Bài tập Lý thuyết dao động Bi tập chơng I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 1. Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vào các lò xo và tìm hệ số cứng tơng đơng của hệ mô tả trên hình vẽ. Các tải trọng dịch chuyển theo phơng thẳng đứng. Trả lời: 1a) 21 21 22 CCC; )CC(g Q C M T += + == 1b) 21 21 2 CCC; )CC(g Q T += + = 1c) 21 21 21 21 2 CC C.C C; )C.C(g )CC(Q T + = + = 1d) 21 21 3 48 48 2 CC C.C C; gCEJ )EJCL(Q T + = + = 1e) 3 1 3 3 48 48 2 L EJ CC; )EJCL(g QL T += + = L L 2. Một tải trọng khối lợng m đợc gắn vào thanh không trọng lợng cứng tuyệt đối, dài 3L. Thanh đợc gắn vào mặt phẳng cố định bằng hai lò xo có cùng độ cứng C. Tính tần số dao động riêng của con lắc khi: a) Thanh thẳng đứng (hình 2a). b) Thanh nằm ngang (hình 2b). Trả lời: a) L g m C k 3 1 9 5 += b) m C k 9 5 = L L C 1 C 1 C 1 EJ C 1 C 2 EJ Q Q C 2 C 2 Q Q Q a) d) Hình vẽ bt 1 C 1 b) c) c) 143 L C L 3. Tìm tần số dao động riêng của con lắc thẳng đứng, giả thiết thanh tuyệt đối cứng. Trả lời: L g m C k 22 m= 4. Hãy xác định chu kỳ dao động nhỏ của con lắc dùng trong một số máy ghi động đất. Con lắc gồm thanh cứng chiều dài L, một đầu mang khối lợng m bị ép giữa hai lò xo nằm ngang có độ cứng C, đầu ngoài lò xo gắn chặt. Bỏ qua khối lợng thanh và coi lò xo ở vị trí cân bằng cha bị dãn. Trả lời: L g m C T = 2 2 5. Ngời ta gắn tải trọng khối lợng m lên cột chống mềm bằng thép độ cứng C 1 , tiết diện ngang hình chữ nhật. Cột đợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo với độ cứng C 2 . Tìm tần số dao động riêng của tải trọng, biết khối lợng của cột chống và lò xo là nhỏ so với khối lợng của tải trọng; ảnh hởng của trọng lợng của tải trọng lên độ uốn của cột chống bỏ qua. L L L C m C C L m a) b) Hình vẽ bt 2 Hình vẽ bt 4 m L L L C C C C Hình vẽ bt 3 L L C C m m 144 Trả lời: + = EJ3 )aL(a C2LmL mgLaC2 k 22 2 2 2 6. Trong bộ ghi rung dùng để ghi các dao động của móng, các bộ phận máy, , lò xo xoắn có độ cứng C giữ con lắc trọng lợng Q lệch khỏi đờng thẳng đứng góc . Mô men quán tính của con lắc đối với trục quay bằng J. Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của bộ ghi rung. Trả lời: CcosQs J T + = 2 hình vẽ bt 5 L a m C 2 C 2 EJ s Q hình vẽ bt 6 7. Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của móng máy đặt trên nền đất đàn hồi và bị lệch khỏi vị trí cân bằng. Trọng lợng của móng và máy Q =1470KN, diện tích đế móng S = 50m 2 ; độ cứng riêng của đất (Hệ số cứng của đất bằng ). 3 30 cm/N= SC = Trả lời: s/rad., gC Q T 2 102862 == 8. Lồng thang máy có trọng lợng Q = 30KN hạ xuống giếng mỏ với vận tốc u = 3m/s, đột nhiên hãm chặt đầu trên của dây cáp lại, lồng không hạ xuống nữa. Hãy xác định chuyển Q hình vẽ bt 7 Q x x hình vẽ bt 8 145 động tiếp sau của lồng, nếu hệ số cứng của dây là C = 27,5 KN/cm. Bỏ qua khối lợng dây cáp. Trả lời: x =0,1sin(30t) cm. 9. Một đĩa khối lợng m, mômen quán tính của khối lợng bằng J o , đợc gắn vào may ơ bán kính r. May ơ của đĩa đợc đặt lên một thiết bị dẫn hớng cong tròn bán kính R. Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của đĩa với giả thiết khi đĩa chuyển động may ơ không trợt trên cơ cấu dẫn hớng. Trả lời: () 0 2 2 = ++ sin rR r mgJmr o Dao động nhỏ: () 0 2 2 = ++ rR r mgJmr o C R r R hình vẽ bt 9 hình vẽ bt 10 10. Một xe goòng khối lợng m đợc đặt trên một mặt nhám nằm nghiêng, xe goòng đợc giữ trên mặt nghiêng bởi lò xo có độ cứng C. Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ của xe goòng, biết mỗi cặp bánh xe goòng có mô men quán tính của khối lợng bằng J; bán kính bánh xe bằng R và bánh xe lăn không trợt trên mặt nghiêng. Trả lời: - góc quay của bánh xe. ;0CR)J2mR( 22 =++ 11. Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của khối lợng m ở hệ mô tả trên hình vẽ, biết lực cản dao động tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động: = yF. Trả lời: + = + = k k k yymy yymy 2221 1211 12. Ngời ta gắn tải trọng có trọng lợng P vào một thanh cứng tuyệt đối không quán tính dài L. Thanh đợc giữ ở vị trí cân bằng nhờ lò xo và một bộ giảm chấn. Bộ giảm chấn có đặc trng ma sát tuyến tính = xF. 146 Tính tần số dao động riêng của hệ và độ suy giảm tắt dần Logarít của dao động. Biết P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; đờng kính lò xo D = 5cm; đờng kính dây lò xo d = 0,5cm; số vòng lò xo i = 5; môđun đàn hồi G = 8.10 6 N/cm 2 ; hệ số cản chuyển động của bộ giảm chấn = 3NS/cm. Trả lời: s/rad,K 511 1 = ; = 1,29. a L C P m y K EJ L/2 L/2 hình vẽ bt 12 hình vẽ bt 11 13. Gắn một khối lợng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phần tử cản đàn hồi. Bỏ qua khối lợng thanh. a) Phải chọn độ lớn hệ số cản b thế nào để hệ có thể dao động nhỏ; b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm còn 10 1 biên độ của chu kỳ đầu; sau đó xác định chu kỳ dao động. (Độ cản Lehr: mC b k n D 2 == ; Độ suy giảm tắt dần Logarit: ) D D T 2 1 2 == Trả lời: a) a gm Cmb 2 2 +< b) gmaC am T;,D + == 2 2 20370 14. Hệ cho trên hình vẽ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Vị trí cân bằng tĩnh của hệ ứng với vị trí cân bằng tĩnh OM. ở thời điểm đầu thanh lệch khỏi vị trí cân bằng tĩnh ngợc chiều kim đồng hồ một góc 0 và không có vận tốc ban đầu. Xác định dao động nhỏ của hệ. Khối lợng lò xo, thanh, bộ giảm chấn ma sát ở bản lề bỏ qua. Lấy trọng lợng của tải trọng M là P = 200N, L = 90cm, L 1 = 40cm, L 2 = 20cm, 0 = 6 0 , C = 20N/cm, = 15NS/cm. Trả lời: ( ) += 28078120 257 ,t,sine, t, 147 C m b a a M B C C O L L 2 L 1 A hình vẽ bt 13 hình vẽ bt 14 15. Cho biết cơ cấu gồm tải trọng khối lợng m đợc gắn vào hai lò xo cùng độ cứng C. Tải trọng đợc ngâm trong ống đầy chất lỏng. Lực cản chuyển động của tải trọng trong ống có thể đợc điều chỉnh nhờ thay đổi khe hở giữa tải trọng và ống hoặc độ nhớt chất lỏng. a) Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của tải trọng. b) Tính thời gian để biên độ dao động tự do của tải trọng giảm đi 100 lần, biết khi t = 0: x(0) = x 0 , 00 = )(x. Khi giải giả thiết lực cản chuyển động của tải trọng tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động; . cm/NS;cm/NC;cm/NS,m 51050 2 === Trả lời : [ ] == = == s92,0100Ln n 1 t m C2 k, m2 