 i − . 6. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện 2 4 2 z i z i − − = − . Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất. Phân tích : +) ðiều kiện 2 4 2 z i z i − − = − chứa môñun nên gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ +) Từ hai ñiều kiện 2 4 2 z i z i − − = − và z có môñun nhỏ nhất 1 2 ( , ) 0 ? ( , ) 0 ? f a b a z f a b b = =   ⇒ ⇔ ⇒   = =   Giải: +) Gọi z a bi = + ( , ) a b R ∈ 2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2) z i z i a b i a b i ⇒ − − = − ⇔ − + − = + − 2 2 2 2 ( 2) ( 4) ( 2) a b a b⇔ − + − = + − 4 8 20 4 4 a b b ⇔ − − + = − + 4 b a ⇔ = − Khi ñó 2 2 2 2 2 2 ( 4) 2( 4 8) 2( 2) 8 8 z a b a a a a a= + = + − = − + = − + ≥ min 2 2 z⇒ = khi 2 0 2 2 a a b − = ⇔ = ⇒ = . Vậy số phức 2 2 z i = + Chú ý: Các em có thể tham khảo thêm cách giải thứ 2 của bài toán này ở Dạng 3 – Loại 1 THANH TÙNG 0947141139 Bài tập áp dụng 1) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a) 3 3 ( 1 ) (2 ) z i i = − + − . b) 2013 (1 ) 1 i z i + = − . c) 2 3 20 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) z i i i i = + + + + + + + + + 2) Cho hai số phức 1 1 2 z i = + , 2 2 3 z i = − . Xác ñịnh phần thực và phần ảo của số phức 1 2 2 z z − và 1 2 . z z 3) ( B – 2011-NC): Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3 1 3 1 i z i   + =     +   . 4) ( A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết: ( ) 2 2 (1 2 ) z i i = + − . 5) (Cð – 2009 – A): Cho số phức z thỏa mãn 2 (1 ) (2 ) 8 (1 2 ) i i z i i z + − = + + + . Tìm phần thực, phần ảo của z. 6) (Cð – 2010): Cho số phức z thỏa mãn 2 (2 3 ) (4 ) (1 3 ) i z i z i − + + = − + . Tìm phần thực, phần ảo của z. 7) Tìm phần thực của số phức (1 ) n z i = + , biết n N ∈ thỏa mãn phương trình: 4 4 log ( 3) log ( 9) 3 n n − + + = . 8) Tìm số phức z, biết: a) (2 3 ) 1 9 z i z i − + = − (D – 2011) b) 5 3 1 0 i z z + − − = ( B – 2011) 9) (A – 2011): Tìm tất cả các số phức z, biết: 2 2 z z z = + . 10) ( B – 2009): Tìm số phức z thỏa mãn: (2 ) 10 z i− + = và . 25 z z = . 11) Tìm số phức z thỏa mãn: . 3( ) 4 3 z z z z i + − = − . 12) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2 z i − + = . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 ñơn vị. 13) Tìm số phức z, biết 2 5 z = và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó. 14) Tìm số phức z thỏa mãn: a. (2 3 ) 1 i z z + = − b. 20 1 3 z i z − = − c. 2 0 z z + = . d. 2 2 2 8 z zz z + + = và 2 z z + = . 15) Tìm môñun của số phức: a. 3 1 4 (1 ) z i i = + + − . b. (1 )(2 ) 1 2 i i z i + − = + 16) (A – 2011-NC): Tìm môñun của số phức z, biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 z i z i i − + + + − = − . 17) Cho số phức z thỏa mãn 11 8 1 2 . 1 1 i i i z i i +     = +     − +     . Tìm môñun của số phức z iz + . 18) Cho số phức z thỏa mãn 2 2 1 z i − + = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . 19) Tìm số phức liên hợp của 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i = + − + + . 20) Cho số phức z thỏa mãn 1 2 z i z z  =   + =   . Tìm số phức liên hợp của z. 21) Tìm số nghịch ñảo của số phức 3 2 1 3 2 1 (1 ) i i z i i   − − = −   + −   . 22) Biết số phức z thỏa mãn 30 7 z z iz i + + = − . Tìm số ñối của z. THANH TÙNG 0947141139 Bài tập mẫu 1. Xét các ñiểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4 2 6 ;(1 )(1 2 ); 1 3 i i i i i i + − + − − . a.Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân. b.Tìm số phức biểu diễn bởi ñiểm D, sao cho ABCD là hình vuông. Giải: Ta có: 4 4 ( 1 ) 2 2 1 2 i i i i i − − = = − − (2; 2) A ⇒ − ; (1 )(1 2 ) 3 (3;1) i i i B − + = + ⇒ 2 6 (2 6 )(3 ) 20 2 (0;2) 3 10 10 i i i i i C i + + + = = = ⇒ − a. Khi ñó : 2 2 10 (1;3) . 0 (3; 1) AB CB AB AB CB CB   = = =   ⇒   = = −     uuur uuur uuur uuur Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B (ñpcm). b. Gọi ( ; ) D x y ( ;2 ) DC x y ⇒ = − − uuur Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông khi : DC AB = uuur uuur 1 1 2 3 1 x x y y − = = −   ⇔ ⇔   − = = −   Vậy số phức biểu diễn bởi ñiểm ( 1; 1) D − − là: 1 i − − 2. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện 2 4 2 z i z i − − = − . Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất. Giải: Cách 1: (Các em xem lại cách giải bài toán này theo phương pháp ñại số Ví dụ thứ 6 ở DẠNG 2) Cách 2: +) Gọi ñiểm ( ; ) M x y biểu diễn số phức z x yi = + ( ; ) x y R ∈ +) Ta có: 2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2) z i z i x y i x y i − − = − ⇔ − + − = + − 2 2 2 2 ( 2) ( 4) ( 2) 4 8 20 4 4 4 0 x y x y x y y x y ⇔ − + − = + − ⇔ − − + = − + ⇔ + − = Vậy M thuộc ñường thẳng d có phương trình: 4 0 x y + − = (*) +) Ta có: z OM = min min z OM OM d ⇒ ⇔ ⇔ ⊥ . 0 0 d OM u x y ⇔ = ⇔ − = uuuur uur (2*) (với ( ; ), (1; 1) d OM x y u = = − uuuur uur ) Từ (*) và (2*) suy ra: 4 0 2 0 2 x y x x y y + − = =   ⇔   − = =   (2;2) M ⇒ hay số phức 2 2 z i = + THANH TÙNG 0947141139 Bài tập áp dụng 1) Các ñiểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 – i, 2 + 3i, 3 + i và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i. Chứng minh rằng tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. 2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho A và B là hai ñiểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình 2 6 18 0 z z + + = . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân. 3) Tromg mặt phẳng phức, cho ba ñiểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z, 3 3 3 i z   +       và 3 i z . Chứng minh rằng: a. Tam giác OMA vuông tại M. b. Tam giác MAB là tam giác vuông. c. Tứ giác OMAB là hình chữ nhật. Bài tập mẫu 1. Cho số phức z thỏa mãn 3 2 z i z − + = + . a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z . b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun bé nhất. Giải: a) Gọi ( ; ) M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi = + ( ; ) x y R ∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có: 3 2 3 2 z i z x yi i x yi − + = + ⇔ + − + = − + ( 3) ( 1) ( 2) x y i x yi ⇔ − + + = + − 2 2 2 2 ( 3) ( 1) ( 2) x y x y ⇔ − + + = + + 6 2 10 4 4 5 3 0 x y x x y ⇔ − + + = + ⇔ − − = Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường thẳng d có phương trình: 5 3 0 x y − − = (*) THANH TÙNG 0947141139 b) Cách 1 (Phương pháp ñại số) Từ (*) ta có: 5 3 y x = − ⇒ 2 2 2 2 2 (5 3) 26 30 9 z x y x x x x = + = + − = − + Nên: min z khi ( ) 2 min 26 30 9x x− + 15 2 26 b x a ⇔ = − = từ ñó suy ra: 3 5 3 26 y x − = − = Vậy số phức có môñun nhỏ nhất là: 15 3 26 26 z i = − Cách 2 (Phương pháp hình học) ðường thẳng d có phương trình: 5 3 0 x y − − = có véctơ chỉ phương (1;5) d u = uur Ta có: z OM = min min z OM OM d ⇒ ⇔ ⇔ ⊥ . 