n,t.nkcosexx 1 222nt 0 C C m hình vẽ bt 15 C m H d D hình vẽ bt 16 148 16. Bộ phận cản thuỷ lực (hoàn xung hay giảm chấn thuỷ lực) là một píttông khối lợng m chuyển động trong chất lỏng. Hãy khảo sát chuyển động của píttông biết tại t = 0 píttông lệch với vị trí cân bằng một khoảng y 0 = 0,5cm. Tìm thời gian để độ lệch của píttông đối với vị trí cân bằng giảm đi hai lần. Cho biết: độ cứng lò xo C=30N/cm; đờng kính hình trụ D = 10cm; đờng kính lỗ hở píttông d = 1cm; số lỗ hở z = 25; trọng lợng pittông Q = 27,3N; chiều cao píttông H = 5cm. Hệ số nhớt động lực chất lỏng = 6.10 8 NS/cm; khi tính lực cản nhớt lấy theo công thức: 4 128 2 4 2 DH ; zd = = diện tích ngang píttông. Trả lời: [ ] === = == s03,0t;s/rad1080 m C k 42,5 m2 n,t.nkcoseyy 1 2 22nt 0 17. Tìm biểu thức phụ thuộc giữa tần số dao động xoắn riêng của trục máy trộn và độ nhớt chất lỏng đem trộn cũng nh thời gian để biên độ trục máy trộn giảm đi 10 lần sau khi môtơ dừng lại đột ngột, biết vận tốc quay trớc lúc môtơ dừng lại đều bằng . Khi tính giả thiết khối lợng trục nhỏ so với khối lợng các cánh, mômen quán tính khối lợng cánh J = 50 Ncms 2 , đờng kính trục d = 5mm; độ dài trục L = 0,5m; hệ số cản nhớt =120N cms; môđun trợt vật liệu trục G = 8.10 6 N/cm 2 . Trả lời: .s,t;t,cose C t, 91254 1 21 = = 18. Máy rung dùng để tạo ra các dao động gồm hai đĩa mắc lệch tâm trên hai trục song song, trọng lợng mỗi đĩa là Q, trọng lợng toàn máy bằng P, tâm sai cả hai đĩa bằng nhau và bằng r. Khi lắp ráp ban đầu các đĩa tạo với phơng nằm ngang những góc 1 , 2 . L d O 1 O 2 Q Q C hình vẽ bt 17 hình vẽ bt 18 149 Hai đĩa quay ngợc chiều nhau với vận tốc góc . Máy gắn bu lông trên bệ đàn hồi độ cứng C. Hãy xác định biên độ dao động cỡng bức của máy, bỏ qua trọng lợng của nó. Trả lời: 2 sin )QP( Cg Qr2 A 21 2 + + = 19. Hệ tạo từ tải trọng M trọng lợng P 1 = 80 N, các thanh không trọng lợng và lò xo có độ cứng C = 5N/cm nằm trong mặt phẳng đứng. Thanh OA chuyển động theo rãnh thẳng đứng với quy luật y 0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = 8 rad/s). Vị trí nằm ngang của BM tơng ứng với vị trí cân bằng tĩnh khi y = 0. Xác định dao động nhỏ của tải trọng ở hớng thẳng đứng. Biết L 1 = 90 cm; L 2 = 60 cm. Tại thời điểm đầu (t = 0) hệ ở vị trí cân bằng tĩnh, vận tốc góc của BM cũng nh vận tốc của tải trọng M bằng 0; y = 0; bỏ qua ma sát. Trả lời: = 0,0785sin5,2t 0,0505sin8t 20. Cơ cấu dẫn động cho van có sơ đồ hoá dới dạng khối lợng m mắc giữa hai lò xo: Lò xo trên có độ cứng C gắn vào một điểm cố định, Lò xo dới có độ cứng C 1 gắn vào cam chuyển động tịnh tiến. Trên mặt cắt của cam phải định trớc để cho chuyển động thẳng đứng xác định bởi công thức: x 1 = a(1 cost) khi 0 t 2 x 1 = 0 khi t > 2 Hãy xác định chuyển động của khối lợng m. Trả lời: += )tcoskt(cos k 1 )ktcos1( k 1 m aC x 222 1 khi 0 t 2 = )t(kcosktcos. kk m aC x 2 11 222 1 khi t > 2 A C B O M C m L 2 L 1 x C 1 y 0 hình vẽ bt 19 hình vẽ bt 20 150 21. Một động cơ có trọng lợng Q đặt thẳng đứng trên bệ máy có diện tích đáy bằng S; độ cứng của đất bằng ; độ dài tay quay động cơ là L; vận tốc