0 5 0 d OM u x y ⇔ = ⇔ + = uuuur uur (2*) (với ( ; ) OM x y = uuuur ) Từ (*) và (2*) suy ra: 15 5 3 0 26 5 0 3 26 x x y x y y  = − − =   ⇔   + = −  =   15 3 ; 26 26 M   ⇒ −     hay số phức 15 3 26 26 z i = − 2. Cho số phức z thỏa mãn (1 ) 2 1 1 i z i + + = − a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z . b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất. Giải: a) Gọi ( ; ) M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi = + ( ; ) x y R ∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có: 2 (1 ) (1 ) 2 1 2 1 2 1 1 2 i z i z iz i + + + = ⇔ + = ⇔ + = − 2 2 ( ) 2 1 ( 2) 1 ( 2) 1 i x yi y xi y x ⇔ + + = ⇔ − + + = ⇔ − + = 2 2 ( 2) 1 y x ⇔ − + = (*) Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (2;0) I có bán kính 1 R = . b) Cách 1 (Phương pháp ñại số) Từ (*) 2 ( 2) 1 1 2 1 1 3 y y y ⇒ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ (1) Mặt khác từ (*) ta có: 2 2 4 3 x y y + = − (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 1 9 x y ≤ + ≤ hay 2 1 9 1 3 z z ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Do ñó: min 1 z = khi 1 y = và 0 x = hay số phức có môñun nhỏ nhất là: z i = max 3 z = khi 3 y = và 0 x = hay số phức có môñun lớn nhất là: 3 z i = . THANH TÙNG 0947141139 Cách 2 (Phương pháp hình học) 3. Cho số phức z thỏa mãn 2 2 2( ) 2 z z z i − = − − a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z . b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất. Giải: a) Gọi ( ; ) M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi = + ( ; ) x y R ∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có: 2 2 2( ) 2 z z z i − = − − 2 2 2[ ( )] 2 x yi x yi x yi i ⇔ − − = + − − − 2 2 ( 2) 4 2 x yi yi ⇔ − − = − ⇔ 2 2 ( 2) 4 2 x y y − + = − − 2 2 ( 2) ( 2) 2 x y ⇔ − + + = (*) Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (2; 2) I − có bán kính 2 R = . b) Ta có: 2 2 z x y OM = + = nên min z khi min OM . Có: (2; 2) OI = − uur nên phương trình OI : 2 2 x y y x = ⇔ = − − (2*) Ta tìm giao ñiểm của OI với ñường tròn (*) bằng cách thay (2*) vào (*): ( ) 2 1 2 2 2 (1; 1) 2 1 1 1 ( 2) 2 2 ( 2) 1 2 1 3 3 (3; 3) M x x y x x x x x y M − − = − = ⇒ = −    − + − + = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒    − = = ⇒ = − −    1 2 2 3 2 OM OM  =  ⇒  =   Mặt khác ñiểm thuộc ñường tròn có khoảng cách tới gốc tọa ñộ O lớn nhất, nhỏ nhất phải thuộc một trong 2 ñiểm 1 2 , M M . Do ñó 1 min z OM = hay 1 (1; 1) M M ≡ − nên số phức có môñun nhỏ nhất là: 1 1 z i = − 2 max z OM = hay 2 (3; 3) M M ≡ − nên số phức có môñun lớn nhất là: 2 3 3 z i = − [...]... vi t ñư c : −2i = (1 − i ) 2 ph n tính ∆ trong bài toán trên có th hi u theo 3 hư ng +) Hư ng 1 : Vì ta khá quen thu c v i công th c : (1 ± i)2 = ±2i a 2 − b 2 = 0 +) Hư ng 2 : Ta ch n a , b th a mãn −2i = (a + bi )2 = a 2 − b 2 + 2abi ⇔  và “ñoán”: ab = −1 +) Hư ng 3 : (ðây là hư ng ñi t ng quát – khi không nhìn th y luôn theo Hư ng 1, Hư ng 2) G i a + bi là căn b c hai c a −2i ⇒ (a + bi) 2 = −2i . [1;10] n ∈ sao cho số phức (1 3) n z i= + là số thực. 8) Tìm n ñể số phức 3 3 3 3 n i i   −     −   là số thực, là số ảo ?. 9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2013 2013 1 z z + các số phức z, biết: 2 2 z z z = + . 10) ( B – 2009): Tìm số phức z thỏa mãn: (2 ) 10 z i− + = và . 25 z z = . 11) Tìm số phức z thỏa mãn: . 3( ) 4 3 z z z z i + − = − . 12) Tìm số phức. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 z i z z  =   + =   . Tìm số phức liên hợp của z. 21) Tìm số nghịch ñảo của số phức 3 2 1 3 2 1 (1 ) i i z i i   − − = −   + −   . 22) Biết số phức z