góc của trục là . Píttông và các phần không cân bằng thực hiện các chuyển động tịnh tiến qua lại có trọng lợng P. Trọng lợng của móng máy bằng G tay quay coi nh cân bằng nhờ đối trọng. Hãy xác định dao động cỡng bức của móng máy, bỏ qua khối lợng của thanh truyền. Trả lời: tcos )k)(GQ( Pr L r tcos )k)(GQ( Pr + + + = 2 4 22 2 22 2 L r G P Q O m C x 1 (t) hình vẽ bt 22hình vẽ bt 21 22. Bánh xe lăn trên đờng gồ ghề có vận tốc của trục bánh xe không đổi và bằng V. Tải trọng khối lợng m gắn với trục bánh xe bằng lò xo độ cứng C. Trong lò xo có ma sát nhớt, hệ số cản và lực cản tỉ lệ với vận tốc tơng đối. Bỏ qua biến dạng của bánh xe và mặt đờng. Viết phơng trình dao động tơng đối thẳng đứng của tải trọng. Biết phơng trình mặt đờng: = L sin 2 max với L - chiều dài sóng. Trả lời: )ptcos(B]tksin)sinpcosn( k tkcos.[cosBey nt ++= 1 1 1 1 2 p P; pn4)pk( P B; pk np2 arctg; L V2 p 2 max0 2222 0 22 = = = = 23. Cho biết ở thời điểm ban đầu khối lợng m lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng x 0 . Nó đợc thả tự do không có vận tốc ban đầu. Khi khối lợng trợt trên mặt, giữa chúng xuất hiện lực ma sát khô (ma sát Culông). Sự phụ thuộc giữa lực ma sát F t với vận tốc của khối lợng m đợc mô tả trong hình vẽ. Tìm quy luật chuyển động của khối lợng m. x Trả lời: m C k, mk F )1(ktcos mk F)1n2( xx 2 t 1n 2 t 0m =+ = 151 [...]... chuyển động 38 2.1.3 Những nguyên tắc giải phơng trình dao động của hệ 40 169 Đ2.2 Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do 41 2.2.1 Dao động tự do không có cản 41 2.2.2 Dao động cững bức không cản 46 2.2.3 Một vài bài toán ứng dụng 49 Đ2.3 Dao động xoắn của trục mang các đĩa 55 2.3.1 Phơng trình cơ bản Phơng trình tần số 55 2.3.2 Phơng trình dao động xoắn cỡng bức trục mang các đĩa 57 Đ2.4 Dao động. .. 14 1.1.2 Dao động tự do có cản 17 Đ1.2 Dao động cỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do 22 1.2.1 Dao động cỡng bức không cản 23 1.2.2 Dao động cỡng bức có cản 26 1.2.3 Đệm đàn hồi của Máy 30 1.2.4 áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cỡng bức 32 Chơng II: Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do 38 Đ2.1 Hệ nhiều bậc tự do Phơng pháp chung thiết lập phơng trình vi phân chuyển động 38 2.1.1... phân chuyển động nhờ phơng trình LagrăngII 5 5.2 Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng pháp Đalămbe 8 5.3 áp dụng phơng pháp lực để thiết lập phơng trình vi phân dao động nhỏ 8 Đ6 Xác định độ cứng của hệ dao động 10 6.1 Thanh đàn hồi 10 6.2 Hệ các lò xo 12 Chơng I: Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 14 Đ1.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 14 1.1.1 Dao động tự do không... trình tần số 59 2.4.2 Phơng trình dao động uốn cỡng bức của dầm có các khối lợng tập trung 60 Chơng III: Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do 65 Đ3.1 Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi 65 3.1.1 Phơng trình vi phân dao động dọc của thanh 65 3.1.2 Giải phơng trình sóng bằng phơng pháp Furiê 66 3.1.3 Các điều kiện biên của thanh, phơng trình tần số 67 Đ3.2 Dao động xoắn của trục tròn tiết... vành đĩa Hãy xác định tần số dao động tự do của hệ, bỏ qua khối lợng thanh Đĩa có thể quay trong mặt phẳng dao động của thanh OA Trả lời: Tần số dao động tự do là nghiệm của phơng trình: k4 157 M + m 2m(R + L ) g 2 2mg 2 ( M + m) =0 1 + k + M + 3m MR MRL ( M 3m) L 40 Hãy xác định tần số dao động xoắn tự do của hệ gồm hai trục liên kết với nhau bằng các bánh răng truyền động Mômen quán tính của các... trình dao động cỡng bức của khối lợng m (xem hình vẽ BT 60) bằng phơng pháp Đufinh, biết ở thời điểm ban đầu khối lợng m có độ lệch cực đại đối với vị trí cân bằng là x0 (các trị số bằng số lấy nh BT 60) Trả lời: x= 2,27sin10t 0,363.10-1(sin10t sin30t) 167 Ti liệu tham khảo 1 Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Chiều, Khổng Doãn Điền Bài giảng Lý thuyết dao động ĐHTL - Hà Nội 1988, 88 tr 2 Giáo trình Cơ học lý. .. lý thuyết Tập II ĐHTL - Hà nội 1977 3 2- - 1965- 650 4 . -1962 - 194c 5 . 1969 - 364c 6 . -1976 319c - 7 - 1967 - 444c 8 . -1970 - 732c 9 Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật NXB KHKT Hà Nội 2001 10 Nguyễn Thúc An Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi và ứng dụng vào bài toán cọc - ĐH Thuỷ lợi 1991 11 Nguyễn Thúc An áp dụng lý va chạm dọc của thanh vào bài. .. (shcos chsin) = 0 163 Bi tập chơng V Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến 52 Một xà cứng có tiết diện ngang không đổi dài 2L, khối lợng m đợc gắn bản lề ở điểm A và đợc giữ thăng bằng bởi hai lò xo đều có độ cứng C Lập phơng trình vi phân dao động nhỏ của xà, biết phụ thuộc giữa lực cản của lò xo và độ dãn dài là tuyến tính Tìm tần số riêng của dao động nhỏ của xà 2 1 1 CL2 cos cos =0 mL ... 1 = 0,8472 trong dao động chính thứ nhất 1 = 1,1802 trong dao động chính thứ hai l l 1 C b a L L 2 m=P/g hình vẽ bt 36 m=P/g hình vẽ bt 37 156 37 Hai con lắc vật lý nh nhau treo vào hai trục song song đặt trong mặt phẳng nằm ngang và nối với nhau bằng một lò xo có độ dài ở trạng thái cha bị căng bằng khoảng cách giữa hai trục của con lắc Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ các dao động chính của hệ... Độ cứng các lò xo khác nhau và bằng C1 và C2 Tìm tần số dao động của hệ Trả lời: p = 2 C 1C 2 m ( C1 + C 2 ) 57 Cho biết khối lợng m đợc gắn vào hai lò xo kéo với độ căng ban đầu To Giả sử dao động của khối lợng trên mặt phẳng ngang là không có ma sát Hãy tìm giá trị độ lệch ban đầu x0 sao cho tần số dao động của khối lợng bằng 5 rad/s Hãy giải bài toán bằng phơng pháp tham số bé và giới hạn ở xấp xỉ . Bài tập Lý thuyết dao động Bi tập chơng I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 1. Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vào các lò xo. b thế nào để hệ có thể dao động nhỏ; b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm còn 10 1 biên độ của chu kỳ đầu; sau đó xác định chu kỳ dao động. (Độ cản Lehr: mC b k n D 2 ==. vào vành đĩa. Hãy xác định tần số dao động tự do của hệ, bỏ qua khối lợng thanh. Đĩa có thể quay trong mặt phẳng dao động của thanh OA. Trả lời: Tần số dao động tự do là nghiệm của phơng trình: